第三章 圆锥曲线与方程（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线与方程 教学目标 1. 了解圆雉曲线的实际背景，感受圆雉曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2. 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质； 3. 了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质； 4. 通过圆雉曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想； 教学重难点 1. 重点 （1）圆锥曲线的定义、方程、图形与性质； （2）直线与圆锥曲线的位置关系； 2. 难点 （1）定点与定值问题； （2）探索性与开放性问题。 知识点01 椭圆的定义 平面内与两个定点的_______________等于_______________（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的_______________，两焦点的距离叫做椭圆的_______________，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是_______________； 当时，点的轨迹_______________． 知识点02 椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 右焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 知识点03 双曲线的定义 平面内与两个定点的_______________等于_______________（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意： （1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的_______________；当时，点的轨迹是_______________． （3）时，点的轨迹_______________． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点04 双曲线的方程、图形与性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 知识点05 抛物线的定义 平面内与一个_______________和_______________的距离_______________的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的_______________，定直线叫做抛物线的_______________． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点06 抛物线的方程、图形与性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 题型01 轨迹方程 【典例1】．（26-27高二上·河南南阳·开学考试）（1）已知点到点的距离比到轴的距离大，求点的轨迹方程； （2）已知点分别为椭圆的左、右焦点，直线l经过点，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值，并求此时的直线的方程. 【变式1】．(1)在中，，边上的两条中线之和为，求的重心的轨迹方程. (2)点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹. 【变式2】．已知点，，，且. (1)求点P的轨迹方程C； (2)已知点，斜率为k的直线过点M. （i）若，且直线与曲线C只有一个交点，求k的值； （ii）已知点，直线与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线，的斜率分别为，，若为定值，求实数m的值. 【变式3】．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 题型02 圆锥曲线方程简单的几何性质 【典例2】．（26-27高二上·河南南阳·开学考试）若椭圆的焦距是2，则实数的值为（  ） A． B．5 C．3 D．3或5 【变式1】．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则_______________． 【变式2】．（26-27高三上·河南·开学考试）抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则实数的值为________． 【变式3】．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 题型03 最值问题 【典例3】．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1】．（25-26高二下·福建福州·期中）已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式2】．（2026·河南信阳·模拟预测）已知双曲线，其左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于M，N两点，则的最小值为__________. 【变式3】．（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 题型04 求标准方程 【典例4】．（26-27高二上·全国·课后作业）与双曲线共焦点，且经过点的双曲线的方程为________． 【变式1】．（26-27高二上·全国·课后作业）中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是________． 【变式2】．（25-26高二上·江苏镇江·期末）将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型05 求离心率 【典例5】．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【变式1】．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则的离心率为______. 【变式3】．（25-26高二上·上海虹口·期中）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 题型06 直线与圆锥曲线的位置关系-弦长或三角形的面积 【典例6】．已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点．若线段的中点的横坐标为，则________． 【变式1】．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在上，且的周长为16，则面积的最大值为（     ） A．6 B．12 C．16 D．24 【变式2】．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【变式3】．（25-26高二上·广西贺州·期末）已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值. 题型07 直线与圆锥曲线的位置关系-中点弦问题 【典例7】．已知双曲线：（，）的一个焦点到一条渐近线的距离为1，离心率为.设直线交双曲线的右支于、两点，交轴于点，且线段的中点为，为原点. (1)求双曲线的方程； (2)求直线的方程； 【变式1】．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 【变式2】．（25-26高二上·重庆·期末）椭圆 与直线 交于 两点，则线段 的中点为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 题型08 定点问题 【典例8】．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知抛物线与椭圆 ： 有相同的焦点，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点， ，若椭圆上存在一点 ，满足，求的值； (3)若直线 与 交于 、 两点，且 为直角，求证：直线 恒过定点． 【变式1】．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）已知椭圆的右焦点为，上一点满足轴． (1)求的方程； (2)过且斜率为的直线与交于两点． （ⅰ）记直线的斜率分别为，，求； （ⅱ）若直线分别与x轴交于点，证明：的外接圆经过异于的定点． 【变式2】．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为2，过点的直线交的右支于，两点，且当与轴垂直时，． (1)求的方程． (2)证明：点在以为直径的圆外． (3)在轴上是否存在点，使为等边三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 题型09 定值问题 【典例9】．（26-27高三上·山东·阶段检测）已知椭圆：（）的左顶点为，下顶点为，短轴长为，离心率为，是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点. (1)求的方程； (2)证明：四边形的面积为定值. 【变式1】．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）已知直线与椭圆：交于，两点（点在第一象限），点在椭圆的内部，射线，与椭圆的另一交点分别为，． (1)求点坐标； (2)求证：直线的斜率为定值； (3)求四边形面积的最大值． 【变式2】．（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，下顶点为，的短轴长为，离心率为.点是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点. (1)求的方程； (2)证明：四边形的面积为定值. 【变式3】．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知椭圆：上任意一点到它两焦点的距离之和为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，求证：为定值，并求出此定值． 题型10 最值与范围问题 【典例10】．（2026·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点． (1)求点的轨迹的方程； (2)设不过原点的直线l：与交于、两点，直线、的斜率分别为、，满足． （i）当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由； （ii）求面积的取值范围． 【变式1】．设坐标原点为，抛物线，斜率为的直线与抛物线交于，线段的中点为，直线的斜率为，满足． (1)证明：直线过定点； (2)已知直线经过在（1）的条件下的定点． ①当与抛物线有且仅有一个交点时，求的方程； ②若直线与抛物线交于的中点为，记的面积为，求的取值范围． 【变式2】．设分别是椭圆的左、右焦点． (1)若是该椭圆上的一个动点，且，求点的坐标； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 【变式3】．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知椭圆：经过点及点． (1)求的方程； (2)若点在线段（不含端点）上运动，垂直于轴的直线交于点（在轴上方），点满足，设直线与的另一个交点为． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 题型11 探索性与开放性问题 【典例11】．（26-27高一上·四川自贡·开学考试）如图，抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线表达式； (2)点是第三象限内抛物线上一点，过作轴交直线于．求的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1】．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）椭圆的离心率，过右焦点的直线与上下两个交点为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的左右顶点分别为，，直线，分别交轴于，两点，试问：与的面积比是否为定值，若为定值，证明你的结论；若不为定值，请说明理由． 【变式2】．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知抛物线，为坐标原点，直线经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，为线段中点，动直线在轴上方. (1)求抛物线的方程； (2)当线段在直线上方时，直线等分的面积，求的值； (3)点在直线上的射影为点，是否存在使得以为圆心且过点的圆过定点，若存在，求出的值及定点坐标；若不存在，请说明理由. 【变式3】．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． (1)求动点的轨迹方程； (2)是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 1．若圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·海南·期末）设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为（     ）． A． B． C． D． 3．已知点P在椭圆上，，，则的最大值是（   ） A．4 B． C． D．6 4．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）AB为过椭圆中心的弦，是椭圆的右焦点，则面积的最大值是（    ） A．bc B．ac C．ab D． 7．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 9．与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程为______． 10．已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的离心率为______. 11．已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，以线段为边作正，若椭圆与双曲线的一个交点恰好是的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和，则______. 12．（25-26高二下·广西桂林·期末）已知点，，，动点满足直线和的斜率乘积为． (1)求动点的轨迹方程； (2)直线与动点的轨迹交于，两点，其中直线的斜率大于0，且直线、的斜率之和为0，． （ⅰ）求点的坐标； （ⅱ）求的面积． 13．（25-26高二上·上海松江·期末）已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值． 14．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 15．（26-27高三上·云南·开学考试）设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 16．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·广东河源·期末）已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，且，则面积的取值范围是______． 18．（26-27高二上·全国·课后作业）已知抛物线与双曲线在第四象限的交点为，点到抛物线的准线的距离，则当取得最小值时，抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为________． 19．（26-27高三上·湖南·开学考试）已知点，，为曲线上三点（其中点为曲线上除,外任意一点），且满足． (1)求曲线的方程； (2)已知圆，曲线的上焦点为，作圆的切线交曲线于，（，），在上取点使，判断是否为定值． 20．（2026·上海杨浦·模拟预测）设与双曲线相交于不同两点. (1)若双曲线的开口比等轴双曲线的开口更开阔，求：实数的取值范围； (2)若双曲线的两条渐近线的夹角为，求：双曲线的标准方程； (3)在（2）的条件下，若，且两点都在双曲线的右支上，设线段的中点为，斜率为的直线经过点，设直线在轴上的截距为，求：的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线与方程 教学目标 1. 了解圆雉曲线的实际背景，感受圆雉曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2. 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质； 3. 了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质； 4. 通过圆雉曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想； 教学重难点 1. 重点 （1）圆锥曲线的定义、方程、图形与性质； （2）直线与圆锥曲线的位置关系； 2. 难点 （1）定点与定值问题； （2）探索性与开放性问题。 知识点01 椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 知识点02 椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 右焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 知识点03 双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意： （1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点04 双曲线的方程、图形与性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 知识点05 抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点06 抛物线的方程、图形与性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 题型01 轨迹方程 【典例1】．（26-27高二上·河南南阳·开学考试）（1）已知点到点的距离比到轴的距离大，求点的轨迹方程； （2）已知点分别为椭圆的左、右焦点，直线l经过点，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值，并求此时的直线的方程. 【答案】（1）或；（2）面积的最大值为；直线的方程为. 【难度】0.62 【知识点】求平面轨迹方程、利用抛物线定义求动点轨迹、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】(1) 距离条件要对横坐标分正负讨论，符合抛物线定义，时得到 轴负半轴，轨迹是抛物线加射线，切勿漏掉: (2) 过 轴上定点的直线，设可避开斜率不存在讨论；面积转化为，换元后用对勾函数求最值. 【详解】(1)当点横坐标大于等于时，由题意可转化为点到点的距离等于点到的距离， 设，所以点的轨迹是以为焦点，为准线，顶点在原点， 开口向右的抛物线，设其方程为，所以，， 所以点的轨迹方程为； 当点横坐标小于时，因为点到轴的距离为， 所以点在轴上，即点的轨迹方程为； 所以点的轨迹方程为或. (2)由题知，， 所以当直线与轴重合时，不满足条件， 因为直线经过点，故设直线，， 所以联立方程得，所以， 所以 令，则由对勾函数性质得函数为单调递增函数， 所以，此时，， 所以当时，的面积取得最大值，此时直线的方程为 【变式1】．(1)在中，，边上的两条中线之和为，求的重心的轨迹方程. (2)点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹. 【答案】（1）（2） 【难度】0.72 【知识点】求平面轨迹方程、利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆 【分析】（1）以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，根据给定条件，结合三角形重心定理即可求解； （2）设点，根据题意列出方程即可求解. 【详解】（1）以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，，如图所示， 设的重心，依题意，， 因此点的轨迹是以点为左右焦点，长轴长为的椭圆（除点外）， 该椭圆长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以的重心的轨迹方程为. （2）设点到直线的距离为，依题意，， 于是，化简得，即， 所以点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆，其方程为. 【变式2】．已知点，，，且. (1)求点P的轨迹方程C； (2)已知点，斜率为k的直线过点M. （i）若，且直线与曲线C只有一个交点，求k的值； （ii）已知点，直线与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线，的斜率分别为，，若为定值，求实数m的值. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【难度】0.4 【知识点】求平面轨迹方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据双曲线的性质及定义写出对应参数，即可得； （2）（i）设直线，联立双曲线方程得，讨论、，分别求直线与双曲线只有一个交点情况下对应k值；（ii）设直线，，联立双曲线并应用韦达定理，结合，韦达定理代入化简，根据定值列方程组求得参数m. 【详解】（1）由题意，点P的轨迹为双曲线，且， 所以，则点P的轨迹方程C为； （2）（i）由题设，设直线，联立双曲线，得， 所以， 当，即时，直线与双曲线只有一个交点， 当，交点为；当，交点为； 当，此时，则， 当，切点为；当，切点为； 综上，或. （ii）由题设直线， 联立双曲线方程，得，则， 故，所以①， 设，则，， 由 又，， 为定值， 所以，此时为定值. 【变式3】．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【难度】0.68 【知识点】求平面轨迹方程、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）根据抛物线焦点为，由抛物线的性质可直接求出，再求得抛物线C的方程； （2）（ⅰ）联立抛物线与直线方程，使用韦达定理得到，再根据，再求实数的值；（ii）根据三角形重心的坐标公式设点，再由韦达定理表示为的表达式，通过转化求得重心的轨迹方程. 【详解】（1）由抛物线的焦点为可得 ， 所以抛物线C的方程为. （2）（ⅰ）联立抛物线与直线的方程可得 ，整理得，故； ，，解得，． （ⅱ）由（i）得，， 设重心坐标为，则即 所以即. 题型02 圆锥曲线方程简单的几何性质 【典例2】．（26-27高二上·河南南阳·开学考试）若椭圆的焦距是2，则实数的值为（  ） A． B．5 C．3 D．3或5 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距 【详解】已知椭圆的焦距是2，因为 当焦点在轴上，，，所以，， 当焦点在轴上，，所以，， 综上或. 【变式1】．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则__________． 【答案】2 【难度】0.75 【知识点】求双曲线的焦点坐标、根据抛物线方程求焦点或准线 【详解】由双曲线，所以， 其焦点为，抛物线的焦点为． 由题意得，两边平方并整理得， 即． 因为，所以． 【变式2】．（26-27高三上·河南·开学考试）抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则实数的值为________． 【答案】2 【难度】0.75 【知识点】求双曲线的焦点坐标、根据抛物线方程求焦点或准线 【详解】因为，所以抛物线的焦点为． 因为可转化为，所以，，， 所以双曲线的焦点为． 由题意，可得，两边平方并整理， 得，即． 因为，所以方程的解只有．故实数的值为2． 【变式3】．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求二次函数的值域或最值、根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆中的最值问题 【详解】由题可知：，由椭圆性质可得：，， 设，则，且， 所以， 函数为二次函数，开口向下，对称轴为， 当或时，取得最小值，最小值为． 题型03 最值问题 【典例3】．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】将转化为，再根据抛物线的定义考虑三点共线时的情况，由此求解出的最小值. 【详解】的焦点为，准线为， 即为， 所以圆心为即为焦点，半径，显然在抛物线内部， 过点作垂直准线，交准线于点，    所以，当且仅当三点共线时取等号， 又当且仅当三点共线时取最小值， 此时最小值为， 所以的最小值为5. 【变式1】．（25-26高二下·福建福州·期中）已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】根据抛物线的定义及圆的性质可得． 【详解】解：由题可知抛物线焦点，准线方程为， 圆心为，半径为， 则． 【变式2】．（2026·河南信阳·模拟预测）已知双曲线，其左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于M，N两点，则的最小值为__________. 【答案】 【难度】0.55 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、双曲线的焦半径与焦点弦问题 【分析】利用双曲线的定义将所求距离和转化为弦长，再求过右焦点与右支相交的弦长的最小值即可，双曲线同支过焦点弦中，垂直于实轴的通径长度最短. 【详解】∵ 双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距，右焦点 ∵ 点在双曲线右支上，由双曲线定义得： ，， ∴ 两式相加得， ∵ 共线，∴ ，即，因此只需求的最小值 分两种情况讨论直线： . 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入双曲线方程得： ，解得，此时弦长 . 当直线斜率存在时，设直线方程为，代入双曲线方程整理得： ， ∵ 直线与右支交于两点，∴ ，由弦长公式推导得： ， ∵ ，∴ ，∴ 综上，的最小值为， ∴ 的最小值为 【点睛】1. 核心技巧：双曲线定义的转化是本题关键，将到左焦点的距离转化为到右焦点的距离加定值，大幅简化了最值问题。 2. 二级结论：双曲线过焦点且与同一支相交的弦中，通径（垂直于实轴的弦）最短， 【变式3】．（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 【答案】 【难度】0.68 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【详解】由题可知双曲线的实半轴长，设左焦点为， 由双曲线定义，，得， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号． 题型04 求标准方程 【典例4】．（26-27高二上·全国·课后作业）与双曲线共焦点，且经过点的双曲线的方程为________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线的焦点坐标、求共焦点的双曲线方程 【分析】设所求双曲线的方程为，再待定系数求解即可. 【详解】因为所求双曲线与双曲线共焦点， 所以，设所求双曲线的方程为． 因为方程经过点， 所以，解得或（舍去）， 所以所求双曲线的方程为． 【变式1】．（26-27高二上·全国·课后作业）中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是________． 【答案】 【难度】0.8 【知识点】等轴双曲线、根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线的焦点坐标 【详解】直线中，令，得， 所以等轴双曲线的一个焦点坐标为，所以． 因为双曲线为等轴双曲线，即，所以， 即，故等轴双曲线方程为． 【变式2】．（25-26高二上·江苏镇江·期末）将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆、平面直角坐标系中的伸缩变换 【分析】在圆上任取点，依题意得到变换之后的点，满足，反求得到，回代入圆的方程即得所求. 【详解】在圆上任取一点，将该点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到点， 则，则，因是圆上的点，故， 即，故所得曲线的方程是. 故选：A. 【变式3】．若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】直线过定点问题、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】根据直线恒过点可求出点的坐标，再分抛物线的焦点在轴上和轴上两种情况分别求出抛物线的标准方程即可． 【详解】直线的方程可化为， 因为直线恒过定点，所以解得即， 又因为抛物线过点，所以当焦点在轴上时，方程为， 当焦点在轴上时，方程为． 题型05 求离心率 【典例5】．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由双曲线方程得其一条渐近线的方程，由圆得圆心、半径，利用直线与圆相切列方程即可得． 【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，， 由圆，得，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，则，可得. 【变式1】．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】由题意可得，渐近线的斜率，所以， 因为，所以即，则离心率. 【变式2】．（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则的离心率为______. 【答案】 【难度】0.64 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】根据题意，联立方程组，求得，得到，结合双曲线的离心率的计算公式，即可求解. 【详解】联立方程组，整理得， 当时，可得， 此时方程有两个不等的实数根，不符合题意，舍去； 要使得直线与双曲线有且仅有一个公共点，则满足，即， 又由，则，可得， 所以双曲线的离心率为. 【变式3】．（25-26高二上·上海虹口·期中）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】设的内切圆半径为，结合双曲线定义与三角形面积公式推导、的关系，进而求出离心率。 【详解】设的内切圆半径为, 根据双曲线的定义，点在双曲线右支上，故，双曲线的焦距, 由三角形面积公式可得 ，，, 代入题设条件， 得 ，得 ,由于，两边约去得， 故双曲线的离心率. 题型06 直线与圆锥曲线的位置关系-弦长或三角形的面积 【典例6】．已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点．若线段的中点的横坐标为，则________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的弦长、椭圆焦半径公式及应用 【分析】设，由题设及椭圆第二定义可得答案. 【详解】由椭圆的标准方程知，，， 设，，则. 由椭圆第二定义可得：，. 所以． 【变式1】．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在上，且的周长为16，则面积的最大值为（     ） A．6 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题、椭圆中焦点三角形的面积问题 【详解】的周长为16， 所以有， 化简得. 由椭圆方程可知，，代入， 解得，， 设椭圆的短半轴长为，则， 所以，当点为椭圆上下顶点时，面积最大，最大值为. 【变式2】．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】(1) (2)4 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的焦距、求双曲线中的弦长 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到与的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，联立求解出，的值，进而求出的值，得到焦距； （2）先求出直线的方程，然后联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出即可. 【详解】（1）由题意得： ， 又，可得， ，则双曲线的焦距为． （2）双曲线的方程为， 右焦点坐标为， 设直线的斜率为． 直线的方程为：， 联立，整理得， 因 设，则 ． 【变式3】．（25-26高二上·广西贺州·期末）已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中的弦长 【分析】（1）设双曲线方程为，即可求出、，从而求出； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式得到方程，解得即可. 【详解】（1）依题意设双曲线方程为， 所以，解得，则， 所以双曲线方程为； （2）设，， 由，消去整理得， 所以，解得或， 又，， 所以， 即，解得（满足）， 所以. 题型07 直线与圆锥曲线的位置关系-中点弦问题 【典例7】．已知双曲线：（，）的一个焦点到一条渐近线的距离为1，离心率为.设直线交双曲线的右支于、两点，交轴于点，且线段的中点为，为原点. (1)求双曲线的方程； (2)求直线的方程； 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）由点到直线的距离公式可得，再由离心率可得，即可得到双曲线的方程； （2）根据题意，设，由点差法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）不妨设双曲线的一个焦点为，双曲线的一条渐近线为，即， 依题意，结合，化简得， 又离心率，所以， 所以双曲线C的方程为. （2） 设，由题意得， 又，，两式相减得， 所以， 又直线l过点，所以直线l的方程为， 即，经验证此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 【变式1】．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求椭圆中的弦长、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）先求出直线方程，然后联立直线与椭圆方程，求出坐标，进而可求出线段的长度. （2）设，然后将其代入椭圆方程中，两式相减，结合中点坐标，即可求出直线斜率，进而求出其方程. 【详解】（1）若直线的斜率为1，那么该直线方程为，即. 联立直线与椭圆方程组得，解得. 所以. 所以. （2）设，则满足，两式相减得 ，因为是线段的中点， 所以，所以， 则有，所以直线的方程为， 即，即. 【变式2】．（25-26高二上·重庆·期末）椭圆 与直线 交于 两点，则线段 的中点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】直线方程与椭圆方程联立结合韦达定理即可求解. 【详解】设，联立得， 所以，所以线段的中点的横坐标为， 代入得，所以线段的中点为. 故选：B 【变式3】．（25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抛物线的中点弦 【分析】用点差法，设出和两点坐标代入抛物线方程作差，结合中点坐标求出直线斜率，再用点斜式得到直线方程. 【详解】设，，则，由：作差得， 得，所以直线方程为，即. 故选：C 题型08 定点问题 【典例8】．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知抛物线与椭圆 ： 有相同的焦点，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点， ，若椭圆上存在一点 ，满足，求的值； (3)若直线 与 交于 、 两点，且 为直角，求证：直线 恒过定点． 【答案】(1) (2) (3)由（1）知. 设，， 因为为直角，所以，即， 其中、均与不重合. 若与轴平行，设，则、关于轴对称，设，， 由得，结合解得，， 此时与重合，不合题意，故不与轴平行，可设. 代入椭圆方程，整理得. 因为直线与椭圆交于、两个不同的点，所以判别式，即. 所以，，且，. 于是， 即，因式分解得，解得或. 当时，直线恒过点，而在椭圆上， 所以、中恰有一点与重合，不存在，不符合题意，舍去； 当时，，判别式恒成立， 直线与椭圆恒有两个不同的交点，且直线不经过点，符合题意. 所以直线恒过定点. 【难度】0.45 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据抛物线方程求焦点或准线、椭圆中的直线过定点问题、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）由抛物线的标准方程确定其焦点，从而得到椭圆的半焦距，再结合椭圆的长半轴求离心率. （2）由 可知 为线段 的中点，利用中点坐标表示出 ，再将 的坐标代入椭圆方程，即可求出 . （3）设 ，，由 得 . 先排除直线 与 轴平行的情形，再设 ，将其与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示 、，代入垂直条件化简得到 . 其中 时直线经过椭圆右顶点 ，不符合 均与 不重合的条件，因此 ，故直线 恒过定点 . 【详解】（1）抛物线的焦点为，因为抛物线与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的半焦距. 又，所以. 所以椭圆的离心率. （2）因为，所以，即为线段的中点. 又，，所以. 由点在椭圆上，得，即，解得. 又，所以. （3）略. 【变式1】．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）已知椭圆的右焦点为，上一点满足轴． (1)求的方程； (2)过且斜率为的直线与交于两点． （ⅰ）记直线的斜率分别为，，求； （ⅱ）若直线分别与x轴交于点，证明：的外接圆经过异于的定点． 【答案】(1) (2)（i）； （ii）由圆的几何性质，只需证明的外心在定直线上． 设，，的外心为， 则 记，． 则直线PA的方程为， 令得：． 同理，． 由得，，解得． 由得，， 解得． 由（ⅰ）可得，，， 所以， ． 因此， 即， 故I在定直线上， 从而的外接圆始终经过点，其中为关于的对称点． 由轴对称的性质可知，直线的斜率为，且线段的中点为直线与的交点， 联立得， 再由中点坐标公式可得． 综上，的外接圆经过异于的定点． 【难度】0.47 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由条件可得，再结合点在椭圆上，代入方程即可求解； （2）（ⅰ）设直线的方程为，联立椭圆方程，结合斜率公式即可求解；（ii）将问题转化成证明的外心在定直线上，再结合圆的对称性求解即可. 【详解】（1）记，则由轴可知，从而． 又因为，所以， 解得或（舍去）． 因此C的方程为． （2）（ⅰ）设，，直线的方程为． 由得， 所以，． ， 同理，． 所以 ． （ⅱ）略 【变式2】．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为2，过点的直线交的右支于，两点，且当与轴垂直时，． (1)求的方程． (2)证明：点在以为直径的圆外． (3)在轴上是否存在点，使为等边三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)由（1）得，，设直线的方程为，点，，联立方程整理得，则，，由直线与双曲线的右支交于，两点，得． 要证点在以为直径的圆外，只需证即可， 又，， 又，， 所以 ， 由，得， 所以， 所以，即点在以为直径的圆外． (3)不存在，理由如下： 假设在轴上存在点，使为等边三角形，设线段的中点为， 则，且， 由上，． 因为，所以直线的斜率， 所以． 又， 所以， 因为方程无解， 所以在轴上不存在点，使为等边三角形． 【难度】0.47 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中存在定点满足某条件问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由题意建立方程求得，，代入可得的方程； （2）由题意，只需证即可，设出直线方程，直线与双曲线联立方程组，由直线与双曲线的右支交于，两点，得，根据韦达定理及平面向量数量积坐标运算计算即可证明； （3）假设存在点，设线段的中点为，根据结合弦长公式建立等式得，因上述方程无解，故假设不成立. 【详解】（1）设双曲线的半焦距长为， 当直线与轴垂直时，，两点的横坐标为， 所以，解得，即， 所以， 又，，得，，， 故的方程为． （2）略 （3）略 题型09 定值问题 【典例9】．（26-27高三上·山东·阶段检测）已知椭圆：（）的左顶点为，下顶点为，短轴长为，离心率为，是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点. (1)求的方程； (2)证明：四边形的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明：由（1）可知，，，则， 则直线的方程为，令，得， 同理直线的方程为，令，得， 则，，而四边形的对角线互相垂直， 所以， 因为， ， 所以 所以， 所以四边形的面积为定值. 【难度】0.62 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据椭圆性质及，，的关系联立即可求解； （2）运用坐标法与椭圆方程代入消元，由以及椭圆方程得，通过两点式求出直线、与坐标轴的交点、，利用对角线，将四边形面积转化为，借助椭圆方程消去二次项，化简即可求解面积. 【详解】（1）由题意可得，，所以. 因为，所以， 所以的方程为. （2）略 【变式1】．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）已知直线与椭圆：交于，两点（点在第一象限），点在椭圆的内部，射线，与椭圆的另一交点分别为，． (1)求点坐标； (2)求证：直线的斜率为定值； (3)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)设，，则，， 所以， 即，整理得， 又因为在椭圆内部，所以， 所以． 同理，设，得. 相减得， 因为，所以，则， 所以直线的斜率为2，故直线的斜率为定值. (3) 【难度】0.47 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求直线与椭圆的交点坐标、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）直线方程与椭圆方程联立求解即可. （2）设，，代入椭圆方程整理得；设，同理可得，作差求得，进而得到，即可得证. （3）设：，与椭圆方程联立，结合有两个交点得到；根据弦长公式及平行线间的距离公式，结合梯形面积公式求出四边形面积，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】（1）由，整理得，解得. 又因为点在第一象限，所以，故点坐标为． （2）略 （3）设直线的方程为，根据对称性不妨设， 联立，消得，， 由，得． 则，， 所以. 又，点到直线的距离， 所以． 令， 所以， 令，易知在上为减函数， 令，即，解得， 当时，，，所以在上单调递增， 当时，，，所以在上单调递减， 所以当时，面积取最大值为. 【变式2】．（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，下顶点为，的短轴长为，离心率为.点是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点. (1)求的方程； (2)证明：四边形的面积为定值. 【答案】(1) (2)由（1）可知，. 直线的方程为，令，得. 直线的方程为，令，得. 由（1）得，， 则，， 所有， 故四边形的对角线互相垂直，所以. 因为， 所以 即，故四边形的面积为定值. 【难度】0.56 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据椭圆性质及的关系联立即可求出的方程； （2）运用坐标法与椭圆方程代入消元，设动点，由椭圆方程得，通过两点式求出直线、与坐标轴的交点、，利用对角线，将四边形面积转化为，借助椭圆方程消去二次项，化简得， 进而求得面积. 【详解】（1）由题可知，， 由可得：，解得， 故的方程为. （2）略 【变式3】．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知椭圆：上任意一点到它两焦点的距离之和为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，求证：为定值，并求出此定值． 【答案】(1) (2)①当直线，的斜率一个为0，一个不存在时， ， 将代入，得， 又，所以，因此， 此时，． ②当直线，的斜率都存在且不为0时，椭圆的左焦点， 不妨设的方程为， 联立椭圆的方程得， 其中恒成立， 设，，则，， 于是． 由，用代替m的位置可得， 此时，． 综上所述，为定值，且该定值为． 【难度】0.6 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的弦长、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据椭圆的定义得，结合离心率求出，再利用算出，即可得解； （2）分两类讨论：一是两直线一条水平一条竖直的特殊情形，直接求焦点弦长计算倒数和；二是两直线斜率均存在，设联立椭圆，用韦达和弦长公式求，利用垂直关系将替换为得到，化简倒数和消去参数证得定值，两种情形结果一致完成证明． 【详解】（1）由题意得，则，，所以， 从而椭圆C的方程为． （2）略 题型10 最值与范围问题 【典例10】．（2026·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点． (1)求点的轨迹的方程； (2)设不过原点的直线l：与交于、两点，直线、的斜率分别为、，满足． （i）当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由； （ii）求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）当变化时，是定值，定值为． 证明如下：设，， 由，得， 当时， 有，①， 因为直线、的斜率依次为、， 所以， 所以②， 由①②解得，经验证成立，所以结论成立． （ii） 【难度】0.4 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题 【分析】（1）小题利用垂直平分线的等距性质结合椭圆的定义直接写出轨迹方程； （2）（i）将直线代入椭圆，用韦达定理，把斜率条件转化为关于的等式，推导出为定值；（ii）利用三角形面积公式，代入的定值，换元后结合对勾函数单调性求出面积取值范围． 【详解】（1）由题设条件可得，，， 所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆， 又，，，所以， 故点的轨迹的方程为； （2）（i）略； （ii）， 令，得． 所以，面积的取值范围为． 【变式1】．设坐标原点为，抛物线，斜率为的直线与抛物线交于，线段的中点为，直线的斜率为，满足． (1)证明：直线过定点； (2)已知直线经过在（1）的条件下的定点． ①当与抛物线有且仅有一个交点时，求的方程； ②若直线与抛物线交于的中点为，记的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)设直线​的方程为，与抛物线联立得 ，设， 由韦达定理得，，因此线段中点的横坐标为， 代入得纵坐标为， 因为直线的斜率，代入，，. 因此直线​的方程为，当时，故​恒过定点. (2)①或或；② 【难度】0.44 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设直线​的方程为，再由根与系数关系可得点的坐标，结合条件可得，进而可得直线过定点； （2）①以直线的斜率存在和不存在两种情况讨论与抛物线仅有一个交点时斜率值，进而可得直线方程； ②设，由题意及可得，且或，或，再由根与系数关系可得，，进而可得直角三角形面积，再结合及的范围求得面积的范围. 【详解】（1）略. （2）①因为直线过定点，分两种情况讨论与抛物线仅有一个交点的情形： （1）直线斜率不存在：方程为，代入得唯一交点，符合条件； （2）直线斜率存在：设，联立得. 因为直线与抛物线仅有一个交点，所以，解得或， 当时，对应直线方程为；当时，对应直线方程为. 综上（1）（2）所述，的方程为或或. ②设，由（1）知​​，​，所以. 设​的斜率为，且直线过定点，设，联立得. 因为直线与抛物线有两个交点，所以，解得或，同理可得中点. 又由（1）知直线过定点且与抛物线有两个交点，同理得或. 由得，因为在直线上，所以，同理，因此. ， . 因为为直角三角形，面积， 因为或，或且，所以得或. 当时，， 求导得，因为，所以，， 所以，所以在上单调递增，所以. 当时，， 所以， 又因为，代入得， 因为，且，所以， 所以与的值域完全相同，即. 综上所述，的取值范围为. 【变式2】．设分别是椭圆的左、右焦点． (1)若是该椭圆上的一个动点，且，求点的坐标； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、求椭圆上点的坐标、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数、椭圆中向量点乘问题 【分析】 (1)    设出点的坐标后再根据及点在椭圆上求解出点的坐标； (2)    联立直线与椭圆的方程后根据为锐角利用向量夹角进行求解直线的斜率的取值范围． 【详解】（1）由题意知，，，，所以，， 设，则， 又，有，解得，所以； （2）显然不满足题意，设直线的方程为，设，， 联立，，解得，① ，，则， 又为锐角，则，即，， 所以， 解得，② 由①②，解得或， 所以实数的取值范围为． 【变式3】．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知椭圆：经过点及点． (1)求的方程； (2)若点在线段（不含端点）上运动，垂直于轴的直线交于点（在轴上方），点满足，设直线与的另一个交点为． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i），则直线的方程：，即， 因为，，所以，， 设的直线方程为， 联立得， ， ①，②， 直线的方程为， 将点代入得， 即， 即， ， 将①②代入得， 整理得， ， ， ， ， 解得或， 当时，直线：，恒过，不成立； 当时，直线：，恒过， 所以直线恒过定点. （ii） 【难度】0.41 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程，然后解方程即可； （2）（i）根据的坐标得到直线的方程，然后根据得到的坐标，设直线的方程，与椭圆方程联立，然后根据点在直线上列等式，得到，即可得到直线恒过定点； （ii）将四边形分割成和，然后根据点在两侧求的最大值，即可得到四边形面积的最大值. 【详解】（1）由题意得，解得，所以. （2） （i）略. （ii）， 设点到直线的距离分别为， 则， ， 因为位于直线的两侧， 所以 ， ， 由（i）得，则， 令，则， 令，则， 令，， 所以在上单调递减， 所以当，，时，取得最大值，为， 此时， 所以四边形面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线的最值问题： ①几何思路：根据几何知识判断，例如：两点之间线段最短等； ②代数思路：将需要求的转化为代数形式表示，然后走不等式或函数的思路求最值 题型11 探索性与开放性问题 【典例11】．（26-27高一上·四川自贡·开学考试）如图，抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线表达式； (2)点是第三象限内抛物线上一点，过作轴交直线于．求的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)存在，点坐标为或． 【难度】0.52 【知识点】求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）先由抛物线解析式得到与y轴交点C，求出长度，利用已知条件求出，求出坐标，代入解析式求出，进而求出抛物线表达式； （2）求出解析式，设点，计算线段的代数表达式，利用相似三角形，转化，合并得到目标函数，整理成二次函数顶点式，结合自变量范围求最大值； （3）先求抛物线对称轴，得点坐标，分两种情况讨论得出相应，汇总两种情况符合条件的坐标． 【详解】（1）与轴交于点，，． ，，， 将代入中，得， 抛物线的表达式为． （2）由（1）知：，， 设直线：，将，代入， 得，解得．． 设，则． ， 过点作于点，则，， ，， ， 又， ，， ． ，， 当时，有最大值，最大值是4． （3）存在，，抛物线的对称轴是直线， ，点关于对称轴的对称点为． ①如图1，由，可知点关于的对称点为点，． ②如图2，设，作轴，则，． ，，， 解得（舍），． ， 综上所述，点坐标为或． 【变式1】．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）椭圆的离心率，过右焦点的直线与上下两个交点为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的左右顶点分别为，，直线，分别交轴于，两点，试问：与的面积比是否为定值，若为定值，证明你的结论；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，根据题意，可设直线的方程为， 联立，整理得， 设，，则，． 得直线的方程为，直线的方程为， 又直线，分别交轴于，两点， 则，，又，，且，为轴上下两个点． 则，，． 由，得， 则． 又，所以．即与的面积比为定值． 【难度】0.53 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由椭圆的离心率和焦点坐标求解即可； （2）可设直线的方程为，联立椭圆方程，由根与系数的关系求出，即可求解． 【详解】（1）椭圆的标准方程为：． 根据题意，可得．又离心率，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为． （2）略 【变式2】．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知抛物线，为坐标原点，直线经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，为线段中点，动直线在轴上方. (1)求抛物线的方程； (2)当线段在直线上方时，直线等分的面积，求的值； (3)点在直线上的射影为点，是否存在使得以为圆心且过点的圆过定点，若存在，求出的值及定点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)，定点 【难度】0.54 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）利用抛物线标准方程的焦点坐标公式，结合直线恒过的定点与焦点重合，直接求解参数，得到抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，通过韦达定理得到交点坐标的整体关系，结合三角形面积及共线线段的纵坐标比例，将面积条件转化为与交点纵坐标的等式，进而求出； （3）用斜率参数表示圆心、半径相关点的坐标，写出圆的标准方程，将方程整理为关于参数的多项式，构造方程组即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为， 因为直线经过该抛物线的焦点， 所以，即，故抛物线的方程为. （2）已知直线与抛物线交于两点，设， 联立，消去得， 则，， 已知直线在轴上方，则， 当线段在直线上方时，记直线分别与交于点， 由三角形面积公式，有，， 所以， 解得（负值舍去）. （3）已知为线段中点，则， 由（2）知， 则，， 以为圆心且过点的圆为， 整理得， 令，解得， 即当时，以为圆心且过点的圆过定点. 【变式3】．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． (1)求动点的轨迹方程； (2)是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【难度】0.52 【知识点】求平面轨迹方程、双曲线中存在定点满足某条件问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据斜率的计算公式代入求解即可. （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，结合圆的性质、韦达定理及向量垂直的坐标表示化简求解即可. 【详解】（1）由题意知，（，否则斜率不存在）， 则，即， 整理得. 故动点的轨迹方程为. （2）易知. 当直线斜率存在时，设：. 联立，整理得， 由题意知，， 设，，则，. 以为直径的圆恒过该定点，则，即. 又 ， 则， 即，解得，故 当直线斜率不存在时，此时：，代入双曲线方程解得， 不妨设，，以为直径的圆为， 将代入中，等式成立. 综上，存在满足条件的定点，坐标为. 1．若圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】对于双曲线， 其渐近线方程为，即． 已知圆，则其圆心坐标为，半径为1． 由于圆与双曲线的渐近线相切，则，即． 由双曲线的离心率，可得． 2．（25-26高二下·海南·期末）设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的最值问题 【详解】如图， 根据椭圆的定义，， 所以，当最小时，最大， 又当轴，即为椭圆通径时，最小，为， 此时，所以，所以， 所以，. 3．已知点P在椭圆上，，，则的最大值是（   ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【难度】0.55 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】利用椭圆的定义，将转换成到另一焦点的距离，再利用线段长度的临界位置进行求解. 【详解】如图，设椭圆的左焦点为F，射线交椭圆于点C，射线交椭圆于点D， 则，等号在点P，D重合时取到． ，等号在点P，C重合时取到． 因而的最大值是，最小值是． 4．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】椭圆定义及辨析、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】设，由已知条件和椭圆定义表示出，，，由勾股定理求得与的关系，结合平行四边形的面积为12，求得答案. 【详解】如图，由，得， 由，得三点共线，连接，设， 则，，， 在中，由勾股定理得，即， 在中，由勾股定理得，化简得， 所以，即， 因为以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，所以， ，即，得， 所以，即的方程为. 5．（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 6．（2026高三·全国·专题练习）AB为过椭圆中心的弦，是椭圆的右焦点，则面积的最大值是（    ） A．bc B．ac C．ab D． 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中三角形（四边形）的面积 【详解】设椭圆中心为原点，过中心，故, =， 所以当与x轴垂直时，取得最大值， 所以的最大值是. 7．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】利用点差法即可求解. 【详解】设， 则，两式相减可得， 即. 因为弦AB的中点坐标为，所以， 所以. 易知，所以， 所以直线l的方程为，化简得. 经验证满足题意，故直线l的方程为. 故选：A. 8．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】抛物线的中点弦 【分析】设，，由点差法即可求解. 【详解】设，，则， 由：作差得， 得. 故选：A 9．与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程为______． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】先求抛物线的焦点坐标，再根据抛物线的焦点坐标求解其标准方程. 【详解】因为抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，所以直线与坐标轴的交点即抛物线的焦点，令，得；令，得，所以抛物线的焦点坐标为或． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为； 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． 10．已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【难度】0.62 【知识点】求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线向量共线比例问题 【分析】计算出，利用角平分线定理可求得，在中利用勾股定理可得出的值，再利用离心率公式可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】 渐近线的方程为，双曲线的右焦点为， 则，故， 易知轴为的角平分线，则点到直线、的距离相等， 故，故，， 由勾股定理，即，可得， 所以离心率. 11．已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，以线段为边作正，若椭圆与双曲线的一个交点恰好是的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和，则______. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用正三角形与中点条件得到焦点三角形两边长度，结合椭圆、双曲线定义分别求出离心率，再借助平方差公式化简乘积求值. 【详解】由题意，，则在椭圆中，则； 双曲线中，则； 所以. 12．（25-26高二下·广西桂林·期末）已知点，，，动点满足直线和的斜率乘积为． (1)求动点的轨迹方程； (2)直线与动点的轨迹交于，两点，其中直线的斜率大于0，且直线、的斜率之和为0，． （ⅰ）求点的坐标； （ⅱ）求的面积． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【难度】0.43 【知识点】已知两点求斜率、求平面轨迹方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）设点，可得，化简可得动点的轨迹方程； （2）（ⅰ）设直线的倾斜角为，，直线、与轴交于点，由题意得，且，从而可得直线：，与椭圆方程联立可解得点的坐标； （ⅱ）同上求出点的坐标，即可得，再求面积. 【详解】（1）设，由题意有， 化简得：，即，， 故所求动点的轨迹方程为； （2）设直线的倾斜角为，， 直线、与轴交于点， 由题意得，则， 所以，又，所以，得， 故，，    因为，所以直线：，即，     （ⅰ）联立，得， 化简得，解得或（舍去）， 故； （ⅱ）直线：，即， 联立，得， 化简得，解得或（舍去）， 故，     所以， ， 因为，所以，   故的面积是. 13．（25-26高二上·上海松江·期末）已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的实轴、虚轴、根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中的弦长 【分析】（1）根据离心率和实轴即可联立方程求解， （2）联立直线与双曲线方程，得韦达定理，即可根据弦长公式求解. 【详解】（1）由题意可得，解得，， 故双曲线的方程为； （2）联立，则， 设, 则，， 故弦长为， 解得. 14．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的焦距、根据双曲线的渐近线求标准方程、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 【详解】（1）由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 15．（26-27高三上·云南·开学考试）设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.45 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】由，设出，根据椭圆的定义可知，，在和中，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】因为，所以设，则． 由椭圆的定义，得，， 在中，， 因为，所以．① 在中，，即．② 联立①②，解得，， 又因为，所以椭圆的离心率． 16．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.52 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设椭圆，双曲线，设点在第一象限，且，根据椭圆及双曲线的定义，结合余弦定理、离心率公式列式求解即可. 【详解】如图，设椭圆，双曲线， 因为它们有相同的焦点，所以， 不妨设点在第一象限，且， 因为点在椭圆上，所以， 即，又因为， 所以，所以， 因为，所以， 又因为点在双曲线上，所以， 即，又因为， 所以，所以，可得， 所以双曲线的离心率为. 17．（25-26高二下·广东河源·期末）已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，且，则面积的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】分类讨论、所在直线与两坐标轴是否重合，求出原点到直线的距离为定值；再联立方程求出，再表示出三角形面积即可. 【详解】①当、所在直线与两坐标轴重合时，原点O到直线l的距离为； ②当直线、的斜率存在且都不为零时，设直线的方程为， 则直线OB的方程为， 联立，可得，所以， 同理可得， 所以原点到直线的距离为， 综上所述，原点到直线的距离为定值． ①当、所在直线与两坐标轴重合时，； ②当直线、的斜率存在且都不为零时，则， 令，则， 因为，所以，则，所以， 所以，所以，所以． 18．（26-27高二上·全国·课后作业）已知抛物线与双曲线在第四象限的交点为，点到抛物线的准线的距离，则当取得最小值时，抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为________． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线、抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、直线与抛物线交点相关问题 【分析】先将抛物线方程和双曲线方程联立求得点横坐标,进一步得到点到抛物线的准线的距离,再结合题干条件将表示成关于的表达式后根据的取值范围求出的最小值以及取最小值时的,即可得到抛物线焦点和双曲线的渐近线方程,再利用点到直线距离公式求解即可. 【详解】联立两曲线方程，得可得，即， 解得或(舍去)，故． 因为抛物线的准线方程为，所以点到抛物线的准线的距离， 即，可得，故． 又，所以当时，，此时取得最小值2． 此时抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为． 19．（26-27高三上·湖南·开学考试）已知点，，为曲线上三点（其中点为曲线上除,外任意一点），且满足． (1)求曲线的方程； (2)已知圆，曲线的上焦点为，作圆的切线交曲线于，（，），在上取点使，判断是否为定值． 【答案】(1) (2)是定值，定值为. 【难度】0.54 【知识点】求双曲线的轨迹方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）设点．把已知用坐标表示后化简可得； （2）若切线斜率存在，设切线的方程为，由与圆相切得．设点，，由垂直得关系，从而用表示出点坐标，代入曲线的方程求出，切线斜率不存在时，同样求出，从而计算数量积可得. 【详解】（1）设点．由题意，，，的斜率分别为，， 代入，得，     整理得． 这是焦点在轴上的双曲线，其顶点为，即点，． 因此曲线的方程为． （2）显然， 法一：若切线斜率存在，设切线的方程为，由与圆相切得．     设点，． 由可得， 解得，故．     代入双曲线可得，     展开化简得．     若斜率不存在，此时易得或，与双曲线联立解得或， 又由，点与点的横坐标相同，解得．     所以为定值．     法二：设点，因为，则可令点． 因为切线与单位圆相切，故到直线的距离为， 在中，面积， 即，     化简得．①     又在双曲线上，可得，②     ①②，得，     所以为定值．     法三：设点，，若切线斜率存在，设直线的方程为， 由与圆相切得．     联立，得， 由韦达定理，得，，     由且点在直线上，设， 代入垂直条件并结合，推导得，     平方得， 代入韦达定理及化简可得，     若斜率不存在，此时易得或，与双曲线联立解得或， 又由，点与点的横坐标相同，解得．     所以为定值．     法四：显然切线的斜率不为，设切线， 由与圆相切得．     设点，， 由可得， 解得，故．     代入双曲线可得，     展开化简得，解得（显然，负值舍去）．     所以为定值． 20．（2026·上海杨浦·模拟预测）设与双曲线相交于不同两点. (1)若双曲线的开口比等轴双曲线的开口更开阔，求：实数的取值范围； (2)若双曲线的两条渐近线的夹角为，求：双曲线的标准方程； (3)在（2）的条件下，若，且两点都在双曲线的右支上，设线段的中点为，斜率为的直线经过点，设直线在轴上的截距为，求：的取值范围. 【答案】(1)； (2)或； (3). 【难度】0.54 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、由双曲线的离心率求参数的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由双曲线离心率与双曲线开口程度关系可得答案； （2）由题设结合到角公式可得答案； （3）设 ，将直线与双曲线方程联立，然后由题设及韦达定理可得，最后由题设及不等式性质可得答案. 【详解】（1）对于双曲线，  ， 双曲线开口越开阔即双曲线离心率更大 ， 又等轴双曲线离心率为 ，   ∴ ； （2）， 从而双曲线渐近线为，斜率分别为，  ， 因双曲线的两条渐近线的夹角为 ， ， 解得：或 ， ∴双曲线的标准方程为：或 . （3）设 ， 联立消去得： ， 由题设可得 ，由韦达定理可得： ， 从而：，得.由题可得，代入坐标， 可得： ，因， 则，令，则， 注意到，则. . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $