专题02直线和圆的方程综合九大题型突破讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦直线和圆方程核心知识点，系统梳理直线五类方程、平行垂直判定、三大距离公式、圆的方程及弦长公式等基础内容，构建从基础概念到九大题型（求直线/圆方程、动直线定点、位置关系、弦长、切线、面积、轨迹）的学习支架，形成完整知识脉络。 该资料以题型突破为特色，每个题型配套例题与变式练习，通过动直线恒过定点培养抽象能力（数学眼光），轨迹问题强化几何直观与推理运算（数学思维），用方程表达几何关系提升模型意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过实例巩固，查漏补缺。

专题02 直线和圆方程九大题型突破 【题型1 求直线方程】 【题型2 动直线恒过定点】 【题型3 求圆的标准方程】 【题型4 判断位置关系（相离 / 相切 / 相交）】 【题型5 弦长计算 & 弦长最值】 【题型6 过圆上一点求切线方程】 【题型7 过圆外一点作圆的切线】 【题型8 三角形面积求值 / 面积最值】 【题型9 运动轨迹】 1. 直线五类方程 点斜式：（斜率存在） 斜截式：（斜率存在） 两点式： 截距式： 一般式： 2. 平行与垂直判定 平行：；垂直： 3. 三大距离公式 两点距离： 点到直线距离： 两平行线距离： 4. 圆的方程与核心公式 标准方程： 圆心，半径 一般方程： 圆心，半径 圆存在条件： 5. 弦长公式 （为圆心到直线距离） 【题型1 求直线方程】 【例1】已知的三个顶点． (1)求边上的中线所在直线的一般式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程． 【变式1-1】根据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； 【变式1-2】已知直线l经过点和点． (1)求直线l的截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【题型2 动直线恒过定点】 【例2】不论为何实数,直线恒过一定点,则此定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点.若直线过点，则原点到直线的距离的最大值为_________. 【题型3 求圆的标准方程】 【例2】已知直线，，. (1)直线经过两条直线和的交点，且平行于直线，求直线的方程； (2)圆经过，两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 【变式3-1】已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. (1)求圆的方程； (2)直线过点，且圆心到直线的距离为1，求直线的方程. 【题型4 判断位置关系（相离 / 相切 / 相交）】 【例4】已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【变式4-1】已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A．] B． C． D． 【变式4-3】若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 【题型5 弦长计算 & 弦长最值】 【i5 【例5】已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式5-1】若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【变式5-2】直线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C． D． 【题型6 过圆上一点求切线方程】 【例6】已知在中，，，． (1)求的外接圆的标准方程； (2)过点作的外接圆的切线，求该切线方程． 【变式6-1】已知圆经过点，，． (1)求圆的方程； (2)求经过点的圆的切线方程． 【题型7 过圆外一点作圆的切线】 【例7】已知圆，直线． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)求经过点的圆的切线方程． 【变式7-1】已知圆C经过，，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)求圆C经过点的切线方程． 【变式7-2】已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 【题型8 三角形面积求值 / 面积最值】 【例8】在平面直角坐标系中，已知点，圆经过三点，直线的方程为. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)若直线与圆相交于两点，求的面积的最大值. 【变式8-1】已知三点，记的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于两点，求的面积. 【变式8-2】已知圆． (1)已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度； (2)若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 【题型9 运动轨迹】 【例9】已知圆，点. (1)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程； (2)若经过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程. 【变式9-1】过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． (1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； (2)求弦的中点M的轨迹方程． 【变式9-2】已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程． (2)设点，为圆上的动点，点满足． （i）求点的轨迹方程； （ii）判断点的轨迹与圆的位置关系． 1．已知直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．直线过点且与以点为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是________． 3．根据下列条件分别写出直线的一般式方程： (1)斜率是，且经过点； (2)与直线垂直，且在轴上的截距为. 4．已知直线经过点，圆. (1)若圆关于直线对称，求直线的方程； (2)若直线平行于直线，求直线关于点的对称直线的方程. 5．已知圆，点． (1)求过点P的圆的切线方程； (2)若直线l过点P且与直线平行，求直线l被圆C所截得的弦长． 6．已知圆：，直线：. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)若，过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积的最小值及此时点的坐标， 7．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)若点的轨迹为曲线，已知直线的方程为，请判断直线与曲线的位置关系，并说明理由. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆方程九大题型突破 【题型1 求直线方程】 【题型2 动直线恒过定点】 【题型3 求圆的标准方程】 【题型4 判断位置关系（相离 / 相切 / 相交）】 【题型5 弦长计算 & 弦长最值】 【题型6 过圆上一点求切线方程】 【题型7 过圆外一点作圆的切线】 【题型8 三角形面积求值 / 面积最值】 【题型9 运动轨迹】 1. 直线五类方程 点斜式：（斜率存在） 斜截式：（斜率存在） 两点式： 截距式： 一般式： 2. 平行与垂直判定 平行：；垂直： 3. 三大距离公式 两点距离： 点到直线距离： 两平行线距离： 4. 圆的方程与核心公式 标准方程： 圆心，半径 一般方程： 圆心，半径 圆存在条件： 5. 弦长公式 （为圆心到直线距离） 【题型1 求直线方程】 【例1】已知的三个顶点． (1)求边上的中线所在直线的一般式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出边的中点，再由点斜式方程求直线方程即得，最后化成一般式方程； （2）利用两直线的垂直斜率之积等于，求得边上的高的斜率，再由点斜式方程求直线方程，最后化成斜截式方程即得. 【详解】（1）设边的中点为，由已知得 ，所以，. 所以边上的中线所在直线的一般式方程为. （2）易得，所以边上的高的斜率，由点斜式可得：， 所以边上的高所在直线的斜截式方程. 【变式1-1】根据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解. （2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为. （2）因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为. 【变式1-2】已知直线l经过点和点． (1)求直线l的截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式； （2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积． 【详解】（1）由已知得直线l的两点式方程为， 即， 整理得． 所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 【题型2 动直线恒过定点】 【例2】不论为何实数,直线恒过一定点,则此定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程展开,含的项中将提出,令前面的系数为零,其他项也为零,解方程组即可. 【详解】解:由题知, 化简可得:, 由于不论为何实数, 直线恒过定点, 只需, 解得, 故直线恒过定点. 故选:A 【变式2-1】已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据恒过定点化简直线方程求出，再根据垂直关系求出所求直线的斜率，列点斜式方程化简即可. 【详解】由，得， 直线恒过点． 因为的斜率为， 所以所求直线的斜率为，其方程为，即， 故选：A． 【变式2-2】已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点.若直线过点，则原点到直线的距离的最大值为_________. 【答案】 【分析】两圆方程相减得到公共弦方程，求出定点的坐标，当时，原点到直线的距离的最大值，最大值为. 【详解】圆与圆相减可得公共弦所在直线为， 令，解得，即， 又直线过点，所以当时，原点到直线的距离的最大值，最大值为. 故答案为： 【题型3 求圆的标准方程】 【例2】已知直线，，. (1)直线经过两条直线和的交点，且平行于直线，求直线的方程； (2)圆经过，两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由联立得交点，根据两条直线平行可设的方程为：，点代入即可求解. （2）设圆心 ，由解得，根据两点间的距离公式求出半径即可求解. 【详解】（1）由得，所以直线和的交点为，         由可设的方程为：， 过点，所以，解得， 故直线的方程为. （2）因为圆心在直线上，所以设 ， 由得 解得. 所以圆心为，半径为， 故圆的标准方程为. 【变式3-1】已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. (1)求圆的方程； (2)直线过点，且圆心到直线的距离为1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的方程为，由已知条件列出方程组求解即得. （2）按直线的斜率存在与否分类，利用点到直线的距离公式求解即得. 【详解】（1）设圆的方程为， 由圆的圆心在轴上，且经过和两点， 得，解得， 所以圆的方程为，即. （2）由（1）得圆的圆心为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 此时直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 【题型4 判断位置关系（相离 / 相切 / 相交）】 【例4】已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】根据题意可得直线过定点，判断点在圆内，可判断直线与圆相交. 【详解】由题意可得直线：过定点. 因为，所以点在圆内， 则直线与圆相交. 故选：C. 【变式4-1】已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可. 【详解】由题可得， 解得：． 故选：B 【变式4-2】若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A．] B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，求出直线过定点，数形结合再由圆心到直线的距离等于半径和斜率的定义求解即可； 【详解】曲线即为半圆：， 其图象如图所示， 曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：A. 【变式4-3】若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 【答案】B 【分析】根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径.直线到圆心的距离为，根据相离条件，即，整理得，这表明点到原点的距离的平方小于4，即点在圆内部. 故选：B. 【题型5 弦长计算 & 弦长最值】 【i5 【例5】已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先求得直线过定点，再分析取得最小值时的情况，利用弦长公式求解即可. 【详解】由直线得： ， 由， 则直线过定点， 由圆可得圆心，半径， 所以圆心与定点的距离为: ， 由， 所以点在圆内， 所以当圆心与定点的连线垂直于时，取得最小值， 则的最小值为， 故选：C. 【变式5-1】若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直接根据圆的弦长公式可得. 【详解】由圆，圆心，半径. 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为，所以，化简得，解得. 故选：A. 【变式5-2】直线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用垂径定理，将弦长问题转化为在弦心距与半径，半弦长构成的直角三角形中求解即可． 【详解】圆M的半径，圆心，则圆心M到直线l的距离， 故． 故选：D． 【题型6 过圆上一点求切线方程】 【例6】已知在中，，，． (1)求的外接圆的标准方程； (2)过点作的外接圆的切线，求该切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将三顶点代入圆的标准方程，解出即可； （2）由两直线垂直得到斜率关系，再由点斜式得到直线方程即可； 【详解】（1）设的外接圆的标准方程为， 则 解得 故的外接圆的标准方程为． （2）由（1）得外接圆的圆心为，半径为5． 因为，所以切线的斜率为， 故所求切线方程为，即． 【变式6-1】已知圆经过点，，． (1)求圆的方程； (2)求经过点的圆的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法将三个点的坐标代入圆的一般方程，解方程组即可； （2）根据圆的切线性质求出切线的斜率，点斜式求得直线方程. 【详解】（1）设圆的方程为， 将三点坐标代入得，， 即，解得， 所以圆的方程为，即. （2）由（1），可得圆心，则， 所以经过点的圆的切线斜率， 所以经过点的圆的切线方程为，即. 【题型7 过圆外一点作圆的切线】 【例7】已知圆，直线． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)求经过点的圆的切线方程． 【答案】(1)相离 (2)和 【分析】（1）首先求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断； （2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出，即可得解. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离. （2）过点的斜率不存在的直线方程为， 满足圆心到的距离为，符合题意； 当斜率存在时，设直线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线方程为，即， 综上可得过点的圆的切线方程为和. 【变式7-1】已知圆C经过，，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)求圆C经过点的切线方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，求出圆心坐标及半径即可. （2）按切线斜率存在与否，结合点到直线的距离公式求出切线方程. 【详解】（1）线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，因此圆C的圆心，半径， 所以圆C的标准方程为. （2）点到直线的距离为2，即直线与圆C相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得，因此方程为， 所以圆C经过点的切线方程为或. 【变式7-2】已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先设圆的标准方程，再代入点的坐标及圆心在直线上即可求参； （2）设直线方程，利用直线与圆的位置关系计算即可求解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 ，解得： ， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 则点到直线的距离为圆的半径， 即，解得，此时. 综上，直线l的方程为或. 【题型8 三角形面积求值 / 面积最值】 【例8】在平面直角坐标系中，已知点，圆经过三点，直线的方程为. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)若直线与圆相交于两点，求的面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由待定系数法求出圆的方程，再根据直线与圆相切可得； （2）先可得三角形一边的长，再计算圆上到这一边的距离的最大值即可得面积的最大值. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆经过点，所以， 解得，经检验，符合题意， 所以圆的方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为， 所以，解得； （2）可化为，即直线恒过点， 因为点在圆上，故不妨设为， 所以直线，且， 设点到直线的距离为， 所以的面积， 因为点在圆上，所以的最大值等于圆心到直线的距离加上半径， 所以. 所以. 故的面积的最大值为. 【变式8-1】已知三点，记的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程为，将三点代入得到方程组，求出，即可得到圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理求出弦长，即可求出的面积. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 将三点代入上式可得，， 解得， 所以圆的一般方程为 将其化为标准方程为； （2）由（1）可知，圆心，半径. 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为. 【变式8-2】已知圆． (1)已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度； (2)若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 【答案】(1) (2)面积最大值为8，直线方程为或 【分析】（1）法1：求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理得到弦长； 法2：联立直线与圆的方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案； 法3：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，利用两点间距离公式求出答案； （2）设出直线方程，求出圆心C到直线的距离，利用垂径定理表达出面积，求出最大值，并得到，，得到直线方程. 【详解】（1）法1：圆C的圆心坐标为，半径， 圆心C到直线的距离.    则截得的弦长； 法2：设，联立方程组得， 消得， ； 法3：设，联立方程组得， 消得，解得， 则， . （2）圆C的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，与圆没有交点，舍去， 设直线的方程为，即， 则圆心C到直线的距离为， 又的面积， 所以当时取最大值8， 由，得， 解得，， 所以直线的方程为或. 【题型9 运动轨迹】 【例9】已知圆，点. (1)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程； (2)若经过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据相关点法求解出点的轨迹方程； （2）先计算出到的距离，然后根据的斜率是否存在进行分类讨论，由此求解出结果. 【详解】（1）设点，由点是的中点，得， 所以，故点， 因为在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程， 所以，化简得， 故点的轨迹方程是. （2）因为直线截圆所得弦长为， 所以直线到圆心的距离为， ①若直线的斜率不存在，直线的方程为， 此时到的距离为，故直线符合题意； ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 则直线，即为， 综上所述，直线的方程为或. 【变式9-1】过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． (1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； (2)求弦的中点M的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式及相切条件求解即可； （2）设，根据圆的性质，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，即，再利用向量垂直的坐标表示即可求解． 【详解】（1）由题知圆心，半径， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离，直线与圆相离，不符合题意； 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离，即， 整理得，解得或， 所以切线的方程为或． （2）设，圆心， 因为M弦的中点，所以， 又直线l过原点O，所以， ， ， 整理得， 所以M的轨迹方程为． 【变式9-2】已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程． (2)设点，为圆上的动点，点满足． （i）求点的轨迹方程； （ii）判断点的轨迹与圆的位置关系． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）外离 【分析】（1）借助待定系数法计算即可得； （2）（i）设出，则可得关系，再借助点在圆上代入计算即可得；（ii）计算两圆圆心距离与半径之和即可得. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 由题可知，解得， 所以圆的标准方程为； （2）（i）设点， 因为，所以， 即，所以， 又因为点在圆上，所以， 化简得， 即点的轨迹方程为； （ii）点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 圆的圆心为，半径为2， 因为， 所以两个圆外离． 1．已知直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的一般式方程整理为标准方程，确定其圆心及半径，使圆心到直线的距离小于半径即可. 【详解】圆的方程可整理为：， 因此圆心，半径. 因为直线与圆相交，故圆心到直线的距离， 得，即. 故选：C. 2．直线过点且与以点为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是________． 【答案】 【分析】根据图象得到当直线在和之间旋转时，直线与线段恒相交，然后根据直线和的斜率求范围即可. 【详解】 由题意得当直线在和之间旋转时，直线与线段恒相交， ，，所以. 故答案为：. 3．根据下列条件分别写出直线的一般式方程： (1)斜率是，且经过点； (2)与直线垂直，且在轴上的截距为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出所求直线的点斜式方程，化为一般式方程即可； （2）根据两直线垂直得出所求直线的斜率，可得出所求直线的斜截式方程，再化为一般式方程即可. 【详解】（1）由点斜式，该直线的方程为，即， 故该直线的一般式方程为. （2）直线的斜率为，因为所求直线与它垂直，所以所求直线斜率为， 因此所求直线方程为，化为一般式方程可得， 故所求直线的一般式方程为. 4．已知直线经过点，圆. (1)若圆关于直线对称，求直线的方程； (2)若直线平行于直线，求直线关于点的对称直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆的对称性可知，直线l过圆心，结合直线的斜率公式及点斜式方程即可求得结果. （2）由两直线平行可得直线l的方程，求出点关于点对称的点，由直线l与直线关于点对称可得，再结合直线的点斜式方程求解即可. 【详解】（1）由可得圆的圆心，半径， 因为圆关于直线l对称，所以直线l过圆心， 又直线l过点，所以直线l斜率为， 由点斜式方程可得，即. 故直线l方程为. （2）由题意知，直线l斜率为，则由点斜式方程可得，即， 因为直线l与直线关于点对称，所以， 又因为点关于点对称的点，直线过点， 则由点斜式方程可得，即. 故直线方程为. 5．已知圆，点． (1)求过点P的圆的切线方程； (2)若直线l过点P且与直线平行，求直线l被圆C所截得的弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先判断点与圆的位置关系，再根据切线的性质，求圆的切线方程； （2）首先求直线的方程，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】（1）圆，圆心为，点在圆上， ，故切线所在直线斜率为， 所求切线方程为，即， （2）直线l的斜率为1， 过点，它的直线方程为， 圆心C到直线的距离为， 所以直线l被圆C所截得的半弦长为， 即直线l被圆C所截得的弦长为. 6．已知圆：，直线：. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)若，过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积的最小值及此时点的坐标， 【答案】(1)或 (2)， 【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可， （2）当时，直线的方程为，而四边形的面积，由圆的性质可得当最小时，切线长最短，此时，求出直线的方程，联立两直线方程可得点的坐标. 【详解】（1）由已知，圆心到直线：的距离等于半径， 即. 解得：或. （2）当时，直线的方程为，四边形的面积 ∵为直角三角形， 当最小时，切线长最短，显然当时， ∴ 四边形的面积最小值为. 此时，，， ∴直线：，即. 由，解得，即. 7．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)若点的轨迹为曲线，已知直线的方程为，请判断直线与曲线的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)； (2)相离，理由如下： 由（1）知圆心，且半径， 所以圆心到的距离， 所以直线与曲线相离. 【分析】（1）设，根据已知得，又在圆上运动，代入求轨迹方程； （2）写出圆的圆心和半径，利用点线距离公式求圆心与直线距离并判断其与半径大小，即可判断位置关系. 【详解】（1）令为线段的中点，又，则， 又在圆上运动，故， 所以，故点的轨迹方程为. （2）略 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $