3.5 一元二次方程的应用 课件 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，核心讲解建模步骤（审、设、列、解、检、答）及增长（降低）率、图形面积等应用类型。通过中药茶饮销量、小龙虾价格等生活实例导入，衔接方程解法，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，如停车场改造问题；通过解题步骤训练数学思维，如增长率先设元列方程；课堂小结分类梳理模型，强化数学语言表达。助力学生提升应用能力，教师可高效开展教学。

3.5 一元二次方程的应用 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 建立一元二次方程的模型解应用题的一般步骤 知1－讲 感悟新知 知识点 建立一元二次方程的模型解应用题的一般步骤 1 列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元一次方程解应用题一样 , 也可归纳为 : 审、设、列、解、检、答 . 感悟新知 知1－讲 步骤 内容摘要 注意事项 审 审清题意 , 明确已知和未知 , 找到它们之间的等量关系 . 等量关系往往体现在关键词句中 . 设 设未知数，一种是直接设元法 , 另一种是间接设元法 . 一般要带单位 . 列 用含有未知数的代数式表示有关的量 , 根据等量关系列出方程 . 方程两边单位要统一 . 感悟新知 知1－讲 步骤 内容摘要 注意事项 解 根据方程的特点 , 选择适当解法求出未知数的值 . 一般不必写出解方程的过程 . 检 检验未知数的值是否满足所列方程 , 检验该值在实际问题中是否有意义 . 一般两个根中只有一个符合实际意义 . 答 写出实际问题的答案 . 注意带上单位 . 感悟新知 知1－讲 特别解读 1. 第一步“审”一般不写出来，但它是关键的一步，只有审清题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系才能准确列出方程. 2. 列方程时一般先找出一个能够表达全部含义的等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就能得到含未知数的等式，即方程. 知1－练 感悟新知 随着消费观念的转变，中药代茶饮“火爆出圈”，成为众多年轻人的饮品首选．据统计，某购物网站上某品牌的中药茶饮包7 月份的销量为4 万盒，9 月份的销量为4.84 万盒． 例1 知1－练 感悟新知 解题秘方：在平均增长(或降低)率问题中，若基数为a，平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)的次数为 n，增长(或降低)后的量为b，则关系式为a(1+x)n=b(或a(1-x)n=b). 知1－练 感悟新知 (1)求8，9 月份该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率. 知1－练 感悟新知 解：设8，9 月份该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为x. 根据题意，得4(1+x)2=4.84， 解得x1=0.1=10%， x2=-2.1(不符合题意，舍去). 答：8，9 月份该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为10%． 增长两次，基数×(1+ 平均增长率)2 =增长后的量 平均增长率一般为正数 知1－练 感悟新知 (2)假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则10 月份的销量能不能达到5.5 万盒？请通过计算说明. 解：4.84×(1+10%)=5.324(万盒)． 因为5.324 万盒<5.5 万盒，所以10 月份的销量不能达到5.5 万盒. 知1－练 感悟新知 1-1.[模拟·长沙] 6 月是吃小龙虾的月份，长沙市马王堆批发市场某批发商原计划以36 元/ kg的单价对外批发销售小龙虾．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为25 元/ kg．求平均每次下调的百分率(精确到0.1%). 解：设平均每次下调的百分率为x. 根据题意，得36(1-x)2=25， 解得x1=≈16.7%，x2= (不合题意，舍去). 答：平均每次下调的百分率约为16.7%. 知1－练 感悟新知 知1－练 感悟新知 [母题 教材P121 练习T2]为了推动长沙旅游业跨越发 展，某旅行社推出“湖南博物院+ 岳麓书院+ 橘子洲”一日游活动团队旅游收费标准：如果人数不超过20 人，人均费用为280 元；如果超过20 人，每增加1 人，人均费用降低8 元，但人均费用不得低于200 元． 例2 知1－练 感悟新知 解题秘方：利用等量关系：(人均费用- 超过20 人的人数×8)×人数= 总费用建立一元二次方程求解. 知1－练 感悟新知 (1)当旅游人数为a 人时，人均费用为200 元，求a 的取值范围； 解：由题意可得280-8(a-20)=200， 解得a=30，若人均费用为200 元，则a ≥ 30. 知1－练 感悟新知 (2)若某团队共支付旅游费用5888 元，求该团队有多少人． 解：设该团队有x 人．因为280×20=5 600(元)< 5 888 元，所以人数一定超过20 人． 可得方程［280-8(x-20)］x=5 888，整理得x2-55x+736= 0，解得x1=23，x2=32. 当x=23 时，280-8(x-20)=256>200，符合题意； 当x=32 时，280-8(x-20)=184<200，不符合题意，舍去. 答：该团队有23 人． 知1－练 感悟新知 2-1.[模拟· 长沙岳麓区] 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40 元，售价为每顶68 元，平均每周可售出100 顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58 元，经调查发现：每降价2 元，平均每周可多售出40 顶．设每顶头盔降价x 元，平均每周的销售量为y 顶. 知1－练 感悟新知 (1)平均每周的销售量y(顶)与降价x(元)之间的函数关系式是 　 　_______________________； (2)若该商店希望平均每周获得4 000 元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ y=100+20x 解：根据题意，得(68-x-40)(100+20x)=4 000. 整理，得x2-23x+60=0，解得x1=3，x2=20. 当x=3时，68-x=68-3=65＞58，不符合题意，舍去； 当x=20时，68-x=68-20=48＜58，符合题意. 答：每顶头盔应降价20元. 知1－练 感悟新知 知1－练 感悟新知 新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为 130 m，宽为 80 m 的矩形停车场ABCD 进行改造．如图 3.5-1，将矩形停车场的 AB 边和 AD 边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩， 剩余停车场的面积为 5 000 m2， 求 AB 边和 AD 边减少的长度 . 例3 知1－练 感悟新知 解题秘方：紧扣矩形的面积公式，建立一元二次方程模型解决问题． 知1－练 感悟新知 解：设AB边和AD边减少的长度是 xm， 则剩余停车场是长为(130-x)m，宽为(80-x)m的矩形 . 根据题意，得(130-x)(80-x)=5 000. 整理，得 x2-210x+5 400=0， 解得 x1=30，x2=180(不符合题意，舍去)． 答：AB边和AD边减少的长度是 30 m． 知1－练 感悟新知 3-1.在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是 80 cm2 的有盖的长方体纸盒，他拿出 一 张长 26 cm，宽20 cm 的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形(如图①)，剩余部分经过折叠后得到一 个长方体纸盒(如图②). 求长方体纸 盒的长、宽、高各是多少 . 解：设长方体纸盒的高为x cm， 则长为(20-2x)cm，宽为 -x=(13-x)cm. 根据题意，得(20-2x)(13-x)=80， 解得x1=5，x2=18(舍去). 则20-2x=10，13-x=8. 答：长方体纸盒的长是10 cm，宽是8 cm，高是5 cm. 知1－练 感悟新知 一元二次方程的应用 一元二 次方程 的应用 数字问题 增长(降低)率问题 图形面积问题 商品经济问题 建模 类型 建模 步骤 审 设 列 解 检 答 课堂小结 题型 利用平移法用一元二次方程解不规则几何图形问题 1 [母题 教材 P122例3]如图3.5-2，在长为 100 m，宽为 50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 3 600 m2，则小路的宽是(　　) A.5 m B.70 m C.5 m 或 70 m D.10 m 例4 综合应用创新 解题秘方：设小路的宽是 x m, 则余下的部分通过平移可合成长为(100-2x)m, 宽为(50-2x)m 的矩形，根据花圃的面积是 3 600 m2，列方程求解． 综合应用创新 解：设小路的宽是 x m，则余下的部分可合成长为(100-2x)m，宽为(50-2x)m 的矩形， 根据题意得(100-2x)(50-2x)=3 600， 整理得 x2-75x+350=0， 解得 x1=5，x2=70(不符合题意，舍去)， 所以小路的宽是 5 m． 答案：A 特别提醒 所求解应进行检验，一般情况下，实际问题中的解为正数，且与未知数相关的代数式的值也为正 . 综合应用创新 方法点拨 平移法是列一元二次方程解面积类应用题常用的方法，其核心思想是将不在一起的几个图形通过平移转化为一个规则的图形，通过面积关系列一元二次方程求解 . 综合应用创新 题型 建立一元二次方程模型解决围墙问题 2 类型 1 墙长增加限制问题 如图 3.5-3，某农场要建一个矩形 ABCD的养鸡场，养鸡场的一边靠 墙(墙长 25 m)，另外三边用木栏围成，木栏长 40 m. (1)若养鸡场的面积为168 m2，求养鸡场垂直于墙的一边AB的长 . (2)养鸡场的面积能否达到 210 m2 ？请说明理由 . 例5 综合应用创新 解题秘方：紧扣矩形的面积公式，建立一元二次方程模型解决问题，注意根据墙的长度，作出取舍 . 综合应用创新 解：(1)设养鸡场垂直于墙的一边AB的长为 x m，则另一边BC的长为(40-2x)m， 根据题意，得 x(40-2x)=168，解得 x1=14，x2=6. 因为墙长 25 m，所以 0 m<BC≤ 25 m，即 0<40-2x ≤ 25，解得 7.5 ≤ x<20，所以 x=14. 答：养鸡场垂直于墙的一边AB的长为 14 m. 综合应用创新 (2)养鸡场的面积不能达到 210 m2. 理由如下： 设 养 鸡 场 垂 直 于 墙 的 一 边 AB 的 长 为 y m，则另一边BC的长为(40-2y)m. 根据题意，得 y(40-2y)=210，整理，得 y2-20y+105=0. 因为 Δ=b2-4ac=(-20)2-4×1×105=-20<0， 所以一元二次方程 y2-20y+105=0 没有实数根 . 故养鸡场的面积不能达到 210 m2. 综合应用创新 解题通法 常见围墙问题为一边靠墙围成矩形场地，其本质是另三边长度之和等于木栏长度．解答此类问题一般利用矩形面积公式列一元二次方程求解． 在此类问题中，当墙的长度有限制时，需要根据墙的长度，对求得的根加以取舍． 综合应用创新 如图3.5-4，用长为30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃.设花圃的一边AB的长为x m. (1)BC的长用含x的代数式表示为 m. (2)当AB的长是多少米时，围成的花圃面积为63 m2 ？ (3)围成的花圃面积能否为80 m2 ？若能，请求出AB的长度；若不能，请说明理由. 例6 类型2 增加隔断，围成多个矩形问题 综合应用创新 解题秘方：紧扣矩形的面积公式，建立一元二次方程模型解决问题，注意中间的隔断对边长的影响. 综合应用创新 解：(1)(30-3x) (2)根据题意，得x(30-3x)=63，解得x1=7，x2=3. 当x=7 时，30-3x=9<10，符合题意； 当x=3 时，30-3x=21>10，不符合题意，舍去. 答：当AB的长是7 m时，围成的花圃面积为63 m2. 综合应用创新 (3)不能. 理由如下： 根据题意，得x(30-3x)=80， 整理，得3x2-30x+80=0. 因为Δ=b2-4ac=(-30)2-4×3×80=-60<0， 所以该方程没有实数根. 所以围成的花圃面积不能为80 m2. 综合应用创新 方法点拨 围墙问题中若增加了隔断，围成多个矩形，解答问题时，将多个矩形合并为一个矩形，根据矩形的面积公式列出一元二次方程．在增加了隔断的问题中，在用代数式表示矩形的长和宽时，要注意隔断的数量． 综合应用创新 [中考·东营] 如图3.5-5，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料). 例7 类型3 增加门问题 综合应用创新 (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2 的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到650 m2 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 综合应用创新 解题秘方：紧扣矩形的面积公式，建立一元二次方程模型解决问题. 综合应用创新 解：(1)设矩形ABCD的边AB=x m， 则边BC=70-2x+2=(72-2x)m.根据题意，得 x(72-2x)=640.整理，得 x2-36x+320=0，解得 x1=16，x2=20. 当 x=16 时，72-2x=72-32=40； 当 x=20 时，72-2x=72-40=32. 答：当羊圈的长为 40 m，宽为16 m 或长为 32 m，宽为20 m 时，能围成一个面积为640 m2 的羊圈 . 注意需加上门的宽度 综合应用创新 (2)不能 . 理由如下：设矩形ABCD的边AB=y m， 根据题意，得 y(72-2y)=650. 整理，得 y2-36y+325=0. 因为 Δ=b2-4ac=(-36)2-4×1×325=-4<0， 所以该方程没有实数根 . 所以羊圈的面积不能达到 650 m2. 综合应用创新 特别提醒 围墙问题中，若增加门，在用代数式表示矩形的长和宽时，总长度要用栅栏的长度加上门的宽度，若有多个门，就加上多个门的宽度 . 综合应用创新 王大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，批发商规定：该种水果 10 kg 起售，每人每天最多购买 100 kg；批发价 y( 单位：元/kg)与购买的质量x( 单位：kg)满足一次函数关系，如图3.5-6所示.根据王大爷的销售经验，这种水果售价为12 元 /kg时，每天可 以销售10 kg；售价每千克降低 0.1元，每天 可多销售2 kg. 假定每天购进的水果当天能 够全部销售完． 例8 题型 根据图象信息用一元二次方程解一次函数问题 3 综合应用创新 (1)求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)在尽量让顾客得到实惠的情况下，每天购进这种水果多少千克时，获得的利润为 120 元？ 综合应用创新 解题秘方：用待定系数法求出 y 与 x 之间的函数关系式，再根据“利润 = 销售量 ×(售价 - 批发价)”列方程求解． 综合应用创新 解：(1)设 y=kx+b，将(10，8)，(30，7.8)代入， 得解得 所以 y 与 x 之间的函数关系式为 y=-0.01x+8.1． 综合应用创新 (2)由题意得［(12-×0.1)-(-0.01x+8.1)］·x=120， 整理得 x2-110x+3 000=0，解得 x1=50，x2=60． 当 x=50 时，售价为 12-20×0.1=10(元 /kg)； 当 x=60 时，售价为 12-25×0.1=9.5(元 /kg). 因为要尽量让顾客得到实惠，所以 x=60. 答：在尽量让顾客得到实惠的情况下，每天购进这种水果 60 kg时，获得的利润为 120 元． 综合应用创新 方法点拨 解决一次函数与方程的综合应用问题时，一般先用待定系数法求出函数的表达式，再根据题目中的等量关系列方程求解 .涉及图象时，还要弄清楚横轴和纵轴所表示的意义． 综合应用创新 [新视角 动点探究题]如图3.5-7，在矩形ABCD中，AB=8 cm，BC=12 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向终点B运动，点Q从点B出发，以 2 cm/s的速度向终点C运动 . 点P和点Q同时出发，当其 中一点到达终点时，另一点也随之停 止运动. 设运动时间为 t s. 连接DP， DQ，PQ. 例9 题型 利用一元二次方程解几何动点问题 4 综合应用创新 (1)在运动过程中，PQ的长度能否为4 5 cm ？若能，求出 t的值；若不能，请说明理由． (2)当 t 为何值时，△PDQ的面积为 40 cm2 ？ 综合应用创新 思路导引： 综合应用创新 解：(1)能 . 由题意得AP=t cm，BQ=2t cm，则BP=(8-t)cm． 在 Rt △BPQ中，PQ2=BP2+BQ2，即(8-t)2+(2t)2=(4)2， 整理得 5t2-16t-16=0，解得 t=4 或 t=-(舍去)． 所以当 t 为 4 时，PQ的长度为 4cm. 综合应用创新 (2)矩形ABCD的面积为 8×12=96(cm2)， △APD的面积为×t×12=6t(cm2)， △BPQ的面积为×(8-t)×2t=(8t-t2)cm2， △CDQ的面积为×8×(12-2t)=(48-8t)cm2， 则△PDQ的面积为 96-6t-(8t-t2)-(48-8t)=(t2-6t+48)cm2． 令 t2-6t+48=40，解得 t=2 或 t=4． 所以当 t 为 2 或 4 时，△PDQ的面积为 40 cm2． 综合应用创新 方法点拨 以“静”制“动”解几何动点问题的方法： (1) 分析出动点的运行路线 ,用含未知数的代数式把相应的线段的长表示出来 . (2) 结合题意，用“静”的方法来处理“动”的问题，找到线段之间的数量关系，建立方程模型 . 勾股定理是建立一元二次方程的重要依据 . 综合应用创新 某商场将进货价为45 元的某种服装以65 元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 调查发现：每件降价1 元，则平均每天可多售5 件，如果平均每天要盈利800元，每件应降价 　 　________元． 例10 易错点 忽略实际问题对方程的根的限制而致错 1 综合应用创新 错解：4 或10 正解：设每件应降价x 元，则每件的销售利润为 (65-x-45)元，每天可售出(30+5x)件. 根据题意，得(65-x-45)(30+5x)=800，解得x1=4，x2=10． 因为要尽快减少库存，所以x=10．故每件应降价10 元． 答案：10 综合应用创新 诊误区： 解决实际问题时，要认真审题，弄懂每句话的含义，本题容易忽略“为了尽快减少库存”这一条件，未舍去x=4而出错. 综合应用创新 [中考·绵阳]超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为 500 元. 因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础 上，4，5月份按照相同的降价率r 连续降价.已知5月份礼盒的售价为486 元，则r= _______. 例11 考法 利用一元二次方程解增长(降低)率问题 1 中考风向标 试题评析：本题考查了一元二次方程的应用，掌握增长(降低)率问题中的等量关系是解题的关键． 解：根据题意，得500(1+20%)(1-r)2=486， 解得r1=0.1=10%，r2=1.9(不合题意，舍去). 所以r=10%. 答案：10% 中考风向标 [中考·淮安]某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表： 例12 考法 利用一元二次方程解商品销售问题 2 每件的售价x/ 元 … 25 28 31 … 日销售量y/ 件 … 15 12 9 … 中考风向标 (1)求y与x之间的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价. 中考风向标 试题评析：本题考查了求一次函数表达式和一元二次方程的应用，解题的关键是正确求出一次函数的表达式及列一元二次方程. 中考风向标 解：(1)设y 与x 之间的函数表达式为y=kx+b(k ≠ 0)． 把x=25，y=15 和x=28，y=12 代入， 得解得 所以y与x之间的函数表达式为y=-x+40. 中考风向标 (2)由(1)知y=-x+40， 根据题意得x(-x+40)=300， 整理得x2-40x+300=0，解得x1=30，x2=10. 答：每件玩具的售价为10 元或30 元时， 日销售额为300 元． 中考风向标 [母题中考·威海教材P123 练习T1]如图3.5-8，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园. 为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分). 小路把种植园分成面积均 为24 m2 的9 个矩形地块，请你求 出小路的宽度. 例13 考法 利用一元二次方程解几何图形问题 3 中考风向标 试题评析：本题主要考查了一元二次方程的应用，根据面积关系建立方程是解题的关键. 中考风向标 解：设小路的宽度为x m． 由题意得(20-4x)(14-4x)=24×9， 整理得2x2-17x+8=0， 解得x=或x=8(舍去)． 答：小路的宽度为m. 中考风向标 [中考·泰安]如图3.5-9是用图形“○”和“● ”按一定规律摆成的“小屋子”.按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○ ”个数是图形“●”个数的3 倍. 例14 考法 利用一元二次方程解规律问题 4 中考风向标 试题评析：本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用，能根据所给图形发现“○”和“●”的个数变化规律是解题的关键. 中考风向标 解：第1 个“小屋子”中图形“○ ”的个数 为1=1，“● ”的个数为4=1×2+2； 第2 个“小屋子”中图形“○”的个数为 3=1+2，“●”的个数为6=2×2+2； 第3 个“小屋子”中图形“○”的个数为 6=1+2+3，“●”的个数为8=3×2+2； 第4 个“小屋子”中图形“○ ”的个数为 10=1+2+3+4，“●”的个数为10=4×2+2；… 中考风向标 所以第n 个“小屋子”中图形“○”的个数为1+2+3+…+n=，“● ”的个数为2n+2. 由题意得=3(2n+2)，解得n1=-1，n2=12. 又因为n 为正整数，所以n=12.即第12 个“小屋子”中图形“○ ”个数是图形“●”个数的3 倍． 答案：12 中考风向标 1.[开学考试·长沙]两个连续奇数的积是255.下列的各数 中，是这两个数中的一个的是(　　) A. 19 B. 5 C. 17 D. 51 C 综合素养训练 2. 某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，共需安排15场比 赛，则八年级班级的个数为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 B 综合素养训练 3. [母题 教材P125 习题T8]如图，在矩形ABCD中，AB= 16 cm，AD=8 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s 的速度沿AB向点B运动，点Q以2 cm/s 的速度沿CD向点D运动．若其中一点到达终点，另一点也随之停止运动. 当点P和点Q的距离为 10 cm 时，点P，Q运动的时间为( ) A. 2 s 或s B. 1 s 或sC. s D. 2 s 或s D 综合素养训练 4. 如图，将边长为6 cm 的正方形纸片ABCD，剪去图中阴影部分的四个全等的直角三角形，再沿图中虚线折起，可以得到一个长方体盒子(A，B，C，D正好 重合于上底面一点，且AE=BF). 若所得到的 长方体盒子的表面积为11 cm2，则线段AE= _________. 0.5m 综合素养训练 5. 某商场经销A 玩具, 购进时的单价是60元. 按照要求, 销售时单件利润率不得超过40%.根据市场调查,销售单价定为80元时,每天可以售出200 件, 而销售单价每降低1 元, 每天就可多售出20 件. 求销售单价定为多少时, 该商场每天销售A 玩具可以获利2 500 元. 综合素养训练 解：设销售单价定为x元，则每件的销售利润为(x-60)元，每天可以售出200+ 20(80-x)=(1 800-20x)件. 根据题意，得 (x-60)(1 800-20x)=2 500. 整理，得 x2-150x+5 525=0，解得 x1=65，x2=85. 因为销售时单件利润率不得超过40%，所以x≤60×(1+40%)=84.所以x=85不符合题意，舍去.所以x=65. 答:销售单价定为65元时，该商场每天销售A玩具可以获利2 500元. 综合素养训练 6. [期末·长沙宁乡市]某校在校园开辟了一块劳动教育基 地，如图，一面利用学校的墙(墙MN的最大可用长度为22 米)，用长为40 米的篱笆，围成一个封闭的矩形菜 地，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x 米. 综合素养训练 (1)BC= _______米(用含x 的代数式表示)； (2)若围成的菜地面积为192 平方米，求此时AB的长. (40-2x) 解：由题意可得x(40-2x)=192，解得x=12或x=8， 当x=12时，40-2x=16<22，符合题意； 当x=8时，40-2x=24>22，不符合题意. 所以，此时AB的长为12米. 综合素养训练 7. 小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批发这种水果不得少于100 kg，超过300 kg 时，所有这种水果的批发单 价均为3 元/kg. 如图，折线表示批发 单价y(单位：元/kg)与质量x(单位： kg)之间的函数关系. 综合素养训练 (1)求图中线段AB所在直线的函数表达式； 解：设线段AB所在直线的函数表达式为y=kx＋b(k≠0). 将点A(100，5)，B(300，3)的坐标代入，得，解得 所以线段AB所在直线的函数表达式为y=-0.01x＋6. 综合素养训练 (2) 小李用800 元一次可以批发这种水果的质量是多少？ 解：①当100≤x≤300时，依题意得(-0.01x＋6)·x=800， 解得x1=200，x2=400(舍去). ②当x＞300时，依题意有3x=800，解得x=8003(舍去). 答:小李用800元一次可以批发这种水果的质量是200 kg. 综合素养训练 8. [常德芷兰实验学校自主招生]如图为某月的日历表，在其中用一个方框圈出4 个数(如图中正方形框所示)，设这4 个数从小到大依次为a，b，c，d. 综合素养训练 (1)按这种方法所圈出的4 个数中，ab 的最大值是多少？ 解：由题意，可知a的最大值为23， 所以ab的最大值为23×24=552. 综合素养训练 (2)子怡说：“按这种方法可以圈出4 个数，使得bc 的值为135．”瑾萱说：“按这种方法可以圈出4 个数，使最小数a 与最大数d 的乘积ad 为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明两人的说法是否正确. 若正确，求a 的值. 综合素养训练 解：子怡：根据题意，得(a+1)(a+7)=135， 整理得a2+8a-128=0，解得a1=8，a2=-16(不合题意，舍去). 所以子怡的说法正确，a的值为8. 瑾萱：根据题意，得a(a+8)=84，整理得a2+8a-84=0， 解得a1=6，a2=-14(不合题意，舍去). 所以瑾萱的说法正确，a的值为6. 综合素养训练 9. [新视角 规律探究题阅读]下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1 个点，第二行有2 个点…… 第n 行有n 个点……容易发现， 三角点阵中前4 行的点数之和为10. 综合素养训练 (1)探索：三角点阵中前8 行的点数之和为_____，前15 行的点数之和为_____ ，那么，前n 行的点数之和为 _________ . (2)体验：三角点阵中前n 行的点数之和_____ (填“能”或“不能”)为500. 36 120 12n(n+1) 不能 综合素养训练 (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420 盆同样规格的花，按照第一排2 盆，第二排4 盆，第三排6 盆……第n 排2n 盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 综合素养训练 解：前n排摆放的盆数之和为2+4+6+…+2n=2×n(n+1)=n(n+1). 由题意得n(n+1)=420，整理得n2+n-420=0， 解得n=20或n=-21(舍去). 答：一共能摆放20排. 综合素养训练 $