21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 教学设计 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

课题

5.一元二次方程的根与系数的关系

授课人

教

学

目

标

　　1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用.

2.通过根与系数的关系的教学,进一步培养学生分析、观察、归纳和推理论证的能力.

3.根据根与系数的关系确定两根之和与两根之积,并能根据两根之和或积解决简单的数学问题.

4.通过情景教学过程,激发学生的求知欲,培养学生积极学习数学的态度,体验数学活动中充满着探索与创造,体验数学活动中的成功感.

教学

重点

根与系数的关系及其推导过程.

教学

难点

根据根与系数的关系确定方程系数的取值.

授课

类型

新授课

课时

教具

多媒体

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

回顾

　　提出问题:

1.一元二次方程的一般形式是什么?

2.一元二次方程有实数根的条件是什么?

3.当Δ>0,Δ=0,Δ<0时,一元二次方程的根的情况如何?

4.一元二次方程的求根公式是什么?

师生活动:教师指导学生回忆知识,学生进行口答,教师指出重点.

　　对一元二次方程相关知识的复习,目的在于巩固旧知并为后面的学习做铺垫.

活动

一:

创设

【课堂引入】

　　解下表中的方程,并完成填空:

　　学生通过计算、观察、分析,发现特殊方

情境

导入

新课

　　师生活动:学生自主选择适当的方法解方程,并完成填空,然后交流答案.

问题:观察、思考方程两根之和与两根之积与系数有何关系,你能从中发现什么规律?

程中根与系数的关系,发展学生的感性认识,体会由特殊到一般的认识过程.

活动

二:

探究

与

应用

【探究1】 二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系

填写上表后思考:

①观察、思考两根之和与两根之积分别与系数有何关系;

发现:设一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,那么x1+x2=　-p　,x1x2=　q　. 

②运用你所发现的规律,你能解答下面的问题吗?

已知方程x2-3x-2=0的两根是x1和x2,则x1+x2=　3　,x1x2=　-2　. 

③如何证明以上发现的规律呢?

论证结论:

教师与学生共同整理证明过程:

证明:根据求根公式,可得一元二次方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的两根分别为x1=,x2=,

所以x1+x2==-p,x1x2=·=q.

教师板书:

若一元二次方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的两根分别为x1,x2,则

x1+x2=-p,x1x2=q.

【探究2】 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的根与系数的关系

思考:对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0),它的

　　1.进一步分析、验证所发现的二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系,为从感性到理性打好基础.

　　2.证明的方法至少有以下三种,教学过程中,要对于有不同证明方法的学生提出鼓励和赞赏,让学生感受收获知识的快乐;对于未想到的解法,启发学生思考并对比三种解法的优劣,培养