福建省泉州科技中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

泉州科技中学2025-2026学年度第一学期高一年期中考试 数学试卷 命题老师：高二数学组审核：高二数学组 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题，，则是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．已知全集为R，集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A． B．或 C．是奇函数 D．是偶函数 5．已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数=，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知奇函数的定义域为，在区间上单调递增，，且为偶函数.若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．函数的定义域是 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 10．下列说法正确的是（ ） A．若，则的最大值为 B．函数（）的最小值为 C．已知，，，则的最小值为3 D．若正数x，y满足，则的最小值是4 11．已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ） A． B．为奇函数 C．在R上单调递减 D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则_________. 13．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_________. 14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是_________． ①函数的最大值为；②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；④. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）若，求的最小值； （2）已知，，且满足求的最小值． 16．（15分）设全集为实数集，集合， （1）当时，求，； （2）若命题，命题，且p是q的充分且不必要条件，求实数a的取值范围. 17．（15分）已知关于的不等式的解集为． （1）若，求集合； （2）若，求集合． 18．（17分） 已知函数（，）是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明； （3），使得成立，求实数的取值范围. 19．（17分） 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． （1）已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由； （2）若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 泉州科技中学2025-2026学年度第一学期高一年期中考试 数学试卷答案 命题老师：高二数学组 审核：高二数学组 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【详解】因为命题，，所以：，. 故选：C 2．【答案】D 【详解】A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误. B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误. C中，，错误. D中，由，则，，正确. 故选：D． 3．【答案】A 【详解】当时，，此时，即可以推出， 若，所以，得到，所以推不出， 即“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4．【答案】C 【详解】函数为幂函数，则，解得或. 当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A，B； 所以，定义域关于原点对称，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 故选：C. 5．【答案】B 【详解】∵关于的不等式的解集是或， ∴1和3是方程的两个实数根，且． 则解得 所以不等式等价于，即， 解得． 所以不等式的解集是 故选：B． 6．【答案】D 【详解】由题意得，函数为奇函数，且定义域为， 由奇函数的性质得，，解得，经过检验符合题意， 所以当时，， 所以. 故选：D. 7．【答案】C 【详解】因为对任意，都有成立， 所以为上的增函数， 所以，解得，即， 故选：C. 8．【答案】C 【详解】由为上的奇函数，则关于点对称，则， 又为偶函数，则，故关于对称，则， 则，∴是周期为4的周期函数， 又在区间上单调递增，因此在区间上单调递减， 又，则，因此， 又关于的不等式对恒成立，则， 因此，可得，∴， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．【答案】AD 【详解】A选项，由题意可得，解得，所以函数的定义域是， A选项正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，B选项不正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项不正确； 对于D，由可得， 所以由可得，D选项正确； 故选：AD. 10．【答案】ACD 【详解】对于A，∵，∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为.故A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为3. 故B错误； 对于C，因为，，， 所以， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为3.故C正确； 对于D，因为，，，所以， 则， 当且仅当即时等号成立，此时， 所以的最小值为4.故D正确. 故选：ACD. 11.【答案】ABD 【解析】【分析】 本题考查抽象函数的奇偶性，单调性，A选项，赋值法得到，，：B选项，先赋值得到，令得，故B正确：C选项，令，，且，当时，，故，从而在R上单调递增：D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确. 【解答】 解：A选项，中，令得，， 又，故， 令中，令得， 令，得，即，A正确： B选项，中，令得，解得，中，令得，故为奇函数，B正确： C选项，中，令，，且， 故，即， 当时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项，，， 又，故，又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】3 【详解】，， 故答案为：3 13．【答案】 【详解】解：，， 因为p是q的充分不必要条件，所以， 则，即. 经检验满足条件. 故答案为：. 14．【答案】②③④ 【详解】由题意得：， 由解析式可得函数图形如下图所示， 对于①，函数，①错误；对于②：函数的最小值为，②正确； 对于③，函数的图象与直线有无数个交点，③正确； 对于④，函数满足，④正确； 故答案为：②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】解：（1）因为，所以，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为； （2）因为，，， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为． 16．【答案】（1），或 （2） 【分析】（1）求得集合A，B，进而可求得，； （2）根据给定条件得到集合A是集合B的真子集，再利用集合的包含关系即可得解. 【详解】（1）解，得，所以， 当时，， 所以，或， 所以或， （2）由（1）知，，而必为非空集合， 因为p是q的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集， 所以（等号不同时成立），解得. 17．【答案】解：（1）若，则不等式为，即，所以. （2）原不等式为， 当时，不等式即为，所以. 当时，方程的两根分别为，， ①当时，，所以； ②当时， 若，则， 若，则； 若，则，则； 综上，当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 18．【详解】（1）因为（，），，定义域关于原点对称， 令，所以，故，...................................................................2分 则，， 所以为定义在上的奇函数，故...................................................................4分 （2）是上的增函数. 证明：任取，且， ，......6分 因为，所以，，， 所以，， 所以，即， 所以是上的增函数........................................................................................................9分 （3）当时，不等式即，...................................11分 故， 则令，由题意可知，，....................................................13分 因为函数，为上的增函数， 故在上单调递增， 故， 所以....................................................................................................................................17分 19．【详解】（1）对于，定义域为，显然定义域中任意实数有成立，又， ∴是倒函数，............................................................................................................3分 对于，定义域为， 故当时，，不符合倒函数的定义， 所以不是倒函数；.....................................................................................................6分 （2）因为，又是上的倒函数， 所以，所以， 故，.................................................................9分 充分性：当时，且，又在上是严格增函数， 所以，， 所以，，故..............................................12分 必要性：当时， 有 ，.............................................................................................15分 又恒大于0，所以， 因为，所以， 因为在上是严格增函数．所以，即有成立. 综上所述：是的充要条件．..................................................................17分 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 泉州科技中学2025-2026学年度 第一学期高一年期中考试数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 准考证号 班级： [o] [0] [0] [0] [o] [o] [o] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] 婴 [2] [2] [2] [2] [2] [2] L21 [2] 音数 [3] [3] [3] [3] [3] [3] 「3 [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [51 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] 正确填涂■缺考标记☐ [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8l [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题(18为单选题911为多选题 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][Cc][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 填空题 12 13. 14. 解答题 15. 囚囚■ 16. 囚ㄖ■ ■ ■ ■ 18. I 囚■囚 囚■囚 6I ■ 口 ■