第二章 圆与方程（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

第二章 圆与方程 教学目标 1. 理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程； 2. 能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题； 3. 通过学习本章知识点及解决相关题型锻炼逻辑思维，空间想象能力等。 教学重难点 1. 重点 （1）圆的轨迹方程； （2）直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系； 2. 难点 （1）与圆有关的最值问题、对称问题； （2）圆的弦长、切线问题。 知识点01 圆的方程 1、圆的三种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 知识点02 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 知识点03 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交 2．直线与圆的位置关系判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 知识点04 圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相离； 两圆外切； 两圆相交 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 知识点05 关于圆的切线几个重要的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 题型01 圆的方程 【典例1】．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.88 【知识点】求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由直径的两个端点确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可． 【详解】线段的中点为，故圆心为． 又，所以． 因此所求圆的标准方程为． 【变式1】．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先由圆的对称性推出圆心在已知直线上，得到与的和为定值，再通过基本不等式求目标式的最小值. 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 【变式2】．在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】求圆的一般方程 【详解】设的外接圆的方程为（）， 则，解得， 所以的外接圆方程为． 【变式3】．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】根据给定条件，求出线段的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径即可. 【详解】线段的中点，直线的斜率为， 则线段的中垂线的斜率为，所以线段的中垂线方程为， 即，由，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 题型02 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 【典例2】．（25-26高二上·浙江温州·期末）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的一般方程的要求列不等式求解即可. 【详解】方程表示一个圆，则，解得. 故选：D. 【变式1】．（2025·江西景德镇·模拟预测）“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据方程表示圆求出参数范围，再由充分条件，必要条件的定义判断即可. 【详解】化成标准方程， 所以，解得或， 因为或推不出，可以推出或， 所以方程表示圆是的必要不充分条件. 故选：B. 【变式2】．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的一般方程特征列出关系式求解后，再代回检验即可. 【详解】若曲线表示圆，则，解得或. 检验： 若，则曲线，整理得，不能表示圆，故舍去； 若，则曲线，整理得，可以表示圆，故保留. 故选：A. 【变式3】．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）方程表示圆，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的一般方程的定义计算判断. 【详解】因为方程表示圆， 则或. 故选：A. 题型03 点与圆的位置关系 【典例3】．（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、既不充分也不必要条件 【分析】求出点在圆外部满足的充要条件，据此求解即可. 【详解】若点在圆外部， 则，解得或， 所以“”是“点在圆外部”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 【变式1】．（25-26高二上·山东济宁·期中）若点在圆O：的外部，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】点与圆的位置关系求参数 【分析】利用点在圆的外部满足不等式求解即可. 【详解】由点在圆O：的外部， 则， 解得：或, 所以实数a的取值范围是或, 故选：C. 【变式2】．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知点在圆内，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】根据二次方程表示圆以及点在圆内，列出不等式，即可求得答案. 【详解】由于圆，即， 故满足，则； 又点在圆内，故， 即，解得， 综上所述可知， 故答案为： 【变式3】．（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】由点与圆位置关系的表示结合圆的定义列方程组即可求解. 【详解】由题可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 题型04 直线与圆的位置关系 【典例4】．（2026·北京·高考真题）若直线与圆相切，则________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【详解】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得， 解得. 【变式1】．（2026·天津东丽·二模）若过点的直线l与圆只有一个公共点，则l的斜率为______． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】确定给定圆的圆心及半径，再利用直线与圆相切求出斜率. 【详解】圆的圆心，半径， 点在圆外，而直线与圆相交， 依题意，直线与圆相切，且斜率存在，设其方程为， 由，解得，所以的斜率为. 【变式2】．（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由直线与圆的位置关系列出方程求解即可. 【详解】因为圆的圆心，半径， 由题意可得， 整理得， 解得. 【变式3】．（2026·北京·模拟预测）若直线与圆无公共点，则（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【难度】0.8 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【详解】由得，则圆心，半径. 因为直线与圆无公共点， 所以圆心到直线的距离， 即，化简得，，解得，或. 题型05 弦长与面积问题 【典例5】．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知直线与圆相交于两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】三角形面积公式及其应用、求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦 【分析】先求圆心到直线的距离，再由垂径定理计算弦长，最终代入三角形面积公式求解． 【详解】圆 的圆心为 ，半径 ， 直线 可化为 ， 圆心 到直线的距离为，设直线与圆交于两点， 则弦长 因此 的面积为． 【变式1】．（2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】根据直线过定点，结合弦长公式计算即可． 【详解】由可变形为，则该直线过定点， 又可变形为，该圆的圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，则， 所以当直线与直线垂直，即最大时，最小， 又的最大值为,所以， 故的最小值为． 【变式2】．（26-27高三上·福建莆田·开学考试）直线被圆所截得的弦长为_____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点弦 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式计算求解即可. 【详解】圆可化为 所以圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为. 【变式3】．（25-26高三下·河北衡水·期中）已知直线，圆，若圆截直线所得两段弧长之比为，则_________． 【答案】0或. 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】利用圆的性质可得圆心到直线的距离为半径的一半，然后利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由圆知，，半径. 由圆截直线所得两段弧长之比为知，两段弧所对的圆心角为和， 根据圆的弦长相关性质可知，圆心到直线的距离. 根据点到直线的距离公式知，，所以， 平方整理得，即，解得或. 题型06 切线、切线长与切点弦问题 【典例6】．已知圆C：，直线m的倾斜角为且与圆C相切，则切线m的方程为 ____________________． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 【分析】根据已知条件，先设出直线m的方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解． 【详解】由直线m的倾斜角为，设直线m的方程为，即， 而圆C：的圆心，半径， 由直线m与圆C相切，得，解得或， 所以切线m的方程为或. 故答案为：或. 【变式1】．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、过圆外一点的圆的切线方程、切点弦及其方程 【分析】确定两个切点坐标，得到直线方程，结合点到线距离公式即可求解. 【详解】 如图，其中一条切线为轴，设切点为． 设另一条切线的方程为，由到切线的距离为2， 得，解得． 所以的方程为． 联立， 消去化简的：， 解得，故， 即，所以． 所以的方程为：，即：． 所以的最小值为点到直线的距离，即． 【变式2】．（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、已知切线求参数 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 【变式3】．（24-25高二下·河南·阶段检测）已知直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、已知切线求参数 【分析】圆的方程化为标准式并确定圆心和半径，根据直线与圆相切及点线距离公式列方程求参数. 【详解】由，则， 所以圆心，半径，， 由题设，则. 故选：A. 题型07 最值问题 【典例7】．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知实数满足方程，求的最大值和最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.64 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据题意，把转化为圆上一点与原点连线的斜率，设，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由方程，可化为， 表示以为圆心坐标､为半径的圆， 由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设，即， 如图所示，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 此时，解得，所以的最大值为，最小值为. 【变式1】．（2026·重庆渝中·三模）在平面直角坐标系中，为两不同的动点，以为直径的圆与直线相切，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【难度】0.62 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据点在圆上得出最小时只需往直线作垂线所得垂线段为直径，利用点到直线的距离公式可得. 【详解】因为是直径，，所以点在圆上， 过作垂直直线，垂足为， 因为圆与直线相切，所以最小，只需为圆的直径即可， 到直线的距离， 则的最小值为 【变式2】．（2026·吉林长春·模拟预测）已知圆的方程为，圆的方程为，直线与圆相切，与圆交于两点，则的最小值为________． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】两圆圆心，，半径，算出圆心距；由切圆知，到距离恒为，推出到距离；根据弦长公式，越大弦长越小，代入，求得． 【详解】 圆的圆心，半径, 圆的圆心，半径, ， 直线与圆相切，即定点到直线的距离恒等于， 设圆心到直线的距离为， 由定点到定距离的直线，到的距离， 则，即， 解得， 所以， 越大，越小，即取最大值时，最小， ． 【变式3】．（2026·安徽合肥·模拟预测）圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 【答案】2 【难度】0.7 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦 【分析】求出圆心到直线距离的范围，再由弦长、半径、圆心距之间的关系求解. 【详解】因为圆， 所以圆心为，半径， 所以圆心到直线：的距离 ， 因为，所以， 又， 所以当时，. 题型08 圆与圆的位置关系 【典例8】．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 【变式1】．（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【难度】0.9 【知识点】求平面两点间的距离、由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而， 所以圆与圆内切. 【变式2】．（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.6 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数 【分析】解法一：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合辅助角公式，正弦函数的性质即可求解． 解法二：先根据圆与圆的位置关系得到，令，从而得到关于的一元二次方程，再结合，求解即可． 解法三：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合求解即可． 【详解】解法一：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，，（其中为参数）， 则（其中）． 解法二：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，则，代入， 整理得， 由，解得， 所以，所以． 解法三：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，， 又，则， 当且仅当，共线，且时，即，取得最大值． 【变式3】．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 【答案】2 【难度】0.55 【知识点】垂直关系的向量表示、由圆的位置关系确定参数或范围、相交圆的公共弦方程 【分析】利用两圆的相交关系，求出相交弦方程，再由已知及点线距离公式列方程求参数r. 【详解】由圆，得圆心为，半径， 由圆，得圆心为，半径为， 所以两圆的圆心距， 两圆方程相减，得公共弦的方程：， 化简得，则到直线的距离为， 要使两圆相交，需使,解得， ，可得，因，则， 由，解得，满足， 因此的值为. 题型09 两圆公共弦、公切线问题 【典例9】．已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】圆的弦长与中点弦、判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】先用两圆方程相减得到公共弦方程，再用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后用勾股定理即可求解. 【详解】圆 ，圆心为，半径为； 圆 ，圆心为，半径为； 圆心距， 因为，所以两圆相交. 两圆方程相减得公共弦方程为：，即， 故圆心到公共弦的距离， 公共弦长为：. 【变式1】．（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为______. 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线长 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    【变式2】．（2026·重庆·三模）已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由相切性质可计算出圆的半径的最小值，则可求出点坐标，即可得其标准方程. 【详解】设圆C的半径为，则，即， 则当圆的半径最小时，， 如图1，圆心在过点且与直线垂直的线段上， 即在上，设， 则，解得， 则，又，故其标准方程为. 【变式3】．（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】两圆的公共弦长 【分析】两圆方程相减，求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式求出到直线AB的距离，根据几何法求弦长即可. 【详解】由两圆方程相减即得， 此为公共弦AB所在的直线方程. 圆的圆心，半径. 到直线AB的距离为， 故公共弦长. 题型10 综合应用 【典例10】．（25-26高二上·上海虹口·期中）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 【答案】(1) 定点的坐标为； (2) 弦中点的轨迹方程为（圆内部的部分）； (3) 弦长度的最小值为，对应的。 【难度】0.72 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数、求平面轨迹方程 【分析】（1）分离参数求直线恒过定点； （2）利用垂径定理的垂直关系推导中点轨迹； （3）结合弦长公式与距离最值求最短弦长及对应参数. 【详解】（1） 对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ， 展开并配方得，该轨迹为圆内部的圆弧. （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 【变式1】．已知圆，A，B为圆O与x轴的两交点，，为圆在A，B处的切线，P为圆上异于A，B的动点，过P的切线交，于C，D，直线与交于． (1)求m，n关系； (2)设，的最小值为，求a． 【答案】(1) (2) 【难度】0.52 【知识点】求二次函数的值域或最值、轨迹问题——圆 【分析】（1）设，，结合圆方程可知P处切线，从而得到，，表示出直线的方程，再令两式相等可求解. （2）结合（1）可知点的轨迹方程，表示出，结合二次函数知识可求解. 【详解】（1）    取，，则，． 设，P处切线． 与；与． 直线；直线． 令两式相等：， 化简得：，即， 代回直线得：． 故，即，， 故：． （2）由（1）可知M在椭圆上（去掉长轴端点）． 设，，，． 对称轴．当时，． 此时，对应，最小值可取到． 【变式2】．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知直线与直线 (1)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； (2)若点，点为直线过的定点，点为直线过的定点，圆是以为直径的圆.求过点的直线与圆相交的斜率范围. 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）先代入点求得，再分截距为0与不为0两类，分别用斜截式、截距式求解直线方程. （2）先通过分离参数法求两直线的定点，确定圆的方程，再设直线斜率，利用圆心到直线的距离不大于半径列不等式，求解斜率的取值范围. 【详解】（1）将代入， 得，故. 当直线过原点时，设方程为，代入得，方程为. 当直线不过原点时，设方程为，代入， 得，所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. （2）对，整理为， 令，故定点. 对，令得，故定点. 圆以为直径，圆心为，半径，方程为. 设过的直线为，即. 由相交条件得，， 两边平方并化简得， 解得或， 所以斜率范围是. 【变式3】．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知点，点），点P满足，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的标准方程，并指出曲线C是什么曲线； (2)点，判断以点E为圆心，2为半径的圆E与曲线C的位置关系；若相交，设交点分别为F，G，求四边形AFEG的面积. 【答案】(1)，是圆心为点，半径为2的圆 (2) 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程、判断圆与圆的位置关系、两圆的公共弦长 【分析】（1）根据两点距离公式和已知条件列出等式化简即可. （2）根据两圆的圆心距判断圆与圆的位置关系，然后根据交点坐标求出四边形的面积即可. 【详解】（1）因为点P满足，所以，所以. 设，因为，点， 所以， 化简得，即. 曲线C是圆心为点，半径为2的圆. （2）由（1）知，曲线C是圆心为，半径为2的圆.设圆心为D，又， 则. 因为圆E的半径为2， ，所以圆D与圆E相交. 因为圆E的方程为，即， 圆D的方程为， 所以两圆方程相减，得直线的方程为. 因为点E到直线的距离为，所以， 所以的面积为. 因为点到直线的距离为， 所以的面积为. 因为点A，E在直线两侧，所以四边形的面积为. 1．数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.67 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】先根据中点坐标公式求出三角形三边中点坐标，再将中点坐标代入所设九点圆方程，联立方程组求解出方程系数，进而得到九点圆方程. 【详解】已知，，，由中点坐标公式可得： 中点，中点，中点， 设的九点圆方程为， 则，解得， 所以的九点圆方程为， 由圆心为，半径可得： 圆心，半径， 即． 2．若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据二元二次方程表示圆的判别式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 3．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知方程表示圆，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】化简为圆的标准方程，再根据半径平方大于零即可求解． 【详解】将方程配方，得， 因为方程表示圆，所以半径的平方，解得，即的取值范围是． 故选：D． 4．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.8 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 5．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】点与圆的位置关系求参数 【分析】直接将点的坐标代入结合点与圆的位置关系求解即可. 【详解】因为点在圆内部， 所以，解得. 故选：C. 6．（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】直线与圆相交转化为圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交， 所以，化简得. 7．（26-27高三上·重庆·开学考试）若直线将圆分成两段弧，则优弧长度与劣弧长度的比值为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】弧长的有关计算、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点弦 【详解】由圆，得圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 记直线与圆相交两点为，则弦长， 因为，所以， 所以劣弧所对圆心角为，优弧所对圆心角为， 由于弧长与对应圆心角成正比， 所以优弧长度与劣弧长度的比值为. 8．（24-25高二下·贵州毕节·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解. 【详解】由得， 直线经过定点，如图， ， 当直线与半圆相切时，， 所以恰有两个公共点时，由图可知，， 故选：D． 9．（2025·山西晋中·模拟预测）若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、已知切线求参数 【分析】根据题意有半径且与圆心的距离，结合及二倍角余弦公式求. 【详解】由，则圆心，半径， 所以与圆心的距离， 所以，则. 故选：B 10．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值. 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 11．（25-26高三上·上海青浦·期末）设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质可得，再利用圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径， 由切圆于点，得，而，则， 即，因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹方程是. 故答案为： 12．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径，列绝对值不等式求解即可 【详解】由题意得圆C的标准方程为 ， 可得圆心坐标为，圆的半径 而直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于圆的半径，即 ， 由题意得 ，得到， 整理得，解得 ， 因此实数的取值范围为. 13．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为__________． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 【分析】根据题意，得到直线的斜率为，设所求直线的方程为，结合圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 设所求直线的方程为，即， 由圆，可得圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆相切，可得，解得， 所以所求直线的方程为或. 故答案为：或. 14．（24-25高二上·天津武清·期中）若直线与圆相切，则实数________． 【答案】0或 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，根据圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果. 【详解】由可得：， 所以圆心为，半径为2， 由题意可得：， 解得：或， 故答案为：0或 15．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 【答案】 【难度】0.64 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据题意，利用待定系数法，求得圆的标准方程，结合直线与圆的位置关系，以及圆的性质，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 可得，解得：， 所以圆的标准方程为. 又因为圆到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以的最小值为. 16．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数 【分析】先求出圆心和半径，再结合公切线的条数得到两个圆的位置关系，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】由题意得圆心，半径，，， 因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离， ，， 即，解得， 则的取值范围为． 17．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线方程 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 18．曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数、求点关于直线的对称点、圆的公切线方程 【分析】易知，设上一点，利用点关于直线对称的问题求出方程，结合圆与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】， 所以曲线是圆心为原点，半径为1的圆在x轴上方的部分， 又与的图形关于直线对称， 设上一点，该点关于直线对称的对称点为， 则的中点在直线上，且直线的斜率与直线的斜率之积为， 所以，解得，即， 代入方程，得，即（只是该圆的一部分），如图， 易知与的公切线，所以，结合图，设， 所以点到直线的距离为，解得， 所以与的公切线为. 故选：B 19．（2026·江苏无锡·三模）已知圆：，圆：，M，N分别是圆，上的动点，P是轴上的动点，则的最小值为___________. 【答案】/ 【难度】0.52 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标与半径，再求出圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即为的最小值. 【详解】作出图形，如图所示： 圆关于轴的对称圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为， 由图象可知当三点共线时，取得最小值，同时取得最小值， 所以的最小值为. 20．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线长 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 21．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知圆与圆． (1)若圆与圆D相交，求的取值范围． (2)若，求圆与圆所得的公共弦长； 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】（1）根据两圆的位置关系，转化为公式，即可求解； （2）首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】（1）圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为3，则， 由圆与圆D相交得，，解得 所以的取值范围是； （2）当时，圆， 圆C与圆D的方程相减整理得， 所以圆C与圆D的公共弦所在直线方程为， 点到直线距离为， 所以公共弦长为； 22．（25-26高二上·陕西安康·期中）已知圆，圆. (1)若与相交，求的取值范围； (2)若与存在公共弦，且圆心到公共弦所在直线的距离为，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由圆的位置关系确定参数或范围、相交圆的公共弦方程 【分析】（1）根据条件，先求出两圆的圆心和半径，再利用圆与圆的位置关系，即可求解； （2）先求出两圆的公共弦，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为与相交，则，又， 所以，解得， 所以的取值范围为. （2）由和，作差得到， 所以两圆公共弦方程为， 由题有，整理得到，解得，又， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 圆与方程 教学目标 1. 理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程； 2. 能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题； 3. 通过学习本章知识点及解决相关题型锻炼逻辑思维，空间想象能力等。 教学重难点 1. 重点 （1）圆的轨迹方程； （2）直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系； 2. 难点 （1）与圆有关的最值问题、对称问题； （2）圆的弦长、切线问题。 知识点01 圆的方程 1、圆的三种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为_________，半径为_________. （2）圆的一般方程：，圆心坐标为_________，半径_________. （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 知识点02 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系： ①点P在_________； ②点P在_________； ③点P在_________． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 知识点03 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有3种，_________、_________和_________. 2．直线与圆的位置关系判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则__________________： 直线与圆_________，交于两点，； 直线与圆_________； 直线与圆_________. （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆_________； 直线与圆_________； 直线与圆_________． 知识点04 圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆_________； 两圆_________； 两圆_________； 两圆_________； 两圆_________（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 两组实数解 公切线条数 知识点05 关于圆的切线几个重要的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 题型01 圆的方程 【典例1】．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【变式2】．在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 【变式3】．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________． 题型02 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 【典例2】．（25-26高二上·浙江温州·期末）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025·江西景德镇·模拟预测）“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【变式2】．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 【变式3】．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）方程表示圆，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 题型03 点与圆的位置关系 【典例3】．（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】．（25-26高二上·山东济宁·期中）若点在圆O：的外部，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【变式2】．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知点在圆内，则实数m的取值范围是__________. 【变式3】．（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 题型04 直线与圆的位置关系 【典例4】．（2026·北京·高考真题）若直线与圆相切，则________． 【变式1】．（2026·天津东丽·二模）若过点的直线l与圆只有一个公共点，则l的斜率为______． 【变式2】．（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 【变式3】．（2026·北京·模拟预测）若直线与圆无公共点，则（     ） A．或 B． C． D．或 题型05 弦长与面积问题 【典例5】．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知直线与圆相交于两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 【变式1】．（2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 【变式2】．（26-27高三上·福建莆田·开学考试）直线被圆所截得的弦长为_____． 【变式3】．（25-26高三下·河北衡水·期中）已知直线，圆，若圆截直线所得两段弧长之比为，则_________． 题型06 切线、切线长与切点弦问题 【典例6】．已知圆C：，直线m的倾斜角为且与圆C相切，则切线m的方程为 ____________________． 【变式1】．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 【变式2】．（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（24-25高二下·河南·阶段检测）已知直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D．0 题型07 最值问题 【典例7】．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知实数满足方程，求的最大值和最小值（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·重庆渝中·三模）在平面直角坐标系中，为两不同的动点，以为直径的圆与直线相切，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【变式2】．（2026·吉林长春·模拟预测）已知圆的方程为，圆的方程为，直线与圆相切，与圆交于两点，则的最小值为________． 【变式3】．（2026·安徽合肥·模拟预测）圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 题型08 圆与圆的位置关系 【典例8】．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式1】．（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式2】．（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 题型09 两圆公共弦、公切线问题 【典例9】．已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 【变式1】．（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为______. 【变式2】．（2026·重庆·三模）已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 题型10 综合应用 【典例10】．（25-26高二上·上海虹口·期中）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 【变式1】．（2027高二·全国·专题练习）已知圆，A，B为圆O与x轴的两交点，，为圆在A，B处的切线，P为圆上异于A，B的动点，过P的切线交，于C，D，直线与交于． (1)求m，n关系； (2)设，的最小值为，求a． 【变式2】．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知直线与直线 (1)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； (2)若点，点为直线过的定点，点为直线过的定点，圆是以为直径的圆.求过点的直线与圆相交的斜率范围. 【变式3】．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知点，点），点P满足，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的标准方程，并指出曲线C是什么曲线； (2)点，判断以点E为圆心，2为半径的圆E与曲线C的位置关系；若相交，设交点分别为F，G，求四边形AFEG的面积. 1．数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知方程表示圆，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 7．（26-27高三上·重庆·开学考试）若直线将圆分成两段弧，则优弧长度与劣弧长度的比值为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 8．（24-25高二下·贵州毕节·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·山西晋中·模拟预测）若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 11．（25-26高三上·上海青浦·期末）设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是__________. 12．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 13．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为__________． 14．（24-25高二上·天津武清·期中）若直线与圆相切，则实数________． 15．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 16．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 18．曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 19．（2026·江苏无锡·三模）已知圆：，圆：，M，N分别是圆，上的动点，P是轴上的动点，则的最小值为___________. 20．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为__________． 21．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知圆与圆． (1)若圆与圆D相交，求的取值范围． (2)若，求圆与圆所得的公共弦长； 22．（25-26高二上·陕西安康·期中）已知圆，圆. (1)若与相交，求的取值范围； (2)若与存在公共弦，且圆心到公共弦所在直线的距离为，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $