第09讲 圆的方程（5大知识点+7大题型）讲义-2026年新高二数学暑假衔接进阶讲义（人教A版）

第9讲 圆的方程 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：圆的标准方程 3 知识点二：点和圆的位置关系 3 知识点三：圆的一般方程 3 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤 4 知识点五：轨迹方程 4 03 题型精讲举一反三 5 题型 1：圆的标准方程求解 5 题型 2：圆的一般方程求解 7 题型 3：点与圆位置关系判定 9 题型 4：二元二次方程表圆判定 11 题型 5：圆过定点问题求解 13 题型 6：圆的轨迹方程求解 16 题型 7：阿波罗尼斯圆综合应用 20 04 过关测试 26 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 知识点五：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 题型 1：圆的标准方程求解 例1．（2026·高二·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 例2．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，所以 ，即， 化简得, 解得，代入方程得, 则圆的标准方程为. 故选：A. 例3．（2026·高二·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，可设， 由可得， 解得，故得圆心，半径为， 则所求圆的方程为. 故选：A. 变式1．（2026·高二·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意设圆心，因为圆经过、两点，则， 所以，解得， 故圆心为，圆的半径为， 故圆的方程为. 故选：C. 变式2．（2026·高二·北京东城·期末）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆的圆心坐标为，且与轴相切，可知圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：A. 变式3．（2026·高三·重庆·阶段检测）圆心在轴，且经过点和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆的方程为， 则， 所以圆的方程是， 故选：C. 题型 2：圆的一般方程求解 例4．（2026·高二·重庆·阶段检测）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知、，则中点坐标为即. ， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为. 所以圆的标准方程为，展开可得， 整理得. 故选：B. 例5．（2026·高二·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的外接圆方程为， 因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为. 故选：D. 例6．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A 变式4．（2026·高二·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程， 整理可得，解得， 故所求的圆的一般方程为， 故选：D． 变式5．（2026·高二·四川·阶段检测）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，，，，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】设的外接圆为 由题意可得：，解得 ∴的外接圆为 若在该圆上，则，解得 故选：C. 变式6．若不同的四点，，，共圆，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D．7 【答案】D 【解析】设圆的方程为，分别代入A，B，C三点坐标，得， 解得， 所以A，B，C三点确定的圆的方程为． 因为也在此圆上，所以， 所以， 解得a＝7或（舍去）． 故选：D． 题型 3：点与圆位置关系判定 例7．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【解析】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 例8．（2026·高二·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 例9．（2026·高二·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 变式7．（2026·高二·河南郑州·期中）已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【答案】C 【解析】由是方程的两个不等实数根，得， 则， 所以点与圆外. 故选：C 变式8．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【答案】B 【解析】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 变式9．（2026·高二·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由在圆内，得， 即，可化为； 解得，即. 故选：A 题型 4：二元二次方程表圆判定 例10．（2026·高二·上海黄浦·期中）若方程为圆的方程，则的值为______. 【答案】1 【解析】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去， 所以 例11．（2026·高二·上海松江·阶段检测）方程表示圆，的取值范围为_____ 【答案】 【解析】因为方程表示圆， 所以，化简得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 例12．（2026·高二·广东·期中）已知，方程表示圆，则圆心坐标是_______． 【答案】 【解析】因为方程表示圆， 所以①，②， 由①可得或． 当时，，不满足要求，舍去， 当时，，满足要求， 所以圆的方程为， 即，圆心为； 故答案为：. 变式10．（2026·高二·天津·阶段检测）已知圆的圆心在第二象限，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】由， 化简可得， 圆心在第二象限，则， 所以，解得， 所以实数的范围. 故答案为： 变式11．（2026·高二·上海浦东新·阶段检测）若点在圆外，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】点在圆外， ，且， 解得或． 实数的取值范围为． 故答案为：. 变式12．（2026·高二·安徽芜湖·期中）已知关于x，y的二元二次方程，当t为________时，方程表示的圆的半径最大． 【答案】 【解析】 即， ，解得， 设圆的半径为r，则， 所以当时，，所以． 故答案为：． 题型 5：圆过定点问题求解 例13．（2026·高二·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【解析】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 例14．（2026·高二·河北张家口·阶段检测）点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点____________ 【答案】和 【解析】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和， 因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 故答案为：和 例15．已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上，动圆恒过一个异于点的定点________． 【答案】 【解析】因为圆心在直线上，可设圆心坐标为：， 则圆的半径满足， 所以圆的标准方程为： 整理得：. 设定点坐标， 所以， 即， 因为当为变量时，，能使该等式恒成立， 所以只可能且 即解方程组可得：，或者，（舍去） 所以圆恒过一定点. 故答案为： 变式13．（2026·高三·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______ 【答案】 【解析】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得， 方程组的解为. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 变式14．（2026·高二·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【答案】3 【解析】变形得到， 令，解得或， 不妨设，， 所以. 故答案为：3 变式15．已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点______． 【答案】， 【解析】由题设，可得，故， 令，则，不妨令其为，令 令，则，且， 所以或，则是的两个根， 经过，，三点的圆为， 所以，即是的两个根，则， 且且（否则与中一点重合且为原点），则， 综上， ，则， 令，可得，即或， 对应分别为，所以圆必过，. 故答案为：， 题型 6：圆的轨迹方程求解 例16．（2026·高二·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【解析】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 例17．（2026·高二·陕西汉中·阶段检测）已知的斜边为，且，求： (1)若边所在直线的一个方向向量为，求边所在直线方程; (2)求直角顶点的轨迹方程. 【解析】（1）设直线的斜率为， 因为直线的一个方向向量为，所以， 所以直线的方程为，即； （2）方法一：设，因为三点不共线，所以. 因为，且斜率均存在，所以， 又，所以，化简得， 因此，直角顶点C的轨迹方程为，即. 方法二：线段的中点为，由中点坐标公式得， 由直角三角形的性质知, 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆 （由于三点不共线，所以应除去与x轴的交点）. 所以直角顶点的轨迹方程为. 例18．（2026·高二·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【解析】（1）设圆的圆心为，半径为，其标准方程为， 因为圆心在直线上，因此，即，圆心可表示为， 因为圆经过和，则圆心到、的距离相等，由距离公式得： 解得，代入，得，即圆心为， 半径， 因此，圆的方程为； （2）设，则， 由，其中，则向量关系为：， 即， 解此方程组，用表示：， 代入圆的方程，得：， 化简得：. 所以点的轨迹方程为， 其轨迹为以为圆心，为半径的圆. 变式16．（2026·高二·河北邢台·阶段检测）已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 【解析】（1）设圆心为，由题意可得， 则，解得，所以，圆的半径为， 故圆的方程为． （2）设点，共中，则，设点， 因为，则， 可得，可得， 因为点在圆上，则，即． 故点的轨迹方程为． 变式17．（2026·高二·广东湛江·阶段检测）已知，点P在y轴上，满足． (1)求点P的坐标； (2)若动点Q与的距离的比为，求动点Q的轨迹方程． 【解析】（1）由点P在y轴上，设，则， 由，则， 即，解得， 故点P的坐标为. （2）设，， 由，得，即， 则， ， 则有 化简得，即. 则动点Q的轨迹方程. 变式18．（2026·高二·吉林·阶段检测）已知圆经过点，且圆与轴相切． (1)求圆的方程； (2)设是圆上的动点，点的坐标为，求线段CP的中点的轨迹方程． 【解析】（1）线段的中点，直线的斜率为1，则线段的中垂线方程为， 设圆的圆心，由圆与轴相切，得，解得， 所以圆的圆心，半径为1，方程为. （2）设，依题意，点在圆上，即， 化简得， 所以线段CP的中点的轨迹方程. 变式19．（2026·高二·江苏盐城·期中）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (3)设为上的一个动点，求中点的轨迹方程． 【解析】（1）由，得， 令，得， 因此点的坐标为. （2）由（1）知点的坐标. 若截距为，即直线经过原点， 设直线方程为，则， 此时直线的方程为， 若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得， 此时直线方程为， 则过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或． （3）设，，则， 得到，所以， 又点在上，所以， 整理得， 故的轨迹方程为. 题型 7：阿波罗尼斯圆综合应用 例19．（2026·高二·湖北武汉·开学考试）阿波罗尼斯（约公元前262-公元前190年）证明过这样的一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______． 【答案】 【解析】由题意得A，B间的距离为4，不妨设， 因为P，A，B不共线，故设， 因为，则，即， 整理得， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆除去与轴的交点， 当点到（轴）的距离最大为时，的面积最大， 此时. 例20．（2026·辽宁·模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为________． 【答案】9 【解析】由为圆上一动点，得， 由为圆上一动点，得， 又. 因为，所以， 于是. 当共线且时取得最小值，即. 所以， 当共线时等号成立. 故答案为：9． 例21．（2026·高二·江苏徐州·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知圆上的动点和定点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】如图所示：圆心为，取，则，， 故，， ， 当且仅当三点共线，且在线段上时等号成立， 故答案为：. 变式20．（2026·高二·湖南·阶段检测）若，是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点，，，动点满足，则的最大值为______． 【答案】 【解析】设，则，整理得， 则是圆：上一点， 由，得,如图所示 故， 当且仅当，，三点共线，且在之间时取得最大值． 又因为, 所以的最大值为. 故答案为：. 变式21．（2026·高二·福建福州·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】设，则， 则，得， 其即为，则，解得， 则， ，即共线时取得最小值， 则. 故答案为： 变式22．（2026·高二·浙江杭州·期中）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹为圆，已知分别是圆与直线上的点，O 是坐标原点，则的最小值为_______ 【答案】 【解析】设，，设，若， 整理得，由圆C方程得，解得，则． 圆上任意一点，都有，所以， 的最小值为点到直线的距离，， 所以，即的最小值为. 故答案为： 变式23．（2026·高二·四川成都·期中）已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，直线：，直线：，若P为，的交点，则的最小值为______． 【答案】/ 【解析】直线：即，过定点 直线：即，过定点 又，故， 则点在以线段为直径的圆上， 即点的轨迹为，即， 假设存在点，使恒成立，设 则，整理得， 与的轨迹对照得，解得， 即存在点，使，即， 所以， 即的最小值为. 故答案为：. 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设动点，圆上点， 因为是在轴上的投影，则易得， ，， 因为 ，所以，解得， （*）， 因为是圆上，所以， 将（*）代入得，即， 则点的轨迹方程为. 2．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则， 所以， 又，所以， 以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，则，设， 所以，整理得到， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，故到距离的最大值为， 则三角形面积的最大值为. 3．（2026·高二·浙江台州·期末）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，得或；令，得或. 以代替，以代替，方程仍然成立， 所以曲线关于轴，轴，原点对称. 所以可先分析的情况. 当时，，即， 所以曲线在第一象限的部分由以为圆心，以为半径的半圆和一个三角形，及原点组成. 所以其面积为. 所以曲线围成的图形的面积为. 故选：B. 4．（2026·高二·江苏南通·期末）若实数满足，则的最大值是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【解析】已知实数满足，即点在以原点为圆心，半径的单位圆上. 设，其几何意义为单位圆上任意一点与定点连线的斜率. 设直线的方程为，即 当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 可得，解得或； 结合图象可知的最大值为. 故选：D 5．（2026·高二·广西河池·期末）已知圆C的方程为，圆心为C，坐标原点为O，则为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【解析】根据题意，圆C的方程可化为， 所以圆C的圆心为，所以． 故选：C 6．由曲线围成的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，即.曲线表示以为圆心，为半径的圆，围成的面积为. 当时，，即.曲线表示以为圆心，为半径的圆，围成的面积为. 所以曲线围成的图形的面积为. 故选：B. 7．（2026·高二·重庆·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为， 设点关于直线的对称点为，且直线的斜率为， 所以，解得，即所求圆的圆心坐标为， 故圆关于直线对称的圆的方程为. 故选：D. 8．（2026·高二·江西·阶段检测）已知直线，圆，点在直线上运动，是圆上一动点，点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心，半径， 关于的对称点为， 所以， 当且仅当共线时且位于线段之间时取等号， 所以的最小值为， 故选：A. 9．（多选题）（2026·高二·广东梅州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，动点C满足，则（    ） A．C的轨迹方程为 B．的面积最大值为3 C．的最大值为 D．B到直线AC的距离最大值为 【答案】ABD 【解析】对于A，设，由，得， 整理得，故A正确； 对于B，因为点的轨迹方程为，即， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 因为的面积为，所以当取最大值2时， 的面积取得最大值，最大值为，故B正确； 对于C，当共线时，；当不共线时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以，结合共线情形，所以， 综上的最大值为，故C错误； 对于D，当共线时，点到直线的距离为0； 当不共线时，点到直线的距离， 由选项C知，此时，所以， 所以点到直线的距离，结合共线情况可知， 综上点到直线的距离的最大值为，故D正确． 10．（多选题）（2026·高二·宁夏银川·开学考试）设点和均在上，圆心在直线上，则下列结论正确的是（   ） A．圆心为 B．半径为 C．一般方程为 D．点到直线距离为 【答案】AC 【解析】对于A，因为点和均在上，则圆心在线段的中垂线上， 直线的斜率为，线段的中点为， 所以线段的中垂线方程为，即， 又因为圆心在直线上，联立，解得， 故圆心为，A对； 对于B，圆的半径为，B错； 对于C，圆的标准方程为，其一般方程为，C对； 对于D，直线的截距式方程为，化为一般方程为， 故点到直线的距离为，D错. 11．（多选题）（2026·高二·海南海口·期中）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ） A．曲线关于直线轴对称 B．曲线上的点到原点的最大距离为 C．该曲线围成的图形的周长为 D．该曲线围成的图形的面积为 【答案】ABD 【解析】 对于A：将代入曲线方程，方程不变，因此曲线关于直线轴对称，故A正确； 对于B：易知该曲线关于轴，轴，原点对称，因此研究第一象限区域的图象（含边界）即可， 即,整理得,与坐标轴交于点,且的连线所在直线过圆心,因此为直径，故该曲线在第一象限（含坐标轴）上的图象为半圆. 又因为坐标原点也在上述半圆所在的整圆上，因此曲线上的点到原点的最远距离恰好是上述圆的直径,故B正确； 对于C：由该曲线的对称性可知，该曲线围成的周长是四个半径为的半圆的周长， 因此周长,故C错误. 对于D：由该曲线的图象可知，该曲线围成的面积是四个半径为的半圆的面积与四个直角边长为1的等腰直角三角形的面积之和, 故,故D正确. 故选：ABD. 12．已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 【答案】（且） 【解析】法一：设顶点，因为，且，，三点不共线，所以且． 又因为，，且， 所以，化简得． 因此，直角顶点的轨迹方程为（且）． 法二：设的中点为，由中点坐标公式得． 由直角三角形的性质知，． 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（由于，，三点不共线，所以应除去与轴的交点）， 直角顶点的轨迹方程为（且）． 13．（2026·高三·青海西宁·阶段检测）圆的直径的最小值为____________． 【答案】 【解析】圆的方程可化为， 则直径． 故答案为： 14．（2026·高二·浙江·期中）设是圆上的动点，是圆上的动点，为坐标原点，则最小值是_________. 【答案】8 【解析】圆的方程为，其圆心，半径． 设，根据两点间距离公式，由可得：， 两边平方整理得， 因为在圆（即）上， 将代入得：， 即． 由于该式对圆上所有成立， 所以且，解得，即点，且满足． 所以， 而，所以. 15．（2026·高二·广东湛江·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、. (1)求边的高线的直线方程； (2)求边的垂直平分线的直线方程； (3)求的外接圆方程. 【解析】（1）因为，且，故直线的斜率为， 因为经过，所以直线的方程为，即. （2）因为线段的中点，且，， 故直线的斜率为，所以直线的方程为，即. （3）设的外接圆的方程为， 因为，解得， 所以的外接圆方程为. 16．（2026·高二·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 【解析】（1）线段的中垂线为， 因为圆心在直线上，所以圆心满足： ，解得，即圆心 又半径，所以圆C的方程为； （2）方法1：设，则， 又因为， ，所以， 当且仅当三点共线时等号成立 所以，即最大值与最小值分别为49和9． 方法2：设， 则 所以的最大值与最小值分别为49和9． 17．（2026·高二·江苏徐州·期末）已知点，，. (1)求外接圆的方程； (2)若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离. 【解析】（1）设所求圆的方程为. 则  解得 故所求圆的方程为. （2）因为点关于直线的对称点为，所以， 因为，所以， 所以直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为. 18．已知圆，点为圆上一动点，点，线段的中点为，点的轨迹为曲线.求曲线的方程； 【解析】设，，因为为线段的中点，， 所以得 又因为点在圆上，所以， 所以，化简得， 所以曲线的方程为. 19．（2026·高二·广东东莞·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程． 【解析】（1）因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为， 又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，， 所以圆心坐标为，所以圆的半径， 则圆的方程为：； （2）设，，， 则有，，． 由，可得，解之得， 由点在圆上，得，所以， 即， 故点的轨迹方程为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 圆的方程 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：圆的标准方程 3 知识点二：点和圆的位置关系 3 知识点三：圆的一般方程 3 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤 4 知识点五：轨迹方程 4 03 题型精讲举一反三 5 题型 1：圆的标准方程求解 5 题型 2：圆的一般方程求解 5 题型 3：点与圆位置关系判定 6 题型 4：二元二次方程表圆判定 7 题型 5：圆过定点问题求解 7 题型 6：圆的轨迹方程求解 8 题型 7：阿波罗尼斯圆综合应用 9 04 过关测试 11 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 知识点五：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 题型 1：圆的标准方程求解 例1．（2026·高二·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·高二·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 变式1．（2026·高二·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 变式2．（2026·高二·北京东城·期末）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·高三·重庆·阶段检测）圆心在轴，且经过点和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 题型 2：圆的一般方程求解 例4．（2026·高二·重庆·阶段检测）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 例5．（2026·高二·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 例6．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·高二·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 变式5．（2026·高二·四川·阶段检测）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，，，，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 变式6．若不同的四点，，，共圆，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D．7 题型 3：点与圆位置关系判定 例7．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 例8．（2026·高二·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 例9．（2026·高二·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 变式7．（2026·高二·河南郑州·期中）已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 变式8．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 变式9．（2026·高二·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型 4：二元二次方程表圆判定 例10．（2026·高二·上海黄浦·期中）若方程为圆的方程，则的值为______. 例11．（2026·高二·上海松江·阶段检测）方程表示圆，的取值范围为_____ 例12．（2026·高二·广东·期中）已知，方程表示圆，则圆心坐标是_______． 变式10．（2026·高二·天津·阶段检测）已知圆的圆心在第二象限，则实数的取值范围为_____. 变式11．（2026·高二·上海浦东新·阶段检测）若点在圆外，则实数a的取值范围是______. 变式12．（2026·高二·安徽芜湖·期中）已知关于x，y的二元二次方程，当t为________时，方程表示的圆的半径最大． 题型 5：圆过定点问题求解 例13．（2026·高二·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 例14．（2026·高二·河北张家口·阶段检测）点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点____________ 例15．已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上，动圆恒过一个异于点的定点________． 变式13．（2026·高三·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______ 变式14．（2026·高二·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 变式15．已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点______． 题型 6：圆的轨迹方程求解 例16．（2026·高二·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 例17．（2026·高二·陕西汉中·阶段检测）已知的斜边为，且，求： (1)若边所在直线的一个方向向量为，求边所在直线方程; (2)求直角顶点的轨迹方程. 例18．（2026·高二·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 变式16．（2026·高二·河北邢台·阶段检测）已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 变式17．（2026·高二·广东湛江·阶段检测）已知，点P在y轴上，满足． (1)求点P的坐标； (2)若动点Q与的距离的比为，求动点Q的轨迹方程． 变式18．（2026·高二·吉林·阶段检测）已知圆经过点，且圆与轴相切． (1)求圆的方程； (2)设是圆上的动点，点的坐标为，求线段CP的中点的轨迹方程． 变式19．（2026·高二·江苏盐城·期中）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (3)设为上的一个动点，求中点的轨迹方程． 题型 7：阿波罗尼斯圆综合应用 例19．（2026·高二·湖北武汉·开学考试）阿波罗尼斯（约公元前262-公元前190年）证明过这样的一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______． 例20．（2026·辽宁·模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为________． 例21．（2026·高二·江苏徐州·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知圆上的动点和定点，则的最小值为______． 变式20．（2026·高二·湖南·阶段检测）若，是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点，，，动点满足，则的最大值为______． 变式21．（2026·高二·福建福州·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为___________. 变式22．（2026·高二·浙江杭州·期中）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹为圆，已知分别是圆与直线上的点，O 是坐标原点，则的最小值为_______ 变式23．（2026·高二·四川成都·期中）已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，直线：，直线：，若P为，的交点，则的最小值为______． 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·浙江台州·期末）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·江苏南通·期末）若实数满足，则的最大值是（   ） A． B．0 C． D． 5．（2026·高二·广西河池·期末）已知圆C的方程为，圆心为C，坐标原点为O，则为（    ） A．3 B． C． D．4 6．由曲线围成的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·重庆·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·江西·阶段检测）已知直线，圆，点在直线上运动，是圆上一动点，点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高二·广东梅州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，动点C满足，则（    ） A．C的轨迹方程为 B．的面积最大值为3 C．的最大值为 D．B到直线AC的距离最大值为 10．（多选题）（2026·高二·宁夏银川·开学考试）设点和均在上，圆心在直线上，则下列结论正确的是（   ） A．圆心为 B．半径为 C．一般方程为 D．点到直线距离为 11．（多选题）（2026·高二·海南海口·期中）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ） A．曲线关于直线轴对称 B．曲线上的点到原点的最大距离为 C．该曲线围成的图形的周长为 D．该曲线围成的图形的面积为 12．已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 13．（2026·高三·青海西宁·阶段检测）圆的直径的最小值为____________． 14．（2026·高二·浙江·期中）设是圆上的动点，是圆上的动点，为坐标原点，则最小值是_________. 15．（2026·高二·广东湛江·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、. (1)求边的高线的直线方程； (2)求边的垂直平分线的直线方程； (3)求的外接圆方程. 16．（2026·高二·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 17．（2026·高二·江苏徐州·期末）已知点，，. (1)求外接圆的方程； (2)若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离. 18．已知圆，点为圆上一动点，点，线段的中点为，点的轨迹为曲线.求曲线的方程； 19．（2026·高二·广东东莞·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $