3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时）（教学设计）数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦椭圆范围、对称性、顶点、离心率四大几何性质，通过天文望远镜镜面设计、地铁隧道截面等真实情境导入，衔接椭圆标准方程，构建“代数方程→几何性质→曲线图形”认知模型，为后续圆锥曲线学习提供方法支架。 以GeoGebra动态演示离心率变化，直观突破抽象难点，引导学生类比推导焦点在y轴的椭圆性质，培养数学思维与推理能力。分层练习兼顾基础与提升，助力学生深化数形结合意识，为教师提供清晰教学流程与实用资源，有效落实数学核心素养。

3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时） 教学设计 教学内容 本节课为人教A版（2019）选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》中3.1.2《椭圆的简单几何性质》的第1课时。核心教学内容为：以椭圆标准方程为载体，运用坐标法、代数运算探究椭圆的范围、对称性、顶点、离心率四大简单几何性质；先推导焦点在x轴上的椭圆性质，再通过类比迁移得到焦点在y轴上的椭圆性质，构建“代数方程→几何性质→曲线图形”的解析几何核心认知模型。 本节课是椭圆定义与标准方程的延伸与深化，是学生首次系统掌握圆锥曲线性质的探究范式，不仅能解决椭圆基础求值、定方程、判形状等问题，更为后续椭圆综合应用、双曲线与抛物线几何性质的学习提供通用方法论，是本章解析几何思维落地的关键课时。 内容解析 本节课以椭圆标准方程为起点，聚焦范围、对称性、顶点三大核心性质，形成 “方程推导性质” 的逻辑链.先以焦点在 x 轴的标准方程为样本，用代数方法（不等式、方程代换）推导几何性质，再类比迁移到焦点在 y 轴的情况，符合 “特殊到一般” 的认知规律，且紧密衔接上一课时的标准方程知识，构建完整知识体系.内容设计围绕 “理解性质推导过程、掌握性质内容、应用性质解决问题” 展开，兼顾知识掌握与能力培养，为后续学习椭圆离心率等其他性质及双曲线、抛物线性质奠定方法基础，体现循序渐进的教学原则.本课时教学内容以椭圆标准方程为基础，聚焦范围、对称性、顶点、离心率四大简单几何性质.教学中先以焦点在 x 轴的椭圆标准方程​为范例，通过不等式分析得出 “|x|≤a、|y|≤b” 的范围特征，用 - x 换 x、-y 换 y 的方程代换法验证椭圆关于 x 轴、y 轴及原点的对称性，再定义椭圆与坐标轴的交点为顶点，明确长轴（长 2a）、短轴（长 2b）及 a、b 的几何意义.随后引导学生类比推导焦点在 y 轴椭圆的对应性质，通过例题应用性质分析椭圆特征，搭配练习巩固知识，帮助学生建立 “方程→性质→图形” 的关联，掌握用代数方法研究几何性质的思路，为后续性质学习筑牢基础. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解椭圆范围、对称性、顶点、李欣略的推导过程，掌握性质内容并能应用分析椭圆特征. 教学目标 （1）根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质. （2）了解离心率对椭圆扁平程度的影响，培养数学运算的核心素养． （3）根据几何条件求出椭圆的方程，培养数学运算的核心素养． （4）掌握椭圆标准方程中的a，b以及c，e的几何意义及解决相关问题，a，b，c，e之间的相互关系，离心率的求法. 目标解析 （1）该目标以椭圆标准方程为依托，引导学生用代数方法探究几何性质.通过对焦点在 x 轴、y 轴的椭圆方程进行不等式分析、代换验证，推导范围、对称性、顶点等性质，建立 “方程→性质” 的关联，培养数形结合思想与逻辑推理能力. （2）此目标聚焦离心率与椭圆扁平程度的关系.学生需理解离心率 e=c/a 的定义，通过计算不同 e 值对应的椭圆形状，直观感知 e 越大椭圆越扁、e 越小椭圆越圆，在运算中深化对 e 的认知，落实数学运算核心素养. （3）该目标强调 “由几何条件求椭圆方程” 的逆向应用.学生需根据已知的范围、顶点、对称性等几何条件，确定椭圆焦点位置、a、b 的值，进而设出标准方程求解，在逆向推导中提升运算准确性与问题解决能力，强化数学运算素养. （4）此目标旨在梳理椭圆核心参数的关系.学生需明确 a（长半轴）、b（短半轴）、c（半焦距）、e（离心率）的几何意义，掌握 及 c²=a²-b² 的关联，能根据已知参数求离心率或其他参数，为综合应用椭圆性质奠定基础. 达成上述目标的标志是： 1. 能快速判断：给定方程 ，能迅速说出 、、、，以及范围 、，顶点坐标 、，焦点坐标 。 1. 能由性质求方程：已知椭圆长轴长为 ，离心率为 ，焦点在 轴上，能正确求出标准方程 。 1. 能理解离心率意义：能用自己的语言解释“ 越接近 ，椭圆越扁； 越接近 ，椭圆越圆”的原因。 1. 能独立完成类比迁移：能根据焦点在 轴上的椭圆性质，类比写出焦点在 轴上的椭圆性质表。 学生已学习椭圆定义与标准方程，能区分焦点在 x 轴、y 轴的方程形式，掌握两点间距离公式及基础代数运算，具备初步数形结合意识.但多数学生对 “从方程推导几何性质” 的思路不熟悉，对 a、b 的几何意义仅停留在数值层面，未与图形特征深度关联；部分学生代数变形（如不等式推导）能力较弱，对离心率概念尚无认知，为新知识学习埋下障碍.​ 教学中可能遇到的困难​ 困难一：难以理解 “从椭圆方程推导范围、对称性” 的逻辑，不会用代数方法分析几何特征.​ 解决方法：以焦点在 x 轴的方程为例，结合不等式性质分步推导范围，用 “代换 x 为 - x” 等具体操作演示对称性验证，搭配图形直观辅助理解.​ 困难二：混淆 a、b、c 的几何意义，无法将其与椭圆顶点、轴长关联，对离心率 e=c/a 的含义及与扁平程度的关系理解困难.​ 解决方法：通过椭圆图形标注 a、b、c 的位置，对比不同椭圆模型演示扁平程度变化，结合 e 的数值计算，让学生直观感知 e 与形状的关联.​ 困难三：由几何条件求椭圆方程时，难以根据性质确定焦点位置及 a、b 的值，运算易出错.​ 解决方法：先通过例题梳理 “性质→参数→方程” 的解题步骤，再设计分层练习，小组互助纠错，强化思路与运算准确性. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：难从椭圆方程推导几何性质，混淆 a、b、c 几何意义，难理解离心率与椭圆扁平程度的关系. 知识点　　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：(0，0) 顶点 (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0) 轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b；长半轴长＝a， 短半轴长＝b 焦点 (±c，0) (0，±c) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝(0<e<1)，e越接近1，椭圆越扁平，e越接近0，椭圆越接近于圆 [拓展]　对椭圆几何性质的挖掘 (1)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点(即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最小值为短半轴长b)，到中心距离最大的点是长轴的两个端点(即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值是长半轴长a)． (2)椭圆上到焦点距离最大的点(称为“远日点”)和最小的点(称为“近日点”)是长轴的两个端点，最大距离为a＋c，最小距离为a－c. (3)如图所示，设椭圆的中心为O，其中一个焦点为F1，B1是短轴的一个端点，则|B1F1|＝a，e＝cos∠OF1B1. 课堂导入1：天文望远镜——镜面设计的椭圆特性 某大型天文望远镜的主镜面设计成椭圆形，镜面边界所在椭圆的长轴长为 米，短轴长为 米。工程师需要在镜面边缘安装四个固定支架，分别位于镜面与对称轴的交点处。 问题1：这四个固定支架的位置（顶点）离镜面中心有多远？镜面上离中心最远的点和最近的点分别在哪里？ 问题2：如果镜面的“扁平程度”（离心率）发生变化，对聚焦效果有何影响？设计时如何控制镜面的扁平程度？ 【设计意图】将椭圆的“顶点” “范围” “离心率”等几何性质融入天文望远镜设计的真实情境，引导学生从具体数据中抽象出椭圆的几何特征，理解 、 与图形形状的对应关系。 课堂导入2：城市地铁——椭圆形隧道截面与盾构机 某城市地铁隧道采用椭圆形截面设计，隧道截面在平面直角坐标系中的标准方程为 （单位：米）。盾构机在挖掘隧道时，需要精确控制挖掘边界。 问题1：隧道截面在水平方向和竖直方向的最大宽度分别是多少？即 和 的取值范围是什么？ 问题2：隧道截面的四个最外侧点（顶点）坐标分别是什么？如果隧道“扁平程度”（离心率）增大，对盾构机的挖掘精度要求会有什么影响？ 【设计意图】将椭圆的“范围”和“顶点”性质融入地铁隧道工程情境，让学生体会“椭圆范围”在实际工程中的直接对应（水平宽度、竖直高度），离心率的变化则关联施工难度，增强数学的实用感知。 新知探究 一、范围 观察：观察椭圆的形状，你能否从椭圆图上看出椭圆上的点横坐标x的取值范围吗？纵坐标y呢？ 学生：尝试着观察椭圆的图，与同桌讨论分析. 预设：观察右图，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，因此横坐标和纵坐标的取值都在某个关于原点对称的闭区间内 追问：如何利用椭圆方程求出这两个闭区间？ 学生：从椭圆方程入手，借助，可建立不等式，从而可以求出对应的两个闭区间. 预设：由方程，可知，所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式即，． 要求：教师要求学生利用以上相同的方法，求出纵坐标y的取值范围 学生：开始学以致用，尝试求出y的取值范围. 预设：同理有，即． 师生：共同归纳总结，得出结论. 以上即为椭圆第一个简单几何特征：范围，椭圆位于直线，围成的矩形框里. 二、对称性 观察：观察椭圆的形状，你能否从椭圆图上看出椭圆的对称性？ 学生：尝试着观察椭圆的图，与同桌讨论分析. 预设：观察右图，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. 追问：如何利用椭圆方程说明椭圆的对称性？ 学生：思考并尝试着从椭圆方程入手去说明对称性. 预设：以代，方程不变．这说明当点在椭圆上时，它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称． 要求：利用以上相同的方法，说明椭圆是关于y轴对称的 学生：进行知识迁移，灵活运用以上相同的方法，说明椭圆是关于y轴对称的. 预设：以代，方程也不变，这说明如果点在椭圆上，那么它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称． 追问：利用以上相同的方法，说明椭圆是关于原点中心对称 学生：继续用以上相同的方法进行说明. 预设：以代，以代，方程也不变，这说明当点在椭圆上时，它关于原点对称点也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称． 师生：共同归纳总结，得出结论：椭圆的第二个简单几何性质：对称性. 椭圆关于轴、轴都是对称的．这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 三、顶点 观察：观察椭圆的形状，有哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？ 学生：尝试着观察椭圆的图，与同桌讨论分析. 预设：观察右图，容易看出椭圆与坐标轴的四个交点比较特殊.研究曲线上这些特殊点的位置，可以确定曲线的位置． 追问：如何利用椭圆方程求得这些特殊点的坐标？ 学生：借助求直线与坐标轴交点的方法，得出四个特殊点的坐标 预设：在椭圆的标准方程中，令，得．因此，是椭圆与 轴的两个交点． 要求：利用以上相同的方法，求得椭圆与x轴两个交点坐标 学生：学以致用，求出坐标 预设：令，得．因此，是椭圆与轴的两个交点． 师生：共同归纳总结，得出结论：椭圆的第三个简单几何性质：顶点. 因为轴、轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点. 两个概念：如图，线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 四、离心率 思考：观察右图，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同． 观察：观察动画演示，我们也发现，c与a比值的椭圆的扁平程度不． 教师：通过Geogebra软件进行演示. 学生：通过教师借助信息技术的动态化演示，学生得出结论. 预设：通过动画演示我们发现：保持长半轴长a不变，改变椭圆的半焦距c，可以发现，c越接近a，椭圆越扁平．类似地，保持c不变，改变a的大小，则a越接近c，椭圆越扁平；而当a，c扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变这样， 结论：利用和这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度． 新概念：我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用表示，即． 师生：共同归纳总结，得出结论：椭圆的第四个简单几何性质：离心率. ①随着学习的深入你将体会到，虽然也能刻画椭圆的扁平程度，但中，是确定圆锥曲线的基本量，不仅能有效刻画两个焦点离开中心的程度，而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性． 师生：共同讨论与辨析离心率 预设：因为，所以．越接近1，越接近，就越小，因此椭圆越扁平；反之，越接近0，越接近0，越接近，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为． 思考：你能运用三角函数的知识解释，为什么越大，椭圆越扁平？越小，椭圆越接近于圆吗？ 学生：思考并进行小组讨论，得出结论，并分享自己的结论 预设： 要求：类比焦点在x轴上椭圆几何性质，得到焦点在y轴上的椭圆的简单几何性质 学生：结合椭圆的图，进行类比学习并完成表格 例4 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：把原方程化成标准方程，得 ， 于是，，． 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率， 两个焦点坐标分别是和， 四个顶点坐标分别是，，和． 方法总结：利用椭圆的方程求a,b,c,e，顶点坐标，长轴长、短轴长 第1步：将椭圆的方程改写成椭圆的标准形式 第2步：确定椭圆焦点位置 第3步：由标准方程，求出a,b,c,的值 第4步：根据离心率，顶点，长轴，短轴的定义求出对应值即可 题型一：根据椭圆的方程求a,b,c值及相关量 例题 求椭圆的长轴与短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标. 预设：把原方程化成标准方程，得 ， 于是，，． 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率， 两个焦点坐标分别是和， 四个顶点坐标分别是，，和． 题型二：根据几何条件求出椭圆的方程 例题（1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点，求椭圆的标准方程. 预设：（1）由题意知，且焦点坐标分别为，.由，得，可得，所以. 又焦点在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为. 方法总结：待定系数法 待定系数法求a,b,c的值：根据题意建立关于a,b,c的方程组，解方程即可求得椭圆的标准方程. (2) 经过两点和，求椭圆的标准方程. 预设：（2）设椭圆的方程为（，，）.将两点的坐标代入方程， 得，解得，故所求椭圆的标准方程为. 方法总结：巧设椭圆方程为：根据题意建立关于m,n的方程组，解方程即可求得椭圆的方程，再将椭圆方程标准化处理. 题型三：根据椭圆的有界性求范围或最值 例题 (1)已知点是椭圆上一点，求点P到点的距离的取值范围． 预设：因为点是椭圆上一点，所以， 又，，所以，， 设，，则， 所以函数在区间上单调递减，所以，， 所以，所以函数点P到点的距离的取值范围. (2)已知 P ( m, n) 是椭圆上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 预设：因为P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点，所以， 且，则，则，因为，所以， 所以，即. 故选：B. 方法总结：首先将所求式子进行消元处理，由多元变为一元，结合函数的性质，以及椭圆的有界性，即可求得所求式子的范围或最值. 题型四：求椭圆的离心率或离心率的范围 例题（1）已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 预设：，， ，即， 整理得，即， 等号两边同时除以得，即， 求得，，， 故选：B. （2）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（ ） A． B． C． D． 预设：当点位于短轴的端点时，最大，要使椭圆上存在一点P满足，只要最大时大于等于即可， 即当点位于短轴的端点时，，所以， 又椭圆的离心率，所以椭圆的离心率的范围是. 故选：D. 方法总结： 求离心率的方法： 方法①：定义法：根据题意求出的值，然后利用公式即可求解； 方法②：齐次式法，根据题意建立关于或，的齐次方程式，然后构造离心率的方程，从而得解. 求离心率范围的方法： 齐次式法，根据题意建立关于或，的齐次不等式，然后构造离心率的，从而得解. 1.（25-26高二下·吉林长春·期中）已知椭圆，则其焦距为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距 【详解】由可得椭圆焦点在轴上，且， 则，则其焦距为.故选：D. 2.（25-26高二上·河南商丘·期末）椭圆C：的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由题知，，所以，所以C的焦点坐标为. 故选：B. 3.（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知A，B 分别为椭圆的右、上顶点，若的中点坐标为，则 C 的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的顶点坐标 【分析】由椭圆方程求出点的坐标，进而求得，代回椭圆方程并求得焦点坐标. 【详解】因为分别为椭圆的右顶点和上顶点，则， 令，得，故，令，得，故， 又的中点坐标为，所以，解得， 所以椭圆方程为，所以，则，所以椭圆的焦点坐标为. 故选：B. 4.（25-26高二上·北京通州·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点，若为等腰直角三角形，则椭圆的长轴长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【知识点】求椭圆的顶点坐标、求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据椭圆的关系、椭圆性质及图形关系计算求解即可. 【详解】因为椭圆上顶点，所以，因为为等腰直角三角形，所以，因为，所以椭圆的长轴长. 故选：D 5.（25-26高二下·陕西商洛·期末）椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的长轴、短轴 【详解】由椭圆方程知，故短轴长为.故选：B. 6.（25-26高二下·河南新乡·期中）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则长轴长为（    ） A． B．12 C． D．24 【答案】A 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、根据离心率求椭圆的标准方程 【详解】因椭圆的焦点在轴上，则且， 则，即，解得，所以椭圆的长轴长为．故选：A. 7.（26-27高三上·湖南·阶段检测）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】代入离心率公式即可计算. 【详解】由离心率公式得：.故选：D. 8.（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则的一个顶点与两个焦点构成的三角形是（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰非直角三角形 D．直角非等腰三角形 【答案】B 【知识点】求椭圆的顶点坐标、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】根据椭圆离心率及即可得出判断． 【详解】由椭圆离心率为，则，， 所以，，所以的一个顶点与两个焦点构成的三角形是等腰直角三角形，故选：B． 9.（24-25高二上·陕西汉中·期中）若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点和椭圆的位置关系 【分析】根据点在椭圆内求解可得. 【详解】由题意可知，点在椭圆内，所以，解得或.故选：D 10.（25-26高二下·重庆·阶段检测）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【详解】对A，其离心率为，对B，其离心率为，对C，其离心率为，对D，其离心率为，根据离心率越小，其越接近于圆，则最小，其形状最接近于圆，则A选项符合题意.故选：A. 1.（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程 【详解】由条件知，所以，，则， 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或.故选：C. 2.（2026·安徽·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】根据离心率建立等量关系即可求出. 【详解】由题知椭圆焦点在轴上，所以， 因为，所以，即， 解得，所以.故选：C. 3.（2026·湖北·三模）已知椭圆（）的离心率为e，点在C上，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】将点坐标代入椭圆方程，根据的关系及离心率公式，整理化简，即可得答案. 【详解】由点在C上，得，则， 所以，则，所以，则.故选：A. 4.（2026·重庆·一模）已知椭圆的离心率，则其焦距为（    ） A．1 B． C．2 D．2 【答案】C 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距、相同离心率的椭圆的方程 【分析】由题意列关于方程组求出c，即可由焦距定义求解. 【详解】由题意可得， 所以椭圆焦距为. 故选：C 作业1：完成教材：第112页 练习1,2,3,4,5. 作业2：配套辅导资料对应的《椭圆的简单几何性质 第1课时》.  3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时） 1. 范围： 2. 对称性：对称轴： ，对称中心： 3. 顶点： 4. 离心率 5. 例题区：（学生板演区域） 本节课围绕椭圆范围、对称性、顶点及离心率展开教学，整体达成预设目标：通过情境引入类比直线斜率，成功激发学生对离心率的探究兴趣；推导范围与对称性时，结合方程分步引导，多数学生能理解代数方法与几何特征的关联.但存在不足：一是部分学生对 a、b、c 与椭圆图形的对应关系仍模糊，虽通过图形标注讲解，仍有少数人混淆轴长与参数的关系；二是离心率与扁平程度的关联，仅靠数值举例不够直观，学生理解较浅；三是由几何条件求方程的练习时间不足，部分学生解题思路不清晰.后续教学中，需增加椭圆模型实物观察，用动态演示呈现离心率变化，优化练习时间分配，同时加强对学困生的个别辅导，提升教学效果. 学科网（北京）股份有限公司 $