第二章直线和圆的方程重难点（一）：直线和圆的最值问题-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线和圆的最值问题”核心知识点，系统梳理最短弦长、圆上动点到直线距离、参数方程应用等9类题型，以公式结论、方法技巧为学习支架，衔接直线与圆位置关系等基础内容，构建完整知识脉络。 该资料通过“题型分类+方法提炼+例题练习”设计，融合几何直观与代数转化，如最短弦长问题用圆心距公式体现数学眼光，参数方程转化三角最值培养数学思维，助力学生发展逻辑推理与数学表达能力。课中辅助教师分层教学，课后检测帮助学生查漏补缺。

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【直线和圆的方程重难点（一）：直线和圆的最值问题】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：最短弦长问题】 【练方法】 公式结论 过圆内一点的弦： 最长弦=直径2r 最短弦长： 方法技巧 1.最短弦满足：弦（圆心与定点连线） 2.适用条件：点在圆内部 3.解题步骤：先算圆心到定点距离|CP|，直接代入公式 （25-26高二下·安徽宣城·期末）过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________．经典例题1例题 （2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ）小试牛刀1 A．1 B．2 C．4 D．2 （2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·安徽合肥·模拟预测）圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______．小试牛刀3 【题型2：圆上的动点到到至直线的最值问题】 【练方法】 公式结论 圆心到直线距离为 圆上点到直线距离： 方法技巧 1.过圆心作直线垂线，与圆交点即为取得最值的动点 2.直线与圆相交：最小距离；直线相离：最小距离 3.易错：区分“圆上点到直线”≠“圆心到直线” （25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ）经典例题1例题 A．2 B．3 C．5 D．6 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____小试牛刀1 （2026·河南周口·模拟预测）已知点到点的距离为，则的最小值是（    ）小试牛刀2 A．4 B．5 C．6 D．7 （25-26高一下·四川德阳·阶段检测）已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为（    ）小试牛刀3 A．3 B．5 C．7 D．9 【题型3：利用圆的参数方程解决距离最值问题】 【练方法】 公式结论 圆参数方程 距离|PQ|转化为含三角函数，利用求范围 方法技巧 1.圆上动点优先参数化，把二元最值变为一元三角最值 2.辅助角公式统一处理三角函数 3.适合求动点到定点距离、线性代数式最值 线” （25-26高二上·江西上饶·期末）（1）已知动直线：，圆C：，求直线与圆C相交的最短弦长；经典例题1例题 （2）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线：上，是圆C上任意一点，求的取值范围. （25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知且，则的最大值为（   ）小试牛刀1 A．5 B． C．7 D． （25-26高二上·福建莆田·期中）已知点．小试牛刀2 (1)求的外接圆的标准方程； (2)已知为圆上的动点，求的取值范围． （25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切.小试牛刀3 (1)求圆的标准方程； (2)若是圆上任意一点，求的取值范围； (3)求的范围. 【题型4：与斜率有关的代数式最值问题】 【练方法】 公式结论 表示圆上动点与定点连线斜率 设过直线，直线与圆有公共点满足圆心到直线距离，解不等式得到范围 方法技巧 1.几何意义：定点向圆作两条切线，切线斜率即为最值边界 2.定点在圆内：斜率可取全体实数 3.定点在圆外：两条切线斜率为上下界；留意斜率不存在情形 （25-26高二下·上海黄浦·期中）已知实数a、b满足方程的点，则的取值范围是______经典例题1例题 （25-26高三下·重庆渝中·阶段检测）函数的值域是_______．小试牛刀1 （25-26高二上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离的平方和为10，则的取值范围为__________．小试牛刀2 已知实数满足，则的取值范围_______.小试牛刀3 【题型5：与距离有关的代数式最值问题】 【练方法】 公式结论 1.：圆上点到定点距离 设圆心， 2.：距离平方，最值为 方法技巧 1.优先几何意义，避免代数暴力联立 2.先判断定点在圆内/圆上/圆外 3.多个距离和差模型结合三角形三边关系 （2026高二·全国·专题练习）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为_______________ .经典例题1例题 （2026高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的取值范围是______．小试牛刀1 （2026·河南洛阳·模拟预测）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为__________.小试牛刀2 （25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，已知x，y满足，则的取值范围为____.小试牛刀3 【题型6：与切点弦有关的距离最值或面积最值问题】 【练方法】 公式结论 外点引圆切线，切点弦AB 设圆心， 切线长： 三角形PAB面积： 弦长 方法技巧 1.切点弦直线方程：圆，外点，切点弦 2.面积最值常转化为关于的函数求值域 3.利用垂直关系简化计算 （25-26高二上·河北沧州·期中）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形的面积的最小值为______，直线过定点______.经典例题1例题 （24-25高二上·四川攀枝花·期中）已知，直线，P为l上的动点.过点P作的切线，，切点分别为A，B，当四边形的面积最小时，直线AB的方程为__________.小试牛刀1 （24-25高二上·江西宜春·阶段检测）已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，的中点为Q，若点T的坐标为，则的最小值为______.小试牛刀2 （25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为______.小试牛刀3 【题型7：直线外一点与圆上两点的角的存在性问题】 【练方法】 公式结论 定点，过作圆两条切线，切线夹角 圆上任意两点与形成的角 方法技巧 1.最大角出现在两条切线位置 2.题目要求存在满足角度的点目标角最大切线夹角 3.正弦、余弦刻画角度边界，结合三角函数单调性 （2026·山东聊城·一模）已知圆，若直线上存在唯一点P，使得过点P作圆C的两条切线相互垂直，则（    ）经典例题1例题 A． B．1 C． D．2 （2026·重庆北碚·模拟预测）若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·湖南衡阳·二模）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·广东汕尾·期末）过点与圆相切的两条切线的夹角为，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型8：直线与圆中的数量积的取值范围问题】 【练方法】 公式结论 向量常用恒等变形： （极化恒等式，中点） 若为圆上动点，结合代换求范围 方法技巧 1.优先极化恒等式，大幅简化运算 2.固定一个点，另一个点在圆上运动时，转化距离模型 3.两个动点都在圆上：设参数方程或几何距离模型 （25-26高一下·北京·期末）在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（   ）.经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·河南许昌·期末）已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（     ）小试牛刀1 A． B． C． D．3 （2026·江西赣州·一模）（多选）已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ）小试牛刀2 A．圆上的点到直线的最大距离为 B．四边形面积的最小值为4 C．的最小值为8 D．当点坐标为时，直线的方程为 （2025高三上·贵州贵阳·专题练习）（多选）过坐标原点的直线与圆交于不同的两点，为坐标原点，则（   ）小试牛刀3 A．线段中点的轨迹为圆 B．的取值范围为 C． D．若直线的斜率为2，则 【题型9：直线上的点到圆上的点距离为定值的个数问题】 【练方法】 公式结论 直线上动点，圆圆心半径，设（圆心到直线距离） 要求存在圆上点满足 即：以直线上为圆心、为半径的圆与定圆有交点 两圆有公共点条件： 方法技巧 1.转化为动圆（圆心在定直线）与定圆位置关系 2.先求|PC|取值范围 3.结合区间交集判断解的个数 4.画图辅助：临界位置对应相切，区分0/1/2个点 （24-25高二下·云南昆明·阶段检测）若圆上至少有 个点到直线的距离等于 ，则半径的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一下·重庆·期中）若曲线上存在两点到直线的距离为2，则的取值范围为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·河北·模拟预测）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则直线l斜率的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·云南红河·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·浙江·期中）已知是圆上的动点，，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 3．（25-26高二下·湖北·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南长沙·三模）已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（    ） A．24 B．12 C．10 D．5 5．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段MN中点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·山东济宁·期末）已知直线，直线相交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．8 D．18 8．（25-26高二上·江苏南通·期末）若实数满足，则的最大值是（   ） A． B．0 C． D． 9．（25-26高三下·山东·阶段检测）直线与圆交于，两点，且的面积为2，已知是圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·北京·期中）已知直线与曲线交于两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知点在曲线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 二、多选题 13．（2026·山东东营·二模）已知点，圆，点在圆上运动，点满足，其中为坐标原点．则下列说法正确的是（   ） A． B．点的轨迹方程为 C．的取值范围是 D．点到直线距离的最小值为 14．（25-26高二下·云南·期中）已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（   ） A．圆心到直线的距离为 B．切线长的最小值为3 C．四边形PACB面积的最小值为 D．当最小时，弦所在的直线斜率为1 15．（2026·河南开封·模拟预测）已知直线，点，，，则（   ） A．点的集合是 B．点的集合是 C．点到直线的距离的取值范围是 D．点到直线的距离的取值范围是 三、填空题 16．（2026·天津和平·一模）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为___________． 17．（25-26高二下·上海·阶段检测）若实数满足，则的取值范围是______ 18．（2026·辽宁锦州·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，则的最大值为_________． 四、解答题 19．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知直线（），圆． (1)当时，判断直线与圆的位置关系，若直线与圆相交，求出弦长；若直线与圆相离，求圆上的点到直线距离的最值； (2)圆上恰有两个点到直线的距离为，求b的取值范围． 20．（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【直线和圆的方程重难点（一）：直线和圆的最值问题】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：最短弦长问题】 【练方法】 公式结论 过圆内一点的弦： 最长弦=直径2r 最短弦长： 方法技巧 1.最短弦满足：弦（圆心与定点连线） 2.适用条件：点在圆内部 3.解题步骤：先算圆心到定点距离|CP|，直接代入公式 （25-26高二下·安徽宣城·期末）过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________．经典例题1例题 【答案】 【分析】首先确定圆的圆心与半径，判断点P在圆内部，根据圆的几何性质：过圆内一点的最短弦为与过该点的半径垂直的弦，结合弦长公式计算最小值. 【详解】∵ 圆的方程为，∴ 圆心坐标为，半径. ∵ 点坐标为，∴ 圆心到点的距离，即点在圆内部. ∵ 过圆内一点的所有弦中，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，等于，此时弦长最短， ∴ 最短弦长. 【点睛】方法归纳：过圆内定点的弦长最值问题，最长弦为过该点的直径，长度等于；最短弦为与过该点的半径垂直的弦，弦长公式为（为圆心到定点的距离）. （2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ）小试牛刀1 A．1 B．2 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据直线过定点，结合弦长公式计算即可． 【详解】由可变形为，则该直线过定点， 又可变形为，该圆的圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，则， 所以当直线与直线垂直，即最大时，最小， 又的最大值为,所以， 故的最小值为． （2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解. 【详解】将直线 整理为 ， 令 ，得直线 恒过定点 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，故点 在圆 内. 设圆心 到直线 的距离为 ，弦长 . 要使 最小，需 取最大值. 当 时，， 此时 . （2026·安徽合肥·模拟预测）圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______．小试牛刀3 【答案】2 【分析】求出圆心到直线距离的范围，再由弦长、半径、圆心距之间的关系求解. 【详解】因为圆， 所以圆心为，半径， 所以圆心到直线：的距离 ， 因为，所以， 又， 所以当时，. 【题型2：圆上的动点到到至直线的最值问题】 【练方法】 公式结论 圆心到直线距离为 圆上点到直线距离： 方法技巧 1.过圆心作直线垂线，与圆交点即为取得最值的动点 2.直线与圆相交：最小距离；直线相离：最小距离 3.易错：区分“圆上点到直线”≠“圆心到直线” （25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ）经典例题1例题 A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值. 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____小试牛刀1 【答案】 【分析】根据题意，利用待定系数法，求得圆的标准方程，结合直线与圆的位置关系，以及圆的性质，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 可得，解得：， 所以圆的标准方程为. 又因为圆到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以的最小值为. （2026·河南周口·模拟预测）已知点到点的距离为，则的最小值是（    ）小试牛刀2 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】分别求出点P和点A的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】因为，所以点的轨迹方程为， 点的轨迹方程为. 因为圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 所以d的最小值是. （25-26高一下·四川德阳·阶段检测）已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为（    ）小试牛刀3 A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】求出直线所过定点，结合图形分析即可. 【详解】，可知直线过定点，设定点为. 将点代入圆方程，，所以点在圆外， 先固定，设圆心为，则，半径， 过点作直线的垂线，垂足为， 当与直线不垂直时，根据直角三角形的边长关系可知，， 所以当且仅当时，取得最大值，此时， 而点到点的最大值为（当点位于的延长线上时取到）， 所以最大值为. 【题型3：利用圆的参数方程解决距离最值问题】 【练方法】 公式结论 圆参数方程 距离|PQ|转化为含三角函数，利用求范围 方法技巧 1.圆上动点优先参数化，把二元最值变为一元三角最值 2.辅助角公式统一处理三角函数 3.适合求动点到定点距离、线性代数式最值 线” （25-26高二上·江西上饶·期末）（1）已知动直线：，圆C：，求直线与圆C相交的最短弦长；经典例题1例题 （2）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线：上，是圆C上任意一点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】(1)先确定动直线所过的定点，再利用 “圆心到直线的距离最大时弦长最短” 的性质，结合弦长公式求出最短弦长. (2)先通过垂直平分线与已知直线的交点确定圆心，再计算半径得到圆的方程，最后用参数方程或几何方法求出的取值范围. 【详解】（1）直线可化为，所以直线经过直线与的交点，弦长公式为(为圆心到直线的距离)，因为是定值，所以弦长最短等价于最大，而直线恒过定点，圆心到直线的距离； 当且仅当时，圆心C到直线的距离最大，直线被圆C截得的弦长最短，最短弦长为. （2）设圆C的方程为，，因为圆心在直线上，所以， 又因为，代入，得：， 展开化简得，与方程联立， 解得，， 所以圆C的方程为， 若点在圆C上，则可设为，，其中， 所以， 则的取值范围是. （25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知且，则的最大值为（   ）小试牛刀1 A．5 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】先由（圆的方程），用三角换元将表示为三角函数形式，再代入，借助辅助角公式将其化简为单一三角函数的形式；最后借助三角函数的有界性（正弦函数最大值为1），求出表达式的最大值. 【详解】，是圆心在原点、半径的圆的方程， 设，将、代入， 得， 利用公式, 则， 因为的最大值为1， 所以的最大值为. 故选：B. （25-26高二上·福建莆田·期中）已知点．小试牛刀2 (1)求的外接圆的标准方程； (2)已知为圆上的动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程列方程组计算求解，再转化为圆的标准方程即可得到答案； （2）设圆的参数方程，利用辅助角公式进行化简，得到函数，求函数的最大值和最小值即可求解. 【详解】（1）设的外接圆的标准方程为， 则，解得，即 则的外接圆的标准方程为. （2）因为为圆上的动点，设（其中为参数，） 则， 所以当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的取值范围为. （25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切.小试牛刀3 (1)求圆的标准方程； (2)若是圆上任意一点，求的取值范围； (3)求的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设圆心为，根据条件建立方程为，求出，即可求解； （2）将问题转化成与距离的平方，再利用圆的性质，即可求解； （3）利用圆的参数方程，，结合条件，利用辅助角公式得，即可求解. 【详解】（1）设圆心为，由题有，解得， 所以圆的标准方程为. （2）因为表示与距离的平方， 由（1）知，则， 所以，则， 所以的取值范围为. （3）令， 则，其中， 所以. 【题型4：与斜率有关的代数式最值问题】 【练方法】 公式结论 表示圆上动点与定点连线斜率 设过直线，直线与圆有公共点满足圆心到直线距离，解不等式得到范围 方法技巧 1.几何意义：定点向圆作两条切线，切线斜率即为最值边界 2.定点在圆内：斜率可取全体实数 3.定点在圆外：两条切线斜率为上下界；留意斜率不存在情形 （25-26高二下·上海黄浦·期中）已知实数a、b满足方程的点，则的取值范围是______经典例题1例题 【答案】 【分析】首先确定点的轨迹，再根据斜率的几何意义，利用数形结合求取值范围. 【详解】由条件可知，，则点在以为圆心，半径为1的圆上， 表示圆上的点与定点连线的斜率， 如图，设过点的直线为， 当直线与圆有交点时，圆心到直线的距离，解得， 所以的取值范围是. （25-26高三下·重庆渝中·阶段检测）函数的值域是_______．小试牛刀1 【答案】 【分析】换元令，，可知表示点与定点连线的斜率，且点的轨迹为圆，根据图象结合直线与圆的位置关系运算求解. 【详解】因为，且，， 令，，则， 可知表示点与定点连线的斜率，且点的轨迹为圆， 注意到，，三点共线，此时斜率， 若直线与圆相切，显然此时斜率存在，且小于0， 设直线，即， 则，解得或（舍去）， 可得，所以函数的值域是. （25-26高二上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离的平方和为10，则的取值范围为__________．小试牛刀2 【答案】 【分析】先确定点的轨迹，再根据直线与圆的位置关系求的取值范围. 【详解】由题意：， 化简得：，是以为圆心，以为半径的圆. 设，则. 由直线与圆有公共点， 所以 . 两边平方得： . 所以的取值范围为：. 已知实数满足，则的取值范围_______.小试牛刀3 【答案】 【分析】令，得到，已知等式变形后得到圆方程，找出圆心和半径，根据直线和圆有公共点列式求解即可. 【详解】令，则，即 又方程可化为，表示圆心为，半径为的圆， 由题意可知圆与直线有公共点， 所以圆心到直线的距离，解得， 即的取值范围是， 故答案为：. 【题型5：与距离有关的代数式最值问题】 【练方法】 公式结论 1.：圆上点到定点距离 设圆心， 2.：距离平方，最值为 方法技巧 1.优先几何意义，避免代数暴力联立 2.先判断定点在圆内/圆上/圆外 3.多个距离和差模型结合三角形三边关系 （2026高二·全国·专题练习）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为_______________ .经典例题1例题 【答案】64 【分析】根据斜率关系确定点的轨迹，结合目标式的几何意义求解即可. 【详解】由题知：直线恒过定点. 直线化简为：， 当时，，直线恒过点. 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则. 当时，，，，则. 综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且. 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为， 且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径， 因为表示圆上的点到原点距离的平方，设， 则，所以的最大值为64. （2026高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的取值范围是______．小试牛刀1 【答案】 【详解】，记，表示上的点到直线上的距离， 如下图所示，的最大值、最小值分别在点，处取得，原点到直线的距离为， ，， ． （2026·河南洛阳·模拟预测）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为__________.小试牛刀2 【答案】 【分析】表示圆上的点到原点之间的距离，再结合点圆关系确定最值和范围即可求解. 【详解】由题意可得：圆：， 圆心，半径， 表示圆上的点到原点之间的距离， 因为， 所以原点在圆外， ， 所以，即， 即. （25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，已知x，y满足，则的取值范围为____.小试牛刀3 【答案】 【分析】根据方程确定圆心及半径，再利用定点到圆上的点的距离的范围即可求解． 【详解】可化为， 所以表示圆心为，半径为2的圆上的点. ， 所以的几何意义是圆上的点与的距离的平方减8， ， 所以， 所以． 【题型6：与切点弦有关的距离最值或面积最值问题】 【练方法】 公式结论 外点引圆切线，切点弦AB 设圆心， 切线长： 三角形PAB面积： 弦长 方法技巧 1.切点弦直线方程：圆，外点，切点弦 2.面积最值常转化为关于的函数求值域 3.利用垂直关系简化计算 （25-26高二上·河北沧州·期中）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形的面积的最小值为______，直线过定点______.经典例题1例题 【答案】 【分析】将四边形的面积的最小值问题转化为原点到直线的距离最小值可得；再通过构造四边形的外接圆，两圆的方程相减得公共直线的方程，进而判断过定点可得. 【详解】如图：    因为 ， 所以只有最小时，四边形的面积有最小值，由点到直线的距离可得， ，所以此时. 再设，则，因四边形在以为直径的圆上， 得圆的方程：，即， 与相减，得直线的方程为，，再由， 所以直线的方程为，，即， 令，得，所以直线过定点. 故答案为：；. （24-25高二上·四川攀枝花·期中）已知，直线，P为l上的动点.过点P作的切线，，切点分别为A，B，当四边形的面积最小时，直线AB的方程为__________.小试牛刀1 【答案】 【分析】借助切线长定理可得与全等，则可得，结合切线性质计算可得时四边形的面积最小，求出过、、、四点的圆的方程后与方程作差即可得直线AB的方程. 【详解】，则的圆心为，半径， 由，分别为的切线，则与全等， 故四边形的面积， 又， 又，故， 故，此时点于点，设， 有，解得，即， 由，故、、、四点共圆且为该圆直径， 则该圆圆心为，半径为，即该圆方程为， 即，又， 两圆作差得：，即， 故直线AB的方程为. 故答案为：. （24-25高二上·江西宜春·阶段检测）已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，的中点为Q，若点T的坐标为，则的最小值为______.小试牛刀2 【答案】 【分析】利用圆外一点引圆的切线对应切点弦直线方程的二级结论可确定直线过定点，结合垂径定理确定Q轨迹，数形结合计算即可. 【详解】圆心，半径， 设，则切点弦所在直线的方程为， 化简得：， 所以直线过定点， 如图，显然，所以点Q的轨迹是以为直径的圆， 其圆心为，， 因为，所以. 故答案为： （25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为______.小试牛刀3 【答案】 【分析】根据题设条件得到时，最小，从而得到的方程为，进而得到，即可求出结果. 【详解】由，得到，所以圆心，半径， 如图，， 所以四边形的面积， 所以当最小时，也最小，此时，， 故的方程为，即， 联立解得：，，即， 所以直线的方程为， 化简得：. 故答案为：. 【题型7：直线外一点与圆上两点的角的存在性问题】 【练方法】 公式结论 定点，过作圆两条切线，切线夹角 圆上任意两点与形成的角 方法技巧 1.最大角出现在两条切线位置 2.题目要求存在满足角度的点目标角最大切线夹角 3.正弦、余弦刻画角度边界，结合三角函数单调性 （2026·山东聊城·一模）已知圆，若直线上存在唯一点P，使得过点P作圆C的两条切线相互垂直，则（    ）经典例题1例题 A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据题目条件得到，从而得到方程，求出答案 【详解】圆，圆心，圆的半径． 若直线上存在唯一点，使得过点作圆的两条切线相互垂直， 由几何关系可知，此时，即， 即，解得或（舍）． （2026·重庆北碚·模拟预测）若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，只需到直线的距离小于或等于，再利用点到直线的距离公式列不等式求解． 【详解】解：圆，圆心为：，半径为， 当与圆相切，且直线时，最大， ∵在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得， ∴在直线上存在一点，使得到的距离等于， ∴只需到直线的距离小于或等于， 故，解得， （2026·湖南衡阳·二模）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的最大值，再由二倍角公式得出的最小值． 【详解】圆的圆心C的坐标为，半径为1． 因为PA，PB为圆C的切线，切点分别为A，B， 所以，，，， 所以，． 当时，取最小值，，此时取最大值， 又，函数在上单调递增，即取最大值，此时取最大值， 又，所以． （25-26高二上·广东汕尾·期末）过点与圆相切的两条切线的夹角为，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得圆心为，半径，设，切点分别为、，即可得到且，求出，再由二倍角公式计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径，设， 过点的圆的切线的切点分别为、，连接、、，    则且， 又，，所以， 所以. 故选：C 【题型8：直线与圆中的数量积的取值范围问题】 【练方法】 公式结论 向量常用恒等变形： （极化恒等式，中点） 若为圆上动点，结合代换求范围 方法技巧 1.优先极化恒等式，大幅简化运算 2.固定一个点，另一个点在圆上运动时，转化距离模型 3.两个动点都在圆上：设参数方程或几何距离模型 （25-26高一下·北京·期末）在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（   ）.经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求出，建立平面直角坐标系，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ，先求出的最大值，进而求出的最大值. 【详解】因为，，， 所以由余弦定理可得：，所以， 又因为，所以， 所以建立如图所示的平面直角坐标系，， 因为点为所在平面内的一个动点，且， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 取的中点，则， 而， 所以. （25-26高二下·河南许昌·期末）已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（     ）小试牛刀1 A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意是圆的切线，应用向量数量积的运算律及勾股定理，将问题化为 ，只需求的最小值，利用点线距离公式求出的最小值，即可得. 【详解】圆的圆心为，半径，即， 由，可知是圆的切线，为直角三角形 由，则， 由，求的最小值，即求的最小值， 而在直线上，的最小值为圆心到直线的距离， 的最小值为，即的最小值为. （2026·江西赣州·一模）（多选）已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ）小试牛刀2 A．圆上的点到直线的最大距离为 B．四边形面积的最小值为4 C．的最小值为8 D．当点坐标为时，直线的方程为 【答案】ABD 【分析】A计算圆心到直线的距离即可判断；B根据计算面积即可；C利用数量积的定义以及对勾函数的单调性判断；D求出以为直径的圆的方程，再求两圆的交线即可. 【详解】由题意得，，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最大距离为，故A正确； 因为， 所以四边形面积为， 当时，四边形面积的最小值，故B正确； 因为， 所以 因为在上单调递增，且， 所以当，即时取得最小值，最小值为，故C错误； 因为，所以以为直径的圆的方程为， 即， 则直线的方程为，故D正确. （2025高三上·贵州贵阳·专题练习）（多选）过坐标原点的直线与圆交于不同的两点，为坐标原点，则（   ）小试牛刀3 A．线段中点的轨迹为圆 B．的取值范围为 C． D．若直线的斜率为2，则 【答案】BC 【分析】由垂径定理知，且为定值，结合点在圆内得到线段中点的轨迹，判断A选项；设直线方程，联立方程组后整理方程，由韦达定理得到交点坐标与参数的关系式，然后列出并化简，由斜率的取值范围求得的取值范围，判断B选项；列出并代入值即可求得结果，判断C选项；由交点弦长公式求得，判断D选项. 【详解】点为中点，∴，且， ∴点在以为直径的圆上，由题意可知点在圆内， ∴线段中点的轨迹为圆的一部分.A选项错误； 设直线， 联立方程组，整理得， 设，则，， ∴， ∴， ∴ ， ∵，∴，当且仅当，取等号， ∴，B选项正确； ，∴，C选项正确； 当时，，D选项错误. 故选：BC. 【题型9：直线上的点到圆上的点距离为定值的个数问题】 【练方法】 公式结论 直线上动点，圆圆心半径，设（圆心到直线距离） 要求存在圆上点满足 即：以直线上为圆心、为半径的圆与定圆有交点 两圆有公共点条件： 方法技巧 1.转化为动圆（圆心在定直线）与定圆位置关系 2.先求|PC|取值范围 3.结合区间交集判断解的个数 4.画图辅助：临界位置对应相切，区分0/1/2个点 （24-25高二下·云南昆明·阶段检测）若圆上至少有 个点到直线的距离等于 ，则半径的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的方程为，圆心坐标为， 直线方程为，即， 圆心到直线的距离为 ， 因为圆上至少有3个点到直线的距离等于1， 所以圆的半径大于等于圆心到直线的距离与1的和，即， 即， 则半径的取值范围是. （25-26高一下·重庆·期中）若曲线上存在两点到直线的距离为2，则的取值范围为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得圆C的轨迹方程，根据点到直线距离公式，结合直线与圆的位置关系，数形结合，分析求解，即可得答案. 【详解】由，得， 即表示圆的上半部分（包含与轴交点）， 由圆心到直线的距离， 可得或， 若时，和半圆相切， 若时，和半圆相切， 当直线过点时，有，可得，此时， 当直线过点时，有，可得，此时， 结合图可知，要使曲线上存在两个点与直线的距离为2，且， 则直线必在的右下方， 所以直线到的距离大于2，到的距离小于等于2， 即与的距离，则， 与的距离，则， 所以. （2026·河北·模拟预测）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则直线l斜率的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线所过定点，再设出直线斜率，写出的方程，利用圆上到直线距离等于1的点有且仅有4个列出的不等式，求解的范围. 【详解】直线可化为，联立，解得，故直线l过定点. 设直线l的斜率为，则直线的方程为，即. 依题意，圆心到直线l的距离为，解得. （25-26高二上·云南红河·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合图象，需使，求解即得. 【详解】由知圆心为， 因圆心到直线的距离， 作出其图象如下，由图知，要使圆上有且仅有2个点到直线的距离为， 需使，解得． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·浙江·期中）已知是圆上的动点，，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】取线段的中点，可得，依题意即求的最小值，由图可知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时，最小，利用点到直线的距离公式与圆的弦长公式计算即得. 【详解】如图，取线段的中点，连接，则， 由图知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时， 点到直线的距离与点到直线的距离之差的绝对值取得最大值， 即的最小值为，故此时取得最小值为. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 3．（25-26高二下·湖北·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径． 将直线的方程整理为关于的式子：． 令，解得，即直线恒过定点．    由于恒过定点，故当时，直线被圆截得的弦最短． 计算． 最短弦长 4．（2026·湖南长沙·三模）已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（    ） A．24 B．12 C．10 D．5 【答案】A 【详解】求弦最小值，即求圆心到直线距离的最大值. 因为，所以在圆中， 所以， 因此. 5．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段MN中点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】圆：，即的圆心，半径， 由点为线段MN的中点，得，且， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而点在直线上， 则圆心到直线的距离，， 所以的最小值为3. 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出点是在圆的上半部分，以及表示点到直线距离的倍，利用点到直线的距离即可求解. 【详解】   由，得，即为圆的上半圆，圆心，半径为， 如图所示，取点，又因为表示点到直线距离的倍， 圆心到直线的距离， 即直线与圆相离，点到直线的距离， 所以的最小值为，最大值为， 所以的取值范围为，故B正确． 7．（25-26高二上·山东济宁·期末）已知直线，直线相交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．8 D．18 【答案】D 【分析】先由题设求出两条直线垂直及其所过的定点，进而求出点P的轨迹为圆，再将转化为圆上点到原点距离的平方即可分析求解. 【详解】因为，所以， 又直线：，则过定点， 直线：，则过定点， 因为且交于，所以， 所以点P的轨迹是圆心为AB中点、半径为 的圆， 所以点的轨迹方程为， 表示该圆上的点到原点的距离的平方， 又圆上点到原点的最大距离为， 所以的最大值为. 故选：D 8．（25-26高二上·江苏南通·期末）若实数满足，则的最大值是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】将代数式转化为单位圆上的点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切时斜率取最值，结合圆心到直线的距离公式列方程求解斜率最大值. 【详解】已知实数满足，即点在以原点为圆心，半径的单位圆上. 设，其几何意义为单位圆上任意一点与定点连线的斜率. 设直线的方程为，即 当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 可得，解得或； 结合图象可知的最大值为. 故选：D 9．（25-26高三下·山东·阶段检测）直线与圆交于，两点，且的面积为2，已知是圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标和半径，根据的面积可判断的形状，进而可求得圆心到直线的距离即弦长，根据向量的线性运算可将的最大值转化为圆上的点到弦中点距离的最大值问题. 【详解】由圆，即得 圆的圆心为，半径，取的中点D，则，如图： 因为的面积为2， 所以，解得， 所以， 所以为等腰直角三角形，所以， 所以 ， 所以当取得最大值时，取得最大值，， 所以的最大值为. 10．（25-26高一下·北京·期中）已知直线与曲线交于两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知直线，整理为，则直线恒过定点； 已知曲线，整理为，对称中心恰好为. 由于直线过双曲线中心，所以交点关于对称，即是中点. 根据向量中点性质，可知， 代入条件，得，即， 即动点的轨迹是以为圆心，半径的圆及其内部. 则原点到圆心的距离为：， 从而. 11．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知点在曲线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将曲线方程化为半圆，目标式转化为点到直线距离的5倍，利用圆心到直线的距离与半径的关系求出最小距离，再结合半圆端点求出最大距离，从而得到取值范围. 【详解】由，得，所以曲线是以点为圆心，2为半径的圆去掉轴下面的部分. 到直线的距离为，所以表示点到直线的距离的5倍. 又点到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值为； 过圆心作直线的垂线与半圆的交点中，远离直线的那个交点不在上半圆上，因此最大值只能出现在半圆端点， 所以当点与点重合时到直线0的距离最大，最大距离为，所以点到直线的距离的最大值为， 故的取值范围为. 12．（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】依题意设，根据数量积的坐标表示，辅助角公式，及正弦函数的性质即可求解． 【详解】依题意设，则，， 则 ，其中， 又，则， 所以的最大值为． 二、多选题 13．（2026·山东东营·二模）已知点，圆，点在圆上运动，点满足，其中为坐标原点．则下列说法正确的是（   ） A． B．点的轨迹方程为 C．的取值范围是 D．点到直线距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据向量的运算及共线性质判断A；设点的坐标，利用相关点法求解轨迹方程判断B，利用数量积的坐标运算和余弦函数的性质求解判断C；利用圆心到直线的距离求解判断D. 【详解】因为，所以，即，故A正确； 设，由已知且， 所以. 又点在圆上，得， 所以，故点轨迹为以为圆心，半径的圆，故B正确； 设，所以，     又，所以，故C错误； 因为圆心到直线距离为， 所以点到直线距离的最小值为，故D正确. 14．（25-26高二下·云南·期中）已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（   ） A．圆心到直线的距离为 B．切线长的最小值为3 C．四边形PACB面积的最小值为 D．当最小时，弦所在的直线斜率为1 【答案】ACD 【分析】本题先根据点到直线距离公式验证圆心到直线的距离，再利用切线长公式计算切线长的最小值，接着结合四边形面积与切线长的关系求面积最小值，最后依据两圆公共弦与连心线的垂直关系判断弦的斜率，逐一分析各选项得出结论． 【详解】 对于A，如图,圆：的圆心为，半径为2， 由题意可得，， 所以， 圆心到直线的距离为，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，， 所以四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，当最小时，，为以为直径的圆与圆的交线，，即平行于直线，所以斜率为1，D正确． 15．（2026·河南开封·模拟预测）已知直线，点，，，则（   ） A．点的集合是 B．点的集合是 C．点到直线的距离的取值范围是 D．点到直线的距离的取值范围是 【答案】BC 【详解】原点到直线的距离为：， 因此所有直线都是圆的切线. 题目要求对任意，，说明始终不在任何切线上， 即在圆内部，满足. 故A错误，B正确； 求到直线的距离范围：原点到该直线的距离为， 因为圆半径，则直线在圆外. 圆内点到直线的最小距离为， 最大距离为；又不包含圆边界，因此距离取值范围是，故C正确； 求到直线的距离范围： 原点到该直线的距离为 ， 因为圆半径，则直线穿过圆，圆内存在点落在直线上，点到直线距离可以取到， 因此距离范围是，不是，故D错误. 三、填空题 16．（2026·天津和平·一模）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】设到直线的距离为，由题意可得，再利用点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设到直线的距离为， 则有， 即，解得， 故实数的取值范围为. 17．（25-26高二下·上海·阶段检测）若实数满足，则的取值范围是______ 【答案】 【分析】将求的取值范围转化为直线与圆的位置关系问题，进而求解即可. 【详解】可化为，圆心坐标为，半径为. 令，即，则表示直线的纵截距，如图. 圆心到直线的距离为. 直线与圆有交点的条件为，即，解得， 所以的取值范围为. 18．（2026·辽宁锦州·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】先将圆的一般方程化为圆的标准方程得圆心的坐标，再求直线的定点坐标，设线段的中点为，得，进而得，最后利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】由圆得：，所以， 又直线，令，得，即，所以直线过定点， 设线段的中点为，所以， 所以. 四、解答题 19．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知直线（），圆． (1)当时，判断直线与圆的位置关系，若直线与圆相交，求出弦长；若直线与圆相离，求圆上的点到直线距离的最值； (2)圆上恰有两个点到直线的距离为，求b的取值范围． 【答案】(1)直线与圆相离，圆上点到直线距离最小值为，最大值为； (2) 【分析】（1）将圆方程化为标准式确定圆心、半径，利用点到直线距离公式判定位置关系并求解距离最值. （2）根据圆上恰有两个点到直线的距离为列不等式，由此求得的范围. 【详解】（1）将圆的方程配方化为标准形式， 可得圆心，半径. 当时，直线整理为， 圆心到直线的距离， 因为，因此，直线与圆相离. 圆上点到直线距离的最小值为， 最大值为. （2）直线整理为，圆心到直线的距离，由得. 圆上恰有两个点到直线距离为，因此，， 代入得，， 解得，所以的取值范围是. 20．（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，最大值为． 【分析】（1）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （2）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （3）解法一：通过的几何意义即可求解；解法二：令，，，通过三角函数求解的最值即可. 【详解】（1）已知原式可化为，它表示以为圆心，以为半径的圆，    设，则，直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时，解得或（舍去）， 所以的最大值为． （2）设，即直线，为直线在轴上的截距， 由图可知，当直线与圆切于点时，有最小值，此时圆心到直线的距离为半径， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为． （3）解法一：记，则，其中为圆上任一动点．易求， 由图可知，当点位于点时，最大；当点位于点时，最小． 因此所求的最大值为，最小值为， 即的最大值为，最小值为. 解法二：设为圆上任一动点，令，，， 则，其中， 由于，所以，所以， 即的最大值为，最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $