重难点专训02 三角函数零点与恒成立问题（专项训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以整体换元为核心，构建“换元-图像-最值”三阶解题体系，系统整合三角函数零点与恒成立问题的通法与变式，培养数学思维的推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法提炼|核心思路+3类技巧|整体换元转化、零点区间不等式、恒成立最值转化、临界验证|从换元基础到零点/恒成立应用，结合三角函数性质形成完整逻辑链| |题型通法|4类题型（各含典例+变式）|双变量转化、恒成立分离参数、存在性最值分析、零点图像定位|题型与方法一一对应，覆盖天津高考高频考法| |分层过关练|巩固10题+创新10题|阶梯式提升，融合参数综合题|从基础应用到创新拓展，强化知识迁移能力|

重难点专训02 三角函数零点与恒成立问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 双变量型 2 题型2 恒成立问题 3 题型3 存在成立问题 4 题型4 零点问题 5 重难专题分层过关练 7 巩固过关 7 创新提升 9 解题方法及技巧提炼 统一采用整体换元法，令(t=)，转化为基础正弦、余弦函数分析。零点问题，依据区间内零点个数，结合图像列出相位范围不等式，精准把控边界，重点区分开区间与闭区间端点取舍，谨防多算、漏算零点。恒成立问题核心思路：转化为最值问题，(f(x)≥0)恒成立等价于区间内最小值≥0，(f(x)≤0)等价于最大值≤0，可配合分离参数求解。天津考题常将两类题型融合参数()，优先利用三角函数有界性缩小讨论范围；选择题可用特值排除检验范围，大题求出参数区间后务必回代验证临界条件，避免边界出错。 三角函数含参零点、恒成立问题是天津高考高频重难点，多结合含(、) 的正弦、余弦复合型函数考查，整体难度中等偏上，核心解题思想统一为整体换元 + 图像约束 + 最值转化，是固定套路题型，掌握规律即可满分。 一、核心通用解题思路（所有题型通用） 所有三角函数复杂问题，第一步必须整体换元，令(t=)，将含参三角函数转化为最基础的 (y=sin t、y=cos t) 标准函数，彻底规避复杂解析式干扰。天津高考几乎所有零点、范围、恒成立考题，都需要通过换元把变量区间转化为 t 的区间，再利用基础三角函数图像与性质解题，这是解题的基础前提。 二、三角函数区间零点问题解题技巧 零点问题核心是限定换元后 t 的区间跨越的周期范围。已知函数在指定区间内有 n 个零点，需结合标准正弦、余弦函数一个周期内的零点分布规律，列出 t 的左右边界不等式。 解题关键有三点：第一，严格区分开区间、闭区间，端点能否取到直接决定零点个数，是天津高考高频易错点；第二，根据零点个数确定区间覆盖的最小、最大周期数，锁定的大致范围；第三，临界值必须代入图像验证，避免多零点、少零点的边界失误。同时要牢记，正弦函数零点在kπ，余弦函数零点在 (π/2+kπ)，精准定位零点位置。 三、三角函数含参恒成立问题解题技巧 恒成立问题核心口诀：恒成立转最值，有界性为核心。(f(x)≥ m) 恒成立，等价于函数在区间内最小值大于等于 m；(f(x)≤m) 恒成立，等价于函数最大值小于等于 m。 三角函数最值完全依赖换元后 t 的区间范围，结合函数单调性、周期性、有界性 ([-1,1]) 求解。简单题型可直接利用有界性秒杀；复杂含参题型优先分离参数，将参数单独置于不等式一侧，转化为求三角函数的最值，避免分类讨论。天津高考常结合区间单调性考查恒成立，需先判断换元后函数的增减区间，再确定最值点位。 四、易错与解题绝招 其一，零点问题切忌直接看 x 区间，必须转化为 t 区间，周期随变化，直接判断极易出错；其二，所有边界取值不能凭感觉，必须 “图像 + 不等式” 双重验证；其三，恒成立问题禁止忽略区间限制，三角函数最值不一定是±1，仅限完整周期区间，有限区间需精准判断最值位置。 整体而言，两类题型套路固定，只要坚守先换元、定区间、画简图、卡边界、验临界五步流程，即可解决天津高考所有三角函数零点与恒成立压轴小题。 题型通法及变式提升 题型1 双变量型 【典例1-1】（2026·山西晋城·三模）已知函数的最小正周期为，若存在，使得成立，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C．5 D．9 不等式恒成立问题的结论： （1），恒成立 ； （2），使得成立 ； （3），使得成立 . 【典例1-2】（2026·天津·模拟预测）已知函数（，），图象的两个相邻对称中心之间的距离为，且关于点对称，若关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实数根，，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·天津·一模）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合.当时，，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-2】（2026·天津·阶段检测）已知函数，，若，满足，则（    ） A． B． C． D． 题型2 恒成立问题 【典例2-1】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数，对任意的满足且恒成立，若在上单调递增，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 【典例2-2】（2026·河南开封·二模）设函数，若恒成立，且在上最大值与最小值的和为0，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【变式2-1】（2026·天津·开学考试）已知函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，且恒成立，给出下列结论： ①在区间上单调递减； ②在区间上有两个极值点； ③直线与的图象相切； ④在上的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为 其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（2025·湖南·一模）已知函数恒成立，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型3 存在成立问题 【典例3-1】（2026·天津红桥·开学考试）函数， 将其图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且函数的图象关于轴对称，若是使变换成立的最小正值，则（    ） A． B． C． D． 三角函数存在性问题核心用整体换元，令(t=)转化正余弦基础函数。存在x使不等式成立，等价于区间内函数最值满足条件：有解求(f(x)m)即最大值m，(f(x)m)即最小值m。含参优先分离参数，转化求函数值域。结合图像锁定t范围，区分存在与恒成立逻辑，切勿混淆最值条件，临界值代入检验，利用三角函数有界性简化计算。 【典例3-2】（2026·天津蓟州·模拟预测）已知是函数的最大值，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·四川成都·二模）若函数的定义域内存在，，使得成立，则称为“完整函数”.已知（）是上的“完整函数”，则的取值范围为________． 【变式3-2】（2026·天津滨海新区·阶段检测）已知，给出下列结论： ①若，且，则； ②存在，使得的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于轴对称； ③若，则在上单调递增； ④若在上恰有5个零点，则的取值范围为. 其中，所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型4 零点问题 【典例4-1】（2026·天津南开·阶段检测）已知函数的部分图象如下，关于函数，给出下列命题： ①的值为； ②函数的图象关于直线对称； ③若函数恰有4条对称轴和3个零点落在区间内，则实数的取值范围是； ④若方程且)在内至少有3个不同的实根，则实数的取值范围是． 其中真命题共有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 有关三角函数综合问题的求解策略:1.根据题意问题转化为三角函数的解析式和图像，然后再根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质. 2.熟练应用三角函数的图像与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质(如:单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解. 【典例4-2】（2026·全国·模拟预测）已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，函数在上的值域为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·天津西青·三模）数的部分图象如图所示，给出下列结论： ① ②在区间上单调递减 ③在区间上有且仅有个零点 ④把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象 其中所有正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·天津滨海新区·期末）已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，给出下列判断： ①. ②函数为偶函数. ③函数在区间上只有一个零点. ④函数在区间上的最大值为. 其中，判断正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津南开·模拟预测）设函数，若时，的最小值为，则（   ）． A．函数的周期为 B．将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为奇函数 C．当，的值域为 D．函数在区间上的零点个数共有6个 2．（2026·天津滨海新区·三模）若函数（，）在区间上单调递增，且，，则以下说法中正确的个数是（     ） ①； ②； ③函数是偶函数； ④若函数在区间内有个零点，则在此区间内有且只有个极大值点． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·天津红桥·期中）已知函数若时，的最小值为，则下列命题正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．当函数的值域为 C．函数在区间上的零点个数共有6个 D．函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为奇函数 4．（2026·天津河东·模拟预测）已知函数，为函数的零点，为函数图象的对称轴，且二者之间没有零点和对称轴，则函数在区间上的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，．若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B．(0，1) C． D． 6．（2026·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，若在上恰有两个零点，且其图象关于点和直线对称，当时，的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆·阶段检测）已知将向左平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·河南安阳·阶段检测）已知为上偶函数，且对时，都有成立，若则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·天津红桥·一模）将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移单位，得到函数的部分图象（如图所示）．对于，，且，若，都有成立，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C．在上单调递增 D．函数在的零点为，则 10．（2026·天津南开·二模）已知函数，给出下列结论： ①； ②将的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于原点对称； ③若，则； ④对，有成立. 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 创新提升 1．（2026·陕西咸阳·开学考试）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，均有成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津南开·阶段检测）已知函数将其图象向左平移个单位得到函数图象且函数为偶函数，若是使变换成立的最小正数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，若对任意实数x都成立，且函数在区间上单调，则的值为（    ） A． B． C． D．－ 4．（2026·江西赣州·模拟预测）在下列五个命题中，其中正确的个数为（    ） ①命题“，都有”的否定为“，有”； ②已知，，若与夹角为锐角，则的取值范围是； ③“”成立的一个充分不必要条件是“”； ④已知是一条直线，，是两个不同的平面，若，，则. ⑤函数的图像向左平移个单位后所得函数解析式为. A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2026·湖南长沙·阶段检测）已知函数，给出下列命题： ①，都有成立； ②存在常数恒有成立； ③的最大值为； ④在上是增函数. 以上命题中正确的为（    ） A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 6．（2026·天津南开·一模）已知，，若对，，使得成立，若在区间上的值域为，则实数的取值不可能是. A． B． C． D． 7．（2026·天津滨海新区·模拟预测）已知函数. (1)证明函数是奇函数，并判断函数的单调性（说明理由，不需要证明）； (2)若，使得成立，求实数a的取值范围； (3)是否存在正数使函数在上的最小值为k，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由. 8．已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)若对于任意都有成立，求实数的取值范围. 9．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知常数，若，，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·辽宁大连·模拟预测）设函数满足对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 三角函数零点与恒成立问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 双变量型 2 题型2 恒成立问题 5 题型3 存在成立问题 9 题型4 零点问题 12 重难专题分层过关练 17 巩固过关 17 创新提升 27 解题方法及技巧提炼 统一采用整体换元法，令(t=)，转化为基础正弦、余弦函数分析。零点问题，依据区间内零点个数，结合图像列出相位范围不等式，精准把控边界，重点区分开区间与闭区间端点取舍，谨防多算、漏算零点。恒成立问题核心思路：转化为最值问题，(f(x)≥0)恒成立等价于区间内最小值≥0，(f(x)≤0)等价于最大值≤0，可配合分离参数求解。天津考题常将两类题型融合参数()，优先利用三角函数有界性缩小讨论范围；选择题可用特值排除检验范围，大题求出参数区间后务必回代验证临界条件，避免边界出错。 三角函数含参零点、恒成立问题是天津高考高频重难点，多结合含(、) 的正弦、余弦复合型函数考查，整体难度中等偏上，核心解题思想统一为整体换元 + 图像约束 + 最值转化，是固定套路题型，掌握规律即可满分。 一、核心通用解题思路（所有题型通用） 所有三角函数复杂问题，第一步必须整体换元，令(t=)，将含参三角函数转化为最基础的 (y=sin t、y=cos t) 标准函数，彻底规避复杂解析式干扰。天津高考几乎所有零点、范围、恒成立考题，都需要通过换元把变量区间转化为 t 的区间，再利用基础三角函数图像与性质解题，这是解题的基础前提。 二、三角函数区间零点问题解题技巧 零点问题核心是限定换元后 t 的区间跨越的周期范围。已知函数在指定区间内有 n 个零点，需结合标准正弦、余弦函数一个周期内的零点分布规律，列出 t 的左右边界不等式。 解题关键有三点：第一，严格区分开区间、闭区间，端点能否取到直接决定零点个数，是天津高考高频易错点；第二，根据零点个数确定区间覆盖的最小、最大周期数，锁定的大致范围；第三，临界值必须代入图像验证，避免多零点、少零点的边界失误。同时要牢记，正弦函数零点在kπ，余弦函数零点在 (π/2+kπ)，精准定位零点位置。 三、三角函数含参恒成立问题解题技巧 恒成立问题核心口诀：恒成立转最值，有界性为核心。(f(x)≥ m) 恒成立，等价于函数在区间内最小值大于等于 m；(f(x)≤m) 恒成立，等价于函数最大值小于等于 m。 三角函数最值完全依赖换元后 t 的区间范围，结合函数单调性、周期性、有界性 ([-1,1]) 求解。简单题型可直接利用有界性秒杀；复杂含参题型优先分离参数，将参数单独置于不等式一侧，转化为求三角函数的最值，避免分类讨论。天津高考常结合区间单调性考查恒成立，需先判断换元后函数的增减区间，再确定最值点位。 四、易错与解题绝招 其一，零点问题切忌直接看 x 区间，必须转化为 t 区间，周期随变化，直接判断极易出错；其二，所有边界取值不能凭感觉，必须 “图像 + 不等式” 双重验证；其三，恒成立问题禁止忽略区间限制，三角函数最值不一定是±1，仅限完整周期区间，有限区间需精准判断最值位置。 整体而言，两类题型套路固定，只要坚守先换元、定区间、画简图、卡边界、验临界五步流程，即可解决天津高考所有三角函数零点与恒成立压轴小题。 题型通法及变式提升 题型1 双变量型 【典例1-1】（2026·山西晋城·三模）已知函数的最小正周期为，若存在，使得成立，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C．5 D．9 【答案】D 【分析】先根据正弦型函数的周期公式求得，可得，再根据正弦函数的性质求得时，，进而结合题设可得，进而求解即可. 【详解】，， ∵当时，，则， ， 若存在，使得成立， 只需，解得， 结合选项，实数的取值不可能是9． 不等式恒成立问题的结论： （1），恒成立 ； （2），使得成立 ； （3），使得成立 . 【典例1-2】（2026·天津·模拟预测）已知函数（，），图象的两个相邻对称中心之间的距离为，且关于点对称，若关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实数根，，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的解析式，换元，画出函数图象，数形结合得到的取值范围，并分两种情况，结合函数对称性得到方程，求出答案. 【详解】因为图象的两个相邻对称中心之间的距离为， 所以的最小正周期为， 又，所以，解得，故， 因为为函数的对称中心，所以， 所以，解得， 因为，所以只有满足要求，故， ，故， 画出在上的函数图象，如下： 有且只有两个不同的实数根， 则方程有且只有两个不同的实数根， 则与的图象仅有两个交点， 所以且， 若，则关于对称，，， 即，解得，， 若，则关于对称，，， 即，解得，， 则的所有可能取值构成的集合为. 【变式1-1】（2026·天津·一模）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合.当时，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得有周期，则可得，结合可得，再利用函数对称性，可得，代入计算即可得解. 【详解】将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合， 则有周期，则有，即， 又，故，即， 当时，，则在上单调递减， 由，则，即， 则. 【变式1-2】（2026·天津·阶段检测）已知函数，，若，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意与二倍角公式求出，即，再结合与图象的对称性求解即可. 【详解】令，得， 即，解得或． 若，则，， 与矛盾，故舍去，则， 结合，得，即， 由于，的最小正周期均为，故只需考虑区间即可，如图作出图象，    由于图象的一条对称轴为，则， 又由于图象的一个对称中心为，得到． 故选：D 题型2 恒成立问题 【典例2-1】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数，对任意的满足且恒成立，若在上单调递增，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由两个恒成立条件，确定的最小值点和最大值点，据此求出参数、，结合单调区间要求验证参数后，求目标区间内的最小值. 【详解】由题意知，对任意的，恒成立，说明是的最小值， 即，是的零点； 对任意的，恒成立，说明是的最大值，即是的最值点. 两点横坐标差为，零点对应的点到相邻最值点的距离为，则. 对，周期，得. 由得，故 ， 结合，得，. 验证单调性：，当时，则， 由于在单调递增，且，满足在该区间单调递增. 则当时，，在的最小值为， 因此. 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 【典例2-2】（2026·河南开封·二模）设函数，若恒成立，且在上最大值与最小值的和为0，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】利用正弦函数的性质结合已知条件求出的特征，再结合最大值与最小值的和为0的条件，求出的最小值． 【详解】，周期为， ，则是周期， ，即是正偶数， 当时，， 已知最大值与最小值的和为0， 最大值与最小值互为相反数， 若，区间，最大值为，最小值为1，和不为0； 若，区间，最大值为，最小值为，和不为0； 若，区间，最大值为，最小值为，和为0； 的最小值为6． 【变式2-1】（2026·天津·开学考试）已知函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，且恒成立，给出下列结论： ①在区间上单调递减； ②在区间上有两个极值点； ③直线与的图象相切； ④在上的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为 其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，得，得， 由恒成立，得当时，函数取得最值， 则，则，又， 所以，所以函数， 若，则， 因为在上不单调，所以在区间上不单调，①错误； 令， 故若，则在区间上有两个极值点为，②正确； ，设直线与的图象相切于点， 则或， 所以或， 当时，即切点为， 将切点代入直线得，则， 所以直线与的图象相切，切点为； 当时，即切点为， 将切点代入直线得，则整数无解，不成立； 综上直线与的图象相切于点，③正确. 函数的图象关于点对称， 对于函数，由，得， 则函数的图象关于点对称， 由，得， 在上，两函数图象有6个交点，两两关于点对称，设这6个交点的横坐标分别为，则，④正确． 【变式2-2】（2025·湖南·一模）已知函数恒成立，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，是函数的最大值，由正弦函数的图像与性质求解即可. 【详解】由题意得，是函数的最大值， ,得， ，又． 故选：A 题型3 存在成立问题 【典例3-1】（2026·天津红桥·开学考试）函数， 将其图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且函数的图象关于轴对称，若是使变换成立的最小正值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的图象变换及对称性求解得，，从而可求最小正值. 【详解】∵将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象， 又函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数， 由可得，，解得：，， 因为是使变换成立的最小正值，由时，可得． 故选：C． 三角函数存在性问题核心用整体换元，令(t=)转化正余弦基础函数。存在x使不等式成立，等价于区间内函数最值满足条件：有解求(f(x)m)即最大值m，(f(x)m)即最小值m。含参优先分离参数，转化求函数值域。结合图像锁定t范围，区分存在与恒成立逻辑，切勿混淆最值条件，临界值代入检验，利用三角函数有界性简化计算。 【典例3-2】（2026·天津蓟州·模拟预测）已知是函数的最大值，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换求出，再根据题意确定的最小值为函数的半个周期即可求解. 【详解】由题可得 ， 所以， 所以， 又因为存在实数使得对任意实数总有成立， 所以当时函数取得最小值，当时函数取得最大值， 所以的最小值为半个周期，所以的最小值为, 故选:C. 【变式3-1】（2026·四川成都·二模）若函数的定义域内存在，，使得成立，则称为“完整函数”.已知（）是上的“完整函数”，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】由可得， ， 又（）是上的“完整函数”， 存在，使得成立， 即存在，使得成立， 即，又， ，即在上需要至少两个不同的解， 时，令， 的正根依次为： 区间右端点需满足：，解得. 【变式3-2】（2026·天津滨海新区·阶段检测）已知，给出下列结论： ①若，且，则； ②存在，使得的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于轴对称； ③若，则在上单调递增； ④若在上恰有5个零点，则的取值范围为. 其中，所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由二倍角公式可得，利用余弦函数的图像和性质判断各结论即可. 【详解】由题意可得， ①由且可得两相邻对称轴间的距离为，所以，解得，错误； ②的图像向左平移个单位长度得， 若关于轴对称，则，即， 解得，所以当时符合题意，正确； ③当时，所以当时， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，错误； ④设，当时，在上恰有5个零点，即在上有5个零点， 则，解得，正确； 综上②④正确， 故选：B 题型4 零点问题 【典例4-1】（2026·天津南开·阶段检测）已知函数的部分图象如下，关于函数，给出下列命题： ①的值为； ②函数的图象关于直线对称； ③若函数恰有4条对称轴和3个零点落在区间内，则实数的取值范围是； ④若方程且)在内至少有3个不同的实根，则实数的取值范围是． 其中真命题共有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据图象求出函数的解析式，再利用正弦函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于①，，所以， 且在附近单调递增，又，故，①正确； 对于②，由题意得，又，故， 解得，又，且函数在附近单调递增， 所以，解得， 所以，解得， 又，所以，所以， 故，所以函数的图象不关于直线对称，②错误； 对于③，， 若函数恰有4条对称轴和3个零点落在区间内，则， 解得，③正确； 对于④，， 由于且，的图象可以由纵坐标不变，横坐标变为原来的得到， 要想方程且)在内至少有3个不同的实根，先考虑临界情况，如图： 此时且)在内有2个不同的根，且满足时，成立，即， 结合图象的单调性，可知， 解得， 当时，纵坐标不变，横坐标进一步进行缩短，此时满足方程且)在内至少有3个不同的实根， 所以实数的取值范围是，④正确； 所以其中真命题共有3个. 有关三角函数综合问题的求解策略:1.根据题意问题转化为三角函数的解析式和图像，然后再根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质. 2.熟练应用三角函数的图像与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质(如:单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解. 【典例4-2】（2026·全国·模拟预测）已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，函数在上的值域为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正弦函数的性质得，进而，，再结合函数的对称性得，最后根据题意即可得m的取值范围. 【详解】因为函数图象经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为， 所以，，， 所以，，解得，（） 所以故， 因为，令，则，解得；当时，； 所以，根据对称性可知，当时，， 因为函数在上的值域为， 所以，，即m的取值范围为. 【变式4-1】（2026·天津西青·三模）数的部分图象如图所示，给出下列结论： ① ②在区间上单调递减 ③在区间上有且仅有个零点 ④把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象 其中所有正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象，求出解析式，然后逐项分析函数性质即可. 【详解】由图象可知，最大值为，因此，周期，因此， 代入最大值点，有，解得， 结合，则， 因此，函数表达式为， 对于①，由图象可知，故①正确； 对于②，当时，有，在上不单调， 因此在区间上不单调，故②错误； 对于③，解方程，解得，在区间内满足条件的， 对应零点，共个，故③正确； 对于④，函数的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到， 是偶函数，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个. 【变式4-2】（2026·天津滨海新区·期末）已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，给出下列判断： ①. ②函数为偶函数. ③函数在区间上只有一个零点. ④函数在区间上的最大值为. 其中，判断正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据所给条件，结合余弦函数的周期、对称轴、中心、单调性求出可判断①②，再由函数解析式及余弦型函数的性质，判断③④. 【详解】因为为的一条对称轴，是的一个对称中心， 又因为在上单调递减，所以， 所以，故①正确； 所以，因为是的一条对称轴， 所以，所以，又，所以， 所以， 所以，是偶函数，故②正确； 当时，，所以有且只有当时，即时，函数在区间上只有一个零点，故③正确； 当时，，所以由余弦函数的单调性知，当时，，故④正确. 故选：D. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津南开·模拟预测）设函数，若时，的最小值为，则（   ）． A．函数的周期为 B．将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为奇函数 C．当，的值域为 D．函数在区间上的零点个数共有6个 【答案】D 【分析】由题可知的最小正周期为即可判断A；由此可得，，再根据平移、诱导公式、余弦函数的奇偶性可判断B；根据正弦函数的图象及相关性质可判断CD. 【详解】由， 由时，的最小值为，即， 可得的最小正周期为，故A错误； 由，则， 将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为， 为偶函数，故B错误； 当时，，则， 所以，故C错误； 当时，， 则当，，，，，时，， 则在区间上的根的个数共有6个，故D正确. 故选：D 2．（2026·天津滨海新区·三模）若函数（，）在区间上单调递增，且，，则以下说法中正确的个数是（     ） ①； ②； ③函数是偶函数； ④若函数在区间内有个零点，则在此区间内有且只有个极大值点． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意，可得且， 即，则有， 解得， 因函数在区间上单调递增，则该函数的最小正周期满足， 即，故由（*）可得，则， 又由可得，则得， 即，因，则，故①错误； 由上分析，得，则，故②错误； 于是，因为，故为偶函数，故③正确； 当时，，要使函数在区间内有个零点，需使， 此时若，则函数有3个极大值，若，则函数有2个极大值，故④错误. 3．（2026·天津红桥·期中）已知函数若时，的最小值为，则下列命题正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．当函数的值域为 C．函数在区间上的零点个数共有6个 D．函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为奇函数 【答案】C 【分析】由题意可求得，求得函数解析式，进而逐项计算判断即可. 【详解】若时，的最小值为，可得，解得， 所以，解得，所以，故A不正确； 当时，可得，所以， 所以函数的值域为，故B错误； 令，可得，所以， 解得，可得时，， 所以函数在区间上的零点个数共有6个，故C正确； 函数的图象向左平移个单位长度， 得函数的图像， 所以为偶函数，故D错误. 故选：C. 4．（2026·天津河东·模拟预测）已知函数，为函数的零点，为函数图象的对称轴，且二者之间没有零点和对称轴，则函数在区间上的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的零点和对称性可以求出该函数的最小正周期，再结合正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】因为为函数的零点，为函数图象的对称轴，且二者之间没有零点和对称轴， 所以该函数的最小正周期为， 因为，所以，即， 由， 因为，所以令，，即， 当时，， 所以当时，函数有最小值， 即当时，函数有最小值. 故选：B. 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，．若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B．(0，1) C． D． 【答案】C 【分析】利用函数零点的意义变形并构造函数，作出函数图象，数形结合求出范围. 【详解】函数，由，得， 令函数，由函数有3个不同的零点， 得方程有3个不同的解，即直线与函数的图象有3个交点， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图： 观察图象，当且仅当时，直线与函数的图象有3个交点， 所以的取值范围是. 6．（2026·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，若在上恰有两个零点，且其图象关于点和直线对称，当时，的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的最小正周期为T，结合在上恰有两个零点，可确定的范围，再根据函数的对称性，求出，即可确定，继而确定，根据，结合正弦函数的性质，即可求得答案. 【详解】设的最小正周期为T，在上恰有两个零点， 则，即； 又的图象关于点和直线对称， 则，且， 两式相减，可得，则 结合，可得，故，， 此时，解得 结合，可得时，；时，； ① 当时，，则，符合题意， 由时，可得， 则当，即时，， 当，即时，， 故的最大值与最小值的乘积为； ② 当时，，此时，符合题意， 由时，可得， 则当，即时，， 当时，即时，， 故的最大值与最小值的乘积为； 综上可知，的最大值与最小值的乘积为. 故选：A 7．（2026·重庆·阶段检测）已知将向左平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换得，利用图像的变换得，由得，进而得，解出即可. 【详解】由题意有：， 所以， 由有， 又函数在区间上恰有4个零点， 所以，解得，即， 故选：B. 8．（2026·河南安阳·阶段检测）已知为上偶函数，且对时，都有成立，若则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由函数的奇偶性把转化到同一区间，再利用单调性比较即可. 【详解】因为，又为上偶函数，所以， 所以， 又，， 因为对时，都有成立， 设，因为，， 即自变量小时函数值大，所以为减函数， 所以即， 故选：B. 9．（2025·天津红桥·一模）将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移单位，得到函数的部分图象（如图所示）．对于，，且，若，都有成立，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C．在上单调递增 D．函数在的零点为，则 【答案】C 【分析】由题意可得函数的图象在区间上的对称轴为，再结合可求出，即可判断A；再根据平移变换和周期变换得原则即可判断B，再根据正弦函数的图象和性质分别判断CD 即可. 【详解】对于A，由题意可知函数的图象在区间上的对称轴为， 则与关于对称， 又，结合图象可得， 所以，又，所以， 所以，故A正确； 对于B，右移个单位得到函数的图象， 再将其横坐标缩短为原来的得到的图象，故B正确； 对于C，由，得， 所以在上不单调，故C错误； 对于D，令，则， 函数在上有个零点， 则，，，，， 故， 所以，故D正确； 故选：C． 10．（2026·天津南开·二模）已知函数，给出下列结论： ①； ②将的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于原点对称； ③若，则； ④对，有成立. 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】易知函数的最小正周期是，①正确； 将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象的函数解析式是，图象关于点对称，不关于原点对称，②错； 时，，因此在上单调递增，③正确； 时，，因此或时，取得最小值，时，取得最大值3，取，则成立， 因此，有成立，④正确， 共有3个命题正确． 故选：C． 创新提升 1．（2026·陕西咸阳·开学考试）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，均有成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ， 因为将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象， 所以， 因 为恒成立， 所以在处取得最大值， 所以，解得， 因为，所以当时，取得最小值. 故选：B. 2．（2026·天津南开·阶段检测）已知函数将其图象向左平移个单位得到函数图象且函数为偶函数，若是使变换成立的最小正数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的图象变换及对称性求解得，，从而可求最小正值. 【详解】解：∵函数将其图象向左平移个单位， 得到函数的图象， 又∵函数为偶函数，则直线是的对称轴 ∴，，解得：，， ∵是使变换成立的最小正数，∴时，可得． 故选：B． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，若对任意实数x都成立，且函数在区间上单调，则的值为（    ） A． B． C． D．－ 【答案】C 【分析】根据对任意实数x都成立结合周期确定出的表达式，再根据函数在区间上单调确定周期的取值范围，进而表示出的取值范围，结合与表示出的表表达式，对进行取值，从而求得． 【详解】因为对任意实数x都成立，且，故， 即，因此， 又函数在区间上单调，故，即，因此， 由，可得，解得 由，可得，解得， 当时，，满足题意． 故选：C． 4．（2026·江西赣州·模拟预测）在下列五个命题中，其中正确的个数为（    ） ①命题“，都有”的否定为“，有”； ②已知，，若与夹角为锐角，则的取值范围是； ③“”成立的一个充分不必要条件是“”； ④已知是一条直线，，是两个不同的平面，若，，则. ⑤函数的图像向左平移个单位后所得函数解析式为. A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】对于①：由全称命题的否定直接判断； 对于②：取特殊值直接否定结论； 对于③：用定义法判断“”成立的一个充分不必要条件是“”成立； 对于④：利用线面垂直的性质定理即可证明； 对于⑤：由图像的相位变化直接求解. 【详解】对于①：命题“，都有”的否定为“，有”，故①错误； 对于②：当时，，，此时//.故②错误； 对于③：“”等价于“”. 因为“”“”， 但是 “”不能推出 “”，所以“”成立的一个充分不必要条件是“”成立，故③正确； 对于④：由线面垂直的性质定理，因为，，所以.故④正确； 对于⑤：函数的图像向左平移个单位后所得函数解析式为.故⑤错误. 故选：C 5．（2026·湖南长沙·阶段检测）已知函数，给出下列命题： ①，都有成立； ②存在常数恒有成立； ③的最大值为； ④在上是增函数. 以上命题中正确的为（    ） A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【解析】根据三角函数的性质和值域依次判断每个选项得到答案. 【详解】①，为奇函数，正确； ②，为周期函数，正确； ③，令，则，令，得，且为最大值，错误； ④当时，，所以在上为增函数，正确. 故选：D. 6．（2026·天津南开·一模）已知，，若对，，使得成立，若在区间上的值域为，则实数的取值不可能是. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意首先确定函数的值域，然后数形结合得到关于的不等式，求解不等式可得的取值范围，据此可得选项. 【详解】，其中， 由题意可知：，即：， 则函数的值域为的子集， 设函数的最小正周期为，在区间上的值域为，则：， 即：，解得. 结合选项可知实数的取值不可能是. 故选D. 7．（2026·天津滨海新区·模拟预测）已知函数. (1)证明函数是奇函数，并判断函数的单调性（说明理由，不需要证明）； (2)若，使得成立，求实数a的取值范围； (3)是否存在正数使函数在上的最小值为k，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 证明：函数的定义域为R. ∵，都有， 且， ∴函数是奇函数. ∵3>1，所以是增函数； ，，所以是减函数，是增函数； ∴函数是增函数. (2) (3)存在， 【详解】（1）略 （2）由（1）知函数是奇函数，所以由得： ， 又由（1）知函数是增函数，所以. 整理得. 又，且，， ∴，故实数a的取值范围为. （3）假设存在满足条件的正数. 令，由（1）知函数是增函数， ∴当时，， ， ∴，， 即在上的最小值为k， 也即在上最小值或最大值为1. 因为二次函数在上的最值只可能在端点或者对称轴处取得， 所以只可能是以下三种情况： ①若时，有最值1，即，解得，此时对称轴为，则为最小值，而时，是增函数，则的最小值为，符合题意. ②若时，有最值1，即，解得，此时对称轴为，为最大值，而，是增函数，的最大值为，不合题意，舍去. ③若时，有最值1，即，解得（舍），或，此时对称轴为，，所以的最值不可能是，不合题意，舍去. 综上所述，. 8．已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)若对于任意都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2）由，解得 即函数的单调递减区间为 （3）由题意可得对任意，都有 ，，解得 所以m的取值范围为 9．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知常数，若，，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以可化为． 由三角函数的定义解得，，即，． 该解集在数轴上表示如下： 若，，使得成立，则只需的长度大于等于相邻解集之间的长度， 所以，解得． 又，所以的最小值为． 10．（2026·辽宁大连·模拟预测）设函数满足对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用余弦函数的值域结合题意转化任意及存在为最值列式求解参数. 【详解】对于函数，对任意固定的取遍一切实数，． 要存在使得，只需． 该条件需对一切成立，故不小于的最大值，即． 因此的取值范围是． 故选：B. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $