专题10 二元一次方程组的应用（专项训练）数学新教材沪科版七年级上册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组应用，覆盖10类常考题型，以情境化问题为载体，构建“问题情境—等量关系—方程建模”的解题逻辑链，培养模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|10类题型（含高频方案问题、重点销售利润问题等）|结合生活实际（购物、行程、工程等），强调从情境中抽象等量关系|从具体问题到数学模型，通过设元、列方程组、求解验证，形成“实际问题—数学化表达—解决问题”的完整推理链条，发展抽象能力与推理意识|

专题10 二元一次方程组的应用 常考题型·精准突破 考点一 二元一次方程组的应用 题型1方案问题（高频） 题型2行程问题 题型3工程问题 题型4数字问题 题型5年龄问题 题型6分配问题（难） 题型7销售、利润问题（重） 题型8和差倍分问题 题型9几何问题 题型10古代问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二元一次方程组的应用 ◆题型1方案问题 1．某学校为丰富学生课余生活，计划购买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2副羽毛球拍和3副乒乓球拍共需260元，购买3副羽毛球拍和2副乒乓球拍共需290元．求每副羽毛球拍和每副乒乓球拍的价格． 【答案】羽毛球拍每副70元，乒乓球拍每副40元 【详解】解：设羽毛球拍每副x元，乒乓球拍每副y元， 根据题意，可得，解得， 答：羽毛球拍每副70元，乒乓球拍每副40元． 2．有36名分别了多年的老同学约定到某个地方故地重游，他们决定租用汽车前往．可租用的汽车有两种：甲种每辆可以乘8人，乙种每辆可以乘4人．他们不愿意让车子留出空位，但也不能超载．（乘坐人数不包含司机） (1)你能想出几种租车的方案？ (2)已知甲种汽车每天的租金为300元，乙种汽车每天的租金为200元．请帮助他们选择一个最便宜的租车方案． 【答案】(1)共有5种租车方案，分别为：方案1：租用甲种车0辆，乙种车9辆；方案2：租用甲种车1辆，乙种车7辆；方案3：租用甲种车2辆，乙种车5辆；方案4：租用甲种车3辆，乙种车3辆；方案5：租用甲种车4辆，乙种车1辆； (2)最便宜的租车方案为租用甲种车4辆，乙种车1辆，每天租金为1400元． 【详解】（1）解：设租用甲种汽车辆，租用乙种汽车辆， 由题意得，即． ，均为非负整数， 可取，，，，，则依次为，，，，， 共有5种租车方案，分别为：方案1：租用甲种车0辆，乙种车9辆；方案2：租用甲种车1辆，乙种车7辆；方案3：租用甲种车2辆，乙种车5辆；方案4：租用甲种车3辆，乙种车3辆；方案5：租用甲种车4辆，乙种车1辆； （2）解：根据题意，得租用甲种汽车每人的平均日租金比租用乙种汽车少， 欲使费用最少，则必须多租用甲种汽车， 符合要求且费用最少的租车方案为租用甲种汽车辆，乙种汽车辆，此时的费用为（元）． 3．已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆 型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有48吨货物，计划同时租用A、B两种车型，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)通过计算说明该物流公司有哪几种租车方案； (3)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请求出最省钱的租车方案及最少租车费． 【答案】(1)1辆型车和1辆型车都载满货物一次分别可运货3吨、4吨 (2)该物流公司共有三种租车方案：租用型车12辆、型车3辆；租用型车8辆、型车6辆；租用型车4辆、型车9辆 (3)最省钱的租车方案是租用型车4辆、型车9辆，最少租车费为2960元 【详解】（1）解：设1辆型车和1辆型车都载满货物一次分别可运货 吨， 吨， 根据题意得 解得 答：1辆型车和1辆型车都载满货物一次分别可运货3吨、4吨． （2）设租用型车辆，型车 辆， 根据题意得 整理得 ∵， 均为正整数，且需要同时租用、两种车型 ∴ 为3的正整数倍数，且 解得：，， ， 该物流公司共有三种租车方案：租用型车12辆、型车3辆；租用型车8辆、型车6辆；租用型车4辆、型车9辆． （3）当 ，时， 总费用为 （元） 当 ， 时，总费用为 （元） 当， 时，总费用为 （元） ∵ ∴最省钱的租车方案是租用型车4辆、型车9辆，最少租车费为2960元． 答：最省钱的租车方案是租用型车4辆、型车9辆，最少租车费为2960元． 4．“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，新能源汽车的销量稳步提升．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)该公司计划用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 【答案】(1)型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元 (2)共有种购买方案，分别为①购买型汽车辆，型汽车辆；②购买型汽车辆，型汽车辆；③购买型汽车辆，型汽车辆 【详解】（1）解：设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元， ∵辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元， ∴， 解得：， ∴型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元． （2）解：设购买型汽车辆，型汽车辆， ∵公司计划用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号均购买）， ∴， 整理得，， ∵、都是正整数， ∴或或， ∴共有种购买方案，分别为①购买型汽车辆，型汽车辆；②购买型汽车辆，型汽车辆；③购买型汽车辆，型汽车辆． ◆题型2行程问题 5．已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需12小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为13小时，那么甲乙两地的公路长（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设从甲到乙的上坡路长为，下坡路长为， 由题意得， 两式相加，得，解得， 故甲乙两地公路长为． 6．小明购置一辆山地自行车进行户外越野骑行，同款轮胎安装在前轮磨损较慢，行驶后报废；安装在后轮磨损较快，行驶就报废．轮胎A在前，轮胎B在后，行驶到某一里程时交换A和B，又行驶一段里程后发现轮胎A完全磨损坏掉，但轮胎B还未完全磨损，此时总里程为．设轮胎A在交换前行驶里程为，交换后行驶里程为，则可列方程组为________． 【答案】 【详解】解：设轮胎A在交换前行驶里程为，交换后行驶里程为， 由总里程为可得， 由题意得自行车前后轮胎行驶1千米的磨损量分别为和，则轮胎A在交换前的磨损量为，交换后的磨损量为，由此可得． 因此可列方程组为． 7．已知A，B两地相距18千米，甲从A地出发，匀速步行到B地，乙从B地出发，匀速步行到A地．两人同时出发，3小时后相遇；出发4小时后，甲剩余路程是乙剩余路程的2倍．求甲、乙的步行速度． 【答案】甲的步行速度为2.5千米/时，乙的步行速度为3.5千米/时 【详解】解：设甲的步行速度为千米/时，乙的步行速度为千米/时 ∵两人同时出发，3小时后相遇，A、B两地相距18千米 ∴ ∵出发4小时后，甲剩余路程是乙剩余路程的2倍 ∴ ∴ 解得 答：甲的步行速度为2.5千米/时，乙的步行速度为3.5千米/时． 8．某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． (1)求观光车的车头与每节车厢的长度； (2)某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 【答案】(1)车头与每节车厢的长度分别为4米，8米 (2)隧道的长度为120米 【详解】（1）解：设车头与每节车厢的长度分别为米，米， 根据题意，得 解得 所以，车头与每节车厢的长度分别为4米，8米． （2）解：设隧道的长度为米，观光车总长为米，根据题意，得 ， 由得， 可得 所以，隧道的长度为120米． ◆题型3工程问题 9．骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 【答案】一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车 【详解】解：设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 由题意得． 解得． 一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 10．某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求A，B两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ 【答案】 A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒． 【详解】解：设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒， 由题意得， 解得， 答：A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒． 11．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 12．甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条长的公路，甲队每天修建，乙队每天修建，一共用15天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出小红所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________________，y表示________________．该方程组中□处的数应是________，△处的数应是________． (2)小芳同学的思路是想设甲队一共修建了公路，乙队一共修建了公路．下面请你按照小芳的设想列出方程组，并求出乙队修建的天数． 【答案】(1)甲队修路的天数，乙队修路的天数，15，335 (2)方程组为，7天 【详解】（1）解：∵甲队每天修建，乙队每天修建，一共用天完成， 则小红所列方程组为 ∴小红所列方程中表示甲队修建公路的天数，表示乙队修建公路的天数，该方程组中□处的数应是，△处的数应是． 故答案为：甲队修路的天数，乙队修路的天数，，． （2）解：方程组为 解得 所以乙队修建了（天）． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系及小红所列的方程，找出小红所列方程中未知数，表示的意义；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组． ◆题型4数字问题 13．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解；如图： 则有，解得， 则有，解得， 则有，解得， 则有，解得， 所以． 14．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当时，，的值分别为（     ） A．3，2 B．1，4 C．2，3 D．7，5 【答案】C 【详解】解：根据题意，可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则，的值分别为，． 15．用《九章算术》记载的“更相减损术”求168和72的最大公约数，运算步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：．如果继续操作，可得，因此，经过上述四步运算，求得168和72的最大公约数是24． 若两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为，且这两个数中较大的数大于较小数的3倍，则这两个正整数中较大数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：令较大的正整数为x，较小的正整数为y， ， ，， 第一步，，此时两个数为和y； 第二步，，此时两个数为和y； 第三步：，此时两个数为和y， 第四步有两种情况： 当时，， 两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为， ， 解得； 当时，， 两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为， ， 解得； 综上可得，这两个正整数中较大数是或． 16．已知一个两位数的个位和十位上的数字之和为，个位上的数字与十位上的数字交换位置后，所得的新两位数比原两位数小，则原来的两位数是________． 【答案】62 【详解】解：设原两位数的个位数字为，十位数字为， 根据题意列方程组： ， 整理第二个方程得 ， 解得 ， 因此原来的两位数为 . ◆题型5年龄问题 17．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 【答案】14 【详解】解：设聪聪的年龄为岁，则妈妈的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴聪聪的年龄为岁． 18．一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是________________岁． 【答案】 【详解】解：设爷爷现在的年龄是岁，小红现在的年龄是岁． 依题意得： 解得 故爷爷现在的年龄是65岁． 故答案为：． 19．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 【答案】小明现在岁，小亮现在岁． 【详解】解：设小明现在岁，小亮现在岁， 根据题意得， 解得：， 答：小明现在岁，小亮现在岁． 20．在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． ◆题型6分配问题 21．用铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或6个桶底，而1个桶身与1个桶底正好配套成1个水桶．现在有56张这样的铁皮，设用x张铁皮做桶身，y张铁皮做桶底，生产的桶身和桶底正好配套，则下列方程组中符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设用张铁皮做桶身，张铁皮做桶底，根据题意得 ． 22．《考工记》是我国古代的一部工科巨著，其中记载了制作鼎和铜镜的铜锡比例．某工厂按书中记载比例制作鼎和铜镜，制作一个鼎需要12千克铜和2千克锡，制作一面铜镜需要1千克铜和1千克锡，现用60千克铜和20千克锡制作鼎和铜镜、这些铜和锡恰好全部用完时．可制作多少个鼎和多少面铜镜？ 【答案】可制作4个鼎和12面铜镜 【详解】解：设这些铜和锡恰好全部用完时，可制作个鼎和面铜镜．根据题意，得      解得     答：这些铜和锡恰好全部用完时，可制作4个鼎和12面铜镜． 23．某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 【答案】(1) (2)需甲车型辆，乙车型辆 【详解】（1）解：丙型车的数量为（辆）， （2）解：设分别需甲、乙两种车型辆，辆， 由题意得， 解得， 答：需甲车型辆，乙车型辆； 24．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 【答案】(1)每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套 (2)先安排10人制作茶具 【详解】（1）解：设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人， 由题意得：， 解得：， 答：每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套； （2）解：设先安排m人制作茶具， 由题意得：， 解得：， 答：先安排10人制作茶具． ◆题型7销售、利润问题 25．某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为（     ）万元． A．40 B．25 C．26 D．34 【答案】D 【详解】解：设甲柜台去年十二月份的营业额为万元，乙柜台去年十二月份的营业额为万元， 由题意得，， 解得， ∴甲柜台去年十二月份的营业额为34万元． 26．某县是全国知名的汉服生产基地，某汉服店铺购进基础款汉服和刺绣款马面裙两种服饰．已知购进2件基础款汉服和3件刺绣马面裙一共花费650元；购进3件基础款汉服比购进5件刺绣马面裙少450元，则每件刺绣马面裙的进价为__________元． 【答案】150 【详解】解：设每件基础款汉服的进价为x元，每件刺绣马面裙的进价为y元，根据题意，得 ， 解得， 答：每件基础款汉服的进价为100元，每件刺绣马面裙的进价为150元． 27．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，准备购买A，B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷3顶，则需4600元；若购买A种型号帐篷5顶和B种型号帐篷6顶，则需10000元．求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格． 【答案】每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元 【详解】解：设每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元， 根据题意得：， 解之得． 答：每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元． 28． 背景 为助力乡村振兴、支持惠农富农，某合作社销售来自山区的甲、乙两种苹果． 素材 已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． 请利用二元一次方程（组）相关知识解决下列问题： (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价； (2)王老师购买了甲、乙两种苹果，恰好花费600元，求两种苹果各买了多少箱． 【答案】(1)甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元 (2)购买甲种苹果2箱，乙种苹果5箱 【详解】（1）解：设甲种苹果每箱售价x元，乙种苹果每箱售价y元，根据题意得： ， 解得：， 答：甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元； （2）解：设甲种苹果买了m箱，乙种苹果买了n箱，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴， 答：购买甲种苹果2箱，乙种苹果5箱． ◆题型8和差倍分问题 29．某企业计划投入资金用于技术升级与植树造林以实现碳中和目标．已知技术升级每投入1万元可减少碳排放3吨；植树造林每投入1万元可吸收碳排放2吨．若投入10万元，共实现碳排放净减少量28吨，则技术升级和植树造林分别投入（     ） A．8万元，2万元 B．2万元，8万元 C．6万元，4万元 D．5万元，5万元 【答案】A 【详解】解：设技术升级投入万元，植树造林投入万元， ∵总投入为万元，总碳排放净减少量为吨， ∴可得方程组， 解得， ∴技术升级投入万元，植树造林投入万元． 30．港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，其中技术难度最高的是桥梁、隧道、人工岛组合的主体工程．已知在这个主体工程中，隧道长度比桥隧总长的少，桥梁长度比隧道长度多．求主体工程中的桥梁长度和隧道长度． 【答案】主体工程中的桥梁长度是，隧道长度是 【详解】解：设主体工程中的桥梁长度为千米，隧道长度为千米， 由题意得， 解得， 答：主体工程中的桥梁长度是，隧道长度是． 31．近视可防可控不可逆，保持“一尺、一拳、一寸”的正确书写姿势能有效预防近视．小文发现，一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺．这本书的长度和小文的一拳长分别是多少尺？ 【答案】这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺 【详解】解：设这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺． 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺． 32．某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验，用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水） 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤：第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食槽醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍，求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ 【答案】第一次实验用了公斤粮食糟醅，公斤芋头糟醅． 【详解】解：设第一次实验用了x公斤粮食糟醅，y公斤芋头糟醅，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用了公斤粮食糟醅，公斤芋头糟醅． ◆题型9几何问题 33．如图，长方形是由6个正方形组成，其中，则图中长方形的周长是（     ） A．44 B．46 C．48 D．50 【答案】C 【详解】解：如图，标注字母， 由题意设，，则，，， 由题意可得， 解得， ∴， ∴长方形的周长是． 34．有7张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示（不重叠、无缝隙）的方式放置在大长方形中，根据图中数据，1张小长方形卡片的面积是（     ） A．78 B．80 C．85 D．90 【答案】C 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为 由题意得 解得， ∴1张小长方形卡片的面积是． 35．如图，长方形被分成若干个正方形，已知，则长方形的另一边____________． 【答案】 24 【详解】解：设最小正方形的边长为，次小正方形的边长为， 根据图形可知，长方形的长由两个边长为的正方形和三个边长为的正方形组成， ； 长方形的长由两个边长为的正方形和一个边长为的正方形组成， 四边形是长方形， ， ，整理得，即 ， ， ，将代入上式得 ，解得， ， 长方形的宽由一个边长为的正方形和一个边长为的正方形组成， ， 当，时，. 36．如图，长方形中放有5个形状、大小相同的长方形（空白区域），为了求图中阴影部分的面积，可以设小长方形的宽为，长为，可以列方程组求出小长方形的长和宽，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【详解】解：由题意得， 解得， ∴，， ∴阴影部分的面积为． ◆题型10古代问题 37．中国古代数学著作《张邱建算经》中有一个问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？设甲有x枚钱币，乙有y枚钱币，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由甲给乙10枚后两人钱币数相等，得， 由乙给甲10枚后甲的钱币数是乙的6倍，得， ∴可得方程组为． 38．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设醇酒为斗，行酒为斗 由题意可列方程组为． 39．古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；两人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，则下面所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设有人，辆车，根据题意，得 ． 40．明代《九章算法比类大全》记载：“今有甲乙二匠造屋，共得钱五百文、甲匠日得三十文，乙匠日得二十文．甲、乙先后作工，凡二十二日而毕．问甲乙各作几日？”其大意是：“现有甲、乙两位工匠合作建房，总共获得工钱文．甲匠每日工钱是文，乙匠每日工钱是文．两人先后做工，共用天完成．问甲、乙各做工多少天？”设甲匠做工天，乙匠做工天，根据题意，可列方程组为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设甲匠做工天，乙匠做工天， ∵甲乙两人先后做工共用天完成， ∴可得第一个方程为， 又∵甲每日工钱文，乙每日工钱文，总工钱为文， ∴甲总工钱为，乙总工钱为，可得第二个方程， 故可列方程组． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设生产螺栓x人，生产螺帽人， 根据总人数可得方程； 根据生产的零件个数可得方程， 可得方程组：． 故选A． 2．如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则的值为（     ） A． B．0 C．3 D．5 【答案】A 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴． 3．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果个，苦果个，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵设甜果个，苦果个，甜果和苦果共个， ∴可得方程， ∵文钱可买个甜果，文钱可买个苦果， ∴单个甜果价格为文，单个苦果价格为文， ∵总花费为文， ∴可得总花费方程， 综上可得方程组为． 4．如图，在长为的大长方形中，以水平或竖直的方式放入个形状、大小完全相同的小长方形，则下列说法正确的是（     ） ①②③若，则每个小长方形的面积均为；④若、、均为正整数，则只能是． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：由图可知，，故①正确； 解得，故②正确； 当时，， ∴每个小长方形的面积为；故③正确； 若、、均为正整数，则只能是．故④正确. 二、填空题 5．甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在环形路上奔跑．若反向而行，每隔相遇一次，若同向而行，则每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈，则可列方程组为_______________________． 【答案】 【详解】解：设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈， 若同时同地反向出发，相遇时两人跑的路程和刚好是1整圈，甲跑圈，乙跑圈，则列方程为：， 若同向而行：甲比乙快，同时同地同向出发，相遇时甲比乙多跑了1整圈，甲跑圈，乙跑圈，则列方程为：， 联立两个方程得：． 6．小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才出生，你到我这么大时我已经39岁了．”老师年龄为__________岁，小明年龄为__________岁． 【答案】 26 13 【解析】略 7．有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运吨给乙堆，那么两堆煤就一样多．如果从乙堆运吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的倍．这两堆煤共重______________吨． 【答案】 【详解】解：设甲堆原有煤吨，乙堆原有煤吨， 由题意得， 得，解得， 将代入①得， 故原方程组的解为， 两堆煤总重量为（吨）． 三、解答题 8．随着低空经济的快速发展，无人机吊运作业有效解决了山地运输难、成本高的问题．在某山区水果种植基地，果农计划租用，两款无人机进行吊运作业．据了解，2架款无人机和1架款无人机每次满载可吊运水果共300千克；1架款无人机和2架款无人机每次满载可吊运水果共330千克． (1)求，两款无人机每架次满载可吊运水果各多少千克？ (2)现要吊运一批重1020千克的水果至山下，计划租用，两款无人机若干架（每架飞机都是满载），恰好一次运完，则需要分别租用，两款无人机各多少架？并写出所有的租赁方案． 【答案】(1) A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克 (2) 共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 【详解】（1）解：设A款无人机每架次满载可吊运水果千克，B款无人机每架次满载可吊运水果千克， 根据题意，得 ， 解得 ， 答：A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克． （2）解：设租用A款无人机架，B款无人机架， 根据题意，得 ， 整理得， ∵，均为正整数， ∴，即，且是3的正倍数， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 9．【综合与实践】： 背景 为庆祝2026年的到来，某班级计划在元旦节这天开展新年联欢活动，同学们提前购买了A、B两种款式的中国结布置教室． 素材 若购买10个A款中国结，5个B款中国结，共需160元；若购买15个A款中国结，10个B款中国结，共需270元． 问题解决 (1)任务1：问A款中国结和B款中国结的销售单价各是多少元？ (2)任务2：购买A、B两种款式的中国结共19个，刚好花了220元，请问购买A款中国结和B款中国结各多少个？ 【答案】(1)A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元； (2)购买A款中国结个，则购买B款中国结个． 【详解】（1）解：设A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元，则 解得 答：A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元； （2）解：设购买A款中国结个，则购买B款中国结个，则 解得， 则， 答：购买A款中国结个，则购买B款中国结个． 10．为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用的天数，，． (2)整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【详解】（1）解：小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用的天数， 根据题意，得 （2）解：选小明同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 ②，得．③ ①，得．④ ③－④，得．把代入①，得． 答：整治任务完成后，甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 选小华同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道用天，乙工程队整治河道用天，根据题意，得 ． ①，得．③ ②－③，得， ．把代入①，得， ，． 答：整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二元一次方程组的应用 常考题型·精准突破 考点一 二元一次方程组的应用 ◆题型1方案问题 1．羽毛球拍每副70元，乒乓球拍每副40元 【详解】解：设羽毛球拍每副x元，乒乓球拍每副y元， 根据题意，可得，解得， 答：羽毛球拍每副70元，乒乓球拍每副40元． 2．(1)共有5种租车方案，分别为：方案1：租用甲种车0辆，乙种车9辆；方案2：租用甲种车1辆，乙种车7辆；方案3：租用甲种车2辆，乙种车5辆；方案4：租用甲种车3辆，乙种车3辆；方案5：租用甲种车4辆，乙种车1辆； (2)最便宜的租车方案为租用甲种车4辆，乙种车1辆，每天租金为1400元． 【详解】（1）解：设租用甲种汽车辆，租用乙种汽车辆， 由题意得，即． ，均为非负整数， 可取，，，，，则依次为，，，，， 共有5种租车方案，分别为：方案1：租用甲种车0辆，乙种车9辆；方案2：租用甲种车1辆，乙种车7辆；方案3：租用甲种车2辆，乙种车5辆；方案4：租用甲种车3辆，乙种车3辆；方案5：租用甲种车4辆，乙种车1辆； （2）解：根据题意，得租用甲种汽车每人的平均日租金比租用乙种汽车少， 欲使费用最少，则必须多租用甲种汽车， 符合要求且费用最少的租车方案为租用甲种汽车辆，乙种汽车辆，此时的费用为（元）． 3．(1)1辆型车和1辆型车都载满货物一次分别可运货3吨、4吨 (2)该物流公司共有三种租车方案：租用型车12辆、型车3辆；租用型车8辆、型车6辆；租用型车4辆、型车9辆 (3)最省钱的租车方案是租用型车4辆、型车9辆，最少租车费为2960元 【详解】（1）解：设1辆型车和1辆型车都载满货物一次分别可运货 吨， 吨， 根据题意得 解得 答：1辆型车和1辆型车都载满货物一次分别可运货3吨、4吨． （2）设租用型车辆，型车 辆， 根据题意得 整理得 ∵， 均为正整数，且需要同时租用、两种车型 ∴ 为3的正整数倍数，且 解得：，， ， 该物流公司共有三种租车方案：租用型车12辆、型车3辆；租用型车8辆、型车6辆；租用型车4辆、型车9辆． （3）当 ，时， 总费用为 （元） 当 ， 时，总费用为 （元） 当， 时，总费用为 （元） ∵ ∴最省钱的租车方案是租用型车4辆、型车9辆，最少租车费为2960元． 答：最省钱的租车方案是租用型车4辆、型车9辆，最少租车费为2960元． 4．(1)型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元 (2)共有种购买方案，分别为①购买型汽车辆，型汽车辆；②购买型汽车辆，型汽车辆；③购买型汽车辆，型汽车辆 【详解】（1）解：设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元， ∵辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元， ∴， 解得：， ∴型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元． （2）解：设购买型汽车辆，型汽车辆， ∵公司计划用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号均购买）， ∴， 整理得，， ∵、都是正整数， ∴或或， ∴共有种购买方案，分别为①购买型汽车辆，型汽车辆；②购买型汽车辆，型汽车辆；③购买型汽车辆，型汽车辆． ◆题型2行程问题 5．A 【详解】解：设从甲到乙的上坡路长为，下坡路长为， 由题意得， 两式相加，得，解得， 故甲乙两地公路长为． 6． 【详解】解：设轮胎A在交换前行驶里程为，交换后行驶里程为， 由总里程为可得， 由题意得自行车前后轮胎行驶1千米的磨损量分别为和，则轮胎A在交换前的磨损量为，交换后的磨损量为，由此可得． 因此可列方程组为． 7．甲的步行速度为2.5千米/时，乙的步行速度为3.5千米/时 【详解】解：设甲的步行速度为千米/时，乙的步行速度为千米/时 ∵两人同时出发，3小时后相遇，A、B两地相距18千米 ∴ ∵出发4小时后，甲剩余路程是乙剩余路程的2倍 ∴ ∴ 解得 答：甲的步行速度为2.5千米/时，乙的步行速度为3.5千米/时． 8．(1)车头与每节车厢的长度分别为4米，8米 (2)隧道的长度为120米 【详解】（1）解：设车头与每节车厢的长度分别为米，米， 根据题意，得 解得 所以，车头与每节车厢的长度分别为4米，8米． （2）解：设隧道的长度为米，观光车总长为米，根据题意，得 ， 由得， 可得 所以，隧道的长度为120米． ◆题型3工程问题 9．一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车 【详解】解：设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 由题意得． 解得． 一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 10． A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒． 【详解】解：设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒， 由题意得， 解得， 答：A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒． 11．(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 12．(1)甲队修路的天数，乙队修路的天数，15，335 (2)方程组为，7天 【详解】（1）解：∵甲队每天修建，乙队每天修建，一共用天完成， 则小红所列方程组为 ∴小红所列方程中表示甲队修建公路的天数，表示乙队修建公路的天数，该方程组中□处的数应是，△处的数应是． 故答案为：甲队修路的天数，乙队修路的天数，，． （2）解：方程组为 解得 所以乙队修建了（天）． ◆题型4数字问题 13．B 【详解】解；如图： 则有，解得， 则有，解得， 则有，解得， 则有，解得， 所以． 14．C 【详解】解：根据题意，可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则，的值分别为，． 15．D 【详解】解：令较大的正整数为x，较小的正整数为y， ， ，， 第一步，，此时两个数为和y； 第二步，，此时两个数为和y； 第三步：，此时两个数为和y， 第四步有两种情况： 当时，， 两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为， ， 解得； 当时，， 两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为， ， 解得； 综上可得，这两个正整数中较大数是或． 16．62 【详解】解：设原两位数的个位数字为，十位数字为， 根据题意列方程组： ， 整理第二个方程得 ， 解得 ， 因此原来的两位数为 . ◆题型5年龄问题 17．14 【详解】解：设聪聪的年龄为岁，则妈妈的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴聪聪的年龄为岁． 18． 【详解】解：设爷爷现在的年龄是岁，小红现在的年龄是岁． 依题意得： 解得 故爷爷现在的年龄是65岁． 故答案为：． 19．小明现在岁，小亮现在岁． 【详解】解：设小明现在岁，小亮现在岁， 根据题意得， 解得：， 答：小明现在岁，小亮现在岁． 20．小花岁时将为奶奶贺白寿 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． ◆题型6分配问题 21．B 【详解】解：设用张铁皮做桶身，张铁皮做桶底，根据题意得 ． 22．可制作4个鼎和12面铜镜 【详解】解：设这些铜和锡恰好全部用完时，可制作个鼎和面铜镜．根据题意，得      解得     答：这些铜和锡恰好全部用完时，可制作4个鼎和12面铜镜． 23．(1) (2)需甲车型辆，乙车型辆 【详解】（1）解：丙型车的数量为（辆）， （2）解：设分别需甲、乙两种车型辆，辆， 由题意得， 解得， 答：需甲车型辆，乙车型辆； 24．(1)每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套 (2)先安排10人制作茶具 【详解】（1）解：设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人， 由题意得：， 解得：， 答：每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套； （2）解：设先安排m人制作茶具， 由题意得：， 解得：， 答：先安排10人制作茶具． ◆题型7销售、利润问题 25．D 【详解】解：设甲柜台去年十二月份的营业额为万元，乙柜台去年十二月份的营业额为万元， 由题意得，， 解得， ∴甲柜台去年十二月份的营业额为34万元． 26．150 【详解】解：设每件基础款汉服的进价为x元，每件刺绣马面裙的进价为y元，根据题意，得 ， 解得， 答：每件基础款汉服的进价为100元，每件刺绣马面裙的进价为150元． 27．每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元 【详解】解：设每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元， 根据题意得：， 解之得． 答：每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元． 28．(1)甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元 (2)购买甲种苹果2箱，乙种苹果5箱 【详解】（1）解：设甲种苹果每箱售价x元，乙种苹果每箱售价y元，根据题意得： ， 解得：， 答：甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元； （2）解：设甲种苹果买了m箱，乙种苹果买了n箱，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴， 答：购买甲种苹果2箱，乙种苹果5箱． ◆题型8和差倍分问题 29．A 【详解】解：设技术升级投入万元，植树造林投入万元， ∵总投入为万元，总碳排放净减少量为吨， ∴可得方程组， 解得， ∴技术升级投入万元，植树造林投入万元． 30．主体工程中的桥梁长度是，隧道长度是 【详解】解：设主体工程中的桥梁长度为千米，隧道长度为千米， 由题意得， 解得， 答：主体工程中的桥梁长度是，隧道长度是． 31．这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺 【详解】解：设这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺． 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺． 32．第一次实验用了公斤粮食糟醅，公斤芋头糟醅． 【详解】解：设第一次实验用了x公斤粮食糟醅，y公斤芋头糟醅，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用了公斤粮食糟醅，公斤芋头糟醅． ◆题型9几何问题 33．C 【详解】解：如图，标注字母， 由题意设，，则，，， 由题意可得， 解得， ∴， ∴长方形的周长是． 34．C 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为 由题意得 解得， ∴1张小长方形卡片的面积是． 35． 24 【详解】解：设最小正方形的边长为，次小正方形的边长为， 根据图形可知，长方形的长由两个边长为的正方形和三个边长为的正方形组成， ； 长方形的长由两个边长为的正方形和一个边长为的正方形组成， 四边形是长方形， ， ，整理得，即 ， ， ，将代入上式得 ，解得， ， 长方形的宽由一个边长为的正方形和一个边长为的正方形组成， ， 当，时，. 36． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴，， ∴阴影部分的面积为． ◆题型10古代问题 37．B 【详解】解：由甲给乙10枚后两人钱币数相等，得， 由乙给甲10枚后甲的钱币数是乙的6倍，得， ∴可得方程组为． 38．A 【详解】解：设醇酒为斗，行酒为斗 由题意可列方程组为． 39．A 【详解】解：设有人，辆车，根据题意，得 ． 40．C 【详解】解：设甲匠做工天，乙匠做工天， ∵甲乙两人先后做工共用天完成， ∴可得第一个方程为， 又∵甲每日工钱文，乙每日工钱文，总工钱为文， ∴甲总工钱为，乙总工钱为，可得第二个方程， 故可列方程组． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．A 2．A 3．D 4．D 二、填空题 5． 6． 26 13 7． 三、解答题 8． 【详解】（1）解：设A款无人机每架次满载可吊运水果千克，B款无人机每架次满载可吊运水果千克， 根据题意，得 ， 解得 ， 答：A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克． （2）解：设租用A款无人机架，B款无人机架， 根据题意，得 ， 整理得， ∵，均为正整数， ∴，即，且是3的正倍数， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 9． 【详解】（1）解：设A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元，则 解得 答：A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元； （2）解：设购买A款中国结个，则购买B款中国结个，则 解得， 则， 答：购买A款中国结个，则购买B款中国结个． 10． 【详解】（1）解：小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用的天数， 根据题意，得 （2）解：选小明同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 ②，得．③ ①，得．④ ③－④，得．把代入①，得． 答：整治任务完成后，甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 选小华同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道用天，乙工程队整治河道用天，根据题意，得 ． ①，得．③ ②－③，得， ．把代入①，得， ，． 答：整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二元一次方程组的应用 常考题型·精准突破 考点一 二元一次方程组的应用 题型1方案问题（高频） 题型2行程问题 题型3工程问题 题型4数字问题 题型5年龄问题 题型6分配问题（难） 题型7销售、利润问题（重） 题型8和差倍分问题 题型9几何问题 题型10古代问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二元一次方程组的应用 ◆题型1方案问题 1．某学校为丰富学生课余生活，计划购买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2副羽毛球拍和3副乒乓球拍共需260元，购买3副羽毛球拍和2副乒乓球拍共需290元．求每副羽毛球拍和每副乒乓球拍的价格． 2．有36名分别了多年的老同学约定到某个地方故地重游，他们决定租用汽车前往．可租用的汽车有两种：甲种每辆可以乘8人，乙种每辆可以乘4人．他们不愿意让车子留出空位，但也不能超载．（乘坐人数不包含司机） (1)你能想出几种租车的方案？ (2)已知甲种汽车每天的租金为300元，乙种汽车每天的租金为200元．请帮助他们选择一个最便宜的租车方案． 3．已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆 型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有48吨货物，计划同时租用A、B两种车型，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)通过计算说明该物流公司有哪几种租车方案； (3)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请求出最省钱的租车方案及最少租车费． 4．“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，新能源汽车的销量稳步提升．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)该公司计划用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号均购买），请你帮助该公司设计购买方案． ◆题型2行程问题 5．已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需12小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为13小时，那么甲乙两地的公路长（     ） A． B． C． D． 6．小明购置一辆山地自行车进行户外越野骑行，同款轮胎安装在前轮磨损较慢，行驶后报废；安装在后轮磨损较快，行驶就报废．轮胎A在前，轮胎B在后，行驶到某一里程时交换A和B，又行驶一段里程后发现轮胎A完全磨损坏掉，但轮胎B还未完全磨损，此时总里程为．设轮胎A在交换前行驶里程为，交换后行驶里程为，则可列方程组为________． 7．已知A，B两地相距18千米，甲从A地出发，匀速步行到B地，乙从B地出发，匀速步行到A地．两人同时出发，3小时后相遇；出发4小时后，甲剩余路程是乙剩余路程的2倍．求甲、乙的步行速度． 8．某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． (1)求观光车的车头与每节车厢的长度； (2)某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． ◆题型3工程问题 9．骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 10．某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求A，B两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ 11．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 12．甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条长的公路，甲队每天修建，乙队每天修建，一共用15天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出小红所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________________，y表示________________．该方程组中□处的数应是________，△处的数应是________． (2)小芳同学的思路是想设甲队一共修建了公路，乙队一共修建了公路．下面请你按照小芳的设想列出方程组，并求出乙队修建的天数． ◆题型4数字问题 13．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（     ） A． B． C． D． 14．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当时，，的值分别为（     ） A．3，2 B．1，4 C．2，3 D．7，5 15．用《九章算术》记载的“更相减损术”求168和72的最大公约数，运算步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：．如果继续操作，可得，因此，经过上述四步运算，求得168和72的最大公约数是24． 若两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为，且这两个数中较大的数大于较小数的3倍，则这两个正整数中较大数是（    ） A． B． C． D．或 16．已知一个两位数的个位和十位上的数字之和为，个位上的数字与十位上的数字交换位置后，所得的新两位数比原两位数小，则原来的两位数是________． ◆题型5年龄问题 17．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 18．一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是________________岁． 19．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 20．在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ ◆题型6分配问题 21．用铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或6个桶底，而1个桶身与1个桶底正好配套成1个水桶．现在有56张这样的铁皮，设用x张铁皮做桶身，y张铁皮做桶底，生产的桶身和桶底正好配套，则下列方程组中符合题意的是（     ） A． B． C． D． 22．《考工记》是我国古代的一部工科巨著，其中记载了制作鼎和铜镜的铜锡比例．某工厂按书中记载比例制作鼎和铜镜，制作一个鼎需要12千克铜和2千克锡，制作一面铜镜需要1千克铜和1千克锡，现用60千克铜和20千克锡制作鼎和铜镜、这些铜和锡恰好全部用完时．可制作多少个鼎和多少面铜镜？ 23．某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 24．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ ◆题型7销售、利润问题 25．某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为（     ）万元． A．40 B．25 C．26 D．34 26．某县是全国知名的汉服生产基地，某汉服店铺购进基础款汉服和刺绣款马面裙两种服饰．已知购进2件基础款汉服和3件刺绣马面裙一共花费650元；购进3件基础款汉服比购进5件刺绣马面裙少450元，则每件刺绣马面裙的进价为__________元． 27．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，准备购买A，B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷3顶，则需4600元；若购买A种型号帐篷5顶和B种型号帐篷6顶，则需10000元．求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格． 28． 背景 为助力乡村振兴、支持惠农富农，某合作社销售来自山区的甲、乙两种苹果． 素材 已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． 请利用二元一次方程（组）相关知识解决下列问题： (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价； (2)王老师购买了甲、乙两种苹果，恰好花费600元，求两种苹果各买了多少箱． ◆题型8和差倍分问题 29．某企业计划投入资金用于技术升级与植树造林以实现碳中和目标．已知技术升级每投入1万元可减少碳排放3吨；植树造林每投入1万元可吸收碳排放2吨．若投入10万元，共实现碳排放净减少量28吨，则技术升级和植树造林分别投入（     ） A．8万元，2万元 B．2万元，8万元 C．6万元，4万元 D．5万元，5万元 30．港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，其中技术难度最高的是桥梁、隧道、人工岛组合的主体工程．已知在这个主体工程中，隧道长度比桥隧总长的少，桥梁长度比隧道长度多．求主体工程中的桥梁长度和隧道长度． 31．近视可防可控不可逆，保持“一尺、一拳、一寸”的正确书写姿势能有效预防近视．小文发现，一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺．这本书的长度和小文的一拳长分别是多少尺？ 32．某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验，用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水） 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤：第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食槽醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍，求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ ◆题型9几何问题 33．如图，长方形是由6个正方形组成，其中，则图中长方形的周长是（     ） A．44 B．46 C．48 D．50 34．有7张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示（不重叠、无缝隙）的方式放置在大长方形中，根据图中数据，1张小长方形卡片的面积是（     ） A．78 B．80 C．85 D．90 35．如图，长方形被分成若干个正方形，已知，则长方形的另一边____________． 36．如图，长方形中放有5个形状、大小相同的长方形（空白区域），为了求图中阴影部分的面积，可以设小长方形的宽为，长为，可以列方程组求出小长方形的长和宽，则图中阴影部分的面积为________． ◆题型10古代问题 37．中国古代数学著作《张邱建算经》中有一个问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？设甲有x枚钱币，乙有y枚钱币，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 38．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 39．古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；两人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，则下面所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 40．明代《九章算法比类大全》记载：“今有甲乙二匠造屋，共得钱五百文、甲匠日得三十文，乙匠日得二十文．甲、乙先后作工，凡二十二日而毕．问甲乙各作几日？”其大意是：“现有甲、乙两位工匠合作建房，总共获得工钱文．甲匠每日工钱是文，乙匠每日工钱是文．两人先后做工，共用天完成．问甲、乙各做工多少天？”设甲匠做工天，乙匠做工天，根据题意，可列方程组为 A． B． C． D． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则的值为（     ） A． B．0 C．3 D．5 3．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果个，苦果个，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在长为的大长方形中，以水平或竖直的方式放入个形状、大小完全相同的小长方形，则下列说法正确的是（     ） ①②③若，则每个小长方形的面积均为；④若、、均为正整数，则只能是． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 5．甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在环形路上奔跑．若反向而行，每隔相遇一次，若同向而行，则每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈，则可列方程组为_______________________． 6．小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才出生，你到我这么大时我已经39岁了．”老师年龄为__________岁，小明年龄为__________岁． 7．有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运吨给乙堆，那么两堆煤就一样多．如果从乙堆运吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的倍．这两堆煤共重______________吨． 三、解答题 8．随着低空经济的快速发展，无人机吊运作业有效解决了山地运输难、成本高的问题．在某山区水果种植基地，果农计划租用，两款无人机进行吊运作业．据了解，2架款无人机和1架款无人机每次满载可吊运水果共300千克；1架款无人机和2架款无人机每次满载可吊运水果共330千克． (1)求，两款无人机每架次满载可吊运水果各多少千克？ (2)现要吊运一批重1020千克的水果至山下，计划租用，两款无人机若干架（每架飞机都是满载），恰好一次运完，则需要分别租用，两款无人机各多少架？并写出所有的租赁方案． 9．【综合与实践】： 背景 为庆祝2026年的到来，某班级计划在元旦节这天开展新年联欢活动，同学们提前购买了A、B两种款式的中国结布置教室． 素材 若购买10个A款中国结，5个B款中国结，共需160元；若购买15个A款中国结，10个B款中国结，共需270元． 问题解决 (1)任务1：问A款中国结和B款中国结的销售单价各是多少元？ (2)任务2：购买A、B两种款式的中国结共19个，刚好花了220元，请问购买A款中国结和B款中国结各多少个？ 10．为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $