1.8 有理数的乘法 讲义 2026-2027学年冀教版数学七年级上册

本讲义聚焦有理数乘法核心知识点，系统梳理乘法法则（同号得正、异号得负，绝对值相乘）、倒数（乘积为1的两个数）、多个数相乘符号法则（负因数个数定符号）、乘法运算律（交换律、结合律、分配律）及简便运算，承接有理数加减法，为后续除法、乘方学习搭建基础支架。 资料通过知识点梳理（含易错提醒）、分层典例（从基础运算到实际应用如气温变化）及分层练习设计，结合具体实例培养学生抽象能力（符号意识）、运算能力和模型意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与理解。

第一章　有理数　1.8　有理数的乘法 第一章　有理数 1.8　有理数的乘法 建议用时：45分钟　　内容：乘法法则 · 倒数 · 多个数相乘的符号 · 乘法运算律 · 简便运算 【课时学习目标】 1．理解有理数乘法法则，能熟练进行两个有理数的乘法运算． 2．理解倒数的意义，会求一个非零有理数的倒数． 3．掌握几个不为 0 的数相乘时积的符号法则，会计算多个有理数的乘积． 4．掌握乘法交换律、结合律和分配律，能运用运算律进行简便运算． 一、知识点梳理 知识点1　有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 任何数与 0 相乘，都得 0． 用式子表示：当 ， 时，；当 ， 时，． 运算步骤："一定符号，二算绝对值"． 例如：；；． 把"向右"记为正、"向左"记为负，可以借助数轴理解异号两数相乘为什么得负 知识点2　倒数 乘积是 1 的两个数互为倒数．即若 ，则 与 互为倒数． ① 非零数 的倒数是 ；分数 （）的倒数是 ； ② 带分数要先化成假分数再求倒数，如 ，它的倒数是 ； ③ 0 没有倒数；1 的倒数是 1， 的倒数是 ； ④ 互为倒数的两个数符号相同，这一点与相反数不同． 知识点3　几个有理数相乘的符号法则 几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： 负因数的个数是奇数时，积为负；负因数的个数是偶数时，积为正． 几个数相乘，只要有一个因数为 0，积就等于 0． 例如：（3 个负因数，积为负）；（4 个负因数，积为正）． 知识点4　乘法运算律 乘法交换律：． 乘法结合律：． 乘法分配律：． 分配律也可以逆用：，这在提取公因数时非常有用． 简便运算的常用技巧：① 把互为倒数的因数结合；② 把乘积为整数（如 与 、 与 ）的因数结合；③ 带分数、小数与分数混合时先统一形式；④ 括号内是几个数的和且能整除时，正用分配律． 水位每小时下降 3 cm，可以用负数表示变化量， h 后水位变化为 （cm） 易错提醒 ① 先定符号再算绝对值，不要一边算数一边"猜"符号； ② 的倒数是 ，不是 ，带分数必须先化成假分数； ③ 0 没有倒数，但 0 有相反数； ④ 使用分配律时， 要与括号内每一项相乘，且要带上各项前面的符号； ⑤ 数出负因数的个数时，注意 这样的写法实际上是正数． 二、典例精析 例1　计算： （1）；　（2）；　（3）；　（4）． 分析：先根据两个因数的符号确定积的符号，再把绝对值相乘． 解答：（1）原式 ；（2）原式 ． （3）原式 ；（4）原式 ． 点评：第（3）题的两个因数互为倒数，乘积为 1． 例2　写出下列各数的倒数：，，，，． 分析：求倒数就是求"与它相乘等于 1 的数"，带分数、小数要先化成分数． 解答： 的倒数是 ； 的倒数是 ． ，倒数是 ；，倒数是 4； 的倒数是 ． 点评：求倒数只要把分子、分母颠倒，符号保持不变． 例3　计算：． 分析：先数负因数的个数确定积的符号，再把各因数的绝对值相乘． 解答：负因数有 4 个，个数为偶数，所以积为正． 原式 ． 点评：多个数相乘时，先统一定符号，再做绝对值的乘法，可以约分后再算． 例4　用简便方法计算： （1）；　　（2）． 分析：（1）先把 与 结合；（2）用乘法分配律． 解答：（1）原式 ． （2）原式 ． 点评：分配律中的每一项都要乘以括号外的数，注意 的符号． 例5　计算：． 分析：三项都含有因数 ，可以逆用分配律提取公因数． 解答：原式 ． 点评：逆用分配律是简便运算的重要方法，关键是找出公因数并把各项前面的符号带进括号． 例6　某地气温从中午 12 时起每小时下降 ℃，中午 12 时的气温是 ℃． （1）用负数表示每小时的气温变化量； （2）求当天 17 时的气温； （3）若这种变化规律在 12 时之前也成立，求当天 9 时的气温． 分析：把下降记为负，则每小时变化量为 ℃．经过的时间在 12 时之后记为正，之前记为负． 解答：（1）每小时的气温变化量为 ℃． （2）从 12 时到 17 时经过 5 h，气温变化量为 （℃），17 时的气温为 （℃）． （3）9 时在 12 时之前 3 h，气温变化量为 （℃），9 时的气温为 （℃）． 点评："负负得正"在这里的实际意义是：向前推算时间，下降的温度反而要加回来． 三、基础巩固 （一）选择题 1．计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 2．下列各数中，倒数是它本身的是（　　） A． B． C． D． 3． 的倒数是（　　） A． B． C． D． 4．若 ，则下列结论一定正确的是（　　） A． 且 B． 与 异号 C． 且 D． 与 至少有一个为 0 5．计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 6．下列运算中，运用了乘法分配律的是（　　） A． B． C． D． 7．若 与 互为倒数，则 的值为（　　） A． B． C． D． 8．下列各式中，积为负数的是（　　） A． B． C． D． （二）填空题 9．计算：________． 10． 的倒数是________， 的相反数是________． 11．若 ，，且 ，则 ________，________． 12．计算：________． 13．用简便方法计算：________． 14．若 是最小的正整数， 是绝对值最小的有理数， 是 的倒数，则 ________． 15．一个数与 的积是 ，则这个数是________． 16．若 ，则 ________． （三）解答题 17．计算： （1）；　　　　　（2）； （3）；　　　　　　（4）． 18．计算： （1）； （2）； （3）． 19．用简便方法计算： （1）； （2）； （3）． 20．已知 ，，，求 与 的值． 21．某商店一天售出两种商品：甲商品每件盈利 28 元，共售出 15 件；乙商品每件亏损 12 元，共售出 6 件．把盈利记为正、亏损记为负，用有理数的乘法与加法计算这一天的总盈亏情况． 22．某电梯从 1 楼出发，每上升一层记为 ，每下降一层记为 ．若某次运行记录为：先上升 8 层，再连续 3 次每次下降 2 层，问电梯最后停在几楼？请用乘法参与列式计算． 四、能力提升 23．若 ，，，则 与 0 的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 24．已知 ， 互为相反数且都不为 0，， 互为倒数， 的绝对值是 2，则 的值为（　　） A． 或 B． 或 C． D． 25．下列说法中正确的个数是（　　） ① 若 ，则 ， 中至少有一个为 0；② 一个数的倒数一定小于这个数；③ 几个数相乘，若负因数有 5 个，则积为负；④ 互为倒数的两个数的积一定是 1． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 26．计算：________． 27．已知 ， 为有理数，规定运算：． （1）计算 ； （2）计算 ． 28．观察下面的算式：，，． （1）由此你能得到什么结论？ （2）若 与 互为倒数， 与 互为相反数，求 的值． 五、拓展探究 29．阅读材料：计算 时，可以先求出它的倒数，再取倒数得到结果． 因为 ， 所以原式的倒数是 ，从而原式 ． 请仿照上面的方法计算：． 30．将 ，，， 这 4 个数分成两组，每组两个数，先把每组的两个数相乘，再把两个积相加． （1）写出所有可能的分组方式，并求出每种方式的结果； （2）其中最大的结果是多少？最小的结果是多少？ 六、易错专练 31．小明计算 的过程如下，请指出错误并改正． 解：原式 ． 32．判断下列说法是否正确，正确的画"√"，错误的画"×"，并说明理由． （1）任何有理数都有倒数．（　　） （2）若两个数的积为正数，则这两个数都是正数．（　　） （3）几个数相乘，积的符号只与负因数的个数有关．（　　） （4）一个数乘 等于它的相反数．（　　） 参考答案及解析 三、基础巩固 1．B 同号两数相乘得正，． 2．B 倒数等于它本身的数只有 1 和 ；0 没有倒数．四个选项中只有 符合． 3．B ，把分子、分母颠倒并保持符号不变，得倒数为 ． 4．B 积为负说明两个因数异号（且都不为 0），故选 B． 5．B 负因数有 3 个（，，），个数为奇数，积为负，． 6．C 分配律的形式是 ．C 中把 分别与 和 相乘，是分配律；A 是交换律，B 是结合律，D 是 0 的乘法性质． 7．A 与 互为倒数，所以 ，则 ． 8．B A 有 4 个负因数，积为正；B 有 3 个负因数，积为负；C 有 2 个负因数，积为正；D 中有因数 0，积为 0． （二）填空题 9． 同号得正：，所以原式 ． 10．； ，其倒数是 ；相反数是 ． 11．； 由 且 知 ，又 ，所以 ，． 12． 负因数有 5 个，个数为奇数，积为负，． 13． 原式 ． 14． 最小的正整数 ，绝对值最小的有理数 ，．因为有因数 0，所以 ． 15． 设这个数为 ，由 知 为负数，且 ，所以 ． 16． 由非负数的和为 0 得 ，，即 ，，所以 ． （三）解答题 17．（1）；（2）；（3）；（4） （1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． 18．（1）；（2）；（3） （1）负因数有 2 个，积为正：原式 ． （2）负因数有 3 个，积为负：原式 ． （3）算式中有因数 0，所以积为 0． 19．（1）；（2）；（3） （1）原式 ． （2）逆用分配律：原式 ． （3）原式 ． 20．； ．负因数有 2 个，积为正，． ，所以 ． 21．盈利 元 甲商品的盈亏为 （元），乙商品的盈亏为 （元）． 总盈亏为 （元），结果为正． 答：这一天共盈利 348 元． 22． 楼 层数变化为 ，即比出发时高 2 层． 电梯从 1 楼出发，所以最后停在 （楼）． 注意：上升 8 层后为 9 楼，再下降 6 层为 3 楼，两种算法结果一致． 四、能力提升 23．A 负因数有 2 个（ 和 ），个数为偶数，且三个数都不为 0，所以 ． 24．A ，，． 当 时，原式 ；当 时，原式 ． 所以值为 或 ，故选 A． 25．C ① 正确，两数相乘积为 0，必有一个因数为 0． ② 错误，如 的倒数是 ，而 ，倒数反而大． ③ 正确（题中已指明是几个数相乘且负因数有 5 个，5 是奇数，积为负）． ④ 正确，这就是倒数的定义．所以正确的有 ①③④，共 3 个． 26． 每个括号先算差：原式 ． 相邻分数的分子与前一个分数的分母约分，最后只剩下 ． 27．（1）；（2） （1）． （2）先算 ． 再算 ． 28．（1）见解析；（2） （1）结论：互为倒数的两个数符号相同；一个负数的倒数仍是负数，且乘积为 1． （2）由 与 互为倒数得 ；由 与 互为相反数得 ． 所以 ． 五、拓展探究 29． 先求括号内式子的倒数关系： ． 所以原式的倒数是 ，从而原式 ． 30．（1）见解析；（2）最大 ，最小 共有 3 种分组方式： ① ； ② ； ③ ． 所以最大的结果是 14，最小的结果是 ． 六、易错专练 31．错在漏乘符号，正确结果为 错因：用分配律时，第二项应是 ，小明把 写成了 ，漏掉了负号． 正确解法：原式 ． 小结：分配律中括号外的数（连同它的符号）要与括号内的每一项相乘． 32．（1）×；（2）×；（3）×；（4）√ （1）错误．0 没有倒数，所以不是任何有理数都有倒数． （2）错误．两个负数的积也是正数，如 ． （3）错误．若其中有一个因数是 0，则积为 0，与负因数的个数无关；只有当各因数都不为 0 时，积的符号才由负因数的个数决定． （4）正确．，即一个数乘 等于它的相反数． — — 学科网（北京）股份有限公司 $