专题四 整式的加减【（挑战压轴题）思维导图+二十一大考点讲练+优选题训练】讲义 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

本讲义聚焦初中数学“整式的加减”核心知识点，系统梳理同类项判断、单项式与多项式的概念及运算、合并同类项、去括号与添括号、化简求值等21个考点，通过思维导图构建从基础概念到综合应用的知识脉络，形成清晰的学习支架。 资料以“思维导图+考点讲练+优选题训练”为特色，每个考点配备典例精讲与对应练习，培养学生抽象能力和运算能力。含数字图形规律探索、整式应用等题型，提升数学眼光和推理意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

2026-2027学年苏科版数学七年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题四 整式的加减 【思维导图+21大考点讲练+优选题训练 共57题〔原卷版〕】 目 录 3 【压轴考点01】同类项的判断 3 【压轴考点02】单项式的判断 3 【压轴考点03】单项式的系数、次数 4 【压轴考点04】写出满足某些特征的单项式 4 【压轴考点05】多项式的判断 5 【压轴考点06】多项式的项、项数或次数 6 【压轴考点07】整式的判断 6 6 【压轴考点08】已知同类项求指数中字母或代数式的值 6 【压轴考点09】合并同类项 7 【压轴考点10】去括号 8 【压轴考点11】添括号 8 【压轴考点12】整式的加减运算 9 【压轴考点13】整式的加减中的化简求值 10 【压轴考点14】整式加减中的无关型问题 11 【压轴考点15】整式加减的应用 12 【压轴考点16】单项式规律题 12 【压轴考点17】多项式系数、指数中字母求值 12 【压轴考点18】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 13 【压轴考点19】数字类规律探索 14 【压轴考点20】图形类规律探索 14 【压轴考点21】带有字母的绝对值化简问题 15 16 【压轴考点01】同类项的判断 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）先标出下列各多项式中的同类项，再合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【对应练习】（2025七年级上·全国·专题练习）已知与是关于x，y的单项式，且它们是同类项． (1)求a的值． (2)若，且，求的值． 【压轴考点02】单项式的判断 【典例精讲】（23-24七年级上·上海·阶段检测）在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【对应练习】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式； 是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 【压轴考点03】单项式的系数、次数 【典例精讲】（24-25七年级上·广东茂名·期末）在下列说法中，正确的是（     ） A．的系数为 B．的次数为6 C．是四次三项式 D．若与是同类项，则 【对应练习】（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 【压轴考点04】写出满足某些特征的单项式 【典例精讲】（25-26七年级上·福建宁德·期中）阅读下列材料，完成相应的任务： 对称式：在一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，，因，所以是对称式．而交换式子中字母的位置，得到式子，因为，所以不是对称式． (1)下列式子中，是对称式的是 （填序号）； ①；②；③；④ (2)写出一个只含有字母的单项式，使该单项式是对称式，且次数为6； (3)已知，，，求出的结果，并判断所得结果是否是对称式． 【对应练习】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）阅读下列材料，完成相应的任务：一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫作对称式．例如代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式；而代数式中字母，交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 任务： (1)下列四个代数式中，是对称式的是_____（填序号即可）； ①；②；③；④ (2)写出一个只含有字母，的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次，直接写出即可； (3)已知，，求，并直接判断所得结果是否为对称式． 【压轴考点05】多项式的判断 【典例精讲】下列说法中，正确的个数：（   ） ①单项式与多项式统称为整式； ②单项式的系数是1； ③是二次三项式； ④x的次数是0； ⑤是多项式的项 A．1 B．2 C．3 D．4 【对应练习】（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）下列结论中，正确的是（   ） A．单项式的系数为-1，次数是4 B．多项式是四次三项式 C．单项式a的次数是1，系数为0 D．单项式的系数是3，次数是2 【压轴考点06】多项式的项、项数或次数 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）把多项式写成三个整式的和，使其中一个不含字母x，一个不含字母y． 【对应练习】（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．式子是七次三项式 D． 【压轴考点07】整式的判断 【典例精讲】（25-26七年级上·山东聊城·期末）下列说法错误的是（   ） A．代数式，，都是整式 B．单项式的系数是．次数是2 C．多项式次数是3 D．多项式的二次项的系数是 【对应练习】（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．不是整式 C．的系数是，次数是3 D．多项式的次数是6 【压轴考点08】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例精讲】已知 a ， b 为常数，且三个单项式相加得到的和仍然是单项式．那么 a 和b 的值可能是多少？说明你的理由． 【对应练习】先化简，再求的值，其中单项式与是同类项． 【压轴考点09】合并同类项 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）求下列多项式的值： (1)，其中； (2)，其中； (3)，其中． 【对应练习】（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1) ； (2)； (3)． 【压轴考点10】去括号 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）化简 (1) (2) 【对应练习】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知，，，，求的值． 【压轴考点11】添括号 【典例精讲】（25-26七年级上·河南新乡·阶段检测）如果代数式的值为5，那么代数式的值等于（） A． B．1 C． D．11 【对应练习】（25-26七年级上·吉林长春·期中）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，类似的我们可以把看成一个整体，则．请尝试解决： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，求的值； (3)已知，，则代数式的值为______． 【压轴考点12】整式的加减运算 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）先去括号，再合并同类项： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【对应练习】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）某同学做一道数学题：已知两个多项式A，B，，计算．这名同学误将“”看成“”，求出的结果是．请你求出正确的结果． 【压轴考点13】整式的加减中的化简求值 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【对应练习】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 【压轴考点14】整式加减中的无关型问题 【典例精讲】（25-26七年级下·安徽安庆·期末）“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出a与b的值，但可以将看作一个整体，其值即为2，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则______； (2)若，求的值； (3)设多项式，，，若的结果与x的取值无关，求的值． 【对应练习】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【压轴考点15】整式加减的应用 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b．若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数. (1)计算新数与原数的和，这个和能被11整除吗？为什么？ (2)计算新数与原数的差，这个差会被什么数整除？ 【对应练习】（25-26九年级下·四川达州·期中）图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，，则的值是（     ） A．8 B．16 C．32 D．64 【压轴考点16】单项式规律题 【典例精讲】观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 【对应练习】按一定规律排列的一列单项式如下：，，，，…，则第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【压轴考点17】多项式系数、指数中字母求值 【典例精讲】若关于、的多项式与的和中不含二次项，求的值． 【对应练习】（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 【压轴考点18】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【典例精讲】（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．多项式是二次三项式 B．多项式的一次项系数是 C．多项式中，的次数是按照从低到高排列的 D．多项式的常数项是 【对应练习】（25-26七年级上·全国·周测）若一个多项式同时满足条件①各项系数均为整数；②按某个字母的降幂排列；③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式是x的“和谐多项式”；多项式是y的“和谐多项式”． (1)把多项式按x的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”． (2)若关于的多项式是b的“和谐多项式”，求k的值． (3)已知均为关于的三次三项式，其中（均为整数）．若新多项式是“和谐多项式”，且，求代数式的值． 【压轴考点19】数字类规律探索 【典例精讲】（25-26七年级下·河北张家口·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘加；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．如果对于正整数，经过步变换，第一次到达，就称为步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过个步骤变成，得，则下列结论错误的是（     ） A．当时， B．随着的增大，不一定也增大 C．若，则只能是 D．若，则只能是 【对应练习】如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示1024的点与圆周上某个点重合，这个点所标数字为______． 【压轴考点20】图形类规律探索 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）用长度相同的小棒按下图中的方式拼摆图形． (1)按图示规律填空； 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2)按照这种方式拼摆下去，第n个图形需要______根小棒． 【对应练习】观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 【压轴考点21】带有字母的绝对值化简问题 【典例精讲】（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）阅读材料即当时，；当时，，用这个结论解决下列问题： (1)已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则________； (2)已知a，b是有理数，当时， _________； (3)若，则_________． 【对应练习】（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 1．（26-27七年级上·河南新乡·开学考试）若，，且，那么的值是（    ）． A．或4 B．2或 C．2或4 D．或 2．（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）有一个数值转换机，原理如图所示，若开始输入的x的值是1，可发现第1次输出的结果是6，第2次输出的结果是3，……依次继续下去，第2026次输出的结果是（     ） A．4 B．6 C．2 D．1 3．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．下列说法正确的是（） ①大长方形的长是；②阴影A的面积是； ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 4．（26-27七年级上·全国·开学考试）观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 5．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②经过三次操作后，若，，则所有整式的值之和为10； ③经过10次操作后，将得到1025个整式． 以上三个结论正确的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（26-27七年级上·浙江绍兴·开学考试）甲、乙、丙、丁四个人参加某次数学竞赛，甲、乙两人的平均成绩为m分，他们两人的平均成绩比丙的成绩低7分，比丁的成绩高1分，那么他们四人的平均成绩为( )分． 7．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）若，则_________ 8．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）观察下列一组数：，…它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n个数是_________ 9．（25-26七年级上·四川广元·期末）如图，这是2026年1月的月历，其中“”形、“”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠．设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的最大值为________． 10．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）在式子（其中）中，任选两个字母，在这两个字母及它们之间的部分两侧加绝对值后再去掉绝对值并化简（不改变字母的位置），称为第一轮“绝对操作”．例如，选择，进行第一轮“绝对操作”，得到，再对第一轮“绝对操作”后得到的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，例如，选择，进行第二轮“绝对操作”，得到，…，按此方法，进行轮“绝对操作”．对原式子进行第一轮“绝对操作”后，则有___________种不同的结果；若对原式子进行四轮“绝对操作”，且每轮操作中绝对值里只含两个字母，则有___________种不同的结果． 11．（25-26七年级上·四川广元·期末）定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 12．（26-27七年级上·全国·课后作业）某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式． (1)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (2)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (3)在食堂就餐的高峰时段，要求同时能坐下300人，上面哪种方式所需要的餐桌数较少？ 13．（26-27七年级上·全国·课后作业）对于，可以用10个手指直观地展示出来：如图，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“”的结果．类似地，，……，也可以用手指直观地展示出来．请用本章学过的知识解释其中的道理． 14．（25-26七年级下·广东茂名·期末）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 15．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． (1)【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学七年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题四整式的加减 【思维导图+21大考点讲练+优选题训练共57题〔原卷版〕】 目 录 【压轴考向一同类项、单项式、多项式、整式的判断】 .3 二【压轴考点01】同类项的判★女女 …3 二【乐轴考点02】单项式的判断★★女 ②二【压转考点3】单项式的系数、次数★★★ ,【压轴考点04】写出满足某些特征的单项式★★★★ .4 ,【压轴考点05】多项式的判断★★★ .5 ,【压轴考点06】多项式的项、项数或次数★★★★ 6 【压轴考点07】整式的判断★★★ .6 【压轴考向二整数的加减运算】 .6 二【乐箱考点0】已知同类项求指数中字母或代数式的位女女★ 6 。【乐轴考点9】合并同类项★★★ …7 【压轴考点10】去括号★★★ .8 【压轴考点11】添括号★★★ 8 【压轴考点12】整式的加减运算★★★ .9 【压轴考点13】整式的加减中的化简求值★★★★ .10 【压轴考点14】整式加减中的无关型问题★★★★ .11 第1页共21页 ,【压轴考点15】整式加减的应用★★★ 12 二【压轴考点16】单顶式规律题★★女★ .12 二【压轴考点17】多项式系数、指数中字母求植★★女女 12 【压轴考点18】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列★★★★ 13 【压轴考向三规律探究一整式的加减应用】 【压轴考点19】数字类规律探索★★★★ .………14 ②怎【压轴考点20】图形类规律探案★★女女 …14 二【压轴考点21】带有字母的绝对值化简问题★女女★ .15 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 .16 【专题复习思维导图指引】 1.整式的相关概念 3.代数式的书写与求值 ①整式：由数字与字母的积组或的代数式叫作整式 ①列代数式：用字母表示数量关系，注意单位与运算顺序 ②单项式：由数与字母的积组成的代数式叫作单项式 先列代数式， 单独一个数虚一个字母也是单项式 ②求值：把已知数代入代数式，按运算顺序计算结果 再代入数值计算 ③多项式：几个单项式的和叫作多项式 ④代数式的值：用数代替代数式里的字母，按运算关系计算得出的结果 4.整式的运算性质与公式 2.整式的加减法则● ①交换律：a+b=b+a ①同类项：字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项， ②结合律：(a+b)+c=a+(b+c): ②合并同类项法则：同类项系数相加，所得的结果作为系数， ③去括号的推广： 字母和字母的指数不变】 挑战压轴题专题四 a+(b-0)=a+b-c: 理解要点 ③去括号法则： a-(b-c)=a-b+c: 运用公式时注意 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉， 整式的加减 a-(b+c）=a-b-c: 符号和括号的变 括号里各项的符号都不改变： a+(b+c)=a+b+c. 化，避免漏变号 括号前面是”一”号，把括号和它前面的“一”号去掉。 苏科版致学七年级上册 ④一元多项式相等：若两个一元多项式中含有同类项】 括号里各项的符号都要改变， 通常先合并同类项再比较 ④整式加减步骤： ⑤分配律：a(b+r)=ab+ac. 去括号→合并同类项。 5.生活中的整式问题 7.压轴题解题技巧 ①几何图形面积：长方形、环形、梯形等面积用字母表示， ★技巧一：整体思想 6.重要公式与结论汇总 牛整体现容式子的结物。合理运用夫援号阳会排同举项 12x+1 ①长方形草坪（图3-2） ★技巧：逆向思维 已知结果，反向推导条件或原式，常用于求参问题 面积=ab+πR形一r2 ★技巧三：量值法. 给字母赋特殊值〔如0,1，一1)检验结论或简化计算 长方形面积：b 环形面积：心一 梯形面职 ②桑法分配律：a(b+r)=ab+ae。 再用代数式验证和推广 号[2+1)+(4 ③合并同类项的本质：把同类项的系数相加，字母和指数不变。 ★技巧五：数形结合 2工程问题：行程、速度、时问等实际问题列代数式， ④若A.B为同类项，则mA+nB=(m十)A 将代数式与图形、图表结合，利用几何直观简化问题 ③归纳规律：通过观察图形、数列等，探索数量规律。 ⑤整式运算常用公式： (a+b)*=a'+2ab+;(a-b)'=a'-2ab+bi 官压轴量雅点往往在于复杂条件的转化与 合理运用公式，保持耐心，步步为营 (a+b)(a-b)=a2-b 8.易错提醒 型压轴质荧型 骨项 ①利用整式运算求值或化简： ②已如条件求参数取值范围： 压题也能拿满分 列代数式要准确理解愿意，注意单位和数量关系。 面模紫规律，归纳通顶公式 网结合图影求面积成周长的最值问慧 运算顺序：先括号（含中括号，小括号），后除。最后加减。 第2页共21页 【压轴考向一同类项、单项式、多项式、整式的判断】 【压轴考点01】同类项的判断★★★ 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)先标出下列各多项式中的同类项，再合并同类项： (1)3x-2x2+5+3x2-2x-5: (2)a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3: (3)6a2-5b2+2ab+5b2-6a2. 【对应练习】(2025七年级上·全国·专题练习)已知m3ya与-2x3y2a-1是关于x,y的单项式，且它 们是同类项. (1)求a的值. (2)若mx3y-2nx3y2a-1=0,且x≠0，y≠0，求(m-2n-1)2025+a的值. 【压轴考点02】单项式的判断★★★ 【典例精讲】(2324七年级上上海阶段检测)在式子@abc心，@a2-b2,③2警，④，⑤瑞-b-1 b-1 中下列结论正确的是( A.①、③是单项式 B.②、⑤是多项式 C.②④⑤都是多项式 D.都是整式 第3页共21页 【对应练习】(25-26七年级上·江苏扬州·期末)下列说法：①多项式2x2+xy2+3是二次三项式：② 单项式-5my的系数是-5；③5是单项式：④是多项式。其中正确的有() A.②③ B.③④ C.②③④ D.①②④ 【压轴考点03】单项式的系数、次数★★★ 【典例精讲】(24-25七年级上·广东茂名·期末)在下列说法中，正确的是( A.的系数为号 B.-2Tx的次数为6 C.2x3-y2+34是四次三项式 D.若7x2ya与-3yxb是同类项，则ba=8 【对应练习】(25-26七年级上·安徽铜陵·期末)已知关于x,y的多项式xy3-3x4+x2ym+1-4mn 是五次四项式(mn为有理数)，且单项式5x4my-4的次数与该多项式相同. (1)求m,n的值. (2)将这个多项式按x的降幂排列. 【压轴考点04】写出满足某些特在的单项式★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级上·福建宁德·期中)阅读下列材料，完成相应的任务： 对称式：在一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就 叫做对称式.例如：式子abc中任意两个字母交换位置，可得到式子bac,acb,cba,因abc=bac=acb=cba, 所以abc是对称式.而交换式子a-b中字母a,b的位置，得到式子b-a,因为a-b≠b-a,所以a-b不是 对称式 (1)下列式子中，是对称式的是（填序号）： ①a+b+c;②a2+b2;③a2b:④ (2)写出一个只含有字母x、y的单项式，使该单项式是对称式，且次数为6： (3)已知，A=2a2+4b2,B=a2-2ab+2b2,求出A-2B的结果，并判断所得结果是否是对称式. 第4页共21页 【对应练习】(25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中)阅读下列材料，完成相应的任务：一个含有多 个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫作对称式.例 如代数式abc中任意两个字母交换位置，可得到代数式bac,acb,cba,因为abc=bac=acb=cba,所以abc 是对称式：而代数式a-b中字母a,b交换位置，得到代数式b-a,因为a-b≠b-a,所以a-b不是对称 式. 任务： (1)下列四个代数式中，是对称式的是一一（填序号即可）； ①a+b+c:②a2-b:③a2+b2；④ (2)写出一个只含有字母m,n的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次，直接写出即可： (3)已知A=2a2-4b2,B=3a2-2ab,求A-2B,并直接判断所得结果是否为对称式. 【压轴考点05】多项式的判断★★★ 【典例精讲】下列说法中，正确的个数：() ①单项式与多项式统称为整式： ②单项式x2yz的系数是1： ③xy+x+3是二次三项式： ④x的次数是O: ⑤5a2b,3ab,7是多项式5a2b+3ab-7的项 A.1 B.2 C.3 D.4 【对应练习】(25-26七年级上·河北秦皇岛·期末)下列结论中，正确的是() A.单项式-xyz2的系数为-1，次数是4 B.多项式2x2+xy+3是四次三项式 C.单项式a的次数是1，系数为0 D.单项式3的系数是3，次数是2 第5页共21页 【压轴考点06】多项式的项、项数或次数★★★★ 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)把多项式x3-6x2y+12xy2-8y3+1写成三个整式 的和，使其中一个不含字母x,一个不含字母只. 【对应练习】(24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中)下列说法正确的是() A.若|al=-a,则a<0 B.若a<0,ab<0,则b>0 C.式子3xy2-4x3y+12是七次三项式 D.4a2b-4ab2=0 。 【压轴考点07】整式的判断★★★ 【典例精讲】(25-26七年级上·山东聊城·期末)下列说法错误的是() A.代数式m+5,ab,-3都是整式 B.单项式-ab的系数是-1.次数是2 C.多项式3t2+t次数是3 D.多项式-5x3y2-y+1的二次项的系数是-1 【对应练习】(25-26七年级上·福建福州·期末)下列说法正确的是( A.-1是单项式 B.m+1不是整式 c.-的系数是-京次数是3 D.多项式3ab-2ab3的次数是6 【压轴考向二整数的加减运算】 二【压轴考点8】已知同类项求指数中字母或代教式的值★★女 【典例精讲】已知a,b为常数，且三个单项式4xy2,axy,-5xy相加得到的和仍然是单项式.那么a 和b的值可能是多少？说明你的理由 第6页共21页 【对应练习】先化简，再求5ab2-[6a2b-3(ab2+2a2b)]的值，其中单项式3x2y5与-2x1-ay3b-1是同类 项， 二【压轴考点09】合并同类项★女★ 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)求下列多项式的值： (1)7x2-3x2-2x-2x2+5+6x,其中x=-2: (2)5a-2b+3b-4a-1,其中a=-1,b=2: (3)2x2-3xy+y2-2y-2x2+5y-2y+1,其中x=号，y=-1. 【对应练习】(26-27七年级上·全国·课后作业)化简： (1)a2-2(ab-b2)-b2: (2)(x2-y2)-3(2x2-3y2): 第7页共21页 (3)7a2b-(-4a2b+5ab2)-2(2a2b-3ab2). 【压轴考点10】去括号★★★ 【典例精讲】(25-26七年级上·湖南湘潭·期中)化简 (1)4x-3-x+1 (2)3x3+(x2-4y3)-x2 【对应练习】(25-26七年级上·安徽安庆·期末)己知，A=a3-a2-a,B=a-a2-a3,C=2a2-a, 求A-2B+3C的值. 【压轴考点11】添括号★★★ 【典例精讲】(25-26七年级上·河南新乡·阶段检测)如果代数式2x2-3x+6的值为5，那么代数式 3x-2x2的值等于() A.-1 B.1 C.-11 D.11 第8页共21页 【对应练习】(25-26七年级上·吉林长春·期中)阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的 思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.我们知道，4x一2x+x=(4-2+1)x=3x.类似的 我们可以把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b).请尝 试解决： (1)把(a-b)2看成一个整体，合并4(a-b)2-5(a-b)2+2(a-b)2=_: (2)已知x2-2y=-4,求2x2-4y+2025的值； (3)已知a2+2ab=2,ab-2b2=-1,则代数式2a2+3ab+2b2的值为_一一- 二【压轴考点2】墓式的加减运算★★★ 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)先去括号，再合并同类项： (1)(x-1)-(2x+1): (2)3(x-2)+2(1-2x): (3)2(2b-3a+3(2a-3b): (4)(3x2-xy-2y2)-2(x2+xy-2y2) 【对应练习】(25-26七年级上黑龙江牡丹江期中)某同学做一道数学题：已知两个多项式A,B,B=2x2+ 2xy+y2,计算A-2B.这名同学误将“A-2B”看成“2A-B”,求出的结果是2x2-14xy-5y2.请你 求出正确的结果， 第9页共21页 【压轴考点13】整式的加减中的化简求值★★★★ 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)先化简，再求值： (1)3x2+(2x2-3x)-(-x+5x2),其中x=314: 2)(5xy-8x2)-（-12x2+4y),其中x=-2y=2. 【对应练习】(25-26七年级上·湖南湘潭·期中)教科书91页第15题是这样的：若a+b=7,ab=10, 求(5ab+4a+7b)+(6a-3ab)-(4ab-3b)的值.小明是这样做的： 原式=5ab+4a+7b+6a-3ab-4ab+3b =10a+10b-2ab =10(a+b)-2ab =10×7-2×10 =50. 在这里，他把a+b作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想. 【方法运用】： (1)若代数式x2-2x=5,求代数式3x2-6x-1的值； (2)当x=1时，代数式ax3+bx+5的值为8.当x=-1时，求代数式ax3+bx+5的值： (3)若x2-2xy+y2=20,xy-y2=6,求代数式x2-3xy+2y2的值. 第10页共21页 【压轴考点14】整式加减中的无关型问题★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·安徽安庆·期末)“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在 代数中应用较为广泛.如已知a+2b=2,求3a+6b-3的值.根据已知条件我们虽无法直接求出a与b 的值，但可以将(a+2b)看作一个整体，其值即为2，而3a+6b-3=3(a+2b)-3,将a+2b=2整体 代入，即可求得3a+6b-3=3×2-3=3. (1)已知x2-y=5,则3x2-3y-5=-_； (2)若m+3n=-5,求2(3m+n)-4m-nm)的值； (3)设多项式A=ax2+4x-1,B=bx2-cx+2,C=5x2+dx-y,若A+B+C的结果与x的取值无关， 求a+b-c+d的值. 【对应练习】(25-26七年级下·江苏宿迁·期中)有这样一类题：代数式kx-y+2+3x-5y的值与x 的取值无关，求k的值：通常的解题方法：把x,y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与 x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式=(k+3)x-6y+2,所以k+3=0,即k=-3. B S S2 D 图1 图2 (1)若关于x的多项式3mx+2m2-m-4x+1的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a宽为b,有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S1,左下角的面积为S2,当AB 的长变化时，S1-S2的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系. 第11页共21页 【压轴考点15】整式加减的应用★★★ 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)一个两位数，它的十位数字为a,个位数字为b.若 把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数， (1)计算新数与原数的和，这个和能被11整除吗？为什么？ (2)计算新数与原数的差，这个差会被什么数整除？ 【对应练习】(25-26九年级下·四川达州·期中)图1是长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片，将 6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化， 图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为S1,S2,若a=8,b=4,则S1-S2的值是( S a S 图1 图2 A.8 B.16 C.32 D.64 【压轴考点16】单项式规律题★★★★ 【典例精讲】观察2，一言x,号2，一号，号x,,根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为 【对应练习】按一定规律排列的一列单项式如下：言a言2，六a2,0a4,…,则第9个单项式是( 1 A.a B.iga c.品a D.1a9 110 【压轴考点17】多项式系数、指数中字母求值★★★★ 【典例精讲】若关于x、y的多项式mx2-2xy+y与3x2-2nxy+3y的和中不含二次项，求m+3n的值. 第12页共21页 【对应练习】(25-26七年级上·陕西汉中·期中)已知多项式3x2ym+2xy-3x+4的次数是5，n是 该多项式二次项的系数，求代数式2m一n3的值， 二【压轴考点8】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列★★女★ 【典例精讲】(25-26七年级上·河北沧州·阶段检测)下列说法正确的是( ) A.多项式5x2-4xy+6是二次三项式 B.多项式-2m3n-3mn-2的一次项系数是3 C.多项式5x3y-3x2y2+2xy3-8中，x的次数是按照从低到高排列的 D.多项式6ab-7a+3b-5的常数项是5 【对应练习】(25-26七年级上·全国·周测)若一个多项式同时满足条件①各项系数均为整数；②按某 个字母的降幂排列：③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和 谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”，例如：多项式5x3一3x2+2x是x的“和谐多项式”；多项 式-3xy2+2x2y-x3是y的“和谐多项式”. (1)把多项式-3x3+2x-4x2+5x4按x的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”. (2)若关于a,b的多项式ka3b3-2a2b+3ab2-5b4是b的“和谐多项式”，求k的值 (3)己知M,W均为关于x,y的三次三项式，其中M=x2y+xy2+nx3,N=-x2y-mxy2+4y3(m,n均为整 数)，若新多项式M-N是“和谐多项式”，且m<n,求代数式2025m2+8096m-1的值. 第13页共21页 【压轴考向三规律探究一整式的加减应用】 【压轴考点19】数字类规律探索★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·河北张家口·期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1： 若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限次的步骠骤，必然进入循环圈1→4→2→1.这 就是数学史上著名的“冰雹猜想”.如果对于正整数m,经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”.如 取m=3,由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n=7, 则下列结论错误的是( A.当m=13时，n=9 B.随着m的增大，n不一定也增大 C.若n=2,则m只能是4 D.若n=5,则m只能是5 【对应练习】如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0,1,2,3，先让圆周上 表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示1024的点与圆周上 某个点重合，这个点所标数字为 3 0 23→ 二【压轴考点20】图形类规律探索★★★★ 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)用长度相同的小棒按下图中的方式拼摆图形. ●●● ② (1)按图示规律填空： 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2)按照这种方式拼摆下去，第n个图形需要 根小棒。 【对应练习】观察如图，图(1)有2个三角形，记作a1=2:图(2)有3个三角形，记作a2=3:图(3) 有6个三角形，记作a3=6;图(4)有11个三角形，记作a4=11;按此方法继续下去，则a100_ 第14页共21页 △A△△△会盆A△会参盒△ 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 【压轴考点21】带有字母的绝对值化筒问题★★★★ x(x>0) 【典例精讲】(25-26七年级上·安徽毫州·阶段检测)阅读材料x 00x=0)即当x>0时，奇==1： -x(x<0) 当x<0时， 青=兰=-1，用这个结论解决下列问题： a 0 6 (1)已知数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，则回+= (2)已知a,b是有理数，当ab>0时，回+= 若abc>0,则+合+只+高 【对应练习】(25-26七年级上·山东滨州·期末)“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法， 下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”， 【知识背景】 当a>0时，lal=a;当a=0时，lad=0;当a<0时，lal=-a. 【解决问题】 (1)当a>0时，回=一；当a<0时，= a a (2)若两个有理数a,b的值满足ab>0,则+以=； b 【探究拓展】 (3)若三个有理数a6、c的值满足abc<0,试求回+包+旦+1d的值. b abc 第15页共21页 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 1.(26-27七年级上河南新乡开学考试)若1al=1,bl=3,且b-a=a-b,那么a+b的值是( A.-2或4 B.2或-4 C.2或4 D.-2或-4 2.(26-27七年级上·河南郑州·开学考试)有一个数值转换机，原理如图所示，若开始输入的x的值是 1,可发现第1次输出的结果是6，第2次输出的结果是3，…依次继续下去，第2026次输出的结果是 ( ) x为偶数 输入x 输出 x为奇数 x+5 A.4 B.6 C.2 D.1 3.(25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中)已知，有7个完全相同的边长为mn的小长方形（如图1） 和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置 在大长方形中.下列说法正确的是() B 10 A 图1 图2 ①大长方形的长是m+4n;②阴影A的面积是10m-3mn: ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关：④阴影B的面积是40n-4m. A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 4.(26-27七年级上·全国·开学考试)观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三 角形中白色的三角形有( )个 ① ② ③ A.121 B.154 C.364 D.467 第16页共21页 5.（25-26八年级下·重庆巫山·期末)在整式4x,2x+y之间插入它们的平均数：3x+y,记作第一次 操作，在4与3x+y之间和3x+y与2x+y之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推. ①第二次操作后，从左往右第四个整式为x+子y: ②经过三次操作后，若x=y=-1,则所有整式的值之和为10： ③经过10次操作后，将得到1025个整式. 以上三个结论正确的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.(26-27七年级上·浙江绍兴·开学考试)甲、乙、丙、丁四个人参加某次数学竞赛，甲、乙两人的平 均成绩为m分，他们两人的平均成绩比丙的成绩低7分，比丁的成绩高1分，那么他们四人的平均成绩为 )分 7.(25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中)若2a-b+2=5,则-4a+2b-2019= 8.(2526七年级上·黑龙江牡丹江·期中)观察下列一组数：-，1，-0号，-若它们是按一定规律 排列的，那么这组数的第n个数是 9.(25-26七年级上·四川广元·期末)如图，这是2026年1月的月历，其中“T”形、“L”形两个阴影 图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠.设“T”形阴影图形覆盖的最小数字为α，四 个数字之和为M;“L”形阴影图形覆盖的最小数字为b,四个数字之和为N.若M-N=-21,则M+N的 最大值为 四五六 1 23 5678910 11121314151617 18192021222324 25262728293031 10.(25-26七年级上·重庆沙坪坝·开学考试)在式子x-y+m-n(其中x>y>0>m>n)中，任 选两个字母，在这两个字母及它们之间的部分两侧加绝对值后再去掉绝对值并化简（不改变字母的位置)， 称为第一轮“绝对操作”.例如，选择m,n进行第一轮“绝对操作”，得到x-y+lm-n=x-y+m-n, 再对第一轮“绝对操作”后得到的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，例如，选择y,进行 第二轮“绝对操作”，得到x-y+m一n=x一y一m+n,…,按此方法，进行k(k≥1)轮“绝对操作”.对 原式子进行第一轮“绝对操作”后，则有 种不同的结果；若对原式子进行四轮“绝对操作”， 第17页共21页 且每轮操作中绝对值里只含两个字母，则有 种不同的结果 11.(25-26七年级上·四川广元·期末)定义：将图①中的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方 形和5号长方形， 2 4 4 5 图① 图② (1)设3号正方形的边长为a,4号正方形的边长为b,求1号，2号正方形的边长分别是多少？（用a,b的 代数式表示) (2)若图①中裁剪前长方形的周长为64，试求3号正方形的边长： (3)在(2)的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为140的长方形中，求阴影部分的周长. 12.(26-27七年级上·全国·课后作业)某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式， (1)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆 n张桌子呢？ (2)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆 n张桌子呢？ UU UUUU (3)在食堂就餐的高峰时段，要求同时能坐下300人，上面哪种方式所需要的餐桌数较少？ 第18页共21页 13.(26-27七年级上·全国·课后作业)对于3×9=27，可以用10个手指直观地展示出来：如图，将 两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手 指，“27”正是“3×9”的结果.类似地，1×9=9,2×9=18,4×9=36，…，9×9=81也可以 用手指直观地展示出来.请用本章学过的知识解释其中的道理. 3×9=27 14.（25-26七年级下·广东茂名·期末)项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜.现需设计一套 灌溉系统， 【任务规划】基地长为a米，宽为b米.计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干 条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域。 b B 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形ABCD,AD=BC=a,AB=CD=b.在AB和CD边上铺设主管道.从 AD边开始(AD不用安装)，每间隔d米安装一条与AD平行的支管道(d为正整数)，直到BC边，恰好将 基地完全覆盖、 【解决问题】 (1)请用含a,b,d的代数式表示需要的支管道总条数n. (2)已知a=18,b=30,d=3.求n的值，并计算所有支管道的总长度. 第19页共21页 (3)预算主管道每米成本20元，支管道每米成本10元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5 元)（固定装置成本仅与支管道条数有关），总预算为C元， ①请推导C与a,b,d的数量关系式. ②当a=18,b=30,总预算C=3160元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由. 15.(25-26八年级下·安徽宣城·期末)综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼 接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙.从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形 把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题. 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十 二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖.从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板 砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，·， 依此类推。 图1 图2 (1)【问题探究】①第4层中分别含有 _块正方形和 块正三角形地板砖： ②第n层中含有 块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）. (2)观察下列算式，并完成填空： 3=22-1: 3+5=32-1: 3+5+7=42-1: 3+5+7+9=52-1; 第20页共21页 3+5+7+9+…+(2n+1)=_--· (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正 方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由. 第21页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题四 整式的加减 【思维导图+21大考点讲练+优选题训练 共57题〔解析版〕】 目 录 3 【压轴考点01】同类项的判断 3 【压轴考点02】单项式的判断 4 【压轴考点03】单项式的系数、次数 5 【压轴考点04】写出满足某些特征的单项式 6 【压轴考点05】多项式的判断 8 【压轴考点06】多项式的项、项数或次数 9 【压轴考点07】整式的判断 10 11 【压轴考点08】已知同类项求指数中字母或代数式的值 11 【压轴考点09】合并同类项 12 【压轴考点10】去括号 13 【压轴考点11】添括号 14 【压轴考点12】整式的加减运算 15 【压轴考点13】整式的加减中的化简求值 16 【压轴考点14】整式加减中的无关型问题 18 【压轴考点15】整式加减的应用 20 【压轴考点16】单项式规律题 21 【压轴考点17】多项式系数、指数中字母求值 22 【压轴考点18】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 23 【压轴考点19】数字类规律探索 25 【压轴考点20】图形类规律探索 26 【压轴考点21】带有字母的绝对值化简问题 28 30 【压轴考点01】同类项的判断 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）先标出下列各多项式中的同类项，再合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)； 【思路引导】先标出各多项式中的同类项，再按合并同类项法则计算． 【规范解答】（1） 解：； （2） 解：； （3） 解：． 【对应练习】（2025七年级上·全国·专题练习）已知与是关于x，y的单项式，且它们是同类项． (1)求a的值． (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据同类项相同的字母的指数相同列出方程即可求解； （2）根据同类项合并为0，得出系数和为0，求出字母的值，再代入求解即可． 【规范解答】（1）与是关于x，y的单项式，且它们是同类项． ， ． （2）， ， ． 【考点剖析】本题考查了同类项的定义，解题关键是明确同类项所含字母相同，相同的字母的指数也相同． 【压轴考点02】单项式的判断 【典例精讲】（23-24七年级上·上海·阶段检测）在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【思路引导】根据定义逐个判断各代数式的类型，再对比选项得到正确结论． 【规范解答】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． 【对应练习】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式； 是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查单项式与多项式的相关概念，只需根据相关定义逐一判断每个说法即可． 【规范解答】解：多项式是三次三项式，原说法错误； 单项式的系数是，说法正确； 5是单项式，说法正确； 是多项式，说法正确． 综上，正确的是②③④，故选C． 【压轴考点03】单项式的系数、次数 【典例精讲】（24-25七年级上·广东茂名·期末）在下列说法中，正确的是（     ） A．的系数为 B．的次数为6 C．是四次三项式 D．若与是同类项，则 【答案】D 【思路引导】直接利用单项式的定义以及多项式的次数和项数的定义，同类项的概念分别分析得出答案即可． 【规范解答】解：A选项，的系数为，原说法错误，不符合题意； B选项，的次数为5，原说法错误，不符合题意； C选项，的最高次项次数为3，是三次三项式，原说法错误，不符合题意； D选项，∵与是同类项， ∴，， ∴，原说法正确，符合题意. 【对应练习】（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查多项式的项与次数，单项式的次数，求解代数式的值，熟练掌握基础概念是解题的关键． （1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得，再求解即可； （2）按x的指数从大到小排列即可． 【规范解答】（1）解：关于x、y的多项式是五次四项式，且m，n为有理数， ∴，解得， 又∵单项式的次数与该多项式的次数相同，都是5， ∴，而，解得， 答：，． （2）解：当，时， 关于x，y的多项式按x的降幂排列是． 【压轴考点04】写出满足某些特征的单项式 【典例精讲】（25-26七年级上·福建宁德·期中）阅读下列材料，完成相应的任务： 对称式：在一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，，因，所以是对称式．而交换式子中字母的位置，得到式子，因为，所以不是对称式． (1)下列式子中，是对称式的是 （填序号）； ①；②；③；④ (2)写出一个只含有字母的单项式，使该单项式是对称式，且次数为6； (3)已知，，，求出的结果，并判断所得结果是否是对称式． 【答案】(1)①② (2) (3)，是对称式 【思路引导】本题主要考查代数式，单项式，整式的加减及运用； （1）根据题意判断即可； （2）写出满足特征的单项式即可； （3）先去括号，再合并同类项，再判断是否为对称式即可． 【规范解答】（1）解：由定义得：是对称式的是①；②； ③和④不是对称式； 故答案为：①②． （2）解：满足条件的单项式为：． （3）解： ， ， ； 是对称式． 【对应练习】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）阅读下列材料，完成相应的任务：一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫作对称式．例如代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式；而代数式中字母，交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 任务： (1)下列四个代数式中，是对称式的是_____（填序号即可）； ①；②；③；④ (2)写出一个只含有字母，的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次，直接写出即可； (3)已知，，求，并直接判断所得结果是否为对称式． 【答案】(1)①③ (2)（答案不唯一） (3)；是对称式 【思路引导】本题考查代数式、整式的加减，理解题意是解答的关键． （1）根据题中定义可作出判断； （2）根据单项式的定义和题中定义可得答案； （3）先根据整式的加减运算得到，再根据题中定义求解即可． 【规范解答】（1）解：①，故是对称式； ②，故不是对称式； ③，故是对称式； ④，故不是对称式； 故答案为：①③； （2）解：由题意，，则是对称式， 故答案为：（答案不唯一） （3）解： ， ∵ ∴其结果是对称式． 【压轴考点05】多项式的判断 【典例精讲】下列说法中，正确的个数：（   ） ①单项式与多项式统称为整式； ②单项式的系数是1； ③是二次三项式； ④x的次数是0； ⑤是多项式的项 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】只需逐一判断每个说法的正误，统计正确说法的个数即可． 【规范解答】我们逐个判断每个说法： ① 根据整式的定义，单项式与多项式统称为整式，故①说法正确； ② 单项式的数字因数为，因此它的系数是，故②说法正确； ③ 多项式中，最高次项的次数为，该多项式共有个项，因此是二次三项式，故③说法正确； ④ 的次数是，不是，故④说法错误； ⑤ 多项式的项为，，，故⑤说法错误； 综上，故选：C． 【对应练习】（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）下列结论中，正确的是（   ） A．单项式的系数为-1，次数是4 B．多项式是四次三项式 C．单项式a的次数是1，系数为0 D．单项式的系数是3，次数是2 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了单项式的系数与次数、多项式的项数与次数的定义，熟练掌握单项式和多项式的相关定义是解题的关键．根据单项式的系数、次数定义和多项式的项数、次数定义，对每个选项逐一进行判断，从而找出正确的结论． 【规范解答】∵单项式的系数是其数字因数，次数是所有字母的指数和，多项式的次数是最高次项的次数 ∴对各选项分析如下： A．单项式的数字因数为，所有字母指数和为，故系数为，次数是4，该选项正确； B．多项式的最高次项次数为2，是二次三项式，不是四次三项式，该选项错误； C．单项式的系数为1，次数是1，不是系数0，该选项错误； D．可拆分为，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式，该选项错误； 故选：A． 【压轴考点06】多项式的项、项数或次数 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）把多项式写成三个整式的和，使其中一个不含字母x，一个不含字母y． 【答案】 答案不唯一，例如 【思路引导】按字母包含情况对多项式的项分类，既含x又含y的项单独作为一个整式，其余项分配到另外两个整式中，使其分别满足不含x、不含y的要求. 【规范解答】解： 原多项式为，将各项按字母包含情况分类： 仅含x不含y的项： ；仅含y不含x的项： ；既含x又含y的项：， ；常数项： ， ∵ 不含x的整式不能有含x的项，不含y的整式不能有含y的项， ∴ 既含x又含y的项需作为第三个整式的组成部分， 取作为不含y的整式， 取作为不含x的整式， 取作为第三个整式， 三者的和为，与原式相等，符合题意. 【对应练习】（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．式子是七次三项式 D． 【答案】B 【思路引导】本题根据绝对值的意义、有理数乘法法则、多项式次数的定义、同类项合并规则，对各选项逐一判断即可． 【规范解答】解：选项A，∵当时，，题目结论为，∴A错误； 选项B，∵有理数乘法中，异号两数相乘得负，已知，，∴与异号，可得，∴B正确； 选项C，∵多项式的最高次项是，次数为，∴该式是四次三项式，C错误； 选项D，∵与不是同类项，不能合并，∴D错误． 【压轴考点07】整式的判断 【典例精讲】（25-26七年级上·山东聊城·期末）下列说法错误的是（   ） A．代数式，，都是整式 B．单项式的系数是．次数是2 C．多项式次数是3 D．多项式的二次项的系数是 【答案】C 【思路引导】本题考查了整式、单项式与多项式的相关概念，解题的关键是准确掌握整式、单项式的系数与次数、多项式的次数与项的系数等定义． 根据整式的定义判断选项A；根据单项式的系数与次数的定义判断选项B；根据多项式的次数定义判断选项C；根据多项式的项与系数的定义判断选项D． 【规范解答】解：A、是多项式，是单项式，是单项式，它们都是整式，此选项不符合题意． B、单项式的系数是，次数是，此选项不符合题意． C、多项式中最高次项是，次数为，不是，此选项符合题意． D、多项式的二次项是，其系数是，此选项不符合题意． 故选：C． 【对应练习】（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．不是整式 C．的系数是，次数是3 D．多项式的次数是6 【答案】A 【思路引导】根据整式的基本概念，理解解答即可． 本题考查单项式和多项式的概念，包括系数、次数和整式的定义．掌握单项式的系数和次数、多项式的次数以及整式的定义是关键． 【规范解答】解：A. 是单项式，正确，符合题意；     B. 是整式，错误，不符合题意； C. 的系数是，次数是，错误，不符合题意； D. 多项式的次数是，错误，不符合题意； 故选：A. 【压轴考点08】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例精讲】已知 a ， b 为常数，且三个单项式相加得到的和仍然是单项式．那么 a 和b 的值可能是多少？说明你的理由． 【答案】或，理由见解析 【思路引导】根据题意，三个单项式的和仍是单项式，可知其中必有两个是同类项，且这两个同类项的和为0，剩下第三个单项式，据此分情况讨论求出的值即可。． 【规范解答】解：或， 理由：∵单项式，，相加得到的和仍然是单项式， ∴其中必有两个单项式是同类项，且这两个同类项的和为0， ∴，是同类项相加等于零或，是同类项相加等于零， ∴或． 【对应练习】先化简，再求的值，其中单项式与是同类项． 【答案】， 【思路引导】本题考查整式的加减运算，代数式的代入求值．先进行整式的加减运算，先去括号，再合并同类项，根据同类项的含义列方程解得，，将数值代入化简后的代数式计算即可得到答案． 【规范解答】∵单项式与是同类项， ∴，， 解得，， ， 当，时， 原式． 【压轴考点09】合并同类项 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）求下列多项式的值： (1)，其中； (2)，其中； (3)，其中． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】先合并同类项化简多项式，再代入给定的值计算结果即可． 【规范解答】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解： ， 当，时，原式； （3）解： ， 当时， 原式 ． 【对应练习】（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【压轴考点10】去括号 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）直接合并同类项得到化简结果； （2）先去括号，再合并同类项得到化简结果． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【对应练习】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知，，，，求的值． 【答案】 【思路引导】根据整式的加减运算法则计算即可得出结果． 【规范解答】解：∵，，， ∴ ． 【压轴考点11】添括号 【典例精讲】（25-26七年级上·河南新乡·阶段检测）如果代数式的值为5，那么代数式的值等于（） A． B．1 C． D．11 【答案】B 【思路引导】本题考查代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 由已知代数式的值变形得到，再代入目标代数式求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 【对应练习】（25-26七年级上·吉林长春·期中）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，类似的我们可以把看成一个整体，则．请尝试解决： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，求的值； (3)已知，，则代数式的值为______． 【答案】(1) (2) (3)5 【思路引导】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握合并同类项法则和整体代入求值法． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）把所求式子写成含有的形式，再把代入进行计算即可； （3）把所求式子中的写成的形式，再利用分组法，把所求式子写成含有，的形式，最后整体代入进行计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ． 故答案为：． （2）， ． （3），， ． 故答案为：5． 【压轴考点12】整式的加减运算 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）先去括号，再合并同类项； （2）先根据乘法分配律计算，再合并同类项； （3）（4）仿照（2）解答． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【对应练习】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）某同学做一道数学题：已知两个多项式A，B，，计算．这名同学误将“”看成“”，求出的结果是．请你求出正确的结果． 【答案】 【思路引导】首先根据错误的运算关系求出，然后代入求解即可． 【规范解答】解：根据题意得， ∴ ∴， ∴ ． 【压轴考点13】整式的加减中的化简求值 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1) ， (2) ， 【规范解答】（1）解：原式 ； 当时，原式； （2）解：原式 ； 当时，原式； 【对应练习】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 【答案】(1)14 (2)2 (3)14 【思路引导】（1）观察所求代数式，发现前两项可以提取公因数3，变形为，题目条件已知，不需要求出，把看成一个整体，代入即可求出结果； （2）把代入代数式，可以求出，当时，代入，得，变形为，把看成一个整体，代入即可求出结果； （3）观察代数式，对式子拆项重组为，刚好是题目给的两个已知整体相减，直接代入求值计算． 【规范解答】（1）解：因为， 所以 ； （2）解：当时， ，即， 当时，； （3）解：因为，， 所以 ． 【压轴考点14】整式加减中的无关型问题 【典例精讲】（25-26七年级下·安徽安庆·期末）“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出a与b的值，但可以将看作一个整体，其值即为2，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则______； (2)若，求的值； (3)设多项式，，，若的结果与x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）将所求代数式变形后整体代入已知条件计算； （2）先化简代数式，再整体代入已知条件求值； （3）先计算并合并同类项，根据结果与取值无关，得到对应各次项的系数为，再整体代入计算所求代数式的值． 【规范解答】（1）解：∵， ∴； （2）解： ； （3）解： ， ∵的结果与的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 【对应练习】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）合并同类项：将多项式合并为，再由多项式与x无关，可得，即可求解； （2）设，表示面积，计算面积差：，系数为0：因面积差与x无关，含x项系数为0，即可求出a、b关系． 【规范解答】（1）解：关于x的多项式的值与x的取值无关， ， ， 解得：． （2）解：设， 由图可知：， ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 含x项的系数为0， 即， ． 【压轴考点15】整式加减的应用 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b．若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数. (1)计算新数与原数的和，这个和能被11整除吗？为什么？ (2)计算新数与原数的差，这个差会被什么数整除？ 【答案】(1)能，理由：根据题意得原数为，调换后的新数为． 因为新数与原数的和为， 所以新数与原数的和能被11整除． (2)这个差会被9整除，理由：新数与原数的差为， 所以这个差会被9整除． 【思路引导】（1）根据题意表示出新数与原数，求出之和，即可作出判断； （2）求出新数与原数的差，即可作出判断． 【对应练习】（25-26九年级下·四川达州·期中）图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，，则的值是（     ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【思路引导】设，根据题意得到，，进而作差，利用整式的加减运算法则求解即可． 【规范解答】解：设， 根据题意，，， ∴． 【压轴考点16】单项式规律题 【典例精讲】观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 【答案】/ 【思路引导】观察发现，奇数项为正，偶数项为负，分母为连续奇数，分子为连续偶数，x的指数为连续自然数，则式子规律可表示为（n为正整数），即可解答． 【规范解答】解：， ， ， ， ， …， 第n个式子为， ∴第10个式子为，即． 【对应练习】按一定规律排列的一列单项式如下：，，，，…，则第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】分别观察单项式中的指数和系数分母的变化规律，得到第个单项式的一般形式，再代入计算得到结果． 【规范解答】解：观察已知单项式： 第个：； 第个：； 第个：； 第个：； ； ∴第个单项式为； 将代入得：． 【压轴考点17】多项式系数、指数中字母求值 【典例精讲】若关于、的多项式与的和中不含二次项，求的值． 【答案】 【思路引导】首先求出多项式的和，然后由不含二次项，得出m和n的值，即可得解． 【规范解答】解：， ∵结果中不含二次项， ∴， ∴． ∴． 【对应练习】（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 【答案】 【思路引导】多项式中次数最高项的次数为多项式的次数，二次项的数字因数为二次项的系数，求出的值，再代值计算即可． 【规范解答】解：因为多项式的次数是5， 所以．                             因为n是该多项式二次项的系数， 所以，                                 所以． 【压轴考点18】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【典例精讲】（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．多项式是二次三项式 B．多项式的一次项系数是 C．多项式中，的次数是按照从低到高排列的 D．多项式的常数项是 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了多项式的定义，根据多项式的次数、项数、系数和排列顺序的定义，逐一判断各选项． 【规范解答】解：A选项：多项式的最高次项次数为，且共有三项，是二次三项式，故A选项正确； B选项：多项式中没有次数为的项，故B选项错误； C选项：多项式中的指数依次为、、、，是从高到低排列，故C选项错误； D选项：多项式的常数项是，故D选项错误． 故选：A． 【对应练习】（25-26七年级上·全国·周测）若一个多项式同时满足条件①各项系数均为整数；②按某个字母的降幂排列；③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式是x的“和谐多项式”；多项式是y的“和谐多项式”． (1)把多项式按x的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”． (2)若关于的多项式是b的“和谐多项式”，求k的值． (3)已知均为关于的三次三项式，其中（均为整数）．若新多项式是“和谐多项式”，且，求代数式的值． 【答案】(1)多项式不是“和谐多项式” (2)的值为或 (3) 【思路引导】（1）本题需要先将给定多项式按x的降幂排列，再根据 “和谐多项式” 的定义，检查各项系数是否为整数、是否按x降幂排列以及各项系数绝对值是否从左到右 “从大到小” 排列，从而判断是否为 “和谐多项式． （2）本题需要先将关于的多项式按b的降幂排列，再根据 “和谐多项式” 的定义，结合各项系数的绝对值从左到右 “从大到小” 排列的条件，求出k的值． （3）本题需要先计算，再根据是 “和谐多项式” 以及的条件，确定的值，最后代入代数式计算． 【规范解答】（1）解：按的降幂排列为， ∵， ∴多项式不是“和谐多项式”； （2）把多项式按的降幂排列为， ∵多项式是的“和谐多项式”， ∴， ∵为整数， ∴， ∴的值为4或； （3）， ， ， ∵， ∴不是的“和谐多项式”， ∴是的“和谐多项式”， 把按的降幂排列为， ∴， ∴， ∴或，， ∵， ∴， ∴， ， ， ， 【考点剖析】本题考查了多项式的降幂排列以及 “和谐多项式” 的定义，掌握按某一字母降幂排列多项式的方法以及 “和谐多项式” 的三个条件是解题的关键． 【压轴考点19】数字类规律探索 【典例精讲】（25-26七年级下·河北张家口·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘加；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．如果对于正整数，经过步变换，第一次到达，就称为步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过个步骤变成，得，则下列结论错误的是（     ） A．当时， B．随着的增大，不一定也增大 C．若，则只能是 D．若，则只能是 【答案】D 【思路引导】对已知m的选项顺推计算步数，对已知n的选项逆推求m的可能值，结合“第一次到达1”的条件判断正误即可． 【规范解答】解：A、当时，变换过程为，共9步，即，故该选项正确，不符合题意； B、∵当时，变换过程为，共2步，即， 又∵当时，， ∴随着的增大，不一定也增大，故该选项正确，不符合题意； C、∵当时，即经过2步第一次到达1， ∴倒数第1步只能是（无正整数解）， ∴初始数只能是（无正整数解），故该选项正确，不符合题意； D、∵当时， ∴变换过程可以为，共5步；或，共5步， ∴不只能是，故该选项错误，符合题意． 【对应练习】如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示1024的点与圆周上某个点重合，这个点所标数字为______． 【答案】 【思路引导】根据循环周期进行求解． 【规范解答】解：圆转动一周，0，1，2，3循环一次， ∵， ∴， ∴这个点所标数字为． 【压轴考点20】图形类规律探索 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）用长度相同的小棒按下图中的方式拼摆图形． (1)按图示规律填空； 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2)按照这种方式拼摆下去，第n个图形需要______根小棒． 【答案】(1) 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2) 【思路引导】第一个图形有小棒根，第二个图形有小棒根，第三个图形有小棒根，于是可找得规律，后面的图形都比前面相邻的图形多根，根据此规律可得答案． 【规范解答】（1）解：第一个图形小棒根数，第二个图形小棒根数为，第三个图形小棒根数为，于是可找得规律，后面的图形都比前面相邻的图形多根，所以第四个图形小棒根数为，第五个图形小棒根数为． （2）解：由小问1可知后面的图形都比前面相邻的图形多根， 第一个图形小棒根数为，可表示为， 第二个图形小棒根数为，可表示为， 第三个图形小棒根数为，可表示为 ， 第个图形可表示为． 【对应练习】观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 【答案】9803 【思路引导】根据图形的一般规律，找出第个的规律即可求解． 【规范解答】解：由题意可得：； ； ； ； ， 由此可知：第n个图形有：， ∴． 【压轴考点21】带有字母的绝对值化简问题 【典例精讲】（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）阅读材料即当时，；当时，，用这个结论解决下列问题： (1)已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则________； (2)已知a，b是有理数，当时， _________； (3)若，则_________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【思路引导】（1）由数轴得，再结合题干所给材料计算即可得出结果； （2）由题意可得，同号，再分两种情况，结合题干所给材料计算即可得出结果； （3）由题意可得，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数，再分两种情况，结合题干所给材料计算即可得出结果． 【规范解答】（1）解：由数轴得，， ∴； （2）解：∵a，b是有理数，， ∴，同号， 当，时，， 当，时，； 综上所述，或 （3）解：∵， ∴，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数， 当，，全为正数时，， 当，，其中两个为负数，一个为正数时，不妨设，，，则， 综上所述，或． 【对应练习】（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 【答案】（1）1；；（2）或2；（3）或0 【思路引导】本题考查化简绝对值、有理数的乘法法则， （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）根据有理数的乘法法则得a、b同号，即，或，，再根据绝对值的性质进行分类讨论即可； （3）根据有理数的乘法法则得a、b、c全为负数或两正一负，再根据绝对值的性质进行分类讨论即可． 【规范解答】解：（1）当时，，当时，， 故答案为：1，； （2）∵两个有理数a，b的值满足， ∴a、b同号，即，或，， ∴当，时，， 当，时，， 故答案为：2或； （3）， ∴a、b、c全为负数或两正一负． ①当a、b、c全为负数时， ， ∴； ②当a、b、c为两正一负时，若， ， 若，， 若，， 综上所述，原式的值为或0． 1．（26-27七年级上·河南新乡·开学考试）若，，且，那么的值是（    ）． A．或4 B．2或 C．2或4 D．或 【答案】D 【思路引导】由推出是解题关键，结合绝对值的定义确定的取值后代入计算． 【规范解答】解： ， ， ， ， ， ，即， ，或， 当时，， 当时，， 的值为或． 2．（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）有一个数值转换机，原理如图所示，若开始输入的x的值是1，可发现第1次输出的结果是6，第2次输出的结果是3，……依次继续下去，第2026次输出的结果是（     ） A．4 B．6 C．2 D．1 【答案】A 【思路引导】根据数据求出从第一次开始，输出结果为6、3、8、4、2、1，每6次一个循环，由此即可得出答案． 【规范解答】解：第1次输出的结果是， 第2次输出的结果是， 第3次输出的结果是， 第4次输出的结果是， 第5次输出的结果是， 第6次输出的结果是， 第7次输出的结果是， ……， 以此类推，从第一次开始，输出结果为6、3、8、4、2、1，每6次一个循环， ∵， ∴第2026次输出的结果为4． 3．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．下列说法正确的是（） ①大长方形的长是；②阴影A的面积是； ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【思路引导】根据图形确定大长方形的长、宽以及阴影部分的长和宽，利用长方形周长和面积公式进行计算判断． 【规范解答】解：大长方形的长可表示为；故①正确； 阴影A的长为m，宽为， ∴阴影A的面积为，故②正确； 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影与阴影的周长的和为 ， 阴影与阴影的周长的和与的取值无关．故③正确； 阴影B的面积为，故④错误； 综上所述，正确的说法是①②③． 4．（26-27七年级上·全国·开学考试）观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 【答案】C 【思路引导】观察可知第2个图在第1个图的基础上增加3个白色三角形，第3个图在第2个图的基础上增加个三角形，第4个图在第3个图的基础上增加个三角形，，第n个图在第个图的基础上增加个三角形，据此规律求解即可． 【规范解答】解：第①个大三角形中白色三角形有个， 第②个大三角形中白色三角形有个， 第③个大三角形中白色三角形有个， ， 以此类推可知，第个大三角形中白色三角形有个， ∴第⑥个大三角形中白色的三角形有个． 5．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②经过三次操作后，若，，则所有整式的值之和为10； ③经过10次操作后，将得到1025个整式． 以上三个结论正确的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路引导】抓住每次操作插入相邻两整式的平均数、两端整式不变的特点，分别验证三个结论． 【规范解答】解：初始整式为，，每次操作仅在相邻整式间插入平均数，两端整式不变． ① 第一次操作插入的平均数为， ∴ 第一次操作后整式序列为，，，共3个． ∵ 第二次操作需在相邻两组间分别插入平均数，与的平均数为，与的平均数为， ∴ 第二次操作后整式序列为，，，，，共5个． ∴ 从左往右第四个整式为， 故①正确． ② 代入，，得初始两整式的值为，． 第一次操作后三个整式的值为，，，和为． 第二次操作后五个整式的值为，，，，，和为． 第三次操作后九个整式的值为，，，，，，，，， 和为， 故②错误． ③ 设第次操作后整式个数为，初始． ∵ 每次操作后新增整式个数等于原有整式的间隔数，即， ∴ ． 计算得：，，，．．． ∴ 第次操作后整式个数为．当时，， 故③正确． 综上，正确的结论有2个． 6．（26-27七年级上·浙江绍兴·开学考试）甲、乙、丙、丁四个人参加某次数学竞赛，甲、乙两人的平均成绩为m分，他们两人的平均成绩比丙的成绩低7分，比丁的成绩高1分，那么他们四人的平均成绩为( )分． 【答案】 【思路引导】先根据甲乙的平均成绩得到甲乙总成绩，再求出丙和丁的成绩，计算四人总分数后除以4得到平均成绩. 【规范解答】解：甲、乙两人的总成绩为分， ∵ 甲、乙的平均成绩比丙低7分， ∴ 丙的成绩为分， ∵ 甲、乙的平均成绩比丁高1分， ∴ 丁的成绩为分， 四人的总成绩为 ， 四人的平均成绩为 分. 7．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）若，则_________ 【答案】 【思路引导】先从已知等式整理得到的值，将所求代数式变形后，整体代入计算即可得到结果． 【规范解答】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 把代入上式得： 原式． 8．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）观察下列一组数：，…它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n个数是_________ 【答案】 【思路引导】分别从符号、分子、分母三个方向寻找排列规律，先改写为分数形式，再归纳得到第个数的表达式． 【规范解答】解：按序号整理给出的数： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ 可归纳出规律： 符号规律：第个数的符号为，奇数项为负，偶数项为正； 分子规律：分子为连续奇数，等于； 分母规律：分母为序号的平方加，等于； ∴ 这组数的第个数是． 9．（25-26七年级上·四川广元·期末）如图，这是2026年1月的月历，其中“”形、“”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠．设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的最大值为________． 【答案】 【思路引导】“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，可得，，即可由得，进而得到，最后取b的最大值22代入计算即可求解，正确识图是解题的关键． 【规范解答】解：“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵a，b都是正整数，由日历表可知b的最大值为22， 此时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为203． 10．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）在式子（其中）中，任选两个字母，在这两个字母及它们之间的部分两侧加绝对值后再去掉绝对值并化简（不改变字母的位置），称为第一轮“绝对操作”．例如，选择，进行第一轮“绝对操作”，得到，再对第一轮“绝对操作”后得到的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，例如，选择，进行第二轮“绝对操作”，得到，…，按此方法，进行轮“绝对操作”．对原式子进行第一轮“绝对操作”后，则有___________种不同的结果；若对原式子进行四轮“绝对操作”，且每轮操作中绝对值里只含两个字母，则有___________种不同的结果． 【答案】 6 【思路引导】根据新定义“绝对操作”的规则，结合绝对值的化简，按顺序枚举所有操作后的不同结果，统计数量即可． 【规范解答】解：先计算第一轮“绝对操作”的结果数量： 原式子为，，从个字母中任选个加绝对值，共种选法，分别化简： ①选：； ②选：，当时结果为，与上述结果重复，当时结果为，得到新结果； ③选：，与第一个结果重复； ④选：，当时结果为（新结果），当时结果为（新结果）； ⑤选：，得到新结果； ⑥选：，与第一个结果重复； 综上，第一轮共得到种不同结果； 接下来计算四轮每轮绝对值含两个字母的不同结果： 第一轮操作：； 或； ； ∴第一轮操作后，得到种不同结果：，，； 第二轮操作：对于仍然有3种结果：，，； 对于：， ， ； 对于：， 或， ， ∴第二轮操作后，共得到种不同结果：，，，； 第三轮操作：对于，，，最终结果仍为4种， 对于：， ， ， ∴第三轮操作后，共得到种不同结果：，，，，； 第四轮操作：对于，，，，最终结果仍为5种， 对于：， 或， ， ∴第四轮操作后，共得到6种不同结果：，，，，，． 11．（25-26七年级上·四川广元·期末）定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路引导】（1）观察图形，易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长，同理易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长； （2）根据观察可知，图①中大长方形的长为号正方形的边长与号正方形的边长和，宽为号正方形的边长与号正方形的边长和，又知长方形的周长，即可求出号正方形的边长； （3）要求阴影部分的周长，可根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形的周长，再利用大长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出的长，从而解得阴影部分的周长． 【规范解答】（1）解：号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号正方形的边长为，号正方形的边长为． （2）解：设号正方形的边长为，号正方形的边长为， ∴号正方形的边长为，号正方形的边长为， 则图①中的长方形的长为，宽为， 长方形的周长为，即， ． 号正方形的边长为， 号正方形的边长为． （3）解：如图，由平移知识可得阴影部分的周长为长方形的周长， 由（2）可知，号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号长方形的宽为号正方形的边长减去号正方形的边长的差即：， ， 周长为的长方形的长为：，宽为， ， ， 则长方形的周长为：， 即阴影部分的周长为． 12．（26-27七年级上·全国·课后作业）某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式． (1)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (2)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (3)在食堂就餐的高峰时段，要求同时能坐下300人，上面哪种方式所需要的餐桌数较少？ 【答案】(1)摆4张桌子可坐12人，摆5张桌子可坐14人，摆n张桌子可坐人 (2)摆4张桌子可坐18人，摆5张桌子可坐22人，摆n张桌子可坐人 (3)按第二种方式所需要的餐桌数较少 【思路引导】（1）观察发现第一张餐桌上可以坐6人，每多一张餐桌，多坐2人，n张餐桌共可坐（人）； （2）观察发现第一张餐桌上可以坐6人，每多一张餐桌，多坐4人，n张餐桌共可坐（人）． （3）分别求出两种方式坐300人各需多少张桌子，再比较大小即可得解． 【规范解答】（1）解：观察发现：摆1张桌子可坐6人， 摆2张桌子可坐（人）， 摆3张桌子可坐（人）， 每增加一张桌子，增加2人， ∴摆4张桌子可坐（人）， 摆5张桌子可坐（人） 摆n张桌子可坐（人）； （2）解：观察发现：摆1张桌子可坐6人， 摆2张桌子可坐（人）， 摆3张桌子可坐（人）， 每增加一张桌子，增加4人， ∴摆4张桌子可坐（人）， 摆5张桌子可坐（人）， 摆n张桌子可坐（人）； （3）解：若按第一种方式， 由， 得， 则需要148张桌子； 若按第二种方式， 由， 得， 则需要75张桌子； ∵， ∴按第二种方式所需要的餐桌数较少． 【考点剖析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律是解决问题的关键． 13．（26-27七年级上·全国·课后作业）对于，可以用10个手指直观地展示出来：如图，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“”的结果．类似地，，……，也可以用手指直观地展示出来．请用本章学过的知识解释其中的道理． 【答案】用字母a表示这九个数中的任意一个数，设弯下去的是第个手指，则左边的手指数为，作为十位数字，右边的手指数为，作为个位数字，则组成的两位数为． 【思路引导】用字母a表示这九个数中的任意一个数，设弯下去的是第个手指，则左边的手指数为，作为十位数字，右边的手指数为，作为个位数字，根据两位数的组成规则列代数式，利用整式的加减运算法则求解即可． 【规范解答】略 14．（25-26七年级下·广东茂名·期末）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，所有支管道的总长度为米 (3)①由题意得主管道共有米，所需成本为（元）， 支管道共有米，所需成本为（元），所需固定装置成本为（元）， ， ， ， ； ②当，，时， ， ， ， ，超出了给定总预算， 支管道间距d不可以是2； 【思路引导】（1）由基地宽和支管间距得出总区域数，结合边界不需要安装支管道即可得到需要的支管道总条数； （2）代入，，算出，再计算可得支管总长； （3）①分别算出主管道、支管道、固定装置成本，把这些成本加起来可得到总成本关系式；②将，，代入求得的值，将这个值与进行比较可得支管道间距d不可以是2． 【规范解答】（1）解：由题意得基地宽度为，每间隔米划分一个灌溉区域， 总区域数为， 边界不需要安装支管道， 需要的支管道总条数； （2）解：，，， ， 所有支管道的总长度为（米）； （3）略 15．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． (1)【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 【答案】(1)①6，54；② (2) (3)铺设这样的图案，最多能铺11层．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案20层； 由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为 ， 令， ， 因为，，且为正整数， 所以最大取12，即最大取11， 所以最多可以铺设这样的图案11层． 【思路引导】（1）列出前面几层正方形和三角形个数，找出规律，利用规律求解； （2）观察前面几个式子，找出规律，利用规律求解； （3）先计算出正方形地板可以铺多少层，由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为：，令，即可求解． 【规范解答】（1）解：①第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖， 第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，， 第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，， …… 以此类推，第4层包括正方形地板砖6块，正三角形地板砖：（块）； ②由①可知，第层含有正三角形地板砖的数量为； （2）解：由题意知，； 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull