21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 教学设计 2025--2026学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习方程一般形式、根的判别式及求根公式等前置知识搭建学习支架，引导学生从已有认知过渡到新知探究。 其特色在于遵循“计算猜想—严谨推导—规范应用—综合提升”流程，以具体方程计算观察规律，推导韦达定理培养逻辑推理，分层作业（必做巩固基础、选做拓展思维）落实数学运算与模型观念，帮助学生养成规范解题习惯，为教师提供清晰教学路径提升课堂效率。

21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 教学设计 学科 数学 年级 九年级 课型 新授课 单元 第二十一章 课题 21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课时 1课时 课标要求 1. 经历一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的探究、推导过程，理解根与系数的内在联系，掌握两根之和、两根之积的计算公式； 2. 能运用根与系数的关系，不解方程求两根和、两根积，解决代数式求值、构造方程、参数求解等基础问题； 3. 体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想，进一步巩固降次转化、分类讨论思想，发展逻辑推理、数学运算与模型观念核心素养； 4. 培养严谨的代数推理能力和规范解题习惯，提升知识综合应用能力。 教材分析 本节课是华师大版九年级上册第21章21.2第5课时内容，是在学生学习完一元二次方程解法、根的判别式之后的规律探究与综合应用课，是整章方程知识的升华与拓展。教材通过具体方程计算、观察、猜想、验证，推导出一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），揭示了方程的根与系数之间的必然规律。根与系数的关系是一元二次方程章节的重要工具，可快速解决不解方程的求值问题、简化复杂运算，同时是后续二次函数、中考综合题型的核心基础。本节课承接前文方程求解知识，完善了一元二次方程的知识体系，培养学生代数推理与规律探究能力，在初中代数体系中起到承上启下、拓展提升的关键作用。 学情 分析 学习本节课之前学生已经熟练掌握一元二次方程的四种解法、根的判别式，能准确求解各类一元二次方程，具备扎实的代数运算与方程求解能力，为本节课根与系数关系的探究与应用提供了充足的前置知识具备一定的观察、对比、归纳、推理能力，能够通过计算发现数学规律，但对抽象的代数推导、公式灵活应用能力较弱，对“不解方程求值”的思维模式较为陌生。 核心素养目标 1. 逻辑推理：经历根与系数关系的探究与严谨推导过程，理解公式的由来与适用条件，掌握从特殊到一般的推理方法，培养严谨的代数推理与归纳总结能力。 2. 数学运算：熟练运用根与系数的关系进行代数式求值、参数计算，规范运算步骤，规避符号、公式记错等错误，提升代数运算的灵活性与准确性。 3. 模型观念：建立“方程系数→两根和、两根积→代数式求值”的数学模型，能快速套用模型解决各类基础问题，形成系统化解题思维。 教学重点 1. 理解并熟记一元二次方程根与系数的关系公式； 2. 能运用根与系数的关系，不解方程求两根和、两根积及简单代数式的值。 教学难点 1. 理解根与系数关系的推导过程，明晰公式的适用条件； 2. 将所求代数式灵活变形为含两根和、两根积的形式。 教学 准备 多媒体课件、学习资料 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、引新 【思考】1.一元二次方程的一般形式是什么？ ax2＋bx＋c＝0(a≠0)； 2.一元二次方程根的判别式是什么？ b2－4ac 3.一元二次方程的求根公式是什么？ 4.一元二次方程的根的情况怎样确定？ b2-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根； b2-4ac=0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； b2-4ac＜0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根. 回忆并回答求根公式与判别式的相关内容。 通过复习前面学习的新知识，让学生直观感知根与系数的关联。 二、探究 探究：一元二次方程的根与系数的关系 【试一试】求出一元二次方程x2+3x-4=0的两根x1和x2，并计算x1+x2和x1x2的值. 方程x2+3x-4=0的两根为x1=1，x2=-4， 所以x1+x2=-3，x1x2=-4. x1+x2和x1x2的值与方程的系数有什么关系? 这个方程的二次项系数为1，它的两根之和-3等于一次项系数3的相反数，两根之积等于常数项-4. 对于任何一个二次项系数为1的一元二次方程，是否都有这样的结果呢? 【探索】我们来考察方程x2+px+q=0 ( p2-4q≥0 ). 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为： 概括： 二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系： 设一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1、x2， 那么x1+x2=-p，x1x2=q . 【例8】不解方程，求出下列方程的两根之和与两根之积： (1)x2+3x -5=0； (2)2x2 -3x -5=0. 解：(1)设两根为x1、x2，由上述二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系，可得 x1+x2=-3，x1x2=-5. (2)方程两边都除以2， 得 设两根为x1、x2，可得 【例9】试探索一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)的根与系数的关系. 解：方程两边都除以a，得 由二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系，可得 总结归纳 如果x1，x2是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，那么 这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系，前面概括的结论是它的特例(二次项系数为1). 拓展提高 法国数学家韦达是16世纪最有影响的数学家之一，他是第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进的数学家. 一元二次方程的根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达发现的，习惯上也称为韦达定理. 独立求解方程，计算两根和与积，观察数据规律； 跟随教师一步步完成公式推导，理解每一步变形依据；2 熟记根与系数的关系公式与适用条件。 跟随教师规范完成基础题型，熟练掌握公式应用； 学习代数式变形技巧，掌握综合求值方法。 通过具体方程计算铺垫，让学生直观感知根与系数的关联，激发探究兴趣，为后续公式推导做好铺垫。 亲历公式推导过程，让学生理解公式本质，而非机械记忆，培养学生逻辑推理与代数抽象能力，突破本节课核心难点。 提炼标准化解题模型，固化学生解题思维，规范答题格式，解决学生步骤混乱、公式应用不规范的问题，落实数学运算素养。 三、尝试 【知识技能类作业】必做题： 1. 不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)x2＋2x－1＝0：x1＋x2＝__-2__，x1x2＝__-1__； (2)－x2＋6x－2＝0：x1＋x2＝__6__，x1x2＝__2__； (3)(x＋1)(x－2)＝2：x1＋x2＝__1__，x1x2＝__-4__． 2. 已知m，n是一元二次方程x2－2x－4＝0的两个根，则m＋n－mn的值为（ C ）. A. -3 B. -6 C. 6 D. 4 3. 已知关于x的方程x2－5x＋k＝0的一个根为1，则方程的另一个根为( C )． A. 2 B. 5 C. 4 D. -2 4. 已知一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1，x2，且x1＋x2＝3，x1x2＝2，则b，c的值分别是(　B　). A．b＝3，c＝2 B．b＝－3，c＝2 C．b＝－3，c＝－2 D．b＝3，c＝－2 【知识技能类作业】选做题： 5. 已知a，b是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则a2b＋ab2的值是(　B　). A．-1 B．-6 C．-5 D．6 6.兰兰和笑笑分别解一道关于x的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程的两根为－2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程的两根为3和4，则原方程可能是(　B　). A．x2＋7x－12＝0 B．x2－7x－12＝0 C．x2＋7x＋12＝0 D．x2－7x＋12＝0 【综合拓展类作业】 7. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长． 解：当腰长为7时，则x＝7是一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的一个根，记x1＝7， 把x1＝7代入方程，得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0， 整理，得m2－14m＋40＝0，解得m1＝10，m2＝4. 当m＝10时，x1＋x2＝2(m＋1)＝22， 解得x2＝15，而7＋7<15，故舍去； 当m＝4时，x1＋x2＝2(m＋1)＝10， 解得x2＝3，此时符合三角形的三边关系，所以这个三角形的周长为3＋7＋7＝17. 当7为等腰三角形的底边长时，x1＝x2，所以m＝2， 方程可化为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3， 而3＋3<7，故舍去．所以这个三角形的周长为17. 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。 基础练习旨在巩固本节课的核心知识点，帮助学生夯实基础；拓展提升活动则将数学知识与生活实际相结合，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的知识应用能力和创新思维能力。 四、提升 适时小结，兴趣延伸 本节课你学到了什么？ 韦达定理：如果x1，x2是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，那么 二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q . 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。 帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。 板书设计 21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 1.韦达定理 2.例题讲解 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业设计 【知识技能类作业】必做题： 1.一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是( D ). A. x1+x2=-4 B. x1+x2=3 C. x1x2 =4 D. x1x2=3 2. 方程x2+3x-6=0与x2-6x+10=0的所有实数根的乘积等于( C ). A.-60 B.3 C.-6 D. 10 3.小明和小红一起做作业，在解一个关于x的一元二次方程(二次项系数为1)时，小明在化简过程中写错了常数项，得到两个根分别是2和5；小红在化简过程中写错了一次项系数，得到两个根分别是2和6，则此方程正确的解可以为( C ). A.x1=x2=2 B.x1=5，x2=6 C.x1=3，x2=4 D.此方程无解 【知识技能类作业】选做题： 4. 已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（　D　）. A．x1≠x2 B．x12-2x1=0 C．x1+x2=2 D．x1•x2=2 【综合拓展类作业】 5.已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，求m2－2mn－2n＋1的值． 解：因为m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，所以m＋n＝－2，mn＝－5，n2＋2n－5＝0，所以n2＋2n＝5. 所以m2－2mn－2n＋1＝m2－2mn＋n2－n2－2n＋1＝(m－n)2－(n2＋2n)＋1＝(m＋n)2－4mn－(n2＋2n)＋1＝(－2)2－4×(－5)－5＋1＝20. 教学反思 本节课教学逻辑清晰，遵循“计算猜想—严谨推导—规范应用—综合提升”的教学流程，贴合学生从特殊到一般的认知规律，学生接受度高。重难点突出精准，紧扣教材核心，重点强化公式推导与应用，专项突破“符号错误、代数式变形、前提验证”三大易错点，课堂实效性强。高度落实核心素养，全程渗透逻辑推理、数学建模、整体代换思想，不仅教会学生解题，更培养学生严谨的代数推理思维。重视解题规范性，强调公式适用条件与解题步骤，帮助学生建立规范、严谨的解题习惯。分层教学落实较好，基础题夯实技能，提升题拓展思维，兼顾学困生与优等生。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $