专题3.3 直线与椭圆的位置关系（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题3.3 直线与椭圆的位置关系（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 点与椭圆的位置关系】 1 【题型2 直线与椭圆的位置关系的判定】 2 【题型3 根据直线与椭圆的位置关系求参数】 3 【题型4 椭圆的弦长问题】 4 【题型5 椭圆的“中点弦”问题】 5 【题型6 椭圆中的三角形（四边形）面积问题】 5 【题型7 椭圆中的参数范围及最值】 6 【题型8 椭圆中的定点、定值问题】 8 【题型9 椭圆中的定直线问题】 10 【题型10 椭圆中的向量问题】 11 知识点1 点与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 【题型1 点与椭圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【变式1-1】（24-25高二上·四川广安·阶段练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·吉林四平·阶段练习）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·全国·课堂例题）已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 知识点2 直线与椭圆的位置关系 1．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点； Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点. 【题型2 直线与椭圆的位置关系的判定】 【例2】（24-25高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式2-1】（24-25高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【变式2-2】（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【变式2-3】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【题型3 根据直线与椭圆的位置关系求参数】 【例3】（24-25高二上·江西·阶段练习）若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·福建福州·期末）已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（    ） A． B．2 C．3 D．3.9 【变式3-2】（24-25高二上·浙江温州·期中）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·河南·期中）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点3 弦长与“中点弦”问题 1．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点，则或. 2．“中点弦问题” (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)，得， ①-②可得+=0， 设线段AB的中点为，当时，有+=0. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 【题型4 椭圆的弦长问题】 【例4】（24-25高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【变式4-1】（24-25高二上·浙江温州·期中）直线：在椭圆上截得的弦长是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025高二上·江苏·专题练习）已知椭圆的左焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．若直线垂直于轴，则 B． C．若，则直线的斜率为 D．若，则 【题型5 椭圆的“中点弦”问题】 【例5】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·湖北·阶段练习）过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为线段的中点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，线段中点的坐标为，则此椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·北京·阶段练习）设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【题型6 椭圆中的三角形（四边形）面积问题】 【例6】（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）设椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别是，直线与交于两点，若的面积是的面积的2倍，则（    ） A． B． C． D．或 【变式6-2】（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知椭圆（）的离心率为，右焦点为，点 (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为的直线与椭圆交于，两点，若是以为顶点的等腰三角形，求的面积 【变式6-3】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知椭圆过点，且离心率． (1)求椭圆的方程； (2)已知、是椭圆的左、右焦点，是第一象限内椭圆上的一点，分别连接并延长交椭圆于点分别表示和的面积，求的最大值． 【题型7 椭圆中的参数范围及最值】 【例7】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）椭圆上的点到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A.若存在直线l与椭圆交于不同的两点B，C，的重心为F，则l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·广东清远·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过原点作一条垂直于l的直线交于两点，求的取值范围． 【变式7-3】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线分别交椭圆于点，连接，若的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)当轴，求的面积； (3)若分别记的斜率分别为，求的最大值. 知识点4 椭圆中的定点、定值、定直线问题 1．椭圆中的定点、定值问题 椭圆中的定点、定值问题一般与椭圆的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 4．椭圆中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型8 椭圆中的定点、定值问题】 【例8】（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知椭圆：（）的长轴长是短轴长的3倍，左、右焦点分别为，．且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的右顶点，，是椭圆上不同的两点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点． 【变式8-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的动弦过椭圆C的右焦点F，当垂直x轴时，椭圆C在A，B处的两条切线的交点为M． (1)求点M的坐标． (2)若直线的斜率为，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为，直线与椭圆C交于P，Q两点，证明：为定值． 【变式8-2】（24-25高二上·陕西安康·期中）已知椭圆：经过点，且离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于点，，且线段的中点为，求的方程； (3)过动点作的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 【变式8-3】（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）已知过点的直线与椭圆交于两点．当直线垂直于轴时，． (1)求的方程． (2)探究是否存在实数，使得为定值．若存在，求出该定值；若不存在，说明理由． 【题型9 椭圆中的定直线问题】 【例9】（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 【变式9-1】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 【变式9-2】（24-25高二上·黑龙江·期中）已知椭圆的右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点（其中点在轴的上方），点，分别为椭圆的左、右顶点. (1)若的垂直平分线交轴于点，为坐标原点.求的取值范围； (2)若直线和相交于点，试探究能否在一条定直线上运动？若能，求出的值，若不能，请说明理由. 【变式9-3】（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆的离心率为，其上顶点与两焦点连线围成的三角形面积为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，试用含的代数式表示； (3)在（2）的条件下，为椭圆左顶点，过点作垂直于轴的直线与直线相交于点，证明：线段的中点在定直线上． 【题型10 椭圆中的向量问题】 【例10】（24-25高二上·重庆·期中）椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式10-1】（2025·四川·模拟预测）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（   ） A． B． C．1 D． 【变式10-2】（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）已知曲线的左、右焦点分别为、，是曲线上一动点. (1)求的周长； (2)过的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程. 【变式10-3】（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知椭圆的半焦距，离心率，且过点为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆分别交于不同的两点，若，求的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 直线与椭圆的位置关系（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 点与椭圆的位置关系】 1 【题型2 直线与椭圆的位置关系的判定】 3 【题型3 根据直线与椭圆的位置关系求参数】 5 【题型4 椭圆的弦长问题】 7 【题型5 椭圆的“中点弦”问题】 10 【题型6 椭圆中的三角形（四边形）面积问题】 13 【题型7 椭圆中的参数范围及最值】 16 【题型8 椭圆中的定点、定值问题】 22 【题型9 椭圆中的定直线问题】 27 【题型10 椭圆中的向量问题】 33 知识点1 点与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 【题型1 点与椭圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【解题思路】将点代入椭圆即可求解. 【解答过程】由于，所以在内， 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二上·四川广安·阶段练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据点在椭圆外部得不等式，解不等式得结果. 【解答过程】因为点在椭圆的外部， 所以,解得, 故选：B. 【变式1-2】（24-25高二上·吉林四平·阶段练习）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据点和椭圆位置关系的判断方法，分别把点的坐标代入椭圆方程的左侧部分，计算其数值大于的点即为答案. 【解答过程】由椭圆方程为， 因为，所以点在椭圆内部，A错误； 因为，所以点在椭圆内部，B错误； 因为，所以点在椭圆外部，C正确； 因为，所以点在椭圆内部，D错误. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高二上·全国·课堂例题）已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【答案】A 【解题思路】由直线与圆没有公共点得，再利用放缩法得，可判断点与椭圆的位置关系. 【解答过程】直线与圆没有公共点， 圆心到直线的距离，即， ， 又， 点在椭圆内部. 故选：A. 知识点2 直线与椭圆的位置关系 1．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点； Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点. 【题型2 直线与椭圆的位置关系的判定】 【例2】（24-25高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解题思路】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【解答过程】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【解题思路】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【解答过程】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解. 【解答过程】由消去y并整理得：，显然， 因此方程组有两个不同的解， 所以与相交. 故选：A. 【变式2-3】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【解题思路】首先判断直线所过的定点，再判断定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系. 【解答过程】直线：， 令，解得：，， 所以直线恒过定点， ，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切. 故选：D. 【题型3 根据直线与椭圆的位置关系求参数】 【例3】（24-25高二上·江西·阶段练习）若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用直线方程和椭圆方程后利用判别式可求的取值范围. 【解答过程】由可得， 故，故或， 故选：D. 【变式3-1】（24-25高二上·福建福州·期末）已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（    ） A． B．2 C．3 D．3.9 【答案】A 【解题思路】由椭圆与直线相切，得，解不等式组对比选项即可得解. 【解答过程】联立椭圆方程与直线方程得，化简并整理得， 依题意，，整理得， 因为，所以，解得， 对比选项可知的值不可能是. 故选：A. 【变式3-2】（24-25高二上·浙江温州·期中）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直线l和椭圆C有公共点，联立直线方程和椭圆方程消去y便可得到关于x的一元二次方程，方程有解，从而有判别式，即可解出m的取值范围． 【解答过程】直线代入椭圆方程消去y得：； ∵直线与椭圆有公共点，方程有解， ∴； 解得，即m的取值范围为. 故选：A. 【变式3-3】（24-25高二上·河南·期中）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】出及的图像，结合图像即可求解. 【解答过程】由题意，表示焦点在轴上的椭圆的上半部分，且左顶点为， 当直线经过点时，，当直线与椭圆相切时， 由，得， 所以，解得（负根舍去），当直线与半椭圆有两个交点时， 根据图象，的取值范围为. 故选：A. 知识点3 弦长与“中点弦”问题 1．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点，则或. 2．“中点弦问题” (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)，得， ①-②可得+=0， 设线段AB的中点为，当时，有+=0. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 【题型4 椭圆的弦长问题】 【例4】（24-25高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】先求得直线故直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【解答过程】解：在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 【变式4-1】（24-25高二上·浙江温州·期中）直线：在椭圆上截得的弦长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】联立直线与椭圆方程得到关于的一元二次方程，根据韦达定理以及弦长公式可求解出结果. 【解答过程】设与椭圆交于， 联立可得， 且，， 所以， 故选：D. 【变式4-2】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】依题写出直线的点斜式方程,与椭圆方程联立，求出两交点坐标，利用两点距离公式计算即得. 【解答过程】依题意，可得直线的方程为：，代入中，整理解得：， 当，；当时，，故有, 则. 故选：D. 【变式4-3】（2025高二上·江苏·专题练习）已知椭圆的左焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．若直线垂直于轴，则 B． C．若，则直线的斜率为 D．若，则 【答案】B 【解题思路】依题意设出直线方程，结合弦长公式分别判断ABC选项，再结合向量及焦半径长度公式可判断D选项. 【解答过程】依题意，椭圆的左焦点为，设，， 对于A选项，轴，直线，由，得：，则，A选项错误； 对于B选项，不垂直于轴时，设的方程为， 由，消去并整理可得：， 则，， ， 显然，， 于是得， 由选项A知，当轴时，，因此，B选项正确； 对于C，当时，由选项B得，解得，C选项错误； 对于D，因，有，则，即， 而，， 同理，则有，即， 于是得， 因此，D选项错误； 故选：B. 【题型5 椭圆的“中点弦”问题】 【例5】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，并得到，利用点差法得到，由点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【解答过程】设， 若，则的中点在轴上，而的中点坐标为，显然不合要求，故， 则，两式相减得， 即， 由于弦的中点坐标为，故， 所以，即，故， 故直线的方程为，即. 故选：A. 【变式5-1】（24-25高二上·湖北·阶段练习）过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为线段的中点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由弦中点坐标利用点差法计算可得直线的斜率. 【解答过程】显然在椭圆内， 当直线的斜率不存在，即直线方程为时，可得，或，， 此时不是线段的中点， 所以直线的斜率存在，设，， 则，两式相减并化简得， 又，，代入得， 解得， 故选：D. 【变式5-2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，线段中点的坐标为，则此椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】因为的中点坐标为，设，代入椭圆方程相减，利用，，求出直线的斜率，得出等量关系，再由关系，即可求解. 【解答过程】设，，过点的直线交椭圆于，两点， 若的中点坐标为，所以直线的斜率， ，代入椭圆方程得， 两式相减得， 即， 也即， 所以， 又， 所以， 所求的椭圆方程为. 故选：D. 【变式5-3】（24-25高二上·北京·阶段练习）设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先通过联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出中点坐标，再根据中点坐标的关系得出中点所在直线方程. 【解答过程】将直线方程代入椭圆方程中，得到. 展开式子化简为. 根据韦达定理，所以， 又因为中点横坐标. 已知，把代入可得. 因为，即. 所以线段的中点所在的直线方程为. 故选：C. 【题型6 椭圆中的三角形（四边形）面积问题】 【例6】（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）设椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用条件先确定椭圆的方程，结合点到直线的距离公式、弦长公式计算三角形面积即可. 【解答过程】设椭圆焦距，则由题意知，解之得， 所以，可得直线方程，设， 联立得，则， 所以， 易知O到直线的距离为：，所以 的面积为. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别是，直线与交于两点，若的面积是的面积的2倍，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】先联立方程组得出判别式大于0，得,再根据点到直线距离得出参数. 【解答过程】联立，化简得, 因为直线与交于两点，所以, 解得,即得, 由已知的面积是的面积的2倍，得, ，解得或， 时，不合题意，故. 故选：B. 【变式6-2】（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知椭圆（）的离心率为，右焦点为，点 (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为的直线与椭圆交于，两点，若是以为顶点的等腰三角形，求的面积 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）根据离心率以及即可求解，进而可得得解. （2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，即可根据垂直关系求解，根据弦长公式以及三角形面积公式求解. 【解答过程】（1）由已知得，，解得， 故， 即椭圆的方程为； （2）设直线的方程为， 设，，中点， 联立直线与椭圆，得  ①， 由韦达定理，，， 由题意，，因此的斜率为，解得， 此时①式为，， 点到直线的距离， 所以的面积 【变式6-3】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知椭圆过点，且离心率． (1)求椭圆的方程； (2)已知、是椭圆的左、右焦点，是第一象限内椭圆上的一点，分别连接并延长交椭圆于点分别表示和的面积，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）依题意可得，解得、、，即可求出椭圆方程； （2）设点P的坐标为，则直线的方程为，将其代入椭圆方程中利用韦达定理可得，同理可求得，则，利用基本不等式再求的最值可得答案. 【解答过程】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）由（1）可得，， 设，其中， 直线，联立， 消去得， 解得， 则， 即， 同理可得 所以 ， 当且仅当时，等号成立． 所以的最大值为． 【题型7 椭圆中的参数范围及最值】 【例7】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）椭圆上的点到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，联立方程求得m的值，进而求得两平行线间的距离得到最小值． 【解答过程】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立方程，消去x，整理得， 所以，解得， 当时，两平行直线的距离为， 当时，两平行直线的距离为． 所以最小值为． 故选：B． 【变式7-1】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A.若存在直线l与椭圆交于不同的两点B，C，的重心为F，则l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设坐标，利用三角形重心的坐标表示得出坐标的关系式，结合点差法表示出l的斜率，再利用对勾函数的性质计算范围即可. 【解答过程】设椭圆的左焦点为， 由已知，设，l的斜率为， 因为重心为F， 所以， 所以， 易知，根据点差法可得：， 所以, 又中点一定在椭圆内部，即， 令，则，故， 由对勾函数的性质可知，显然， 故直线l的斜率取值范围是. 故选：A． 【变式7-2】（24-25高二上·广东清远·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过原点作一条垂直于l的直线交于两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）结合焦距及椭圆的定义由条件列的方程，解方程求，代入椭圆方程可得结论； （2）在的斜率为时，求结论，再在的斜率不为时，利用设而不求法，结合弦长公式求，由此可得的解析式，利用换元法，二次函数性质求其范围即可. 【解答过程】（1）设椭圆的半焦距为， 由，得， 又的周长为， 即 所以， ， 椭圆的标准方程为． （2）设， 直线的斜率为时，得， 此时的方程为， 代入方程可得，， 所以； 当直线的斜率不为时， 设直线，直线， 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得 ， ． 由根与系数的关系得， 所以 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得， 由根与系数的关系得， ， 所以． 令，则， 不妨设 ， ， ， ， 综上可得，的取值范围为． 【变式7-3】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线分别交椭圆于点，连接，若的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)当轴，求的面积； (3)若分别记的斜率分别为，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）运用离心率和椭圆定义得到方程组，计算即可； （2）由条件求，再求方程，联立方程组求的纵坐标，求面积即可； （3）设，与椭圆分别联立，求出，表示出，借助基本不等式可解. 【解答过程】（1）由题意：， 解得：， 故椭圆方程为； （2）当轴时，由在第一象限， 可得， 即， 故求得直线方程为， 联立，得， 整理得，所以， 此时点的纵坐标为， 所以； （3）设，因为在椭圆上，故， 由题意， 故将直线与椭圆方程联立， 可得， 整理可得：，所以， 即，即. 同理：将直线与椭圆方程联立，可得， 整理可得：，所以， 即，即， 所以， 故 由在第一象限内，故， 的最大值为，当且仅当在处取到等号. 知识点4 椭圆中的定点、定值、定直线问题 1．椭圆中的定点、定值问题 椭圆中的定点、定值问题一般与椭圆的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 4．椭圆中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型8 椭圆中的定点、定值问题】 【例8】（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知椭圆：（）的长轴长是短轴长的3倍，左、右焦点分别为，．且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的右顶点，，是椭圆上不同的两点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由，再由点在椭圆上即可求解； （2）设，，直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理，由，求得，即可求解； 【解答过程】（1）由题意，得， 所以离心率． 椭圆的方程为．因为椭圆经过点， 所以，解得，， 所以椭圆的方程为． （2） 易知，设，，直线的方程为，且． 联立，消去得． 由，得． 所以，． 因为， 所以． 化简得． 所以，又， 化简得，解得，即直线恒过定点． 【变式8-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的动弦过椭圆C的右焦点F，当垂直x轴时，椭圆C在A，B处的两条切线的交点为M． (1)求点M的坐标． (2)若直线的斜率为，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为，直线与椭圆C交于P，Q两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用即可求点坐标； （2）先设出点坐标，再求的斜率，判断直线与的关系，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系求弦长，即可证明. 【解答过程】（1）， 解得，所以椭圆方程为， 又，所以右焦点， 当垂直x轴时，不妨设，根据对称性可知点在轴上， 且直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立， 消去得：， 则， 化简得，解得， 所以直线的方程为， 令，解得，故点的坐标为. （2）如图， 由题意可得直线的方程为，即， 设，由题可知， 所以，故直线与垂直， 联立，消去得：， 则，， 所以， 同理，， 所以， 故为定值. 【变式8-2】（24-25高二上·陕西安康·期中）已知椭圆：经过点，且离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于点，，且线段的中点为，求的方程； (3)过动点作的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【解题思路】（1）利用椭圆的离心率和通过的点建立方程，求出基本量，再得到椭圆方程即可. （2）利用点差法结合中点坐标公式得到斜率，再利用点斜式得到直线方程即可. （3）设切点坐标，联立切线与椭圆方程，消元后利用判别式为，可利用切点坐标表示，再把点坐标代入，即可得到过切点的一条直线方程，同理另一个切点坐标也适合，即可得出直线的方程，再求出直线所过定点即可. 【解答过程】（1）由椭圆经过点，且离心率为， 得到，解得，，故的方程为. （2）设，，由题意得， 因为线段PQ的中点为，所以，， 因为，，两式相减得， 所以，即，解得， 即直线的斜率为，故的方程为，即. （3）如图，设，当时， 可设切线的方程为，， 将与联立，得， 则，即， 且，， 所以，，代入，得， 将的坐标代入，得. 当时，，；当时，，， 而满足. 设，同理可得， 则点，都在直线上， 故直线的方程为，即， 由，得，故直线恒过定点. 【变式8-3】（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）已知过点的直线与椭圆交于两点．当直线垂直于轴时，． (1)求的方程． (2)探究是否存在实数，使得为定值．若存在，求出该定值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，定值为 【解题思路】（1）将时，用表示纵坐标，再由解出即可； （2）设出直线的方程为，用韦达定理表示出，若为定值，则结果要与无关，从而求出实数． 【解答过程】（1）将代入的方程，得，即， 所以，解得， 所以椭圆的方程为． （2）存在． ①当不垂直于轴时，设直线的方程为，，， 联立得， 所以，， 又，， 所以， 所以， 若为定值，则，解得， 代入得； ②当垂直于轴时，由①知，不妨令，，有． 综上所述，存在使得为定值． 【题型9 椭圆中的定直线问题】 【例9】（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由椭圆定义得到，求出，结合焦点坐标，得到，得到椭圆方程； （2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，设，得到两根之和，两根之积，表达出直线和直线的方程，联立求出，解得，故点D在定直线上. 【解答过程】（1），由椭圆定义知 ， 所以，又， 所以椭圆C的标准方程为 （2）若直线l的斜率为0，此时两点与重合，不合题意，舍去， ，设直线l的方程为， 由，得．    显然恒成立，设， 所以有① 直线的方程为，直线的方程为， 联立两方程可得，所以， ， 由①式可得， 代入上式可得， 即，解得，故点D在定直线上. 【变式9-1】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 【答案】(1)离心率为，标准方程为 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据椭圆的几何性质可求出的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的离心率及其标准方程； （2）设，利用两点间距离公式得，然后根据、分类讨论求解即可； （3）设直线的方程为，、，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得，写出直线、的方程，进而求解即可； 【解答过程】（1）由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为， 由题意可得，则， 因此，椭圆的离心率为，其标准方程为. （2）设是椭圆上一点，则， 因为 若时，则，，解得（舍去）， 若时，则，则，解得（舍去）或， 所以点的坐标为. （3）设直线的方程为，、， 由，得，所以，， 所以，① 由，得或， 易知直线的方程为，② 直线的方程为，③ 联立②③，消去，得，④ 联立①④，消去，则， 解得，即点在直线上. 【变式9-2】（24-25高二上·黑龙江·期中）已知椭圆的右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点（其中点在轴的上方），点，分别为椭圆的左、右顶点. (1)若的垂直平分线交轴于点，为坐标原点.求的取值范围； (2)若直线和相交于点，试探究能否在一条定直线上运动？若能，求出的值，若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2)能在一条定直线上运动，. 【解题思路】（1）设出直线的方程以及中点的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式得到点的坐标，出现直线的垂直平分线的方程，进而即可求解. （2）写出并联立直线和方程，得到交点坐标，再结合（1）中求得的韦达定理，即可得出结论. 【解答过程】（1）因为右焦点的坐标为，可设直线的方程为，代入，得， 所以，， 设中点的坐标为，则， 的垂直平分线方程为， 令，可得 所以，即的取值范围是. （2）因为，，，， 则直线的方程为，直线的方程为 联立方程，消去，可得 所以 因为，所以，即 所以. 由（1）可知，， 代入整理可得，解得. 所以能在一条定直线上运动，. 【变式9-3】（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆的离心率为，其上顶点与两焦点连线围成的三角形面积为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，试用含的代数式表示； (3)在（2）的条件下，为椭圆左顶点，过点作垂直于轴的直线与直线相交于点，证明：线段的中点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据离心率及长轴顶点列方程组得出,即可得出椭圆方程； （2）联立方程组，得出韦达定理再把代入求解； （3）设点直曲联立，利用整体法求出中点坐标与的关系，进而得出结论； 【解答过程】（1）依题意可得，所以, 所以椭圆C的方程为. （2）依题意过点且斜率为的直线为：,即, 联立方程组, 所以, 因为，，所以, 所以， 则. （3）设直线为,过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M， 所以,又因为， 的中点， 于是, 所以，，即． 则有， 又因为， 所以， 于是， 即， 即，即， 即点在直线上，即线段的中点在定直线上． 【题型10 椭圆中的向量问题】 【例10】（24-25高二上·重庆·期中）椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】由椭圆方程可知点的坐标，根据向量可得，，将代入椭圆方程运算求解即可. 【解答过程】椭圆的右顶点，上顶点， 设，则， 由可得，解得，即， 又由，则， 将代入椭圆方程，得， 即，解得或（舍），所以. 故选：A. 【变式10-1】（2025·四川·模拟预测）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，即可求出椭圆方程，当直线的斜率存在时，设其方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由，可得，及，从而得到，从而得到，在根据数量积的坐标表示计算可得. 【解答过程】依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，又， 所以，解得，所以，则椭圆方程为， 当直线的斜率存在时，设其方程为，，， 由，消去整理得， 在的条件下，可知，， 又，所以，即， 即，即， 所以， 所以，所以， 当直线的斜率不存在时，则为与轴的交点， 又，根据对称性可知， 设，则（或）， 所以，则，所以， 又，，所以，， 所以. 故选：D. 【变式10-2】（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）已知曲线的左、右焦点分别为、，是曲线上一动点. (1)求的周长； (2)过的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先由曲线的标准方程求得、，再利用椭圆的定义即可得解； （2）由题意设直线的方程为，联立方程，结合韦达定理得到、， 再由得到，从而求得的值，由此可得直线的方程； 【解答过程】（1）因为曲线，该曲线为椭圆，且，，则， 所以，，故的周长为. （2）若直线与轴重合时， 若点为椭圆的左顶点，则、、， 则，，此时，， 若点为椭圆的右顶点，同理可知，. 设直线的方程，设点、， 联立，消去，得， 恒成立， 由韦达定理得：，， 因为，， 所以，则， 从而有，可得，， 即，可得，即， 所以直线的方程为. 【变式10-3】（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知椭圆的半焦距，离心率，且过点为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆分别交于不同的两点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）把点代入椭圆得，再结合以及椭圆的性质，可解出的值，再结合离心率的取值范围，即可算出椭圆方程； （2）当直线的斜率存在时，可设出直线方程为，联立椭圆的标准方程，由根的判别式可得，然后由韦达定理整理出，再结合即可得出；再讨论当直线的斜率不存在时，直线为，易得，综合两种情况即可得到答案. 【解答过程】（1）由题意得，整理得， 即，解得或. 当时，，此时C的离心率，符合题意； 当时，，此时C的离心率，不合题意，舍去， 所以椭圆C的方程为. （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 联立得， 因为直线l与椭圆C分别交于不同的两点A，B， 所以，整理得. 设，则， 所以 ， 因为，所以令，则， 由，得，即， 因为，所以，解得， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l与椭圆C的两交点分别为， 不妨取，则， 所以，所以，解得， 综上所述，的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$