第20章 二次根式 单元测试 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 华东师大版九年级上册二次根式单元卷，90分钟120分，覆盖基础与创新，适配单元复习，体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、最简二次根式、运算|基础巩固，考查抽象能力| |填空题|5/15|有意义条件、计算、比较大小|能力提升，结合几何直观| |解答题|8/75|计算、化简求值、错误辨析、实际应用（伽利略实验、矩形绿地）、阅读理解（海伦-秦九韶公式）|创新应用，体现推理能力、模型意识，情境含文化传承与科技|

二次根式单元测试卷 （华东师大版） 考试范围：九年级上册第20章全部内容；考试时间：90分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】二次根式需满足根指数为2，且被开方数大于等于0．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．的被开方数，它不是二次根式，故本选项不合题意； B．的根指数为2，被开方数，它是二次根式，故本选项符合题意； C．的根指数为3，它不是二次根式，故本选项不合题意； D．是整数，不含二次根号，它不是二次根式，故本选项不合题意． 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的判定标准：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项：，不是最简二次根式； B选项：，不是最简二次根式； D选项：，不是最简二次根式； C选项：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． 3．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用算术平方根的非负性排除错误选项，验证立方根运算． 【详解】解：A,，不符合题意； B, ，符合题意； C,，不符合题意； D,，不符合题意． 4．若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性确定正整数m的范围，再代入验证得到满足条件的m的值． 【详解】解：∵二次根式中，被开方数必须是非负数， ∴， 解得， ∵是正整数， ∴的可能取值为和， 当时，，不是整数，不符合要求， 当时， ，是整数，符合要求． 5．实数a在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】观察数轴可知，再根据化简二次根式，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由图知， ∴，， ∴ ． 6．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式．称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积为（     ） A． B．6 C．18 D． 【答案】A 【分析】首先根据题目给出的三边长，，，利用公式计算半周长的值，再将计算得到的以及三边长代入海伦—秦九韶公式，计算三角形的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， 把、、、代入面积公式得： 因此△ABC的面积为． 7．若最简二次根式与能合并，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先化简，结合最简二次根式可合并的条件列方程求解. 【详解】解：， ∵最简二次根式与能合并， ∴与的被开方数相同， ∴， 解得． 8．估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】根据二次根式的除法得到，再进行无理数的估算即可． 【详解】解：． ． 又． ． 即． ． 9．等式成立的条件是（    ） A．且 B． C． D． 【答案】D 【详解】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件进行分析即可． 【分析】解：要使等式成立， 则，， 解得，， 则． 10．如果实数，满足，那么值为（     ） A．0 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用平方差公式对含二次根式的式子有理化，联立等式消去根号求解． 【详解】解：∵， ∴， 代入已知等式得 ①， 同理得 ②， ①+②得 ， 化简得， ∴． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．若二次根式有意义，写出一个满足条件的a的值_______________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的条件，先求出的取值范围，再选取范围内任意一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， 因此满足条件的可以取，答案不唯一． 12．计算的结果是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，利用二次根式乘法法则，先合并被开方数相乘，再化简得到结果． 【详解】解：根据二次根式乘法法则可得 ． 13．比较大小： _______(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】对于比较两个正无理数的大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小确定原数的大小． 【详解】解：， ． ，且，， ． 14．如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，这两个小正方形面积为和，则留下阴影部分的面积为_________． 【答案】 【分析】通过两个小正方形的面积，分别求出正方形的边长，进而可求阴影部分的面积. 【详解】解：∵两个小正方形面积为和， ∴两个小正方形的边长为， ∴． 15．已知，，，，比较、、的大小___________． 【答案】 【分析】对，，分别取倒数，分母有理化后比较倒数的大小，再根据正数的倒数越大，原数越小得到最终大小关系． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ，即， ∵正数中，倒数越大，原数越小， ∴． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）计算 (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 . 17．（6分）已知，，求的值． 【答案】 【分析】分别计算和的值，再将代数式因式分解为，然后代入求值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 18．（8分）下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：               第一步                        第二步                      第三步 (1)任务一：第_______________步开始出现错误，错误原因是_______________； (2)任务二：请写出正确的计算过程； (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)一，去括号没有变号 (2)解： ； (3)二次根式运算时要化到最简形式（答案不唯一） 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则的解答过程，即可判断出错的地方以及出错原因； （2）根据二次根式的性质和运算法则即可求出正确答案； （3）根据二次根式的性质合理建议即可． 【详解】（1）解：小明同学在计算去括号的时候忽略了括号前是负号， 去括号时应该变号， 第一步出错，出错的原因是去括号没有变号． （2）略 （3）解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，因此建议二次根式运算的结果要化成最简二次根式． 19．（9分）意大利物理学家伽利略（GalileoGalilei，1564—1642）曾在比萨斜塔上做自由落体实验，他将两个质量不同的铁球从相同的高度h处同时扔下，结果两个铁球的落地时间t几乎一样．已知h（单位：m）与t（单位：s）满足关系式，其中，，求铁球的落地时间t．（精确到） 【答案】铁球的落地时间约为 【分析】将已知数值代入自由落体关系式，解关于t的一元二次方程，根据实际意义舍去负数解，再对算术平方根取近似值，精确到． 【详解】解：由题意得，，， ， 化简得， ， ， 答：铁球的落地时间约为． 20．（10分）某居民小区为贯彻关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的理念．小区内有一块形状为矩形的绿地，矩形绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中修建一个矩形花坛（即图中阴影部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)矩形的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)660元 【分析】（1）因为矩形周长公式为，所以先将和代入公式化为最简二次根式，再计算即可． （2）首先需要计算矩形的面积，利用矩形面积公式，代入长和宽化简后计算．因为花坛的长和宽符合平方差公式的形式，所以利用平方差公式计算面积更简便．因为通道面积等于大矩形面积减去花坛面积，所以先求出通道面积，再乘以每平方米地砖的造价，即可得到总花费． 【详解】（1）解：， 即矩形的周长是．                 （2）解：由题意，知（元）． 答：购买地砖需要花费660元． 21．（10分）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； (2)利用所探索的结论，填空：； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【答案】(1)， (2)1， (3)12或28 【分析】（1）先将展开，根据有理数部分和含根号部分分别对应相等的原则，推导得出a、b关于m、n的表达式． （2）对于，结合第一步得到的b的表达式，先确定的值，再找出满足条件的正整数m、n，验证对应的a是否为13即可． （3）已知，先根据b的表达式得到，即，找出所有满足条件的正整数m、n组合，再分别代入a的表达式计算a的值． 【详解】（1）解：将等式右边完全平方展开： ， ∵等式左右两边的有理部分和带根号的无理部分分别对应相等， ∴，． （2）解：对比第（1）问的结论，这里，，即满足： ，， 也就是． ∵是正整数， ∴m、n的取值有两种情况： 当，时， ，不符合． 当时， ，完全符合， 因此两个空依次填1、． （3）解：根据第（1）问的结论，这里， ∴，即。 ∵都是正整数，正整数乘积为3的组合只有两种： 情况1：，， 代入，得； 情况2：，， 代入，得． ∴符合条件的正整数为12或28． 22．（12分）【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 (1)若，则的取值范围是 【知识应用】 (2)若，求的值． 【拓展提升】 (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的被开方数非负确定的取值范围． （2）利用非负数的性质得到的值，代入计算即可． （3）先由算术平方根的非负性确定的范围，化简绝对值后变形求解． 【详解】（1）解：∵的被开方数为非负数， ∴， 此时成立， 故的取值范围是． （2）解：∵，，且， ∴， ， ∴， ∴． （3）解：∵有意义， ∴，即， ∴ ， ∴ ， 原式化为， 整理得， 两边平方得， ∴ ． 23．（12分）综合与实践 小若同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果，那么”． 【直观感受】如图1，面积为，，，的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点均与原点重合，数轴上标有它们的边长，，，．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小． (1)【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果，那么”．（★注：这里画图探究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图） (2)【应用推理】当时，请你用探究得到的结论，求证：． (3)【拓展提升】记（为正整数，且），请你也用探究得到的结论，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵，且， ∴，即， ∴，即， ∴； (3)证明：∵为正整数，且， ∴， 又∵， ∴利用探究的结论可以得到， ∴． 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据且可得，再利用探究的结论即可证明； （3）将与进行比较，再根据和已知结论即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $二次根式单元测试卷 (华东师大版) 考试范围：九年级上册第20章全部内容：考试时间：90分钟满分：120分 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列式子中，是二次根式的是() A.√ B.V10 C. D.4 2.下列二次根式中，属于最简二次根式的是(). A.V⑧ B.√12 C.5 n.月 3.下列运算中，正确的是() A.√§=±3 B.-1=-1 c.-22=-2 D.√4=22 4.若√5-2m是一个整数，则正整数m的值可以是() A.4 B.3 C.2 D.1 5.实数a在数轴上的位置如图所示，化简a-1+V(a-2)-() 0 1 2→ A.2a-3 B.1 C.-3 D.-1 6.古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式.称为海伦一 医九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a,b,,记p十，那么三角形的面积为 S=Vp(p-a)(p-b)(p-c).在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别记为a,b,c,若a=5,b=6, c=7,则△ABC的面积为() b A.66 B.6 C.18 D.6√5 7.若最简二次根式√5-2a与√27能合并，则a的值是() A.1 B.2 C.3 D.4 8.估计3√21÷7-2的值在() A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 试卷第1页（共6页） x 9.等式3xx 成立的条件是() A.x≥0且x≠3 B.x≠3 C.0≤x≤3 D.0≤x<3 10.如果实数x,y满足(V2+1+x)(V少+1+y)=1,那么x+y值为() A.0 B.-1 C.1 D.2 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11.若二次根式√a-2026有意义，写出一个满足条件的a的值 12计年0得的能果是_ 13.比较大小：2√7 5√2（填“><”或“=） 14.如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，这两个小正方形面积为6cm和15cm，,则留下阴影部分 的面积为 cm2. 6cm2 15cm2 15.已知c>1,x=-C-1,y=Vc+1-E,z=c+2-C+1,比较x、y、z的大小 三.解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)计算 0)27+2xV6 (2)(23+32)23-32)； 试卷第2页（共6页） 17.(6分)已知a=√3+1，b=5-1,求b2+ab的值. 18.(8分)下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务： 得m(515 而5+：店 第一步 2 5 -10+2 第二步 2 8 第三步 (1)任务一：第 步开始出现错误，错误原因是 (2)任务二：请写出正确的计算过程： (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学 提一条建议. 19.(9分)意大利物理学家伽利略(GalileoGalilei,1564一1642)曾在比萨斜塔上做自由落体实验，他将 两个质量不同的铁球从相同的高度h处同时扔下，结果两个铁球的落地时间t几乎一样.己知h(单位：m) 与1（单位：s)满足关系式M=8,其中g=98m/,A=50m,求铁球的落地时间k(精确到01） 试卷第3页（共6页） 20.(10分)某居民小区为贯彻关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山 的理念.小区内有一块形状为矩形ABCD的绿地，矩形绿地的长BC为√I62m,宽AB为V128,现要在 矩形绿地中修建一个矩形花坛（即图中阴影部分），矩形花坛的长为(13+1)m,宽为(13-1)m. B (I)矩形ABCD的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，要铺完整个通道， 则购买地砖需要花费多少元？ 21.（10分)阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+2).善于 思考的小明进行了以下探索： 设a+bW2=(m+N2(其中a、b、、n均为整数)，则有a+bW2=m+2+2√2m1. ∴.a=m+2t,b=2wm.这样小明就找到了一种把类似a+b√2的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当ab、、n均为正整数时，若a+b3=(m+n5),用含m、n的式子分别表示a、b,得：a= b= (2)利用所探索的结论，填空：13+45=(+： (3)若a+6W3=m+nv5),且a、、n均为正整数，求a的值？ 试卷第4页（共6页） 22.(12分)【教材再现】 般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作√a,0的 算术平方根是0，即√0=0，并且被开方数a为非负数. 【探究新知】 ()若(a=a,则a的取值范围是】 【知识应用】 (2)若a+b+1+Va-2b+4=0,求(a+b)026的值. 【拓展提升】 (3)若2025-d+Va-2026=a,求a-20252的值. 试卷第5页（共6页） 23.(12分)综合与实践 小若同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果0<a<b,那么√ā<√b”. 5cm2 4cm 3cm 2cm ○ 12/34/5/cm /cm 图1 图2 【直观感受】如图1，面积为1cm2,2cm,·,5cm的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角项点 均与原点O重合，数轴上标有它们的边长1，√2，，√.观察图形发现面积小的正方形，边长表示的 数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小： (1)【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果0<a<b,那么√a<√b”.(★注：这里画图探究 过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图) (2)【应用推理】当n>1时，请你用探究得到的结论，求证：√2<√+1. (3)【拓展提升】记S=√+√2+√5+…+√n(n为正整数，且n≥2)，请你也用探究得到的结论，求证： S,<Vn+1 试卷第6页（共6页） 二次根式单元测试卷 （华东师大版） 考试范围：九年级上册第20章全部内容；考试时间：90分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ）． A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．实数a在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B．1 C． D． 6．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式．称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积为（     ） A． B．6 C．18 D． 7．若最简二次根式与能合并，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 9．等式成立的条件是（    ） A．且 B． C． D． 10．如果实数，满足，那么值为（     ） A．0 B．-1 C．1 D．2 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．若二次根式有意义，写出一个满足条件的a的值_______________． 12．计算的结果是_____． 13．比较大小： _______(填“”“”或“”) 14．如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，这两个小正方形面积为和，则留下阴影部分的面积为_________． 15．已知，，，，比较、、的大小___________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）计算 (1) (2)； 17．（6分）已知，，求的值． 18．（8分）下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：               第一步                        第二步                      第三步 (1)任务一：第_______________步开始出现错误，错误原因是_______________； (2)任务二：请写出正确的计算过程； (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议． 19．（9分）意大利物理学家伽利略（GalileoGalilei，1564—1642）曾在比萨斜塔上做自由落体实验，他将两个质量不同的铁球从相同的高度h处同时扔下，结果两个铁球的落地时间t几乎一样．已知h（单位：m）与t（单位：s）满足关系式，其中，，求铁球的落地时间t．（精确到） 20．（10分）某居民小区为贯彻关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的理念．小区内有一块形状为矩形的绿地，矩形绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中修建一个矩形花坛（即图中阴影部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)矩形的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 21．（10分）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； (2)利用所探索的结论，填空：； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 22．（12分）【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 (1)若，则的取值范围是 . 【知识应用】 (2)若，求的值． 【拓展提升】 (3)若，求的值． 23．（12分）综合与实践 小若同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果，那么”． 【直观感受】如图1，面积为，，，的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点均与原点重合，数轴上标有它们的边长，，，．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小． (1)【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果，那么”．（★注：这里画图探究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图） (2)【应用推理】当时，请你用探究得到的结论，求证：． (3)【拓展提升】记（为正整数，且），请你也用探究得到的结论，求证：. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $