专题04 线段和角运算的八种经典模型（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

学科网 专题01 典例精析 【典例1】A 上举一反三 【变式1】B 【变式2】C 【变式3】D 典例精析 【典例2】C 上举一反三 【变式1】A 【变式2】D 【变式3】 【答案】12或24/24或12 【变式4】 【答案】(1)MN=7.5: 23Mw-a+, :点M,N分别是线段AC,B( MCNC8 w=0+ar), www.zxxk.com 让教与学更高效 线段和角运算的八种经典模型 (题型突破举一反三) 题型01单中点模型 题型02相邻双中点模型 的中点， 6 1/6 学科网 (3)MN=a-):④) 三典例精析 【典例3】C 车举一反三 【变式1】 【答案】4 【变式2】 1 1 【答案】2m+2n 【变式3】 【答案】(1)6 (2)①=：②12 【变式4】 【答案】(1)15：(2)MN日 三典例精析 【典例4】 【答案】(1)77 a-r或- 1 (3)t=33或4 上举一反三 【变式1】 【答案】15或30/30或15 【变式2】 【答案】(1)①40°：②24 www.zxxk.com 让教与学更高效 3=2m-n 题型03相间双中点模型 21 长不会发生变化，MN= 11 m:(3)3 2 +3)(度) 题型04半角模型 2/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2) 证明：射线OE平分∠AOC, ∴.∠AOC=2∠2=2∠3 ∴.∠DOE=∠COD-∠COE=0-∠2， .∠B0C=∠A0B-∠A0C=20-2L2=2(0-∠2) ∴.∠B0C=2∠D0E=2(0-∠2). (3)30 【变式3】 【答案】(1)20°：10° (2) 解：2a-P=60°，理由如下： :∠MON=90°，∠COM=a, ∠C0N=90°-a, 又：OC平分∠AON, ∠A0N=2LC0N=2(90°-a)=180°-2a, :∠AOB=∠AON+∠BON且∠AOB=120°， .120°=180°-2a+p, 即2a-B=60° (3)不存在，此时a,P满足2a+B=60 题型05角叠角模型 E 典例精析 【典例5】 【答案】145 举一反三 【变式1】 【答案】(1)①140°：②30° (2) ∠ACB+∠DCE=180°，理由如下： 3/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠ACB=∠ACD+∠BCE-∠DCE=90°+90°-∠DCE ∠ACB+∠DCE=180°： (3)①45②30° 【变式2】 【答案】(1)150 (2)∠ACE=36° 180k。 (3)∠ACE的度数是 k+1 【变式3】 【答案】(1)180° (2)90°，理由 ∠AOB=∠COD=45° ∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+BOD+BOC=∠AOB+∠COD=90°： (3)2a 题型06角夹鱼模型 典例精析 【典例6】 【答案】(1)120° (2)100° 3)3:2 举一反目 【变式1】 【答案】(1)∠E0F=45° (2)∠EOF=100° 【变式2】 【答案】(1)①21；②线段CD的长度不会发生变化，长度为19 (2)∠AOF=2∠BOE-∠COD (3)∠AOF=(k+I)∠BOE-k∠COD 【变式3】 4/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1) 60° 40°或80° (2)120 (3)a=2b 题型07单角平分线模型 典例精析 【典例7】 【答案】(1)∠BOD (2)60° (3)72° 4)OB平分∠EOF, 理由如下： ∠BOE=60°， .∠AOE=120° ∠AOE=∠EOF, .∠EOF=120°， ∴.∠BOF=∠EOF-∠BOE=120°-60°=60°， ∴.∠BOE=∠BOF .OB平分∠EOF 三举一反目 【变式1】 540°-3a 【答案】(I)135°；（Ⅱ）54°；（Ⅲ） 5 【变式2】 【答案】(1)20° (2)45 (3)∠A0C=2∠D0E(0≤t≤6)，∠AOC+2∠D0E=360°(6<t<36) 【变式3】 【答案】(1)36° 5/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2)∠C0F=∠D0E (3)360° 题型08双角平分线模型 三典例精析 【典例8】 【答案】80 举一反三 【变式1】A 【变式2】 【答案】(1)90： (2)∠AOB=2∠EOF.理由如下： 由条件可知∠AOB=∠AOC+∠BOC :OE平分∠AOC,OF平分∠BOC, ·.∠AOC=2∠COE,∠BOC=2∠COF .∠AOB=2∠COE+2∠COF=2(LC0E+∠COF). :∠EOF=∠EOC+∠COF, .∠AOB=2∠EOF: (3)∠AOB=2∠EOF仍然成立.理由如下： 由条件可知∠AOC=2∠COE,∠BOC=2∠COF :OA是∠BOC内的一条射线， .∠BOC=∠AOC+∠AOB, .2∠COF=2∠COE+∠AOB」 :.∠A0B=2LCOF-2∠COE=2(LCOF-∠COE) :∠EOF=∠FOC-∠COE, .∠AOB=2∠EOF 6/6 专题01 线段和角运算的八种经典模型 （题型突破·举一反三） 题型01 单中点模型 题型02 相邻双中点模型 题型03 相间双中点模型 题型04 半角模型 题型05 角叠角模型 题型06 角夹角模型 题型07 单角平分线模型 题型08 双角平分线模型 ▌题型01 单中点模型 【典例1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，C是线段中点，点D在线段上，．若，则的长是（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，两点间的距离是解题的关键． 根据题意，点是线段的中点，，由线段的中点定义可得：，再根据，则2 ，由此可求出的长，进而得出的长，最后由进行计算，即可得出答案． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，点，把线段三等分，是线段的中点．下列说法中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差，解题的关键是理解题意，正确找出各线段间的数量关系．根据题意可得：，，即可求解． 【详解】解：点，把线段三等分， ， 是线段的中点， ， ，故A正确； ，故错误； ，故C正确； ，故D正确； 故选：B． 【变式2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知：、、是同一直线上的三点，点为的中点，若，，则的长为（    ） A．1 B． C．或1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段的中点的性质，应用两点间的距离计算方法，根据题意画出图形，应用数形结合的方法进行计算即可得出答案． 【详解】解：如图，当在的延长线上时，      ∵点为的中点，若， ∴， ∴； 当在线段上时，    ∴ 综上，的长度为或． 故选：C． 【变式3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，点为线段中点，点为线段上一点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差倍分、线段中点，关键是用方程的思想求解；设，根据列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴． 故答案选：D． ▌题型02 相邻双中点模型 【典例2】（21-22七年级上·浙江衢州·期末）在直线上任取一点A，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况B，在点A同侧时，B，在点A两侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：①B，在点A同侧时，如图所示： 是的中点，是的中点， ，， ． ②B，在点A两侧时，如图， 是的中点，是的中点， ，， ． 综上：与之间距离为或，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了线段中点的计算，解题的关键是分类讨论，画出图形，数形结合． 【变式1】（25-26七年级上·浙江温州·期末）如图，是线段的中点，是线段的中点，．设，，当线段的长发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段中点的含义，方程的应用，由，，结合中点的含义可得，，，结合，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，， ， 点是的中点， ， ∵是线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴，，，， ∴当线段的长发生变化时，代数式的值不变． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，点顺次在直线上，若是线段的中点，是线段的中点，则的长度（   ） A．与、的长度都有关 B．仅与长度有关 C．仅与的长度有关 D．仅与的长度有关 【答案】D 【分析】根据点是线段的中点，点是线段的中点得，，再根据即可得出答案． 本题主要考查了线段中点的计算，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键． 【详解】解：∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴ ， 则的长度仅与的长度有关； 故选：D． 【变式3】（22-23七年级上·浙江台州·期末）点 是线段 上的三等分点， 是线段 的中点， 是线段 的中点，若 ， 则 的长为__． 【答案】或/或 【分析】根据点是线段上的三等分点，分两种情况画图进行计算即可． 【详解】解：如图， 是线段的中点，， ， 点是线段上的三等分点， ， ， 如图， 点是线段上的三等分点， ， 是线段的中点，， ， ； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，以及三等分点、中点的定义，解决本题的关键是分两种情况画图计算． 【变式4】（24-25七年级上·浙江温州·期末）综合与探究： 问题情境： 已知：M，N分别是线段，的中点． 初步探究： （1）如图（1），点C在线段上，且，，求线段的长． 问题解决： （2）若C为线段上任意一点，且，，求出线段的长（用含有a，b的代数式表示）． 类比应用： （3）若点C在线段的延长线上，且，，请你画出图形，并直接写出线段的长（用含有a，b的代数式表示）． 拓展延伸： （4）已知：如图（2），C为线段的中点，D为线段的中点，E为线段上任意一点，M为线段的中点，，，请你直接写出线段的长（用含有m，n的代数式表示）． 【答案】（1）； （2） ； ∵点，分别是线段，的中点， ，， ； （3）；（4） 【分析】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．在不同的情况下，灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． （1）根据点、分别是、的中点，先求出、的长度，再利用即可求出的长度； （2）当为线段上一点，且、分别是、的中点，可表示线段、的长度，再利用，则存在； （3）点在的延长线上时，根据、分别是、中点，可表示线段、的长度，再利用，即可求出的长度； （4）根据，，得，根据中点的性质得，所以． 【详解】解：（1） ，点是的中点， ， ，点是的中点， ， ， 线段的长度为7.5． （2）略． （3） 当点在线段的延长线时，如图∶ 则， 是的中点， ， 点是的中点， ， ； （4）点，，分别是线段，，的中点， ，，， ，， ， ， ． ▌题型03 相间双中点模型 【典例3】（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图，C，D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD的中点，若EF＝m，CD＝n，则AB＝（　　） A．m﹣n B．m+n C．2m﹣n D．2m+n 【答案】C 【分析】由已知条件可知，EC+FD=m-n，又因为E是AC的中点，F是BD的中点，则AE+FB=EC+FD，故AB=AE+FB+EF可求． 【详解】解：由题意得，EC+FD=m-n ∵E是AC的中点，F是BD的中点， ∴AE+FB=EC+FD=EF-CD=m-n 又∵AB=AE+FB+EF ∴AB=m-n+m=2m-n 故选：C． 【点睛】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知线段上依次有C，D，E，F四个点，其中C是中点，F是中点，，，则________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段间的数量关系，解题的关键是数形结合，熟练掌握线段中点的定义．根据中点的定义得出，，根据，，得出，即可得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵C是中点，F是中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式2】（21-22七年级下·浙江衢州·期末）如图，点，点在线段上，点，点分别为，的中点．若，，则的长为________． 【答案】m+n 【分析】先根据中点的定义可得EC=AC、DF=BD，再根据线段的和差可得AC+BD=AB-CD=m-n，最后根据=EC+CD+DF求解即可． 【详解】解：∵点、点分别为、的中点 ∴EC=AC,DF=BD ∵， ∴AC+BD=AB-CD=m-n ∴=EC+CD+DF=AC+CD+BD=(AC+BD)+CD=( m-n)+n=m+n． 故答案为m+n． 【点睛】本题主要考查了中点的定义、线段的和差等知识点，通过识图、明确线段间的关系成为解答本题的关键． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知B，C在线段上． (1)如图1，图中共有 条线段； (2)若． ①比较线段的长短：_____（填“”“”或“”）； ②如图2，若是的中点，是的中点，则线段的长度． 【答案】(1)6 (2)①；②12 【分析】本题主要考查了线段数量、线段的长度计算和线段中点的性质，解题关键是熟练掌握线段的和、差、倍、分及计算方法． （1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据线段的和差关系即可得到答案； ②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长度． 【详解】（1）解：以为端点的线段有、、共3条； 以为端点的线段有、共2条； 以为端点的线段为，有1条， 故共有线段的条数为：， 故答案为：6； （2）解：①若，则， 即． 故答案为：； ②，分别为，中点 ，， ，， ， ． 【变式4】（24-25七年级上·浙江金华·期末）问题研究： 如图1，已知点、（点在左边）在线段（点在左边）上，点、分别是线段的中点．若，求线段的长． 拓展学习： 如图2，直线l上有线段（点在左边）和线段（点在左边），且线段在线段外移动，点、分别是线段的中点．若，那么在线段移动过程中，线段的长是否会发生变化，若不变化，请用含、的代数式表示的长．若发生变化请说明理由． 类比学习 如图3，已知（度）在（度）左侧，若射线分别满足，求的值（用含、的代数式表示）．    【答案】（1）15；（2）的长不会发生变化，；（3）（度） 【分析】本题考查了线段的和差倍分与角的和差倍分，掌握相关计算技巧是解题的关键． （1）根据，将问题转化为求，即求即可； （2）根据，将问题转化为求，即求即可； （3）设（度），根据，将问题转化为求，即可求解． 【详解】解：（1）∵点、分别是线段的中点， ， ， ， ， ； （2）∵点、分别是线段的中点， ， ， ， 的长不会发生变化； （3）设（度），则度，度； ， 则度，度， 则度． ▌题型04 半角模型 【典例4】（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知，，，是内互不重合的射线，并按图中的顺序依次排列．    (1)如图，若，平分，平分，则的度数为_____； (2)如图，若，在内部，，平分，平分，求的度数（用含，的式子表示）； (3)如图，若，，，平分，平分．当在内绕着点以每秒的速度逆时针旋转秒时，和中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的倍，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了角的和差计算，旋转的性质，一元一次方程的应用，角平分线的性质．关键是通过角的和差关系和角平分线的性质，正确表示需要的角． （1）先由角平分线求得和，最后求此两角的和便可； （2）先由角平分线得到，再分当在内部时和当在内部时，两种情况讨论进行求解即可； （3）由在内绕点以秒的速度逆时针旋转秒时，得，，再由角平分线求得和，再分两种情况：和，分别列出的方程进行解答便可． 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ． 故答案为：； （2）解：平分，平分， ，， ， 如图，当在内部时，；    如图，当在内部时，； 综上，的度数为或； （3）解：在内绕点以秒的速度逆时针旋转秒时， ，， 平分，平分， ，， 当时，，则； 当时，，则． 故当或时，和中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）如图，已知，射线 绕点 从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转； 同时，射线 绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，并且当 与成角时，与同时停止旋转．则在旋转的过程中，经过____秒，与的夹角是．    【答案】或/30或15 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，角的有关计算，解题的关键是确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 设转动秒，与的夹角是，进行分情况画图 ，列方程即可得到结论． 【详解】设秒后，与的夹角是， 如图，     ， ∴，， ∵， ∴，即有， 解得：， 如图，    ∴，， ∵， ∴，即有， 解得：， 综上可知：或，与的夹角是， 故答案为：或． 【变式2】（23-24七年级上·浙江台州·期末）如图，在平面内的五条射线中，射线是逆时针方向排列，，射线平分．    (1)当射线都在内部，且时，如图1． ①若，则______； ②若射线平分，则______； (2)当射线分别在内、外部时，如图2，求证：； (3)当射线都在外部时，如图3，若，则______（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2) 证明：射线平分， ， ， ∴， ； (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算： （1）根据角平分线的定义可得，①根据题意可得，从而得到，即可求解；②根据射线平分，可得，进而得到，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，从而得到，，即可求证； （3）根据，可得 ，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：射线平分 ， ①∵，， ， ， ， ∴， 故答案为： ②射线平分， ， ， ； 故答案为： （2）略 （3）解：， ， ， ． 【变式3】（22-23七年级上·浙江衢州·期末）如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 【答案】(1)； (2) 解：，理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵且， ∴， 即． (3)不存在，此时，满足 【分析】本题主要考查了结合图形中角的计算，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义． （1）先根据，求出，根据角平分线定义得出，然后求出结果即可； （2）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，即可得出答案； （3）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴； （2）略 （3）解：不存在，此时，满足；理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵，， ， 即， 故． ▌题型05 角叠角模型 【典例5】（23-24七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知，，则么的度数为__________°． 【答案】145 【分析】本题考查了角的计算及余角的概念，熟悉图形是解题的关键．先求出 ，代入，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（20-21七年级下·浙江衢州·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，；）． (1)如图1，①若，求的度数； ②若，求的度数． (2)由（1）猜想与满足的数量关系，并说明理由． (3)若固定，将绕点C旋转， ①当旋转至BEAC（如图2）时，直接写出的度数是 度． ②继续旋转至BCDA（如图3）时，求的度数． 【答案】(1)①140°；②30° (2) ，理由如下： ∵， ∴； (3)①45；②30° 【分析】（1）①根据，可知，则；②根据，，可知，则； （2）根据，可知； （3）①根据，可知；②根据，可知，则，则． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）①∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角板的特殊内角，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 【变式2】（22-23七年级上·浙江杭州·期末）一副三角板如图放置，其中有部分重叠在一起，已知． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，其中，求的度数．（用含k的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)的度数是 【分析】本题主要考查几何图形中角的度数： （1）根据求解即可； （2）先设，则，再根据题意得，解得x的值即可； （3）方法同（2）． 【详解】（1），， ∴． （2）设，则． 由题意，得， 解得， 即． （3）设，则． 由题意，得， 解得， ∴， 即的度数是． 【变式3】（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知，射线在的内部，按要求完成下列各小题． (1)尝试探究：如图1，已知，的度数为________； (2)初步应用：如图2，若时，求的度数，并说明理由； (3)拓展提升：如图3，若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由 ∵ ∴； (3) 【分析】本题考查了角的和差，掌握角度之间的关系是解决本题的关键． （1）首先根据题意得到，然后利用角的和差求解即可； （2）首先根据题意得到，然后利用角的和差求解即可； （3）首先根据题意得到，然后利用角的和差求解即可 【详解】（1）∵ ∴； （2）略 （3）∵ ∴； ▌题型06 角夹角模型 【典例6】（21-22七年级上·浙江台州·期末）下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角的n等分线，角的和与差，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可知，，再根据求解即可； （2）由（1）同理可知，即可求解； （3）由（1）同理可知，，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：由（1）可知； （3）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级上·浙江衢州·期末）已知内部有三条射线，，． (1)如图1，若，，平分，平分．求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，以及角度的计算，正确理解角平分线的定义是解题的关键． （1）首先根据角平分线的定义求得，然后求得的度数，根据角平分线的定义求得，然后根据求解； （2）根据，，得出，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）探究学习，寻求真知 (1)特例感知：如图1，已知线段，线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），点和点分别是的中点． ①若，则______； ②当线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度？如果变化，请说明理由． (2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和，请你猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由． (3)类比探究：如图3，在的内部转动，当时，用含的式子表示和之间的数量关系（直接写出结果）． 【答案】(1)①21；②线段的长度不会发生变化，长度为19 (2) (3) 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）①根据题意可得，再由线段中点的定义，可得，即可求解；②根据题意可得，再由线段中点的定义，可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由，即可求解； （3）根据，可得， 从而得到，再由，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵点和点分别是的中点， ∴， ∴； 故答案为：21 ②∵， ∴， ∵点和点分别是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度不会发生变化，长度为19； （2）解：∵射线和射线分别平分和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）元旦期间，吴兴区某校七年级同学在观看太湖古镇灯光秀表演后，以“灯光里的数学美”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出角的倍分角线的定义，在探究中感受数学之美． 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中是所分角中较小角的倍，那么我们称射线为的倍分角线．如图1，若，则射线为的3倍分角线． 【特例感知】 (1)若， ①射线为的2倍分角线，则________； ②射线为的3倍分角线，则________； 【类比探究】 (2)如图2，点，，在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若射线，分别为和的4倍分角线（，），当时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒，同时射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒．在旋转的过程中，当射线是的倍分角线时（），恰好射线也是的倍分角线（），请直接写出与的数量关系________． 【答案】(1) 或 (2) (3) 【分析】（1）根据定义，计算即可求解； （2）设，则，根据“4倍分角线”，可求出和， 再根据，列出方程，求解即可； （3）设旋转时间为秒，则，，则根据“倍分角线”，可得，，从而，同理可得，进而得到，整理可得． 【详解】（1）解：①射线为的2倍分角线，， ，即； 故答案为：； ②射线为的3倍分角线，， 当，即； 当，即， ， 故答案为：或； （2）解：设， 点，，在同一条直线上， ，即， 射线，分别为和的4倍分角线（，）， ，， 则， ，， ，即，解得， ； （3）由（2）可知，，，，， 设旋转时间为秒，则，， 射线是的倍分角线时（）， ， ， ， 射线也是的倍分角线（）， ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查角的运算，角的倍分角线的定义，动角问题，正确掌握角的运算和角的倍分角线的定义是解题的关键． ▌题型07 单角平分线模型 【典例7】（24-25七年级上·浙江·课后作业）如图，直线交于点分别在内部，且平分． (1)的对顶角是___________； (2)若，则的度数为___________； (3)若平分，求的度数； (4)若，判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)平分， 理由如下： ， ． ， ， ， ， 平分． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，几何中角度的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． （1）根据对顶角的定义即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，再根据，求出结果即可； （3）由，得到，根据角平分线的定义得出，根据，求出，根据角平分线的定义得出，根据，求出结果即可； （4）由，利用平角的定义得到，再根据，求出，结合得出结论． 【详解】（1）解：根据题意：的对顶角是； （2）解：平分， ， ； （3）解：与为对顶角， ， ，即． 平分， ， ， ， ． 又平分， ， ； （4）略 【变式1】（25-26七年级下·浙江·课后作业）已知直线与相交于点O． （Ⅰ）如图1，若，平分，则_________． （Ⅱ）如图2，若，，平分，求的大小； （Ⅲ）如图3，若，，平分，求的大小（用含的式子表示）． 【答案】（Ⅰ）135°；（Ⅱ）54°；（Ⅲ） 【分析】（Ⅰ）根据角平分线的定义求出∠AOC=45°，然后根据邻补角的定义求解即可； （Ⅱ）设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM=∠MON=∠CON，再根据∠BOM列出方程求解x，然后求解即可； （Ⅲ）与（2）的解法相同． 【详解】解（Ⅰ），平分， ， ， ， 即的度数为； （Ⅱ） 设，， ， 平分， ， ， ， ， 即的度数为； （Ⅲ） 设，， ， 平分， ， ， ， ． 【变式2】（22-23七年级上·浙江衢州·期末）已知是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查角的和差计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用， （1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，即可得解； （3）可分两种情况：①时，②时，分别计算可求解； 利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （3）解：①当时，由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， 由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ， ∴； 综上所述，，． 【变式3】（23-24七年级上 浙江杭州·期末）探究题：已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则 ． (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系； (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算： （1）根据平角的定义进行计算即可； （2）根据角的和差关系，角平分线的定义，得到，即可得出结论； （3）根据角平分线的定义结合角的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵平分， ∴， ∴ ∵， ∴． ▌题型08 双角平分线模型 【典例8】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，平分，平分．若，，则_____度 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，根据角的和差关系可得，由角平分线的定义可得，再根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知，平分．若，平分，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据垂线定义可得的度数，根据角的和差可得的度数，根据角平分线的定义可得、的度数，，最后根据角的和差即可得解． 【详解】解：①当和在的同一侧时，如图： ∵，平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴； ②当和在的两侧时，如图： ∵，平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴． ∴综上所述，的度数是． 故选：A 【点睛】本题考查了垂线、角平分线、角的和差以及分类讨论的数学思想，能根据射线的相对位置进行分类讨论画出图形是解题的关键． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）【问题提出】 （1）如图1，点A、O、B在一条直线上，是一条射线，平分，平分，则 ； 【问题探究】 （2）如图2，点A、O、B不在一条直线上，是内的一条射线，平分，平分，判断与的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图3，当是内的一条射线时，平分，平分，（2）中与的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 【答案】（1）90； （2）．理由如下： 由条件可知． ∵平分，平分， ∴ ∴． ∵， ∴； （3）仍然成立．理由如下： 由条件可知 ∵是内的一条射线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角度的和与差等知识点，利用角平分线的定义得出与的关系是解题的关键． （1）根据平角得，结合角平分线得，再结合即可解答； （2）由题意得∠，结合角平分线得，结合即可解答； （3）根据角平分线得，结合题意，则，结合即可解答． 【详解】解：（1）∵点A、O、B在一条直线上， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； 故答案为：90； （2）略 （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 线段和角运算的八种经典模型 （题型突破·举一反三） 题型01 单中点模型 题型02 相邻双中点模型 题型03 相间双中点模型 题型04 半角模型 题型05 角叠角模型 题型06 角夹角模型 题型07 单角平分线模型 题型08 双角平分线模型 ▌题型01 单中点模型 【典例1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，C是线段中点，点D在线段上，．若，则的长是（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，点，把线段三等分，是线段的中点．下列说法中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知：、、是同一直线上的三点，点为的中点，若，，则的长为（    ） A．1 B． C．或1 D． 【变式3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，点为线段中点，点为线段上一点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． ▌题型02 相邻双中点模型 【典例2】（21-22七年级上·浙江衢州·期末）在直线上任取一点A，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（25-26七年级上·浙江温州·期末）如图，是线段的中点，是线段的中点，．设，，当线段的长发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，点顺次在直线上，若是线段的中点，是线段的中点，则的长度（   ） A．与、的长度都有关 B．仅与长度有关 C．仅与的长度有关 D．仅与的长度有关 【变式3】（22-23七年级上·浙江台州·期末）点 是线段 上的三等分点， 是线段 的中点， 是线段 的中点，若 ， 则 的长为__． 【变式4】（24-25七年级上·浙江温州·期末）综合与探究： 问题情境： 已知：M，N分别是线段，的中点． 初步探究： （1）如图（1），点C在线段上，且，，求线段的长． 问题解决： （2）若C为线段上任意一点，且，，求出线段的长（用含有a，b的代数式表示）． 类比应用： （3）若点C在线段的延长线上，且，，请你画出图形，并直接写出线段的长（用含有a，b的代数式表示）． 拓展延伸： （4）已知：如图（2），C为线段的中点，D为线段的中点，E为线段上任意一点，M为线段的中点，，，请你直接写出线段的长（用含有m，n的代数式表示）． ▌题型03 相间双中点模型 【典例3】（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图，C，D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD的中点，若EF＝m，CD＝n，则AB＝（　　） A．m﹣n B．m+n C．2m﹣n D．2m+n 【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知线段上依次有C，D，E，F四个点，其中C是中点，F是中点，，，则________． 【变式2】（21-22七年级下·浙江衢州·期末）如图，点，点在线段上，点，点分别为，的中点．若，，则的长为________． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知B，C在线段上． (1)如图1，图中共有 条线段； (2)若． ①比较线段的长短：_____（填“”“”或“”）； ②如图2，若是的中点，是的中点，则线段的长度． 【变式4】（24-25七年级上·浙江金华·期末）问题研究： 如图1，已知点、（点在左边）在线段（点在左边）上，点、分别是线段的中点．若，求线段的长． 拓展学习： 如图2，直线l上有线段（点在左边）和线段（点在左边），且线段在线段外移动，点、分别是线段的中点．若，那么在线段移动过程中，线段的长是否会发生变化，若不变化，请用含、的代数式表示的长．若发生变化请说明理由． 类比学习 如图3，已知（度）在（度）左侧，若射线分别满足，求的值（用含、的代数式表示）．    ▌题型04 半角模型 【典例4】（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知，，，是内互不重合的射线，并按图中的顺序依次排列．    (1)如图，若，平分，平分，则的度数为_____； (2)如图，若，在内部，，平分，平分，求的度数（用含，的式子表示）； (3)如图，若，，，平分，平分．当在内绕着点以每秒的速度逆时针旋转秒时，和中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的倍，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）如图，已知，射线 绕点 从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转； 同时，射线 绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，并且当 与成角时，与同时停止旋转．则在旋转的过程中，经过____秒，与的夹角是．    【变式2】（23-24七年级上·浙江台州·期末）如图，在平面内的五条射线中，射线是逆时针方向排列，，射线平分．    (1)当射线都在内部，且时，如图1． ①若，则______； ②若射线平分，则______； (2)当射线分别在内、外部时，如图2，求证：； (3)当射线都在外部时，如图3，若，则______（用含的式子表示）． 【变式3】（22-23七年级上·浙江衢州·期末）如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． ▌题型05 角叠角模型 【典例5】（23-24七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知，，则么的度数为__________°． 【变式1】（20-21七年级下·浙江衢州·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，；）． (1)如图1，①若，求的度数； ②若，求的度数． (2)由（1）猜想与满足的数量关系，并说明理由． (3)若固定，将绕点C旋转， ①当旋转至BEAC（如图2）时，直接写出的度数是 度． ②继续旋转至BCDA（如图3）时，求的度数． 【变式2】（22-23七年级上·浙江杭州·期末）一副三角板如图放置，其中有部分重叠在一起，已知． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，其中，求的度数．（用含k的代数式表示） 【变式3】（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知，射线在的内部，按要求完成下列各小题． (1)尝试探究：如图1，已知，的度数为________； (2)初步应用：如图2，若时，求的度数，并说明理由； (3)拓展提升：如图3，若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． ▌题型06 角夹角模型 【典例6】（21-22七年级上·浙江台州·期末）下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 【变式1】（23-24七年级上·浙江衢州·期末）已知内部有三条射线，，． (1)如图1，若，，平分，平分．求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）探究学习，寻求真知 (1)特例感知：如图1，已知线段，线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），点和点分别是的中点． ①若，则______； ②当线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度？如果变化，请说明理由． (2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和，请你猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由． (3)类比探究：如图3，在的内部转动，当时，用含的式子表示和之间的数量关系（直接写出结果）． 【变式3】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）元旦期间，吴兴区某校七年级同学在观看太湖古镇灯光秀表演后，以“灯光里的数学美”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出角的倍分角线的定义，在探究中感受数学之美． 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中是所分角中较小角的倍，那么我们称射线为的倍分角线．如图1，若，则射线为的3倍分角线． 【特例感知】 (1)若， ①射线为的2倍分角线，则________； ②射线为的3倍分角线，则________； 【类比探究】 (2)如图2，点，，在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若射线，分别为和的4倍分角线（，），当时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒，同时射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒．在旋转的过程中，当射线是的倍分角线时（），恰好射线也是的倍分角线（），请直接写出与的数量关系________． ▌题型07 单角平分线模型 【典例7】（24-25七年级上·浙江·课后作业）如图，直线交于点分别在内部，且平分． (1)的对顶角是___________； (2)若，则的度数为___________； (3)若平分，求的度数； (4)若，判断是否平分，并说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·浙江·课后作业）已知直线与相交于点O． （Ⅰ）如图1，若，平分，则_________． （Ⅱ）如图2，若，，平分，求的大小； （Ⅲ）如图3，若，，平分，求的大小（用含的式子表示）． 【变式2】（22-23七年级上·浙江衢州·期末）已知是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【变式3】（23-24七年级上 浙江杭州·期末）探究题：已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则 ． (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系； (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分，求的度数． ▌题型08 双角平分线模型 【典例8】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，平分，平分．若，，则_____度 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知，平分．若，平分，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）【问题提出】 （1）如图1，点A、O、B在一条直线上，是一条射线，平分，平分，则 ； 【问题探究】 （2）如图2，点A、O、B不在一条直线上，是内的一条射线，平分，平分，判断与的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图3，当是内的一条射线时，平分，平分，（2）中与的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $