3.5一元二次方程的应用（第2课时销售和利润问题）（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的销售利润应用，核心知识点包括售价、进价、单利润、销售量等数量关系及方程建模。通过“商场经理制定促销方案”情境导入，引出相关因素与等量关系，搭建从方程解法到实际应用的学习支架。 其亮点在于以情境化问题驱动（数学眼光），通过典例表格梳理变化量（模型意识），规范“审设列解验答”六步法（推理能力）。如例2结合售价限制检验根的合理性，培养学生用数学语言表达实际问题的能力，帮助学生建立模型思想，教师可直接使用结构化案例提升教学效果。

第3章 一元二次方程 第2课时 销售和利润问题 3.5一元二次方程的应用 导入新课 每逢换季，衣服促销活动迎面而来，如果你是商场经理，该如何制定促销方案呢？ 制定促销方案时，需要考虑销售问题中的哪些因素？ 标价、折扣、售价、进价、 单利润、销售量、总利润 这些因素之间有哪些等量关系？ 新知探究 今天，我们利用一元二次方程来解决它们之间的相关问题。 标价折扣=售价 单售价-单进价=单利润 单利润销售量=总利润 学 习 目 标 1 2 3 掌握销售利润问题中的基本数量关系，能正确列出一元二次方程（重点） 能根据“涨价/降价→销售量变化”的关系建立方程模型，（难点） 会检验方程的解是否符合实际意义，舍去不合题意的根 例2 某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品. 若每件商品的售价为x元，则可卖出(350-10x)件， 但价格管理部门限定每件商品的售价不能超过进价的120％. 若该商店计划从这批商品中获取400元利润(不计其他成本)，问需要卖出多少件商品， 此时的售价是多少？ 典例分析 单进价 单售价 销售量 总利润 单售价-单进价=单利润 单利润销售量=总利润 x 21 x-21 x-21 350-10x 400 (x-21) (350-10x) =400. 怎样解这个方程呢？ 题目中涉及哪些已知量和未知量？ 例2 某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品. 若每件商品的售价为x元，则可卖出(350-10x)件， 但价格管理部门限定每件商品的售价不能超过进价的120％. 若该商店计划从这批商品中获取400元利润(不计其他成本)，问需要卖出多少件商品， 此时的售价是多少？ 典例分析 解：根据等量关系得(x-21)(350-10x)=400. 整理， 得x2-56x+775=0. 解得 x1=25，x2=31. 又因为21×120 % = 25.2，即售价不能超过 25.2 元， 所以x=31不合题意，应当舍去. 故x=25，从而卖出350-10x=350- 10×25=100(件). 答： 该商店需要卖出100件商品， 且每件商品的售价是 25 元. 检验的条件 怎样检验哪些根符合题意呢？ 新知探究 某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可获利44元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，若要平均每天获利1600元，则应降价多少元? 单利润 销售量 总利润 变化前 变化后 44 20 4420 44-x 20+5x 1600 单利润销售量=总利润 (44-x)(20+5x)=1600. 每降价1元，则可多售出5件 销售量 单利润 总利润 未知量，应用题一般问什么就设什么。 设每件服装应降价x元 怎样解这个方程呢？ 题目中涉及哪些已知量和未知量？ 新知探究 解 设每件服装应降价x元，则每件利润为(44-x)元，降价后每天销售数量为(20+5x)件.根据等量关系，得 (44-x)(20+5x)=1600. 去括号，得 -5x²+200x+880=1600. 移项，合并同类项得 -5x²+200x-720=0. 方程两边都除以-5，得 x²-40x+144=0. 把方程左边因式分解，得 (x-36)(x-4)=0. 解得 x₁=36，x₂=4. 答：每件服装应降价36元或4元. 新知探究 实际问题 建立一元二 次方程模型 解一元二 次方程 一元二次 方程的根 实际问题的解 分析数量关系 设未知数 是否符合实际 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 审 设 列 解 验 答 找 基础巩固题 新知应用 1. 某商店销售某商品的售价为每件60元每周可卖出300件，市场调查发现，每降价1元，每周可多卖出20件.已知该商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元利润，则应将销售单价定为（ ） A. 56元 B. 57元 C. 58元 D. 56元或58元 A 降价多，售价低 单利润销售量=总利润 基础巩固题 新知应用 2.水果店销售一种水果，平均每天售出120箱，每箱盈利60元.调查发现： 适当降价可减少库存，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出 20箱.设每箱降价 元，则每箱水果实际利润为_________元，平均每天 可售出___________箱，若销售该水果平均每天盈利8 100元，则可得关 于 的方程为___________________________. 120+20 单利润销售量=总利润 基础巩固题 新知应用 解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意得： (40 - x)(20 + 2x) = 1200 整理得，x2 - 30x + 200 = 0,解方程得，x1 = 10，x2 = 20 因为要尽快减少库存，所以 x = 10舍去. 答：每件衬衫应降价20元. 3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 降价多 怎样检验哪些根符合题意呢？ 基础巩固题 新知应用 4.某超市将进货单价为 40 元的商品按 50 元出售时，能卖 500 个，已知该商品要涨价 1 元，其销售量就要减少 10 个，为了赚 8000 元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？ 单利润 销售量 总利润 变化前 变化后 分析： 单利润销售量=总利润 每涨价1元，则销售量减少10件 50-40 500 (50-40)500 (50+x)-40 500-10x 8000 设每件商品涨价x元 (500－10x)· [(50 + x)－40] = 8000 基础巩固题 新知应用 解：设每个商品涨价 x 元，则销售价为 (50 + x) 元，销售量为 (500－10x) 个，则 (500－10x)· [(50 + x)－40] = 8000， 整理得 x2－40x + 300 = 0， 解得 x1 = 10，x2 = 30 都符合题意. 当 x = 10 时，50 + x = 60，500－10x = 400； 当 x = 30 时，50 + x = 80， 500－10x = 200. 答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进贷量应为400；若售价为80元，则进贷量应为200个. 能力提升题 新知应用 5.宾馆有50间房供游客居住，原定价每间房每天190元．当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房（物价部门规定，此类宾馆的入住费用不得超过原定价的1.5倍）．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用． （1）如果每间房当天的定价比房间住满时的房价增加x元时，宾馆　 　间房有游客居住（用含x的代数式表示）； （2）当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为9450元？ 能力提升题 新知应用 （2）解：依题意，得：(180+x-20)(50= )=9450， 整理，得：x2-340x+14500＝0， 解得：x1＝50，x2＝290． 当x＝50时，180+x＝230，190×1.5＝285（元），230＜285，符合题意； 当x＝290时，180+x＝470，470＞285，不符合题意，舍去． 答：当房价定为230元时，宾馆当天的利润为9450元． 能力提升题 新知应用 6.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低 50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ 降价多 单利润销售量=总利润 解： 设每台冰箱应降价x元，则每天可多销售 台冰箱. 根据题意得： （2400-2000-x)(8+ )=4800 解得 x1=100, x2=200 因为要使百姓得到优惠，应降价更多 , 故取 x=200 答：每台冰箱应降价200元 能力提升题 新知应用 01 核心公式 • 售价 = 标价 × 折扣 • 单件利润 = 售价 - 进价 •总利润 = 单件利润 × 销售量 02 解题六步法 审清题意定变量 → 巧设未知数 → 找准关系列方程 → 规范求解方程 → 检验结果合理性 → 完整作答 03 常见题型分类 • 基础型：单纯的涨价或降价求利润 • 综合型：含成本、销量限制条件的利润计算 04 核心数学思想 • 数学建模：将实际生活中的销售问题转化为方程模型 • 转化思想：将复杂的实际问题转化为数学语言进行求解 课堂小结 1.7.2013 为了帮助大家更直观地梳理本节课的知识体系，我将核心内容整理成了一张思维导图。大家可以看到，我们整个章节都是围绕着“销售利润问题”这个中心展开的。我们学习了核心公式、解题的六个步骤、四种常见的问题类型，以及背后蕴含的数学建模和函数思想。希望这张图能帮助大家更好地理解和记忆。 ‹#› 感谢聆听! $