第三讲一元二次方程中根的判别式及根与系数的关系 讲义 2026-2027年华东师大版数学 九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程根的判别式（△=b²-4ac）及根与系数的关系（韦达定理），前者构建根的个数判断、参数求解的基础认知，后者深化根与系数的定量联系，形成从定性分析到定量计算的学习支架。 资料通过阅读理解材料引导学生用判别式探究二次式取值范围，培养推理能力与运算能力，题型分层设计（如构造新方程型）发展抽象能力与创新意识，结合直线象限等情境问题，强化数学语言表达现实世界的应用意识，课中助力分层教学，课后便于学生查漏补缺。

第3讲 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 知识点一：根的判别式：△= 作用： ①定根的个数； △＞0：方程有两个不相等的实数根； △=0：方程有两个相等的实数根； △＜0：方程没有实数根； ②求待定系数的值； ③应用于其它。 题型一：不解方程判断根的情况 例1．利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况： (1)； (2)； (3)． 【分析】先计算出根的判别式的值，再根据其大于、等于或小于来判断一元二次方程根的情况． 【详解】（1）解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：， ，，， ， 方程有两个相等的实数根． （3）解：， ， ，，， ， 方程没有实数根． 例2．直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（  ）. A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况. 【详解】∵直线不经过第二象限， ∴， ∵方程， 当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当a<0时，方程为一元二次方程， ∵∆=， ∴4-4a>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论. 变式练习 1．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【分析】计算根的判别式，判定，解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 2．在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 【分析】先由一次函数图象不经过第二象限得出a的取值范围，结合一元二次方程二次项系数不为0的条件确定，再通过根的判别式判断实根个数． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ． ∵方程是一元二次方程， ． ． ． ∴该方程有2个不相等的实数根． 3．利用判别式判断下列方程的根的情况： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【分析】对于不是一元二次方程一般形式的方程，先移项、去括号整理为（）的形式，确定对应系数．代入一元二次方程判别式公式计算判别式的值。根据判别式的符号判断根的情况：如果，那么方程有两个不相等的实数根；如果，那么方程有两个相等的实数根；如果，那么方程没有实数根． （1）， 方程没有实数根． （2），方程有两个相等的实数根． （3）先整理为一般形式：，，方程有两个不相等的实数根． （4），因为，所以， ．所以方程没有实数根． 【详解】（1）解：这里 ，，， 代入判别式： ， ∴方程没有实数根． （2）解：这里 ，，， 代入判别式： ， ∴方程有两个相等的实数根． （3）解：先整理为一般形式：， 此时 ，，， 代入判别式： ， ∴方程有两个不相等的实数根． （4）解：这里，，， 代入判别式： ， ∵ ， ，且， ∴， 即， ∴ ． ∴方程没有实数根． 4．一次函数不经过第三象限，关于的方程的解的个数（    ） A．1个 B．2个 C．0个 D．1个或2个 【分析】本题考查了一次函数图象的分布，一元一次方程的根，一元二次方程的根的判别式，准确判断图象不过第三象限的条件，灵活运用根的判别式是解题的关键．直线不经过第三象限，则或，分这两种情形判断方程的根． 【详解】解：∵直线不经过第三象限， ∴或， ∴或， 当时，原方程为，是一元一次方程，故由一个实数根； 当时，方程是一元二次方程， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 综上，方程有1个或2个解， 故选：D． 题型二：求参数的值或范围 例1．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，该方程总有实数根； (2)若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 证明：， 无论m取任何数，，即， 无论m取何值，该方程总有实数根； (2)时，方程的两根为， 【分析】（1）先求出判别式的值，再根据的意义证明即可； （2）根据求根公式得出，，即可求出m的值和方程的根． 【详解】（1）略 （2） ，由求根公式得： ，， 方程的两个根都是整数， 取时，方程的两根为，． 【点睛】本题考查了求根公式和根的判别式的应用，熟记求根公式为是解题的关键． 例2．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 【分析】（1）分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接得到有实数根；时，计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒非负，即可证明方程总有实数根． （2）先求出方程的两个根，再根据"两个不相等的正整数根"和为整数的条件，筛选得到符合要求的的值． 【详解】（1）证明：分两种情况讨论：当时，原方程化为， 解得，有实数根； 当时，原方程是一元二次方程， ， 任意实数的平方非负， ，即，方程总有实数根； 综上，不论为何值，方程总有实数根． （2）解： 方程有两个不相等的正整数根， ，且，即，得． 将方程因式分解得， 解得，． 两个根都是不相等的正整数，是整数， 为整数，且为正整数， 因此是的约数，可能取值为． 逐一验证：已排除，不符合； 时，，不是正整数，舍去； 时，，是正整数，且，符合条件； 时，，是正整数，且，符合条件； 因此整数的值为或． 变式练习 1．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． (1)证明：，，， ， ∴方程总有两个实数根． (2)或或 【分析】（1）先计算判别式的值，然后根据平方的非负性判断方程总有两个实数根； （2）利用公式法求出，，再根据方程的两个实数根都是整数，即可求出正整数的值． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴， ∴，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴为整数， 为正整数， ∴为4的正约数， 或或． 2．已知关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣（m+3）x+2＝0． （1）证明：当m≠﹣1时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可； （2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值． 【详解】（1）△=（m+3）2﹣8（m+1） =m2﹣2m+1 =（m﹣1）2． ∵方程是一元二次方程，∴m+1≠0，∴m≠－1． ∵不论m为何值时，（m﹣1）2≥0，∴当m≠－1时，△≥0，∴方程总有实数根； （2）解方程得：x， x1=1，x2． ∵方程有两个不相等的正整数根，m为整数，∴m+1=1，∴m=0． 故m为0时，方程有两个不相等的正整数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键． 3．已知关于x的方程：． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值． 【分析】（1）说明该方程的判别式大于等于零即可证明结论； （2）利用因式分解法求出方程的两个根，然后结合题意即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ ∴， ∵方程的两个实数根都是整数． ∴整数m的值为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和解一元二次方程等知识点，掌握一元二次方程根的个数与的关系和利用因式分解法解一元二次方程是解题关键． 例3．阅读理解： 材料1：对于一个关于x的二次三项式（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令（a≠0），然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求的取值范围； 解：令∴∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0∴y≥4∴． 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于x的一元二次方程（a＞0）有两个不相等的实数根 则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为：或 则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为： 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为﹣6，则a＝　　； (2)求出代数式的取值范围； (3)若关于x的代数式（其中m、n为常数且m≠0）的最小值为﹣4，最大值为7，请求出满足条件的m、n的值． (1)a＝6或a＝﹣6 (2)y或y≥﹣2 (3)或 【分析】（1）根据材料一设，化为x的一元二次方程用△≥0得y的范围，再列出a的方程求解； （2）设y＝，变形之后用△≥0求解，再根据材料二得到结论； （3）用△≥0得到代数式值的不等式，已知代数式值的最大、最小值，实质是已知和这个不等式对应的方程的二根，代入便可以求解． 【详解】（1）解：设，变形为， ∵△≥0， ∴可得， 而由已知y≥﹣6，故3﹣＝﹣6， ∴a＝6或a＝﹣6． （2）设y＝，变形为， ∵△≥0， ∴，化简得， 先求出的二根， ∴根据材料二得y或y≥﹣2． （3）设y＝，变形得， ∵△≥0， ∴， 整理得， 由已知可得﹣4≤y≤7， 根据材料二知的二根是， 代入整理得， 解得或． 【点睛】本题难度较大，主要考查阅读能力，能灵活运用阅读材料，涉及方程、不等式解的关系和一元二次方程根的判别式． 变式练习 1. 假设分式的值为，求的取值范围． 【分析】本题考查了分式的化简，不等式的性质等知识，原式变形为，然后利用不等式的性质求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的取值范围． 2．阅读下列材料：求函数的最大值． 解：将原函数转化成x的一元二次方程，得． ∵x为实数， ∴△＝＝﹣y+4≥0， ∴y≤4．因此，y的最大值为4． 根据材料给你的启示，求函数的最小值． 【分析】根据材料内容，可将原函数转换为，继而根据△≥0，即可得出y的最小值． 【详解】解：将原函数转化成x的一元二次方程，得， ∵x为实数， ∴ ， ∴， 因此y的最小值为． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，正确理解材料中的解题方法和思路是解题的关键． 题型三：根据根的情况分类讨论 例1．关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 A 【分析】分为和两类讨论，结合根的判别式求出的取值范围． 【详解】解：①当时，该方程为关于的一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴且； ②当时，该方程为关于的一元一次方程， 原方程为，有实数根，符合题意； 综上所述，的取值范围为． 例2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 A 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 变式练习 1．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是(    ) A． B． C．且 D． A 【分析】由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令，即可求出的取值范围，要注意，．再令方程为一元一次方程，进行解答． 【详解】解：当方程为一元二次方程时， ，即． 关于的方程有实数根， ， 解得， 且； 当方程为一元一次方程时， 且， 则， 综上，时方程有实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，掌握根的判别式和注意分类讨论是解题的关键．要对一元一次方程和一元二次方程分别讨论解答． 2．关于的方程有实数根，则的取值范围是（） A． B．且 C．且 D．且 A 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，方程有实数根，需考虑二次项系数是否为零．当时，方程为一元一次方程，有实数根；当时，方程为一元二次方程，有实数根的条件是判别式大于等于零． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴分两种情况： 当时，即，方程化为，解得，有实数根； 当时，方程为一元二次方程，判别式， 解得． 综合两种情况，． ∴的取值范围是， 故选：A． 3．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋1＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围． a＜2且a≠1 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a-1≠0且Δ=（-2）2-4（a-1）>0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得a﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）>0， 解得a<2且a≠1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ>0，方程没有实数根． 4． 若关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【分析】本题考查了一元二次方程判别式的意义．根据一元二次方程有两个实数根的条件，判别式大于等于零，从而求出的取值范围． 【详解】解：方程有两个实数根 判别式 ． ． ． ． 因此，的取值范围是． 5． 若关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围． 且 【分析】根据方程有两个实数根得出且，列出不等式得出的取值范围． 【详解】解：由题意，得：， ∴，即，， 又∵， ∴， 综上所述，且． 【点睛】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 6． 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求a的取值范围. 【分析】根据一元二次方程的根判断出Δ的大小，从而列出不等式，解出a的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴a的取值范围是． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键，易错点是忽略二次项系数≠0． 知识点二：根与系数的关系（韦达定理） 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 ①平方和： ②差的绝对值： | x1 - x2 |= 倒数和： + = ④ = ⑤ ①②属于完全平方型；③④属于通分型；⑤是乘法分配型 但是不论是什么型，最终的目的都是化为两根之和两根之积的形式，然后代入韦达定理。 题型一：常规型 例1．设 是一元二次方程的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)； (2) ． (1) (2)2 【分析】（1）先根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后利用完全平方公式的变形求解即可； （2）先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵ 是一元二次方程的两个根， ∴， ∴； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，多项式乘以多项式，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 变式练习 1．阅读材料： 如果，是一元二次方程的两根，那么有.这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题.例 是方程的两根，求的值. 解法可以这样： 则. 请你根据以上解法解答下题： 已知是方程的两根，求： （1） ;      （2） ; （3）=   ;    （4）= . （1）4；（2）2；（3）2；（4）8. 【分析】（1）根据根与系数的关系即可得出x1+x2的值； （2）根据根与系数的关系即可得出的值； （3）根据（1）（2），把要求的式子进行通分，然后代值计算即可； （2）把要求从的式子变形为（x1+x2）2-4x1x2，再把x1+x2=4，x1x2=2代入进行计算即可． 【详解】（1）（2）∵x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根， ∴x1+x2=4； 故答案为4 （2）∵x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根， ∴x1x2=2； 故答案为2； （3）==2； 故答案为2； （4）∵x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根， ∴x1+x2=4，x1x2=2， ∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=42-4×2=16-8=8． 故答案为8 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，根据题意得出x1+x2=-和x1•x2=的值是解决问题的关键． 2．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1)； (2)． (1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，多项式乘以多项式，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）先根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后利用完全平方公式的变形求解即可； （2）先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． 3．利用根与系数的关系，求一元二次方程的两个根的 平方和； 倒数和． ； ． 【分析】（1）设方程的两个根为、，可得，，代入到即可得； （2）将，，代入到即可得． 【详解】设方程的两个根为、， 则，， ∴； (2)． 【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系, 熟记公式是解决本题的关键. 例2．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． (1)(2) 【分析】（1）根据方程有两个实数根，得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）先根据根与系数的关系用表示和，再代入已知等式得到关于的方程，结合（1）中的范围筛选出符合条件的值即可； 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 即， 展开整理得， 解得； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ， 代入得， 整理得， 解得， ，， 不符合题意，舍去， ． 例3．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求k的值． (1)实数的取值范围是 (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，说明根的判别式大于等于，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． （2） 利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式得到关于的方程，求解后结合（1）中的范围筛选得到正确的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ ，解得． 即实数的取值范围为． （2）解：∵一元二次方程的两个实数根，， ∴， ， 又∵， ∴ ，解得，． 由（1）知，故不符合要求舍去，因此． 变式练习 1．已知：关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)设方程的两根为，且满足，求的值． (1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等： （1）一元二次方程有两个实数根，则根的判别式大于等于0，结合被开方数大于等于0，即可求解； （2）由一元二次方程根与系数的关系，可得，，再利用完全平方公式的变形得出，结合即可求解． 【详解】（1）解：有两个实数根， ， ， 又中， 的取值范围为． （2）解：方程的两根为， ，， ， ， ， ． 2．已知关于x的一元二次方程方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围． （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝1﹣x1x2，求m的值． （1）m≥﹣1；（2）1． 【分析】（1）利用判别式的意义得到（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）≥0，然后解关于m的不等式即可； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m﹣1，则2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），然后解关于m的方程得到m1＝1，m2＝﹣2，最后利用m的范围确定m的值． 【详解】解：（1）根据题意得△＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）≥0， 解得m≥﹣1； （2）根据题意得x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m﹣1， ∵x1+x2＝1﹣x1x2， ∴2m＝1﹣（m2﹣m﹣1）， 整理得m2+m﹣2＝0，解得m1＝1，m2＝﹣2， ∵m≥﹣1， 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，. 3．已知关于的方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． (1)的取值范围是 (2)的值为 【分析】（）先整理方程得整理得，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可； 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，；正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】（1）解：由整理得：， ∵关于的方程有两个实数根，， ∴， 解得：， ∴的取值范围是； （2）解：由（）得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：或， ∵， ∴的值为． 例4．已知关于x的一元二次方程． (1)m取什么值时，方程有两个实数根？ (2)设此方程的两个实数根为a、b，若y=ab-2b2+2b+1，求y的取值范围． (1)当时，方程有两个实数根； (2) 【分析】（1）由方程有两个实数根，可得△≥0，即关于m的不等式，解之即可得出结论； （2）由题意可得，，继而可得，根据m的取值范围结合一次函数的性质即可得答案． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴△≥0， 即（-1）2， 解得， ∴当时，方程有两个实数根； （2）解：∵方程的两个实数根为、， ∴，， ∴ ∵y=ab-2b2+2b+1， ∴ ， ， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一次函数的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 变式练习 1．已知关于的方程：有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． (1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程解的定义等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式列不等式求解即可； （2）当时，方程为，根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，、，，将所求式子变形为，然后将相关条件代入求解即可； 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 整理得：， 解得：． （2）解：当时，原方程即为， ∵，方程的根为，， ∴，、，， ∴ ． 2．已知关于x的一元二次方程kx2＋（1﹣2k）x＋k﹣2＝0 （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3＋β2＋β＋2017的值． （1）k＞−且k≠0；（2）2021 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（1−2k）2−4k（k−2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可； （2）k＝1．方程变为x2−x−1＝0，利用根与系数的关系得到α+β＝1，αβ＝−1，利用一元二次方程根的定义得到α2−α−1＝0，β2−β−1＝0，然后利用整体代入的方法计算α3＋β2＋β＋2017的值． 【详解】解：（1）根据题意得k≠0且Δ＝（1−2k）2−4k（k−2）＞0， 解得k＞−且k≠0； （2）∵k取满足（1）中条件的最小整数， ∴k＝1．此时方程变为x2−x−1＝0， ∴α+β＝1，αβ＝−1， ∵α2−α−1＝0，β2−β−1＝0， ∴α2＝α＋1，β2＝β＋1， ∴α3＝α2＋α＝α＋1＋α＝2α＋1， ∴α3＋β2＋β＋2017＝2α＋1＋β＋1＋β＋2017 ＝2（α＋β）＋2019 ＝2×1＋2019 ＝2021． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1•x2＝．也考查了根的判别式． 3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． (1) (2)13 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）时，方程变为，利用根与系数的关系得到，，再将变形代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：时，方程变为， 设方程的两个实数根分别为，， ，， ． 4．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，设方程的根为，，求代数式 的值． (1) (2) 【分析】（1）根据题意可得一元二次方程根判别式，解不等式即可求解； （2）当时，方程为，根据一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数的关系式得出，，，，代入代数式，进而即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ，即， 整理得：， 解得：． 故实数的取值范围是：； （2）当时，方程为， 该方程的两个实数根分别为，， ，，，， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型二：绝对值型 例1．已知关于x的一元二次方程tx2−6x+m+4=0有两个实数根x1、x2． （1）当m=1时，求t的取值范围； （2）当t=1时，若x1、x2满足3| x1|=x2+4，求m的值． （1）t≤且t≠0；（2）m的值为−59或. 【分析】（1）先将方程整理为一般形式得到，则有t≠0，根据判别式的意义可得，解得，故t的取值范围为. （2）当t=1时，原式为，根据判别式的意义可以求出m的取值范围，再根据方程可以得出；再联系便可求出m的取值范围. 【详解】（1）当m=1时，方程变形为tx2-6x+5=0， 根据题意得t≠0且（−6）2−4•t•5≥0， ∴t≤且t≠0； （2）当t=1时，方程变形为x2-6x+m+4=0， △=（−6）2−4（m+4）≥0，解得m≤5， 则x1+ x2=6，x1•x2=m+4， 当x1＜0时，−3 x1= x2+4，解得x1=−5，x2=11，m+4=−55，解得m=−59， 当x1＞0时，3 x1= x2+4，解得x1=，x2=，m+4=，解得m=， ∴m的值为−59或 【点睛】本题主要考查了一元二次方程. 根据题意，方程组有两个实数根，即判别式大于等于零，即可列出不等式求解. 可以先求出m的取值范围，再确定的关系，同时联立题中的式子求出符合条件的m的取值. 例2．已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若原方程的两个实数根为、，且满足，求的值． (1)且 (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到∴Δ=（1-2k）2-4k2>0且k2≠0，然后求出两个不等式的公共部分即可； （2）利用根与系数的关系得到，，，加上k<且k≠0，则可判断x1<0，x2<0，所以-x1-x2=2x1x2-3，即-（x1+x2）=2x1x2-3．则，然后解方程求出k即可得到满足条件的k的值． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △且， 解得且， 的取值范围是且； （2）解：原方程的两个实数根为、， ，， 而且； ，， ，， ， ，即． ， 整理得， 解得：，． 又且， 不合题意，舍去． 经检验，是方程的解． 的值为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了根的判别式． 变式练习 1．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x +m+3＝0，有两个实数根， （1）求m的取值范围． （2）若， 满足，求的值． （1）m≤-2；（2）m=-2. 【分析】（1）根据方程的判别式△≥0可得关于m的不等式，解不等式即得结果； （2）由根与系数的关系可得，再分与两种情况分别与化简后的等式组成关于、的方程组，求出方程组的解后，再代入原方程即可求出m的值. 【详解】解：（1）∵方程x2﹣2x +m+3＝0有两个实数根， ∴△≥0，即4－4(m+3)≥0. 解得：m≤-2； （2）∵方程x2﹣2x +m+3＝0有两个实数根，， ∴. 当时，即为， 解方程组，得， 把代入原方程，得：1﹣2 +m+3＝0，解得m=-2； 当时，即为， 解方程组，得， ∵，∴不合题意，应舍去. 综上，m的值是-2. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根与系数的关系、二元一次方程组的解法和绝对值的化简，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根与系数的关系是解题的关键. 2．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)试求的取值范围． (2)若此方程的两个实数根为，，且满足，试求的值． (1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，绝对值的性质，掌握利用判别式确定参数范围，结合韦达定理和绝对值性质求解参数，注意结果需满足初始条件是解题的关键． （1）根据方程有两个实数根的条件，利用判别式列不等式求的取值范围； （2）先根据，得到，则由可得，进而得到，由此可得到，进而求出的值，最后根据（1）的范围确定的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得． （2）解：∵方程的两个实数根为，， ，． ， ． ， ， ． ， ， ， ，解得，． 由（1）可知，， ． 3．设关于x的方程的两个实数根分别为x1、x2 （1）求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的值 （1）；（2） 【分析】（1）由方程有两个实数根，可得到判别式大于或等于0，可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围； （2）由根与系数的关系，求出，然后求出，再列出关于m的一元一次方程，即可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴与为异号，则， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，掌握根的判别式与方程根的情况是解题的关键． 4．关于x的方程有两个实数根x1,x2． （1）求实数k的取值范围； （2） 若x1,x2满足，求k的值． （1）k≥;（2）k=2 【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（2k＋1）2−4（k2＋2）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1＋x2＝−（2k＋1）＜0，x1x2＝k2＋2＞0，则利用有理数的乘法性质可判断x1＜0，x2＜0，然后去绝对值得到−（x1＋x2）＝x1x2−1，则2k＋1＝k2＋2−1，整理得到k2−2k＝0，再解关于k的方程即可得到满足条件的k的值． 【详解】（1）根据题意得△＝（2k＋1）2−4（k2＋2）≥0， 解得k≥； （2）根据题意得x1＋x2＝−（2k＋1）＜0，x1x2＝k2＋2＞0， ∴x1＜0，x2＜0， ∵|x1|＋|x2|＝|x1x2|−1， ∴−（x1＋x2）＝x1x2−1， ∴2k＋1＝k2＋2−1， 整理得k2−2k＝0，解得k1＝0，k2＝2， ∵k≥， ∴k＝2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝．也考查了根的判别式． 5．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1+x2|=x1x2﹣22，求k的值． （1）k≤；（2）k=﹣3． 【详解】试题分析：（1）关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2=0有两个实数根，根据根的判别式的意义得到△=4（k-1）2-4k2≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2（k-1），x1•x2=k2，则|2（k-1）|=k2-1，利用（1）的k的范围去绝对值后解方程得到k1=-3，k2=1，然后根据（1）中k的范围确定k的值． 试题解析：（1）∵方程有两个实数根x1，x2．∴△=（2k﹣2）2﹣4k2≥0，解得k≤； （2）由根与系数关系知：x1+x2=2k﹣2，x1x2=k2， ∵k≤，   ∴2k﹣2＜0， 又|x1+x2|=x1x2﹣1，代入得，|2k﹣2|=k2﹣1，可化简为：k2+2k﹣3=0． 解得k=1（不合题意，舍去）或k=﹣3， ∴k=﹣3． 6．已知关于的方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为x1、x2，且满足求k的值． (1) (2)k=2 【分析】（1）由原方程有两个实数根，可得 再解不等式即可得到答案； （2）先根据结合一元二次方程根与系数的关系判断 再利用，得到关于的一元二次方程，再解方程即可并检验即可. 【详解】（1）解：∵原方程有两个实数根， ∴ 整理得： 解得： （2）解：∵ ∴x1+x2=k+1>0， ∴x1>0，x2>0 ∵， ∴x1+x2=4x1x2﹣5 ∴k+1=4（k2+1）-5 ∴k2﹣k-2=0 ∴k=-1或k=2 ∵k≥ ∴k=2 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，利用根与系数的关系结合的取值范围确定是解本题的关键. 7．已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若满足，求m的值． (1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与判别式的关系，根据根与系数的关系，求出； （1）根据方程有两个不相等的实数根可得，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系可得，，可以求出，再由绝对值的性质得到关于m的一元二次方程，求解即可； 【详解】（1）关于x的方程有两个不相等的实数根， 解得； （2）由题意得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （舍），， m的值为； 题型三：构造新方程型 例1．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，，则． 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将、看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______，______． （2）类比应用：已知实数、满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知，是一元二次方程的两个实数根．直接写出使的值为整数的实数的整数值． （1），，；（2）；（3）实数的整数值为或或 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，从而得到，再由，即可求解； （3）由根的判别式求得，再利用根与系数的关系求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）一元二次方程的两个根为，， ，， ； 故答案为：，，； （2）由题知，和可看成方程的两个实数根， ，． ， ， ． 所以． 故的值为． （3）根据题意得且，解得， ，， ∴， ∴， 为整数，为整数， ， 解得， 又， 的整数值为或或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，根的判别式以及利用根与系数关系求代数式的值，根据代数式的结构特征恒等变形为已知代数式的形式是解决问题的关键． 例2．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (2)已知不相等的两个实数、满足，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． (1) (2) (3)的最大值为2 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系与完全平方公式的变形求解； （2）利用二次根式的被开方数的非负性得到，根据两个一元二次方程的二次项系数，一次项系数以及常数项都相等判断出是一元二次方程的两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系求解； （3）根据材料3构造一元二次方程，再根据判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根分别为、， ∴由根与系数的关系可知：， ； （2）解：，，， ， ∵， ∴实数、可看作是方程的两个不相等的实数根 由根与系数的关系可知：， ． （3）解：∵实数、、满足、， ， ∴实数、可看作是方程的两个实数根 ， ， 解得：， 的最大值为2． 变式练习 1．【阅读材料】 材料1：一元二次方程的两个根有如下的关系： 材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决． 下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，则___________，___________； (2)已知实数满足，且，求的值； (3)已知实数满足，且，求的最大值． (1)2， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程的根与系数的关系即可得结论； （2）可以看作是方程的两根，利用根与系数的关系即可求解； （3）将看作是方程的两实数根，利用判别式的意义即可求解． 【详解】（1）解：由一元二次方程的根与系数的关系可得，，． 故答案为：2，． （2）解：∵，实数满足，， ∴可看作方程的两根， ∴， ∴原式 ∴原式的值为． （3）解：∵， ∴将看作是方程的两实数根； ∴，且， ∴， ∴， 解得， ∴的最大值为1． 2．阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则_____，_____； (2)应用探究：已知实数满足：且，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足：，求的值． (1)， (2) (3)或 【分析】（1）直接根据材料给出的一元二次方程根与系数的关系计算即可； （2）由条件可知是方程的两个不相等实根，利用根与系数关系得到和的值，对所求式子因式分解后代入计算即可； （3）将第二个方程变形为，分和两种情况，分别计算所求式子的值即可． 【详解】（1）解：对于一元二次方程， 其中，， 根据根与系数的关系，可得， （2）解：由题意得，实数满足，，且 因此是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得， 所以 （3）解：将方程变形可得， 又， 分两种情况讨论：①当时， ②当时，和是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得 由，得， ∴， 综上，的值为或． 3．阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值 (1) (2) (3)或 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将、可以看作方程的两个根，即得出，从而可求出，即或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为， ． （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为， ， ． （3）解：∵实数满足， ∴可以看作方程的两个根， ， ， 或， 当时，， 当时，， 综上可知，的值为或． 例3．阅读材料： 材料1：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2=，x1x2=． 材料2：已知实数m、n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n，求的值． 解：由题知m、n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n=1，mn=-1． ∴． 根据上述材料解决下面的问题： （1）一元二次方程x2-4x-3=0的两根为x1、x2，则x1+x2=4，x1x2=_______； （2）已知实数m，n满足，，且m≠n，求m2n+mn2的值； （3）已知实数p，q满足p2=3p+2，2q2=3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值． （1）；（2）；（3） 【分析】（1）直接根据根与系数的关系求解； （2）利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程的两个实数解，则根据根与系数的关系得到，，接着把m2n+mn2分解得到mn(m+n)，然后利用整体代入的方法计算； （3）先设t=2q，代入2q2=3q+1化简得到t2=3t+2，根据p与t满足的等式可把p与t（即2q）为方程x2-3x-2=0的两个实数解，则根据根与系数的关系得到p+2q=3，p•2q=-2，接着利用完全平方公式变形得到p2+4q2=(p+2q)2-2p•2q，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）∵，，， ∴， 故答案为：； （2）∵m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两实数解， ∴，， ∴； （3）设，代入2q2=3q+1化简为t2=3t+2， 则p与t（即2q）为方程的两实数解， ∴p+2q=3，p•2q， ∴． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程()的两根时，，． 例4．阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，， 则， 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，， 所以． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______． (2)类比探究： 已知实数，满足，，且，求的值： (3)思维拓展： 已知实数、分别满足，，且．求的值． (1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系、代数式求值，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程的两个不相等的实数根，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：由题意可得：，； 故答案为：；； （2）解：，，且， 、可看作方程的两个不相等的实数根， ，， ； （3）解：把变形为，又， ∴实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ，， ． 变式练习 1．阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数a，b满足：，且，则______，______； (2)间接应用：在（1）条件下，求的值； (3)拓展应用：已知实数m，n满足：，且，求的值． (1)7，1 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得：a，b是方程的两个不相等的实数根，模仿例题即可得出答案； （2）先化简原式，再根据（1）的值代入计算即可； （3）令，，则，，再模仿例题解决问题即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：a，b是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知：，， 故答案为：7，1 （2）由（1）得， ∴（取正） （3）令，，则，， ∵， ∴，即， ∴a，b是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，二次根式的化简，换元法等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． 2．阅读材料： 材料1．若一元二次方程的两根为、，则，． 材料2．已知实数m、n满足、，且，求+ 的值． 解：由题知m、n是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，． ∴． 根据上述材料解决下面问题： (1)一元二次方程的两根为、，则　　，　　． (2)已知实数m、n满足、，且，求的值． (3)已知实数p、q满足、，且，求的值 (1)， (2) (3)43 【分析】（1）由根与系数的关系得出，； （2）由实数、满足、，且知、是一元二次方程的两个相等的实数根，据此得，，再代入计算即可； （3）由实数、满足、，且，即可得出、是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系即可得出、，利用配方法可将代数式变形为，再代入、即可求出结论． 【详解】（1）解：的两根为、， ，， 故答案为：，； （2）解：实数、满足、，且， 、是一元二次方程的两个相等的实数根， ，， 则原式 ； （3）解：， ，即． 又，即， 、是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 题型四：根的正负与系数的关系型 例1．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)若方程的两根都为负数，求的取值范围． (1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式列方程解答即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系解答即可． 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ． （2）关于的一元二次方程的两根都为负数， ，，， ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系等知识点，灵活运用相关知识点是解本题的关键． 例2．已知关于的一元二次方程有实根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两根都为正整数，且是某个三角形的三边长，求的值． (1)； (2)． 【分析】（1）由关于的一元二次方程有实根得到，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系和都为正整数，即可得出． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，可得 ， ∵都为正整数， ∴或或， ①当时， ， 此时无法构成三角形，舍去； ②当时， ， 此时是某个三角形的三边长， ③当时， ， 此时无法构成三角形，舍去； 综上所述，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，三角形三边关系等知识，掌握相关知识是解题的关键． 例3．方程的两根的符号是（    ） A．都为正 B．都为负 C．一正一负 D．无法确定 C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：根据代入数值化简，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则方程的两根的符号是一正一负， 故选：C 变式练习 1．不解方程，的两个根的符号为（    ） A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定 B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记“”的公式是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可求出两根之积，即可判断． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项系数，常数项， ∴， ∴一元二次方程的两个根、的符号是异号； 故选：B． 2．已知方程是关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个实根． 若方程的两根异号且都为整数，求满足条件的的整数值． (1)证明：由已知，， ， 故方程总有两个实根． （2）， 【分析】（1）由已知得，，可得结论；（2）由公式法得，，方程的两根异号且都为整数，满足条件的的整数值为，． 【详解】略 解：由可得， ，， ∵方程的两根异号且都为整数， ∴满足条件的的整数值为，． 【点睛】本题考核知识点：根判别式，解一元二次方程. 解题关键点：熟记根判别式，运用公式法解一元二次方程. 3．已知：关于的方程=0没有实数根． 求的取值范围； 若关于的一元二次方程有实数根，求证：该方程两根的符号相同； 设中方程的两根分别为、，若，且为整数，求的最小整数值． 的取值范围是；证明见解析； 的最小值为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系解答即可；（2）根据由于方程mx2+（n-2）x+m-3=0有两个实数根可知m≠0，当m＞4时，即可得出两根的积＞0，从而得出方程的两根符号相同；（3）由已知得m≠0，α+β= ，α•β=，再根据α：β=1：2，得出3α=，2α2=，再进行整理得出（n-2）2=m（m-3），根据m＞4，且n为整数，得出m为整数，即可得出答案． 【详解】∵关于的方程没有实数根， ∴， ∴， ∴的取值范围是； 由于方程有两个实数根可知， 当时，，即方程的两根之积为正， 故方程的两根符号相同． 由已知得：，，． ∵， ∴，． ，即． ∵，且为整数， ∴为整数； 当时，． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根． 4．已知关于x的一元二次方程的两根是一个矩形的两邻边的长． (1)m取何值时，方程有两个正实数根？ (2)当矩形的对角线长为 时，求m的值． (1) (2)2 【分析】（1）设矩形两邻边的长为a，b，根据的意义得到，即， 解得，而a，b都是正数，利用一元二次方程根与系数的关系有，可解得，综合可得到m的取值范围； （2）根据矩形的性质和勾股定理得到，变形有，把代入得，整理得到，解方程得到，然后即可得到符合条件的m的值． 【详解】（1）解：设矩形两邻边长为a、b， 关于x的一元二次方程的两根是矩形的两邻边长， ，即 解得， 又 ，   解得， 时，方程有两个正实数根； （2）解：设矩形两邻边长为a、b， 矩形的对角线长为， ， ， ， 解得，         ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，当，方程有两个不相等的实数根； 当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，也考查了一元二次方程根与系数的关系，勾股定理以及矩形的性质． 5．已知关于x的一元二次方程x2−2x–m2＋1＝0． （1）求证：该方程有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根都为正数，求m的取值范围； （3）若该方程的两个实数根x1、x2满足x1－x2＝2，求m的值． (1)详见解析;(2);(3) 【分析】(1)根据一元二次方程的判别式进行判断即可. (2)利用根与系数的关系求出范围即可. (3)将题中的等式通过根与系数的关系进行变形,解出即可. 【详解】(1)≥0,故该方程有两个实数根． (2)若两个实数根都为正数,则可知两根之和大于0,两根之积大于0 ,解得,即． (3),． ． ． 【点睛】本题考查一元二次方程判别式、根与系数的关系,关键在于熟练掌握相关的基础知识. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 知识点一：根的判别式：△= 作用： ①定根的个数； △＞0：方程有两个不相等的实数根； △=0：方程有两个相等的实数根； △＜0：方程没有实数根； ②求待定系数的值； ③应用于其它。 题型一：不解方程判断根的情况 例1．利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况： (1)； (2)； (3)． 例2．直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（  ）. A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 变式练习 1．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 3．利用判别式判断下列方程的根的情况： (1)； (2)； (3) ； (4)． 4．一次函数不经过第三象限，关于的方程的解的个数（    ） A．1个 B．2个 C．0个 D．1个或2个 题型二：求参数的值或范围 例1．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，该方程总有实数根； (2)若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 例2．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 变式练习 1．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 2．已知关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣（m+3）x+2＝0． （1）证明：当m≠﹣1时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 3．已知关于x的方程：． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值． 例3．阅读理解： 材料1：对于一个关于x的二次三项式（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令（a≠0），然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求的取值范围； 解：令∴∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0∴y≥4∴． 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于x的一元二次方程（a＞0）有两个不相等的实数根 则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为：或 则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为： 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为﹣6，则a＝　　； (2)求出代数式的取值范围； (3)若关于x的代数式（其中m、n为常数且m≠0）的最小值为﹣4，最大值为7，请求出满足条件的m、n的值． 变式练习 1. 假设分式的值为，求的取值范围． 2．阅读下列材料：求函数的最大值． 解：将原函数转化成x的一元二次方程，得． ∵x为实数， ∴△＝＝﹣y+4≥0， ∴y≤4．因此，y的最大值为4． 根据材料给你的启示，求函数的最小值． 题型三：根据根的情况分类讨论 例1．关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 例2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 变式练习 1．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是(    ) A． B． C．且 D． 2．关于的方程有实数根，则的取值范围是（） A． B．且 C．且 D．且 3．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋1＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围． 4． 若关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 5． 若关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围． 6． 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求a的取值范围. 知识点二：根与系数的关系（韦达定理） 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 ①平方和： ②差的绝对值： | x1 - x2 |= 倒数和： + = ④ = ⑤ ①②属于完全平方型；③④属于通分型；⑤是乘法分配型 但是不论是什么型，最终的目的都是化为两根之和两根之积的形式，然后代入韦达定理。 题型一：常规型 例1．设 是一元二次方程的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)； (2) ． 变式练习 1．阅读材料： 如果，是一元二次方程的两根，那么有.这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题.例 是方程的两根，求的值. 解法可以这样： 则. 请你根据以上解法解答下题： 已知是方程的两根，求： （1） ;      （2） ; （3）=   ;    （4）= . 2．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1)； (2)． 3．利用根与系数的关系，求一元二次方程的两个根的 平方和； 倒数和． 例2．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． 例3．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求k的值． 变式练习 1．已知：关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)设方程的两根为，且满足，求的值． 2．已知关于x的一元二次方程方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围． （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝1﹣x1x2，求m的值． 3．已知关于的方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 例4．已知关于x的一元二次方程． (1)m取什么值时，方程有两个实数根？ (2)设此方程的两个实数根为a、b，若y=ab-2b2+2b+1，求y的取值范围． 变式练习 1．已知关于的方程：有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 2．已知关于x的一元二次方程kx2＋（1﹣2k）x＋k﹣2＝0 （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3＋β2＋β＋2017的值． 3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 4．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，设方程的根为，，求代数式 的值． 题型二：绝对值型 例1．已知关于x的一元二次方程tx2−6x+m+4=0有两个实数根x1、x2． （1）当m=1时，求t的取值范围； （2）当t=1时，若x1、x2满足3| x1|=x2+4，求m的值． 例2．已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若原方程的两个实数根为、，且满足，求的值． 变式练习 1．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x +m+3＝0，有两个实数根， （1）求m的取值范围． （2）若， 满足，求的值． 2．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)试求的取值范围． (2)若此方程的两个实数根为，，且满足，试求的值． 3．设关于x的方程的两个实数根分别为x1、x2 （1）求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的值 4．关于x的方程有两个实数根x1,x2． （1）求实数k的取值范围； （2） 若x1,x2满足，求k的值． 5．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1+x2|=x1x2﹣22，求k的值． 6．已知关于的方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为x1、x2，且满足求k的值． 7．已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若满足，求m的值． 题型三：构造新方程型 例1．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，，则． 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将、看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______，______． （2）类比应用：已知实数、满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知，是一元二次方程的两个实数根．直接写出使的值为整数的实数的整数值． 例2．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (2)已知不相等的两个实数、满足，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 变式练习 1．【阅读材料】 材料1：一元二次方程的两个根有如下的关系： 材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决． 下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，则___________，___________； (2)已知实数满足，且，求的值； (3)已知实数满足，且，求的最大值． 2．阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则_____，_____； (2)应用探究：已知实数满足：且，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足：，求的值． 3．阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值 例3．阅读材料： 材料1：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2=，x1x2=． 材料2：已知实数m、n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n，求的值． 解：由题知m、n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n=1，mn=-1． ∴． 根据上述材料解决下面的问题： （1）一元二次方程x2-4x-3=0的两根为x1、x2，则x1+x2=4，x1x2=_______； （2）已知实数m，n满足，，且m≠n，求m2n+mn2的值； （3）已知实数p，q满足p2=3p+2，2q2=3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值． 例4．阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，， 则， 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，， 所以． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______． (2)类比探究： 已知实数，满足，，且，求的值： (3)思维拓展： 已知实数、分别满足，，且．求的值． 变式练习 1．阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数a，b满足：，且，则______，______； (2)间接应用：在（1）条件下，求的值； (3)拓展应用：已知实数m，n满足：，且，求的值． 2．阅读材料： 材料1．若一元二次方程的两根为、，则，． 材料2．已知实数m、n满足、，且，求+ 的值． 解：由题知m、n是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，． ∴． 根据上述材料解决下面问题： (1)一元二次方程的两根为、，则　　，　　． (2)已知实数m、n满足、，且，求的值． (3)已知实数p、q满足、，且，求的值 题型四：根的正负与系数的关系型 例1．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)若方程的两根都为负数，求的取值范围． 例2．已知关于的一元二次方程有实根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两根都为正整数，且是某个三角形的三边长，求的值． 例3．方程的两根的符号是（    ） A．都为正 B．都为负 C．一正一负 D．无法确定 变式练习 1．不解方程，的两个根的符号为（    ） A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定 2．已知方程是关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个实根． 若方程的两根异号且都为整数，求满足条件的的整数值． 3．已知：关于的方程=0没有实数根． 求的取值范围； 若关于的一元二次方程有实数根，求证：该方程两根的符号相同； 设中方程的两根分别为、，若，且为整数，求的最小整数值． 4．已知关于x的一元二次方程的两根是一个矩形的两邻边的长． (1)m取何值时，方程有两个正实数根？ (2)当矩形的对角线长为 时，求m的值． 5．已知关于x的一元二次方程x2−2x–m2＋1＝0． （1）求证：该方程有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根都为正数，求m的取值范围； （3）若该方程的两个实数根x1、x2满足x1－x2＝2，求m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $