第二十章 二次根式单元测试卷 2026-2027年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 二次根式单元卷，满分150分，覆盖概念、运算及应用，通过基础题、创新阅读题和实际应用题，考查抽象能力、运算能力与模型意识，适配初中数学单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次根式有意义条件、最简二次根式、运算|基础概念辨析，如第1题考取值范围，第3题考运算正确性| |填空题|6/18|新定义运算、同类二次根式、数轴化简|结合符号意识，如第11题新运算，第15题数轴与根式化简| |解答题|10/102|计算、化简求值、阅读材料应用、实际问题|分层设计，基础计算（17-19题）、能力提升（22题分母有理化）、创新应用（25题经济时速模型），体现推理意识与应用意识|

二次根式单元测试卷 满分：150 出题人：杨老师 一、单选题（每题3分，共30分） 1．若要使有意义，则的取值范围为（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．如果最简二次根式能与合并，那么的值为（     ） A．1 B．2 C．6 D．10 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列式子：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），化简正确的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 5．在、、、、中，最简二次根式的个数是（     ） A． B． C． D． 6．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 7．估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 8．若，则值为（     ） A． B． C． D．无理数 9．化简（     ） A． B． C． D． 10．小明的作业本上有以下四题，做错的题是（     ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题（每题3分，共18分） 11．对于任意两个正数、，新定义一种运算“”如下，，则_____． 12．已知，则________． 13．若，则的值是______ ． 14．若最简二次根式与是同类二次根式，则_______． 15．已知实数、、在数轴上的位置如图所示，则___________． 16．化简___________（所有字母为非负数）． 三、解答题（17-19题每题9分，共27分；20-24题每题10分，共50分，25题12分，26题13分） 17．已知x、y都为有理数，且，求的平方根． 18． 计算：． 19．计算： (1) (2) 20．计算： (1)； (2)． 21． 先化简，再求值：，其中． 22．阅读下面材料： ； ； ； 请解决下列问题： (1)求的值； (2)计算（为正整数）的值； (3)利用上面的解法，请计算：． 23．计算或求值 (1)计算：． (2)已知，，从下列式子选择一个式子求值． ①；②；③ 24．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； (2)利用所探索的结论，填空：； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 25．阅读材料：若a，b都是非负实数，则．当且仅当时，“”成立． 证明：∵，∴，∴．当且仅当时，“”成立． 举例应用：已知，求函数的最小值． 解：，当且仅当，即，时，y有最小值为4． 问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种跑车在每小时公里之间行驶时（含90公里和150公里），每公里耗油升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升． (1)求y关于x的函数关系式； (2)利用上述阅读材料，求该跑车的经济时速，并求当跑车以经济时速行驶时，每百公里的耗油量（升）（结果保留小数点后一位）． 26．【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 (1)若，则的取值范围是 【知识应用】 (2)若，求的值． 【拓展提升】 (3)若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次根式单元测试卷 满分：150 出题人：杨老师 一、单选题（每题3分，共30分） 1．若要使有意义，则的取值范围为（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．如果最简二次根式能与合并，那么的值为（     ） A．1 B．2 C．6 D．10 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列式子：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），化简正确的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 5．在、、、、中，最简二次根式的个数是（     ） A． B． C． D． 6．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 7．估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 8．若，则值为（     ） A． B． C． D．无理数 9．化简（     ） A． B． C． D． 10．小明的作业本上有以下四题，做错的题是（     ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题（每题3分，共18分） 11．对于任意两个正数、，新定义一种运算“”如下，，则_____． 12．已知，则________． 13．若，则的值是______ ． 14．若最简二次根式与是同类二次根式，则_______． 15．已知实数、、在数轴上的位置如图所示，则___________． 16．化简___________（所有字母为非负数）． 三、解答题（17-19题每题9分，共27分；20-24题每题10分，共50分，25题12分，26题13分） 17．已知x、y都为有理数，且，求的平方根． 18． 计算：． 19．计算： (1) (2) 20．计算： (1)； (2)． 21． 先化简，再求值：，其中． 22．阅读下面材料： ； ； ； 请解决下列问题： (1)求的值； (2)计算（为正整数）的值； (3)利用上面的解法，请计算：． 23．计算或求值 (1)计算：． (2)已知，，从下列式子选择一个式子求值． ①；②；③ 24．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； (2)利用所探索的结论，填空：； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 25．阅读材料：若a，b都是非负实数，则．当且仅当时，“”成立． 证明：∵，∴，∴．当且仅当时，“”成立． 举例应用：已知，求函数的最小值． 解：，当且仅当，即，时，y有最小值为4． 问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种跑车在每小时公里之间行驶时（含90公里和150公里），每公里耗油升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升． (1)求y关于x的函数关系式； (2)利用上述阅读材料，求该跑车的经济时速，并求当跑车以经济时速行驶时，每百公里的耗油量（升）（结果保留小数点后一位）． 26．【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 (1)若，则的取值范围是 【知识应用】 (2)若，求的值． 【拓展提升】 (3)若，求的值． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C A A B B B C 1．D 【详解】解：∵ 二次根式有意义， ∴ ． ∵ 分式分母， ∴ ． 综上，的取值范围为且． 2．A 【分析】先将化为最简二次根式，根据可合并的最简二次根式被开方数相同列方程求解． 【详解】解：∵， 且最简二次根式能与合并， ∴ ， 解得． 3．C 【分析】利用二次根式的性质与算术平方根的非负性判断各选项正误． 【详解】解：∵，仅当时结果为，∴A选项运算错误； ∵表示25的算术平方根，结果为，∴B选项运算错误； ∵，∴C选项运算正确； ∵有意义的条件为，即，此时，∴D选项运算错误． 4．C 【分析】结合同类二次根式的合并规则与运算法则，逐一验证等式，即可作答． 【详解】解：（1）与不是同类二次根式，不能直接合并，原式错误； （2），原式正确； （3），则，，原式错误； （4），原式正确； （5），，，原式错误； 综上，化简正确的有2个， 5．A 【详解】解： ，可化简，不是最简二次根式； 不可以化简，是最简二次根式； ，可化简，不是最简二次根式； ，可化简，不是最简二次根式； 根指数是 ，不是最简二次根式； 所以最简二次根式只有 个． 6．A 【分析】先根据数轴得出，则，，再化简二次根式，计算整式的加减即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ ． 7．B 【分析】根据二次根式的除法得到，再进行无理数的估算即可． 【详解】解：． ． 又． ． 即． ． 8．B 【分析】设1013为中间量，将1012、1014转化为含该量的式子，利用完全平方公式简化运算． 【详解】解：设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定a的符号，再化简二次根式． 【详解】解：∵ 有意义． ∴ 且． ∴ ． ∴ ． 10．C 【分析】利用二次根式的性质和混合运算法则计算即可． 【详解】解：①，计算正确； ②，计算正确； ③，计算错误； ④，计算正确． 11． 【详解】解：∵新运算定义为，本题中，， ∴． 12．/0.125 【详解】由题意得， 解之得， ∴， ∴． 13．6 【分析】等式两边分别平方，平方后展开即可得到的值，代入求解即可． 【详解】解：， ， 即 ， ， ． 14． 【分析】根据同类二次根式的定义，先确定根指数得到n的值，再由被开方数相等求出m的值，最后计算． 【详解】解：∵ 最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ，解得 ， ∴ ． 15． 【分析】由数轴可得，，从而可得，，，再结合二次根式的性质、绝对值的性质化简即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴ ． 16． 【详解】解：． 17． 【分析】先根据二次根式有意义的条件，求得的值，从而可求得，再求出的平方根． 【详解】解：∵x、y都为有理数，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 18． 【详解】解：原式 19．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 20．(1) (2) 【分析】（1）先化简每一项二次根式，再合并同类项得到结果； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．化简结果为，值为（或） 【详解】解： ； 当时， 原式． 22．(1)； (2)； (3)． 【分析】通过分母有理化去掉分母中的根号，结合平方差公式化简； 类比的方法，用含的式子推导通用化简结果； 利用的结论裂项，通过抵消中间项简化求和运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 23．(1)1 (2)选①，；选②：；选③：4 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：选①： ； 选②： ； 选③： ． 24．(1)， (2)1， (3)12或28 【分析】（1）先将展开，根据有理数部分和含根号部分分别对应相等的原则，推导得出a、b关于m、n的表达式． （2）对于，结合第一步得到的b的表达式，先确定的值，再找出满足条件的正整数m、n，验证对应的a是否为13即可． （3）已知，先根据b的表达式得到，即，找出所有满足条件的正整数m、n组合，再分别代入a的表达式计算a的值． 【详解】（1）解：将等式右边完全平方展开： ， ∵等式左右两边的有理部分和带根号的无理部分分别对应相等， ∴，． （2）解：对比第（1）问的结论，这里，，即满足： ，， 也就是． ∵是正整数， ∴m、n的取值有两种情况： 当，时， ，不符合． 当时， ，完全符合， 因此两个空依次填1、． （3）解：根据第（1）问的结论，这里， ∴，即。 ∵都是正整数，正整数乘积为3的组合只有两种： 情况1：，， 代入，得； 情况2：，， 代入，得． ∴符合条件的正整数为12或28． 25．(1)； (2)该跑车的经济时速为公里/小时；当跑车以经济时速行驶时，每百公里的耗油量约为升． 【分析】（1）根据1小时的耗油量等于1小时行驶的公里数乘以每公里耗油量即可； （2）利用阅读材料中的方法求出该跑车的经济时速，再利用100乘以每公里耗油量即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 答：关于的函数关系式为． （2）解：∵， ∴，当且仅当，即时，等号成立， ∴当（负值已舍）时，有最小值为10， ∴每百公里的耗油量为（升）， 答：该跑车的经济时速为公里/小时；当跑车以经济时速行驶时，每百公里的耗油量约为升． 26．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的被开方数非负确定的取值范围． （2）利用非负数的性质得到的值，代入计算即可． （3）先由算术平方根的非负性确定的范围，化简绝对值后变形求解． 【详解】（1）解：∵的被开方数为非负数， ∴， 此时成立， 故的取值范围是． （2）解：∵，，且， ∴， ， ∴， ∴． （3）解：∵有意义， ∴，即， ∴ ， ∴ ， 原式化为， 整理得， 两边平方得， ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $