21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 教学设计 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过让学生解具体方程并计算两根之和与积，引导观察规律。课前复习一元二次方程的一般形式、求根公式等旧知，为新知探究搭建学习支架。 此资料以探究式教学为特色，从特殊方程到一般形式，通过求根公式推导、方程变形等多种方法证明关系，培养学生推理能力。应用环节设计基础例题与拓展题，如已知一根求另一根、两根关系求参数，提升模型意识与应用能力，助力学生构建知识体系，也便于教师高效开展教学。

5.一元二次方程的根与系数的关系 　　　　　　　　 课题 5.一元二次方程的根与系数的关系 授课人 教 学 目 标 　　1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用. 2.通过根与系数的关系的教学,进一步培养学生分析、观察、归纳和推理论证的能力. 3.根据根与系数的关系确定两根之和与两根之积,并能根据两根之和或积解决简单的数学问题. 4.通过情景教学过程,激发学生的求知欲,培养学生积极学习数学的态度,体验数学活动中充满着探索与创造,体验数学活动中的成功感. 教学 重点 根与系数的关系及其推导过程. 教学 难点 根据根与系数的关系确定方程系数的取值. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　提出问题: 1.一元二次方程的一般形式是什么? 2.一元二次方程有实数根的条件是什么? 3.当Δ>0,Δ=0,Δ<0时,一元二次方程的根的情况如何? 4.一元二次方程的求根公式是什么? 师生活动:教师指导学生回忆知识,学生进行口答,教师指出重点. 　　对一元二次方程相关知识的复习,目的在于巩固旧知并为后面的学习做铺垫. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 　　解下表中的方程,并完成填空: 方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-2x-3=0 x2-3x+2=0 x2+5x+6=0 　　师生活动:学生自主选择适当的方法解方程,并完成填空,然后交流答案. 问题:观察、思考方程两根之和与两根之积与系数有何关系,你能从中发现什么规律? 　　学生通过计算、观察、分析,发现特殊方程中根与系数的关系,发展学生的感性认识,体会由特殊到一般的认识过程. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系 填写上表后思考: ①观察、思考两根之和与两根之积分别与系数有何关系; 发现:设一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,那么x1+x2=　-p　,x1x2=　q　.  ②运用你所发现的规律,你能解答下面的问题吗? 已知方程x2-3x-2=0的两根是x1和x2,则x1+x2=　3　,x1x2=　-2　.  ③如何证明以上发现的规律呢? 论证结论: 教师与学生共同整理证明过程: 证明:根据求根公式,可得一元二次方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的两根分别为x1=,x2=, 所以x1+x2==-p,x1x2=·=q. 教师板书: 若一元二次方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的两根分别为x1,x2,则 x1+x2=-p,x1x2=q. 【探究2】 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的根与系数的关系 思考:对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0),它的根与系数又有何关系? 师生活动:由于刚刚探索过二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的根与系数的关系,对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的根与系数的关系可由学生自主进行解答,老师做好评价和反馈. 探索:方法一:当Δ>0时,由求根公式得 x1=,x2=, 所以x1+x2==-=-, x1x2=. 当Δ=0时,x1=x2=-,所以x1+x2=-,x1x2=. 方法二:方程两边都除以a,得x2+x+=0. 由二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系,可得x1+x2=-,x1x2=. 方法三:(即教材第36页“读一读”):若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的两根为x1,x2,则方程左边的ax2+bx+c一定含有因式(x-x1)和(x-x2), 　　1.进一步分析、验证所发现的二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系,为从感性到理性打好基础. 　　2.证明的方法至少有以下三种,教学过程中,要对于有不同证明方法的学生提出鼓励和赞赏,让学生感受收获知识的快乐;对于未想到的解法,启发学生思考并对比三种解法的优劣,培养学生良好的观察能力和分析解决问题的能力. 　　3.探究根与系数关系的结论,培养学生严谨的学习态度. 活动 二: 探究 与 应用 　　因此ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), 即ax2+bx+c=ax2+(-ax1-ax2)x+ax1x2, 所以b=-ax1-ax2,c=ax1x2, 所以x1+x2=-,x1x2=. 归纳并板书: 若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1和x2,则 x1+x2=-,x1x2=. 【应用举例】 例1　不解方程,求出下列方程的两根之和与两根之积: (1)x2+3x-5=0;(2)2x2-3x-5=0. 答案:(1)x1+x2=-3,x1x2=-5　(2)x1+x2=,x1x2=- 师生活动:学生自主进行解答,教师做好评价和总结. 注意:把一元二次方程整理为一般形式,确定a,b,c的值,然后利用根与系数的关系代入求值. 变式一　已知x1,x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根,则x1x2等于 (C) A.-4　　　B.-1　　　C.1　　　D.4 变式二　若x1,x2为方程x2-2x-1=0的两实数根,求x1+x2-x1x2的值.[答案:3] 例2　若一元二次方程x2-x-1=0的两实数根分别为x1,x2,求的值.[答案:-1] 例3　(1)已知方程x2-3x+c=0的一个根为2,求另一个根和c的值. [答案:另一个根为1　c=2] 　　应用举例是针对本课时的重点所学进行及时巩固,提高学生的计算能力并熟记公式. 【拓展提升】 例4　关于x的方程2x2+5x+m-1=0的两根互为倒数,求m的值. [答案:3] 例5　已知x1,x2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的两个实数根. (1)是否存在实数a,使-x1+x1x2=4+x2成立?若存在,求出a的值;若不存在,请你说明理由. (2)求使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值. [答案:(1)存在.a=24　(2)a的整数值为7,8,9,12] 　　拓展提升是根与系数关系的综合应用,利于提高学生思考的广度和深度,能够给予学生必要的知识补充. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.两根均为负数的一元二次方程是 (　　) A.7x2-12x+5=0 　　B.6x2-13x-5=0 C.4x2+21x+5=0 　　D.x2+15x-8=0 2.已知方程x2+ax+b=0的两实数根分别为2和3,则a=　　　　,b=　　　　.  3.已知方程x2-2x-c=0的一个根为3,求方程的另一根及c的值. 　　通过设置达标检测,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”. 活动 三: 课堂 总结 反思 4.已知方程2x2-4x-5=0的两个根分别为x1和x2,求下列式子的值. (1)(x1+2)(x2+2);(2)x2+x1. 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 【课堂总结】 (1)本节课主要学习了哪些知识?学习了哪些数学思想和方法? (2)说一说本节课你还有哪些疑惑. 　　指导学生养成系统整理知识的好习惯,加强教学反思,进一步提高教学效果. 【作业布置】 1.课本第36页练习. 2.课本第39页习题21.2第8题 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在新知探究环节中,关于两根之和与两根之积的计算看似复杂,教师进行板演后,能够使学生清晰认识到结论的来由,能够顺利地进行应用;课堂训练中,学生运用新知解答问题不甚灵活,教师的必要引导起了关键作用,学生体验到方法的简便性和重要性. ②[讲授效果反思] 在应用过程中,应注意:(1)运用根与系数的关系首先保证方程有实数根;(2)运用根与系数的关系解答问题方便运算. ③[师生互动反思] 从教学过程来看,学生能够在教师的引导下进行探索和交流,并能够运用知识解答问题,应增加其兴趣和思维敏捷性的训练. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $