第一章勾股定理学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学练考试卷（北师大版·新教材）陕西专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级上 湘 1.第一章学情调研 尽 始 (时间：120分钟满分：120分) 图H 匙期 第一部分（选择题 共24分) 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1.(期中·24-25西工大附中)下列各组数，是勾股数的是( ) A.4,5,6 B.0.5,1.2,1.3 C.1,2,3 D.5,12,13 2.在△ABC中，∠A=25°，∠B=65°，则下列式子成立的是( ) A.AC2+BC2=AB2 B.AB2+BC2=AC C.(AC+BC)2=AB2 D.AC+AB2=BC2 3.（月考·24-25西安三中)如图，在一段高为5m、长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应 是() 苹 A.13m B.17m C.18m D.25m 4.(月考·24-25西安交大附中)如图，以Rt△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为 S1,S2,S3,若S1十S2十S3=80,则S1的值为() A.20 B.30 C.40 D.50 5 m 13m 金星教 S2 棕 第3题图 第4题图 第5题图 5.情境题如图，某人准备测量一蓄水池的深度，他把一根竹竿AB从蓄水池中央竖直插到水底，此时 竹竿AB离池边点C处的距离CD=0.8m,竹竿高出水面的部分AD长0.2m,如果把竹竿的顶端 A拉向池边点C处，竿顶和池边的水面刚好相齐，那么这一蓄水池的深度BD为( A.1.5m B.1.7m C.1.8m D.0.6m 6.如图所示，△APB在正方形网格中，则∠PAB十∠PBA=( )(点A,B,P是网格线的交点) A.30° B.45° C.60° D.90° 警0 B H D 圈) A 第6题图 第7题图 7.（开学考·24-25西安爱知中学改编)如图，AB,BC,CD,DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点 A,C,E共线.若AC=6cm,CD⊥BC,则线段CE的长度为() A.6cm B.7 cm C.8 cm D.10 cm 8.数学建模几何如图，已知A村庄与B村庄相距12km,A村庄的土地灌溉，点在C处，B村庄的土地 灌溉点在D处.已知∠BAC=∠ABD=90°，AC=2km,DB=3km,现要在线段AB之间选一点建 一水站E,使得水站E分别到灌溉点C与灌溉点D的距离之和最短，则最短距离是()k. 第8题图 A.10 B.17 C.14 D.13 第二部分（非选择题 共96分) 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9.在Rt△ABC中，BC=1.2,AC=1.6,则斜边AB= 10.用三根长度分别为3cm,4cm,6cm长的木棍 围成一个直角三角形（填“能”或“不能”）. 11.（月考·23-24西安爱知中学)如图，在公园内有两棵树相距8m,一棵树高15m,另一棵树高9m, 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 m. 8 m ① ② ③ 第11题图 第12题图 第13题图 12.数学文化如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是 由我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.如果图①中的直 角三角形的长直角边为7cm,短直角边为3cm,连接图②中四条线段得到如图③的新图案，则图 ③中阴影部分的周长为 cm 13.（中考·2024陕西)如图，在△ABC中，AB=AC,E是边AB上一点，连接CE,在BC的右侧作 BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为 三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程） 14.(6分)在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C所对的边， (1)已知a=7,b=24,求c的长. (2)已知c=13,b=12,求a的长， 15.(5分)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他 惊喜地发现，当四个全等的直角三角形如图所示摆放时，可以用“面积法”来验证α2十b2=c2.你能 说明其中的道理吗？请试一试 第15题图 16.(月考·24-25宝鸡一中)(5分)如图，在一棵树上10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子沿树 爬下，走到离树20处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D处直跃向池塘的A处，如果两只猴 子所经过的路程相等，则这棵树有多高（设树与地面垂直）？ 精品图 金星教育 第16题图 17.开放性试题(6分)如图是单位长度为1的正方形网格 (1)在图①中画出一条长度的平方为10的线段AB. (2)在图②中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形 ① ② 第17题图 18.(5分)已知：如图，在四边形ABCD中，AB=9,BC=12,CD=8,AD=17,且AB⊥BC.求四边形 ABCD的面积. A 第18题图 19.(开学考·23-24西安交大附中改编)(5分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=3,沿 过点A的直线折叠，使点B落在BC边上的点D处，再次折叠，使点C与点D重合，折痕交AC于 点E,求AE的长度 盗印必究 C 关爱学子 第19题图 拒绝盗印 20.（月考·23-24西工大附中)(5分)如图，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm,AA1=14cm,假设 昆虫甲从盒外顶点C开始以1c/s的速度在盒子的外部沿棱CC向下爬行，同时昆虫乙从盒外 顶点A以相同的速度在盒外壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ D B AL Di---C B 第20题图 21.(模考·2023西安铁一中六模)(6分)如图，已知Rt△ABC的周长为32cm,且斜边AB=14cm, 求△ABC的面积. 狗 微 图出 巡前 第21题图 22.数学文化(6分)清代数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有 一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组 勾股数”。 (1)按照这个法则，写出一组勾股数： (最大数不超过18) h (2)用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明. 甜 23.情境题森林火灾（月考·24-25西安三中）(6分)森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大.随着 中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方 向，由点A飞向点B,已知点C为其中一个着火点，已知AB=1000m,AC=600m,BC=800m, 飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响. (1)请通过计算说明着火点C是否可以受到洒水影响？ (2)若该飞机的速度为14/s,要想扑灭着火点C估计需要15s,请你通过计算判断着火点C能 否被扑灭？ 第23题图 24.（月考·23-24西安爱知中学)(8分)如图，在△ABC中，AB=12,AC=16,BC=20. (1)判断△ABC的形状，并说明理由. (2)若点P为线段AC上一点，连接BP,且BP=CP,求AP的长 绝盗印 第24题图 25.类比探究(8分)在△ABC中，BC=a,CA=b,AB=c.若∠C为直角，则a2+b=c2;若∠C为锐角 或钝角，则a2十b与c2之间有怎样的大小关系呢？我们一起进行探究吧. (1)阅读并填空：如图①，若∠C为锐角，则a十b2>c2. 证明：如图②，过点A作AD⊥BC于点D,则BD=BC-CD=a一CD, 在Rt△ABD中，AD=AB2-BD2,在Rt△ACD中，AD2= 所以 .即c2-(a-CD)2=b2-CD,所以a2+b2-c2=2a·CD 因为a>0,CD>0,所以a2+b2-c2>0,所以a2+b2>c2. (2)解答问题：如图③，若∠C为钝角，试推导a2十b与c2的大小关系 应用：如图④，点C在线段AB上，以AC为边作等边△ACD,连接BD.已知AC=4,BC=3,判断 △ABD的形状并说明理由， ② 第25题图 精品图书 金星教育 26.(开学考·24-25西安爱知中学改编)(10分)如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A,∠B,∠C 所对的边分别为a,b,c,且满足a=3,c=5. (1)△ABC的周长为 (2)点P是△ABC边上的动点，点P从点C出发，沿C→B→A的路径向终点A运动. ①当AP平分∠BAC时，求BP的长； ②如图②，当点P从点B向点A移动时，将△CBP沿直线CP对折，点B的对称点为B',当 △BCP与△ACP重叠部分的三角形是直角三角形，且有一条直角边在AB上时，求此时BP 的长 B B ① ② 第26题图 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印答案与解析 同步调研卷 1.第一章学情调研 题号12345678 答案D A B C ABC D 1.D2.A3.B 4.C【解析】因为以Rt△ABC的三边分别向外作正方形，它们的 面积分别为S,S2,S, 所以S=AB,S2=BC,S=AC 因为△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， 所以BC+AC=AB,即S2+S=S. 又S1+S2+S3=80,所以2S1=80,所以S1=40. 故选C. 5.A【解析】设BD的长度为xm,则AB=BC=(x十0.2)m, 在Rt△CDB中，0.82十x2=(x十0.2)2，解得x=1.5.故选A 6.B【解析】如图，延长AP至网格线交点D,连接BD. 设正方形网格的边长为1， 则PD=BD=12+22=5,PB=12+32=10 所以PD+BD=PB,所以∠PDB=90°，∠DPB=45°， 所以∠APB=180°-∠DPB=135°. 在△APB中，∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=180°-135°= 45°.故选B. B C G 第6题答图 第7题答图 7.C【解析】如图，分别过B,D作AE的垂线，垂足分别为F,G. 因为CD⊥BC, 所以∠BCF+∠FBC=90°，∠BCF+∠GCD=90°， 所以∠FBC=∠GCD. ∠BFC=∠CGD, 在△BFC和△CGD中，∠FBC=∠GCD, BC-CD, 所以△BFC≌△CGD(AAS),所以BF=CG. 因为AB=BC=CD=DE=5cm, 所以△ABC,△CDE均为等腰三角形. 因为AC=6m,所以PC=号AC=3cm, 所以BF=BC-FC=52-32=16=4,则BF=4cm, 所以CE=2CG=2BF=2×4=8(cm).故选C. 8.D【解析】如图，作出点D关于直线AB D 的对称点D',连接CD,CD与AB相交 A B 于点E,点E即使CE十DE的值最小的 C F 点，过点C作CF⊥BD于点F. D 在Rt△CFD'中， 第8题答图 CF=12 km,FD'=5 km, 所以D'C2=122+52=169,即DC=13km 因为DE=DE,所以CE+DE=CE+DE=CD'=l3km. 故选D. 9.2 10.不能【解析】因为32十42≠62，所以三根长度分别为3cm, 4cm,6cm长的木棍不能围成一个直角三角形. 故答案为不能 11.10【解析)】如图所示，AB,CD为树，且AB=15m,CD=9m, 两树距离BD为8m,过点C作CE⊥AB于点E,则CE=BD= 8 m,AE=AB-CD=6 m. 在Rt△AEC中，AC=AE+EC=62十82=100， 即AC=10m, 所以小鸟至少要飞10m. 故答案为10. 15m% Bl-8m--D 第11题答图 第12题答图 12.32【解析】如图，由题意得BD=7cm,AB=CD=3cm, 所以BC=7-3=4(cm), 由勾股定理得AC=AB2+BC=25,则AC=5cm, 所以阴影部分的周长=4(AB+AC=4×(3十5)=32(cm). 故答案为32. 13.60【解析】因为AB=AC, 所以∠ABC=∠ACB. 因为BF∥AC, 所以∠ACB=∠CBF, 所以∠ABC=∠CBF, A 所以BC平分∠ABF: 第13题答图 如图，过点C作CM⊥AB,CN⊥BF,则CM=CN. 因为SE=AE.CM,Sam=号BF,CN,且BF=AE, 所以S△ar=S△ACE, 所以四边形EBFC的面积=SABr十SAaE=S△E十SAaE SACBA· 因为AC=13,所以AB=13. 设AM=x,则BM=13一x, 由勾股定理，得C=AC一AM=BC一B, 所以132-2=102-(13-x),解得x=19, 13 所以CM=器， 所以5a=号AB.CM=号×13×80=60， 所以四边形EBFC的面积为60. 故答案为60. 14.【解】(1)因为∠C=90°，a=7,b=24, 所以根据勾股定理得c2=a2+=72+24=625, 解得c=25,所以c的长为25. (2)因为∠C=90°，c=13,b=12, 所以根据勾股定理得a2=c2-=132-122=25, 解得a=5, 所以a的长为5. 15.【解】能.图形的总面积可以表示为2+2×2b=c十ab, 也可以表示为d+8+2X2ab=d+8+ab, 所以c2+ab=a2+b+ab, 即a2+2=c2. 16.【解】设BD高为x,则从B点爬到D点再沿线段DA到A点， 走的总路程为x十AD,其中AD=(10十x)2+202,而从B点 经过C点到A点的路程为(20+10)m=30m. 由两只猴子所经过的路程相等，可得(10十x)2十400=(30一x)2, 整理得80x=400,解得x=5, 所以这棵树的高度为10+5=15(m). 答：这棵树的高度为15m 17.【解】(1)如图①所示，AB即所求（答案不唯一）. (2)如图②所示，正方形即所求（答案不唯一）： ⊙ 第17题答图 18.【解】如图，连接AC.因为∠ABC= 90°，AB=9,BC=12, 所以在Rt△ABC中，由勾股定理 得AC=AB2+BC=92+122= 225,解得AC=15. B 在△ACD中，因为152十82=172， 第18题答图 即AC+CD2=AD, 所以△ACD是直角三角形. 所以Sam=Sax十Sam=合AB·BC+号AC.CD =2×9×12+号×15×8=14， 所以四边形ABCD的面积为114. 19.【解】因为∠BAC=90°，AB=2,AC=3,所以∠B+∠C=90°. 由折叠的性质得∠ADB=∠B,∠EDC=∠C,AD=AB=2, DE=CE, 所以∠ADB+∠EDC=∠B+∠C=90°， 所以∠ADE=180°-（∠ADB+∠EDC)=90°， 所以AD+DE=AE. 又DE=CE=3-AE,所以22+(3-AE)2=AE, 解得AE=号，即AE的长度为号 20.【解】如图，设昆虫甲从顶点C沿棱CC向顶A1 点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按直线路 径A→E→F爬行，捕捉到昆虫甲需要xs 在Rt△ACF中，因为长方体的棱长分别为 AB=BC=6 cm,AA=14 cm, F 所以AF=1·x=x(cm),CF=1·x= A B x(cm),CF=(14-z)cm,AC=12 cm, 第20题答图 所以2=12+(14-，解得x9 所以昆虫乙至少需要5才能捕捉到昆虫甲， 21.【解】在Rt△ABC中，由勾股定理可得 AC8+BC2=AB2=142=196. 因为△ABC的周长为32cm,所以AC+BC+AB=32. 因为AB=14,所以AC+BC=18, 所以(AC+BC)2=AC8+BC+2AC·BC=182, 所以142+2AC·BC=182,所以2AC·BC=128, 所以2AC·BC=32,即△ABC的面积为32cm. 22.【解】(1)3,4,5（答案不唯一） (2)当k为大于2的偶数时， +[(号)-1]-[(2)+]： 证明如下： 因为左边=+[(2k)°-1]°=+(4-1) =及+6+1-2股=6+2股+1， 右边-[（合）+1]=(}+1)°=++1， 所以左边=右边，所以等式成立。 真题圈数学八年级上 23.【解】(1)如图①，过点C作CD⊥AB于点D. 0 D B 第23题答图① 因为AB=1000m,AC=600m,BC=800m, 所以AC+BC=6002+8002=10002,AB=10002, 所以AC+BC=AB,所以△ABC是直角三角形， 所以Sc=2AC·BC=2CD·AB, 即600×800=1000CD,解得CD=480m. 因为飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，480<500， 所以着火点C可以受到洒水影响， (2)如图②，当EC=FC=500m时，飞机正好喷到着火点C, A ED F 第23题答图② 在Rt△CDE中，ED=5002-4802=1402,则ED=140m, 所以EF=2ED=280m 因为飞机的速度为14m/s, 所以280÷14=20(s),20s>15s,所以着火点C能被扑灭. 24.【解】(1)△ABC是直角三角形，理由如下： 在△ABC中，AB=12,AC=16,BC=20, 因为122+162=400=202，所以AB+AC=BC, 所以△ABC是直角三角形. (2)设AP=x,则BP=CP=16-x. 在Rt△ABP中，因为AB+AP=BP, 所以122+x2=(16-x)2,解得x=3.5,所以AP的长为3.5. 25.【解】(1)AC-CDAB-BD=AC-CD (2)解答问题：a2+<2. 过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,如图①所示， 则BD=BC+CD=a+CD. 在Rt△ABD中，AD=AB2-BD, 在Rt△ACD中，AD=AC2-CDP, 所以AB2-BD=AC-CD,所以2一(a+CD)2=b一CD2, 整理得a2+b-c2=-2a·CD. 因为a>0,CD>0,所以a2+-c2<0,所以a2+<c2. D 3 ① 第25题答图 应用：△ABD是锐角三角形.理由如下： 如图②，过点D作DE⊥AC于点E,则∠AED=∠BED=90°. 因为△ACD是等边三角形，AC=4, 所以AD=AC-4,AE=2AC-2. 在Rt△ADE中，根据勾股定理得DE=AD-AE=4一2=12. 在Rt△BED中，BE=BC+CE=3+2=5, 根据勾股定理得BD=DE十BE=12十52=37， 而AB=(AC+BC)2=7=49,AD=42=16, 答案与解析 所以BD2+AD=37十16=53>49， 所以BD+AD>AB, 所以∠ADB为锐角. 又因为∠A,∠B为锐角， 所以△ABD是锐角三角形. 26.【解】(1)12 (2)①因为在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3,c=5, 所以AC==52-32=16, 所以AC=4. 如图①，过点P作PGLAB于点G,设PC=t, 因为AP平分∠BAC,PC⊥AC,PG⊥AB, 所以∠CAP=∠GAP,∠C=∠AGP. 又因为AP=AP, 所以△ACP≌△AGP(AAS), 所以AG=AC=4,PC=PG=t, 所以GB=AB-AG=1,PB=3-t. 在Rt△BPG中，由勾股定理得BP=PG+BG, 所以+12=(3-t)2, 解得=台， 所以当AP平分∠BAC时，BP=3-1=号· y P B ① ② 第26题答图 ②如图②，当CB⊥AB于点J时，满足条件。 因为S-C·AB=号AC·BC, 所以c-c-3-背. AB 5 所以B=BC-C=9-(号）°-器则B=号， 由折叠可知CB=CB=3,BP=BP, 所以JB=3号=是 设BP=BP=x,则JP=BJ-BP=号-x, 在Rt△JPB中，由勾股定理得JB+A JP=B'p2, 所以（号广+（号-=云， B 解得x=1, 所以BP=BP=1 如图③，当CP⊥AB时，满足条件，同理 可得BP=号 综上所述，BP的长为1或号 第26题答图③ 2.重难题型卷（一） 勾股定理 1.B【解析】如图，连接BD,由题意可 S:C 知S=AB,S2=BC,S3=CD,S =ADY.在Rt△ABD和Rt△BCD S2 SA 中，BD=AD+AB,BD=CD+ BC,即S+S4=S十S2,因此S2= A S S1+S4一S3=125-46=79.故选B. 2.B【解析】因为S正方形m=25,所以 第1题答图 AB2=25.设DH=x,则AH=3DH=3x,所以x+9x2=25,所 以2=号，根据题意可知AE-CG=DH=BF=,CF=AH= 3x,所以FE=FG=CF-CG=3x-x=2x,所以SAGN= 2S△aGN.因为S△AEM=SAGN,所以S△rGN=S△AEM+SAcN,所 以阴影部分的面积之和为SsN=名(NG+PM·PG 合(BM什M)·PG=号FE·PG=号×(2a=22-5.故选B 3.B【解析】如图，延长EG交BC于点 A M,其他字母标注如图所示. E 根据题意，EF=3,EG=4,FG=5, B 因为32+42=52， D 所以△EFG为直角三角形，∠FEG= 90°， H 所以∠EFG+∠EGF=90°， 易知E,G,M三点共线，且EM⊥BC, 第3题答图 所以∠MGQ十∠EGF=90°，所以∠EFG=∠MGQ. 在Rt△EFG和Rt△MGQ中， 因为∠FEG=∠GMQ=90°，∠EFG=∠MGQ,FG=GQ, 所以△EFG≌△MGQ(AAS), 所以GM=EF=3,MQ=EG=4,所以AB=3+4+3=10. 同理可证△GMQ≌△QCH,所以CQ=GM=3, 所以BC=4+4+3=11. 所以空白部分的面积=大长方形的面积一三个正方形的面积和 =11×10-(32+42+52)=60.故选B. 4.14【解析】由勾股定理得，AC十BC=AB2,因为S,十S2=7, 所以2x(49)+2x(9)+号Ac,BC-合x()°-7， 所以日xAC+BC-AB)+AC·BC=7,所以AC·BC-14 因为AB=6,所以AC+BC=AB2=36, 所以(AC+BC)2=AC+BC+2AC·BC=36+2X14=64, 所以AC+BC=8(负值舍去)， 所以△ABC的周长=AB+AC+BC=6+8=14. 故答案为14. 5.B【解析】设CH=x,则DH=EH=9-x. 因为BE:EC=2:1,BC=9,所以CE=}BC=3. 在Rt△ECH中，EP=EC+CP,即(9-x)2=32+x2, 解得x=4,即CH=4.故选B. 6.C【解析】如图，过点D作DM⊥ C BC于点M,作DN⊥AC于点N, 所以∠DNE=∠CND=90°， M. ∠BMD=∠CMD=90°. 因为将△BDC沿CD折叠， D 所以∠BCD=∠ECD=号∠ACB 第6题答图 =45°，BC=CE=6,BD=DE, 所以∠MCD=∠MDC=∠NCD=∠NDC=45°，AC=CE+AE =6+2=8,MD=DN.