21.2.3 公式法解一元二次方程 教学设计（含单元教学设计） 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“公式法解一元二次方程”核心知识点，通过复习配方法步骤，引导学生解含字母方程制造认知冲突，搭建从特殊到一般的推导支架，衔接新旧知识。 全程让学生参与求根公式推导培养逻辑推理，标准化“判式—代入—计算—化简”步骤训练数学运算，建立通用求解模型发展模型观念，例题覆盖三种根的情况，分层作业巩固拓展，助力教师高效教学，提升学生运算与推理能力。

21.2.3 公式法解一元二次方程 教学设计 学科 数学 年级 九年级 课型 新授课 单元 第二十一章 课题 21.2.3 公式法解一元二次方程 课时 1课时 课标要求 1. 经历用配方法推导一元二次方程求根公式的全过程，理解求根公式的推导依据与适用条件；2. 掌握根的判别式的意义，能利用判别式判断一元二次方程实数根的情况； 3. 熟练掌握公式法解一元二次方程的规范步骤，能熟练求解任意数字系数的一元二次方程； 4. 体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想，进一步巩固降次转化思想，发展逻辑推理、数学运算与模型观念核心素养。 教材分析 本节课是华师大版九年级上册第21章21.2第3课时内容，是在学生学习直接开平方法、因式分解法、配方法之后的通用型、终结性解法，是整章解方程教学的核心重点课时。教材以配方法为基础，从具体数字方程过渡到一般形式，通过严谨代数变形推导出求根公式，同时引入根的判别式，实现“先判根、后解题”的标准化解题流程。本节课公式与判别式，是后续二次函数、方程综合应用、中考综合题型的核心基础，在初中代数体系中具有承上启下、统领全章的重要地位。 学情 分析 学生已经熟练掌握配方法解一元二次方程的完整步骤，具备完整的代数恒等变形能力，理解降次转化思想，能够完成移项、系数化1、配方、开方等操作，为本节课公式推导提供扎实的前置支撑。九年级学生具备一定的抽象概括、逻辑推理能力，能够接受从具体到一般的公式推导，但对含字母的代数推导较为陌生，抽象运算能力偏弱。 核心素养目标 1. 逻辑推理：经历求根公式的严谨推导过程，理解每一步字母变形的数学依据，感受从特殊到一般的推理过程，提升代数推理的严谨性与逻辑性。 2. 数学运算：熟练掌握“判式—代入—计算—化简”的公式法解题流程，精准确定带符号的a、b、c，规范公式运算与根式化简，全面提升复杂代数运算能力。 3. 模型观念：建立一元二次方程通用求解模型，理解判别式与根的对应关系，能通过模型快速判断根的情况、求解方程，形成系统化解题思维。 教学重点 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2. 掌握根的判别式的意义，能准确判断方程根的情况； 3. 熟练运用公式法解一元二次方程，掌握标准化解题步骤。 教学难点 1. 含字母一般形式一元二次方程的配方与公式推导； 2. 理解判别式与根的数量关系，规范“先判根、后解题”的解题逻辑。 教学 准备 多媒体课件、学习资料 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、引新 【思考】怎样用配方法解一元二次方程？ 1.把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a) 2.把常数项移到方程的右边; 3.把方程的左边配成一个完全平方式; 4.利用开平方法把原方程化成两个一元一次方程； 5.解一元一次方程，求出方程的两个解。 【思考】用配方法解关于x的方程: x2+px +q=0 (p2-4q≥0). 解：原方程可化为 x2+px=-q， 配方，得x2+px+ =-q+，即 ∵ p2-4q≥0，∴ 所以x1=，x2= . 口述配方法解题步骤，独立完成配方法解题. 体验配方法解复杂方程的弊端，产生探究通用公式的需求 通过旧知复习铺垫公式推导基础，通过繁琐运算制造认知冲突，让学生理解学习公式法的必要性，激发探究欲望。 二、探究 【探索】解一般形式的一元二次方程：ax2+bx +c=0 (a≠0). 因为a≠0，方程两边都除以a，得 因为a≠0，所以4a2>0. 当b2-4ac≥0时，直接开平方，得 由以上研究，得到了一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 将一元二次方程的系数a、b、c的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根. 这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 想一想：当b2-4ac<0时，方程有实数根吗？ 当b2-4ac<0时，无意义， 所以方程没有实数根. 【例6】解下列方程： (1)2x2 +x -6=0；(2) x2 + 4x =2; (3) 5x2 -4x -12=0；(4)4x2+4x+10=1-8x. 解：(1)这里a=2，b=1，c=-6. 因为b2-4ac=12-4×2×(-6)=1+48=49>0, 解：(2)将方程化为一般形式，得x2+4x-2=0. 因为b2-4ac=24>0, 解：(3)这里a=5，b=4，c=-12. 因为b2-4ac=256>0, 解：(4)整理，得4x2+12x+9=0. 因为b2-4ac=0， 这里b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根. 总结归纳 用公式法解一元二次方程的步骤是什么？ ①把一元二次方程化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)； ②确定a，b，c的值； ③求b2－4ac的值； ④代入求根公式 : ⑤当b2－4ac≥ 0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根． 跟随教师一步步完成字母配方推导，理解每一步变形依据； 识记判别式定义与根的对应规律； 熟记求根公式与适用条件，理解公式由来。 跟随例题规范解题，掌握三种根的情况的解题格式,总结规避符号错误、漏判根的解题技巧。 熟记五步解题口诀，理解每一步操作目的；对照板书规范书写格式. 全程亲历公式推导，打破学生死记公式的误区，培养严谨的逻辑推理与代数抽象能力，突破本节课核心难点。 提炼标准化解题模型，固化学生解题思维，解决学生步骤混乱、符号出错、漏判根的问题，落实数学运算核心素养。 分层覆盖三类根的题型，针对性击破高频易错点，强化学生规范解题能力，提升运算准确率。 三、尝试 【知识技能类作业】必做题： 1.如果一元二次方程x2＋px＋q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是(　A　). A．p2－4q≥0 B．p2－4q≤0 C．p2－4q>0 D．p2－4q<0 2. 当用公式法解方程2x2－1＝3x时，b2－4ac的值为(　D　) A．-1 B．-3 C．2 D．17 3. 方程3x2－x＝4化为一般形式后，a，b，c的值分别为(　B　) A．3，1，4 B．3，－1，－4 C．3，－4，－1 D．－1，3，－4 4. 用公式法解方程3x2＋2x＝1. 解：将方程化为一般形式，得3x2＋2x－1＝0， 因为a＝____3____，b＝__2____，c＝___1___， 所以b2－4ac＝___16_____， 所以x＝＝＝， 即x1＝________，x2＝_____-1___． 【知识技能类作业】选做题： 5. 用公式法解下列方程： (1)x2－3x－3＝0； (2)3x2＋10x＋5＝0； 解：(1)因为a＝1，b＝－3，c＝－3， 所以b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－3)＝21>0， 所以x＝＝＝， 所以x1＝，x2＝. 解：(2)因为a＝3，b＝10，c＝5， 所以b2－4ac＝102－4×3×5＝40>0， 所以x＝＝＝， 所以x1＝，x2＝. 6.王刚同学在解关于x的方程x2－3x＋c＝0时，误将－3x看作＋3x，结果解得x1＝1，x2＝－4，则原方程的解为x1＝-1，x2＝4． 【综合拓展类作业】 7. 已知关于x的一元二次方程x2-(4m+1)x+3m2+m=0. (1)求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根； 证明：由题意得，a＝1，b＝-(4m+1)，c＝3m2+m， ∴b2-4ac=[-(4m+1)]2-4(3m2+m)=4m2+4m+1=(2m+1)2 ∵(2m+1)2≥0, ∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根. (2)若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围. 解：解方程x2-(4m+1)x+3m2+m=0得x1＝3m+1，x2＝m， 由题意得3m+1＞2,m<7 或3m+1＞7,m<2 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。 基础练习旨在巩固本节课的核心知识点，帮助学生夯实基础；拓展提升活动则将数学知识与生活实际相结合，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的知识应用能力和创新思维能力。 四、提升 适时小结，兴趣延伸 用公式法解一元二次方程的步骤是什么？ ①把一元二次方程化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)； ②确定a，b，c的值； ③求b2－4ac的值； ④代入求根公式 : ⑤当b2－4ac≥ 0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根． 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。 帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。 板书设计 21.2.3 公式法解一元二次方程 ① 公式法解一元二次方程 ② 例题讲解. 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业设计 【知识技能类作业】必做题： 1.解下列方程：①2x2- 18= 0；②2x2-12x-782= 0； ③3x2+10x+1=0；④2(5x-1)2=2(5x-1). 用较简便的方法依次是( A ) A. ①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B. ①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 C. ①④因式分解法，②公式法，③配方法 D. ①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法 2. 方程-x2+3x=1用公式法求解，先确定a，b，c的值，正确的是( A ) A. a=-1，b=3，c=-1 B. a=-1，b=3，c=1 C. a=-1，b=-3，c=-1 D. a=1，b=-3，c=-1 【知识技能类作业】选做题： 3.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2-8x+15=0的一根，则此三角形的周长是( A ) A.16 B.12 C.14 D.12或16 4. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法： ①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0； ②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根； ③若c是方程a2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立; 其中正确的( B ）. A.①②③ B.①② C.②③ D.①③ 【综合拓展类作业】 5.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3，若将实数对(x，-3x)放入其中，得到一个新数为5，则x的值为多少？ 解：根据题意，得 x2+6x+3=5， 即x2+6x-2=0， ∴a=1，b=6，c=-2， ∴b2－4ac=36-4×1×(-2)=44>0, 教学反思 本节课教学逻辑严谨，从配方法旧知迁移到公式推导，由特殊到一般，贴合学生认知规律，有效突破公式抽象难懂的教学难点。重难点突出，精准落实“公式推导、判别式应用、规范解题”三大核心内容，覆盖全部课标要求，课堂实效性强。高度重视核心素养培养，通过严谨字母推导训练学生逻辑推理，通过标准化步骤训练学生数学运算，通过模型归纳培养学生模型观念。知识体系完整，课堂结尾对比四种解法，帮助学生建立择优解题思维，完善章节知识框架。 学科网（北京）股份有限公司 $ 学 科 数学《一元二次方程》大单元教学设计 年 级 九年级 设计者 教材版本 华师大版 册、章 上册第二十一章 课标要求 1. 理解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程，掌握一元二次方程的一般形式，能将方程化为标准形式。 2. 理解配方法的数学思想，熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，能解数字系数的一元二次方程。 3. 掌握一元二次方程根的判别式，能利用判别式判断方程实数根的情况（有两个不等实数根、两个相等实数根、无实数根）。 4. 了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单的求值应用。 5. 能从实际情境、几何情境中抽象数量关系，列出一元二次方程求解，能根据实际意义检验方程解的合理性，舍去不合理解。 6. 在解方程与建模过程中，体会转化、降次、数形结合、分类讨论等数学思想，发展运算能力、模型观念、推理意识与应用意识。 内容分析 《一元二次方程》是华师大版九年级上册第21章内容，是初中阶段最后一类整式方程，是对七年级一元一次方程、八年级分式方程的延伸与提升。本章以“二次、整式、一元”为核心特征，将方程次数从一次提升到二次，是学生代数运算能力与方程建模能力的重要进阶。 本单元不仅是初中数学计算板块的重点与难点，也是后续学习二次函数、反比例函数、高中一元二次不等式、导数、解析几何的基础，同时在增长率、面积、利润、运动几何等实际问题中具有广泛应用，是中考必考核心单元。 学情分析 九年级学生已经熟练掌握一元一次方程、整式运算、因式分解、完全平方公式、平方根等知识，具备解方程的基本经验和代数变形能力，为本章学习奠定基础。但学生对“二次降为一次”的转化思想理解较浅，配方的恒等变形容易出错。九年级学生抽象思维、逻辑推理能力显著提升，能够接受复杂代数运算和结构化解题步骤，但机械运算多、理解性思考少，容易出现公式记错、符号出错、漏项等典型问题。同时九年级学生普遍存在：①忽略二次项系数不为零；②配方时常数项变形错误；③公式法代入符号出错；④因式分解法漏解；⑤实际问题不检验解的合理性。 单元目标 （一）教学目标 1. 理解一元二次方程的定义，能准确识别一元二次方程，熟练将方程化为一般形式，准确识别各项系数。 2. 掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法，能根据方程特点选择最优解法，熟练求解一元二次方程。 3. 理解根的判别式的意义，能利用判别式判断根的情况，能解决简单含参数根的存在性问题。 4. 了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单代数式求值。 5. 能根据实际问题、几何问题建立一元二次方程模型，求解并检验解的合理性。 （二）教学重点、难点 重点 1. 一元二次方程的概念辨析与一般形式转化。 2. 四种解法的熟练运用，能根据方程结构选择最简解法。 3. 根的判别式的理解与应用。 4. 建立一元二次方程模型解决实际问题。 难点 1. 掌握配方法的原理与完整步骤，理解配方的恒等变形思想。 2. 含参数一元二次方程中的隐含条件辨析与分类讨论。 3. 从复杂实际情境中抽象等量关系、准确列方程。 4. 结合实际背景检验、取舍方程的解。 单元知识结构框架及课时安排 （1） 单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号 单元主要内容 课时数 21.1 认识一元二次方程 一元二次方程的概念和一般形式 1 21.2 一元二次方程的解法 直接开平方法和因式分解法；配方法；公式法；一元二次方程根的判别式；一元二次方程的根与系数的关系 5 21.3实践与探索 一元二次方程解决实际问题问题 1 达成评价 课题 课时目标 达成评价 评价任务 21.1 认识一元二次方程 理解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程，掌握一元二次方程的一般形式，能将方程化为标准形式。 通过学习，能识别标准一元二次方程，完成基础变形。能熟练整理一般形式，准确写出各项系数。 任务一：了解一元二次方程的概念. 任务二：能判断是否为一元二次方程，能化为一般形式. 21.2 一元二次方程的解法 1.掌握直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的基本步骤； 2.会用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程. 1.能正确解基础题型。 2.方法选择合理，步骤规范，无漏解。 3.能灵活变形后再用两种方法解题，纠错能力强. 能用两种方法快速解方程；理解降次思想；因式分解法不漏解。 1.经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能. 2.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想. 1.能规范完成任意数字系数配方，步骤完整。 2.能解释配方原理，能利用配方求代数式最值。 任务一：掌握完整配方步骤；理解配方恒等变形； 任务二：能对二次项系数不为1的方程配方。 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.会用公式法解一元二次方程. 3.经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力. 1.能套用公式解方程，能判断基础根的情况。 2.代入准确、步骤规范，能根据说明根的三种情况。 熟记求根公式；准确代入符号；能用判别式判断根的情况；简单含参数判别式分析。 1.掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系2.由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数 1.能直接套用公式求值。 2.能进行简单变形后整体代入。 3.能结合判别式综合求值，严谨审题。 熟记两根和、两根积公式； 会整体代入求值； 注意方程有根前提。 21.3实践与探索 会根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得结果的合理性. 1.能完成基础建模与求解。 2.等量关系准确，列式正确，能检验合理性。 能读懂题意、找准等量关系、正确列方程、规范求解、检验取舍解。 学科网（北京）股份有限公司 $