3 导数及其应用 综合测试（一） - 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数应用基础与主干模型，系统覆盖切线方程、含参单调性、导数不等式及极值等核心考点，以题构建知识逻辑链，培养数学思维与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线方程|选择1-2、12、15(1)、16(1)、18(1)、19(1)|直接应用导数几何意义求方程及截距|从导数定义到几何意义，体现形与数的转化（数学眼光）| |含参单调性|选择4、16(2)、18(2)|分类讨论参数对导数符号的影响|基于导数符号判定函数增减，培养推理能力（数学思维）| |导数不等式|选择8、17(2)(3)|构造函数结合单调性证不等式|建立函数模型解决不等关系，发展模型意识（数学语言）| |极值与最值|选择3、6、7、14、19(2)|利用导数零点及二阶导判断极值|从导数为零到极值存在条件，形成逻辑闭环|

2027届高三数学一轮复习综合测试 3 导数及其应用（一） （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 本卷定位：侧重基础运算与主干模型，重点考查切线方程、含参单调性、商式导数不等式及数列累加放缩. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.曲线 在点 处的切线方程为（　　） A. B. C. D. 2.已知函数 ，则曲线 在点 处的切线在 轴上的截距为（　　） A. B. C. D. 3.函数 的图像如图所示，则（　　） A. B. C. D. 4.已知函数 ，，若对任意的 ，存在唯一的 ，使得 ，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5.已知函数 的图象在点 处的切线与直线 平行，则 （　　） A. B. C. D. 6.已知函数 的极值点为 0，则 （　　） A. 0 B. C. D. 7.函数 在区间 上的最大值是（　　） A. 1 B. C. D. 8.设定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，且 ，则不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.若直线 与曲线 相交于不同两点 ，曲线 在 点处的切线交于点 ，设 的斜率为 ， 的斜率为 ，则（　　） A. 时， B. C. D. 10.已知幂函数 为增函数，则下列说法正确的是（　　） A. B. 函数 为增函数 C. 函数 极大值为 2 D. 若 ，则 11.已知曲线 ，则（　　） A. 直线 与 的公共点数不等于直线 与 的公共点数 B. 所有斜率为 的直线都与 有且仅有一个公共点 C. 直线 与 所有公共点的横坐标的平方和等于 D. 上横坐标的差为 的两点中至少有一个点的纵坐标的绝对值大于 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.曲线 在点 处的切线方程为＿＿＿＿＿＿. 13.函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 14.若函数 在 处取得极大值，则实数 的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知函数 . （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）若不等式 对 恒成立，求 的取值范围. 16.（15分）已知函数 . （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）求函数 的单调区间. 17.（17分）已知函数 （ 为常数， 为自然对数的底数），曲线 在点 处的切线方程为 . （1）求 的值及函数 的单调区间； （2）证明：当 时，； （3）证明：当 时，. 18.（17分）已知函数 . （1）若 ，求函数 在 处的切线方程； （2）若 ，讨论 的单调性； （3）若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围. 19.（15分）已知函数 . （1）当 时，求曲线 在 处的切线方程； （2）若 存在极大值，且极大值不大于 ，求实数 的取值范围. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习综合测试 3 导数及其应用（一） 解析卷 答案速查表 1 2 3 4 5 D D B B C 6 7 8 9 10 B C C ACD AC 11 12 13 14 15 BC 2 （1）； （2） 16 17 18 19 （1）； （2）增区间，减区间 （1），增区间，减区间； （2）见解析； （3）见解析 （1）； （2）见解析； （3） （1）； （2） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.曲线 在点 处的切线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】先对函数求导得到导函数，求出 时的导数值即切线斜率，再由点斜式写出切线方程. 【解析】因为 ，则 ，当 时，，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .故选：D. 2.已知函数 ，则曲线 在点 处的切线在 轴上的截距为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】利用乘积求导法则求导，计算切点坐标与切线斜率，写出切线方程后令 即可求得在 轴上的截距. 【解析】由 ，得 ，所以 ，又 ，曲线在 处的切线方程为 ，令 得 轴上的截距为 .故选：D. 3.函数 的图像如图所示，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】从图像中提取关键信息：截距 、函数的零点分布以及两极值点均大于 0，结合导函数零点的韦达定理判定各系数正负. 【解析】观察图象知，，函数 有 3 个零点，设 3 个零点为 ，于是 ，当 时，，而此时 ，因此 ，又 ，函数 有两个极值点 ，且 ，即 有两个不等实根，，，因此 ，所以 .故选：B. 4.已知函数 ，，若对任意的 ，存在唯一的 ，使得 ，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】先通过导数求出 在 上的值域集合 ，再分析二次函数 在 上单解时 的取值集合 ，由 列不等式组求解. 【解析】由 可得 ，当 时，；当 时，；所以 在 单调递减，在 单调递增，所以 ，，，所以 在 上的值域为 ，记 ， 的对称轴为 ，，，又 ，且 在 上单调递减，要使方程 有唯一解，则 的取值集合为 ，所以 ，记 ，若对任意的 ，存在唯一的 ，使得 ，则 ，所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .故选：B. 5.已知函数 的图象在点 处的切线与直线 平行，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】两直线平行则斜率相等，求导计算 并令其等于切线斜率 3 即可解出参数 . 【解析】由题意知直线 的斜率为 3，又 ，则 ，因为函数 的图象在点 处的切线与直线 平行，所以 ，解得 .故选：C. 6.已知函数 的极值点为 0，则 （　　） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【思路】极值点处导数为 0 是必要条件，先求导令 解出 ，再检验导数在 0 左右两侧是否变号. 【解析】，因为 ，所以 .经检验，当 时， 的极值点为 0.故选：B. 7.函数 在区间 上的最大值是（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【思路】求导判断导函数在给定区间上的正负，确定函数的单调性，进而由单调性求出最值. 【解析】因为函数 ，所以 ，在区间 上，因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，所以最大值在 处取得，.故选：C. 8.设定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，且 ，则不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】观察条件特征 ，构造辅助函数 ，利用导数确定 单调递增，再将原不等式转化为 求解. 【解析】设函数 ，，由于 ，得 ，则 在 上单调递增，，则 ，，即 ，于是 ，解得 .故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.若直线 与曲线 相交于不同两点 ，曲线 在 点处的切线交于点 ，设 的斜率为 ， 的斜率为 ，则（　　） A. 时， B. C. D. 【答案】ACD 【思路】对 A 选项研究过原点的切线斜率确定割线斜率范围；对 B 选项可通过取特殊点举反例；对 C 选项由切线在曲线下方及单调性进行放缩；对 D 选项作差并换元构造单调函数证明. 【解析】对于 A， 时，，又过原点 作曲线 的切线，设切点为 ，，则切线方程为 ，又过 ，，解得 ，即过原点 与曲线 相切的直线方程为 ，又直线 与曲线 相交于不同两点，，故 A 正确； 对于 B，不妨取 ，则曲线 在 处的切线方程分别为 ，解得 ，此时 ，故 B 错误； 对于 C，不妨取 ，则 ，曲线 在 处的切线方程为 ，设 ，则 ，令 ，解得 ， 时，， 单调递减， 时，， 单调递增，，即 （当且仅当 时取等），由题易知 ，，又 ，所以 单调递增，且 ，，则 ，故 C 正确； 对于 D，由题可知 ，， ， 不妨取 ，则 ，令 ， 则 ，令 ， ， 令 ， 时，， 在 单调递增， ，则 ， 在 单调递增，则 ， ，即 ，故 D 正确.故选：ACD. 10.已知幂函数 为增函数，则下列说法正确的是（　　） A. B. 函数 为增函数 C. 函数 极大值为 2 D. 若 ，则 【答案】AC 【思路】先由幂函数系数为 1 且单调递增求出 从而确定 ；再逐项利用导数检验各构造函数的单调性、极值与函数值大小. 【解析】由幂函数定义得 ，解得 或 .因为 在定义域上为增函数，所以 ，，故 A 正确；对于 B，，令 ，，在 上符号不恒定，不是增函数，故 B 错误；对于 C，令 ，，当 时 ， 时 ，所以 在 处取得极大值 ，故 C 正确；对于 D，当 时， 与 的大小关系不确定，例如 时 ，此时 ，故 D 错误.故选：AC. 11.已知曲线 ，则（　　） A. 直线 与 的公共点数不等于直线 与 的公共点数 B. 所有斜率为 的直线都与 有且仅有一个公共点 C. 直线 与 所有公共点的横坐标的平方和等于 D. 上横坐标的差为 的两点中至少有一个点的纵坐标的绝对值大于 2 【答案】BC 【思路】通过导数研究三次函数的极值和单调性判断公共点个数；对于 C 选项借助三次方程的韦达定理展开求根的平方和；对于 D 选项找特殊值反驳. 【解析】选项 A：设 ，则 ，令 ，则 或 ，当 或 时，，则 单调递增，当 时，，则 单调递减，所以 的极大值是 ，极小值是 ，故直线 与 有 2 个公共点，直线 与 也有 2 个公共点，故 A 错误；选项 B：设 ，则 ，则 单调递增，且当 时，，当 时，，故 有且仅有一个零点，即所有斜率为 的直线都与 有且仅有一个公共点，故 B 正确；选项 C：由上可知直线 与 有 3 个公共点，设它们的横坐标分别为 ，则 ，展开得 ，故有 ，且 ，所以 ，故 C 正确；选项 D：因为 ，且 ，此时这两点的纵坐标的绝对值均为 2，不符合题意，故 D 错误.故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.曲线 在点 处的切线方程为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】求导得到导函数，代入切点横坐标求出斜率，利用点斜式求切线方程. 【解析】由 求导可得 ，则所求切线斜率为 ，因此所求切线方程为 ，化简得 .故答案为：. 13.函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】2 【思路】对三次函数求导，令导数等于 0 求出驻点，结合导数符号确定单调区间，进而求出 及 . 【解析】根据题意可知 ，则可得 ，令 ，即 ，解之可得 或 ，当 时，，函数 单调递增；当 时，，函数 单调递减；当 时，，函数 单调递增；所以可知 ，，所以 .故答案为：2. 14.若函数 在 处取得极大值，则实数 的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】先求导因式分解得出零点，根据极值点的定义要求导数在 处由正变负，对参数 分正、负、零分类讨论. 【解析】求导得 ，若 ，， 在 上单调递增，在 上单调递减，符合要求；若 ，令 ，，当 时，，又因为 是开口向上的抛物线，所以 是极大值点；当 时，因为 是开口向下的抛物线，欲使 是极大值点，只需 ，解得 ；综上：.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知函数 . （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）若不等式 对 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1）（或 ）；（2）. 【思路】第（1）问求导计算导数值和切点纵坐标，写出点斜式方程；第（2）问先利用两角和公式化简，再进行参变分离构造新函数，利用导数求出新函数的最小值. 【解析】（1）函数 的导函数 ， 2分 则 ，又 ， 4分 所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 . 6分 （2）， 8分 由 ，得 ， 9分 设 ，，则 ，， 10分 令 ，得 ，则 在 上单调递减； 11分 令 ，得 ，则 在 上单调递增， 12分 所以 ， 故 的取值范围为 . 13分 16.（15分）已知函数 . （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）求函数 的单调区间. 【答案】（1）；（2）单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 【思路】第（1）问求导代入 和 得切线斜率与切点坐标；第（2）问求导后通分分解因式，结合定义域判断导数符号确定单调区间. 【解析】（1）当 时，， 2分 ，则 ， 4分 又 ， 曲线 在点 处的切线方程为 . 6分 （2），， 9分 ，由 ，得 ， 11分 由 ，得 ， 13分 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 15分 17.（17分）已知函数 （ 为常数， 为自然对数的底数），曲线 在点 处的切线方程为 . （1）求 的值及函数 的单调区间； （2）证明：当 时，； （3）证明：当 时，. 【答案】（1），单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【思路】第（1）问求导结合切线斜率确定 ，再求单调区间；第（2）问由（1）的最值引出下界放缩，构造函数求导证明；第（3）问构造新函数证得 ，赋值累加裂项求和. 【解析】（1）由 ，得 ， 2分 又 ，所以 ， 4分 所以 ，由 ，得 ， 5分 所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 6分 （2）由（1）知 ，所以 ，即 ，， 8分 令 ，则 ，所以 在 上单调递增， 10分 所以 ，即 . 11分 （3）首先证明：当 时，恒有 ， 12分 证明如下：令 ，则 ，由（2）知，当 时，，则 ，所以 ，所以 在 上单调递增，所以 ，所以 .所以 ，即 ， 14分 依次取 ，代入上式， 15分 则 ，以上各式相加，有 ， 16分 所以 ， 所以 ， 即 ， 即可证明：当 时，. 17分 18.（17分）已知函数 . （1）若 ，求函数 在 处的切线方程； （2）若 ，讨论 的单调性； （3）若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）. 【思路】第（1）问求导计算 ；第（2）问对分子根与定义域边界比较分类讨论单调性；第（3）问利用 及恒成立得出必要条件 定出 ，再对参数 进行分类讨论和取点矛盾法论证. 【解析】（1）由题意知 定义域为 ，， 2分 当 时，，而 ，所以切线方程为 . 4分 （2）当 时，， 6分 因为 ，所以 ， 若 ，即 时，，此时 在 上单调递增， 7分 若 ，即 时，令 ，得 或 ，令 ，得 ，所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减， 9分 综上，当 时， 在 上单调递增；当 时，增区间为 和 ，减区间为 . 10分 （3）因为 ，对 ， 恒成立，且 ，故 ，即 ， 11分 所以 ，对 ， 恒成立，当 时满足条件；当 时，，即 ；当 时，，即 ，所以 ， 12分 ，令 得 ，所以 ①当 时，，，则 在 上单调递增，当 时，，不满足题意； 13分 ②当 时，，令 ，则 ，所以 在 上单调递增，当 时，，不满足题意； ③当 时，，令 得 ，所以 在 上单调递减，当 时，，不满足题意； 14分 ④当 时，，令 得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，因为 ，所以 ，令 ，则 ，因此 ，不满足题意； 16分 ⑤当 时，，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，满足题意. 综上可知， 的取值范围为 . 17分 19.（15分）已知函数 . （1）当 时，求曲线 在 处的切线方程； （2）若 存在极大值，且极大值不大于 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【思路】第（1）问求导计算 和 写出切线方程；第（2）问先讨论 符号得出极大值点及极大值表达式，进而转化为关于 的函数单调性与零点问题求解. 【解析】（1）当 时，，故 ， 2分 ， 4分 曲线 在 处的切线方程为 ，即 . 6分 （2）由题意得，，故函数 的定义域为 ， 7分 ，， 8分 当 时，，， 在 上为增函数， 无极值. 9分 当 时，由 得 ， 10分 由 得 ，由 得 ， 在 上为增函数，在 上为减函数， 11分 当 时， 有极大值，极大值为 ， 12分 ，即 ， 13分 令 ，则 ， 14分 ，， 在 上为增函数， ， 要使 ，则 ， 实数 的取值范围是 . 15分 3 导数及其应用（一） 方法总结 1. 导数的几何意义与切线方程：求曲线在某点处的切线方程，核心是求导得出切线斜率 ，再结合点斜式列出方程；若涉及两曲线公切线或切线过某点，常设切点坐标列方程组求解.（第1、2、5、12、15、16、17、18、19题） 2. 利用导数研究函数的单调性与极值最值：求导后令导数大于零得增区间，小于零得减区间；含参问题需对参数分类讨论导数的变号零点位置；若已知极值点，可由导数为零建立必要条件并进行充分性检验.（第3、6、7、10、11、13、14、16、18、19题） 3. 构造辅助函数解导数不等式及证明：常见的构造模型包括 型构造 ， 型构造 等，通过研究构造函数的单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.（第8、9题） 4. 导数中的恒成立与最值转化策略：不等式恒成立问题常转化为最值问题，通过分离参数或直接求导求出函数的最值，使最值满足不等式条件；必要性探路法可先令特殊值确定参数必要范围，再证明其充分性.（第4、15、18、19题） 5. 导数与数列不等式的放缩与求和：利用导数证明基本函数不等式（如 、、 等），结合数列通项特征进行自变量赋值与累加求和，是解决导数与数列综合压轴题的核心手段.（第17题） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $