专项01 线段、角的计算与方程思想（题型专练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 以方程思想为核心，系统构建线段与角的计算体系，通过"原理-特征-步骤-变式"四阶训练实现知识迁移与能力提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段中点计算|1典例+5变式|标注-转化-列方程-验证四步法|从线段中点定义出发，建立与方程思想的关联，为复杂线段计算奠基| |线段综合计算|1典例+5变式|参数法表示线段关系|拓展至比例、多等分点，强化分类讨论思维| |方向角计算|1典例+6变式|基准方向定位法|结合方位角定义与平行线性质，培养空间观念| |三角板角度计算|1典例+3变式|特殊角组合法|利用30°/45°/60°角的和差关系，提升几何直观能力| |角度四则运算|1典例+4变式|六十进制运算法则|强化度分秒换算技能，为角度计算提供运算基础| |角平分线计算|1典例+4变式|类比线段中点解题逻辑|构建角平分线与中点的平行知识结构，渗透类比思想| |角n等分线计算|1典例+4变式|等分份数对应法|从特殊到一般，培养数学抽象与推理意识|

专题01 线段、角的计算与方程思想 （题型突破·举一反三） ▌题型01 线段中点的有关计算 【典例1】 【答案】8 【分析】先用的长度减去的长度，整理即可得出D、E两站的距离，再根据列式并把代入即可求出． 【详解】解：， ∵D为线段的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴（）． 故答案为：8． 【变式1-1】 【答案】 【分析】设，折叠得到，中点得到，进而得到，，剪成3条，3条线段的长度分别为的长，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵对折， ∴， ∵P是中点， ∴， ∴， ∴， 由题意，3条线段从小到大的长度分别为的长， 故这三条线段长度从小到大的比为． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用线段的比例关系可分别求得线段的长，从而求得线段的长； （2）根据中点的性质可以求得线段的长，从而求得线段的长． 【详解】（1）解： ， 设，，， ， ， ， ，，， ． （2）解： 是的中点， ， ． 【变式1-3】 【答案】(1)①５；②５； (2)． 【分析】本题考查线段中点定义，线段的和差倍分，熟练掌握相关结论，会设未知数利用数形结合思想是解题的关键． （1）①先求的长，再由中点定义得, , ，最后根据线段组合得的长； ②设，得，，再由线段组合得，抵消即可得长度． （2）设，得，设，得，，设，由，推出，代入 整理后约分即得结果． 【详解】（1）解：①∵,, ∴, ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴, ∴． ②设， 则，， ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴． （2）解：∵，，， ∴设，则， 设，则，， 设， 则，，， ∵， ∴， 整理得， ∴． 【变式1-4】 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意算出 ，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线 上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段 上时和当点N在线段 的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与 的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ． （3）解：当点N在线段 上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段 的延长线上时，如图： ， 又， ，即． 综上所述的值为或． 【变式1-5】 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，由，可设，则，，根据，即可得出，再根据点C为线段的中点，可得，即可得出的长； 由可知，根据点C为线段的中点，由线段的中点定义可得：，再根据，即可得出，再根据已知，由可得出：，解方程求出x的值，则得的值，最后由进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ， 点C为线段的中点， ； （2）解：由（1）可知， ∵点C为线段的中点， ， ， ， ，， ， ， ，， ． ▌题型02 在线段的计算中的应用 【典例1】 【答案】4或24 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键．根据“折中点”的定义分情况求出的长度即可． 【详解】①如图，，， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，，， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴ ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为4或24， 故答案为：4或24． 【变式1-1】 【答案】1或7/7或1 【分析】本题考查线段的计算，准确地作图，合理分类讨论是解题的关键．先确定点C、D在线段上的位置，再通过分类讨论点P在直线上的不同位置，结合线段的和差关系列方程求解． 【详解】解：∵，点C为线段的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴． ①当点P在点B的右侧，如图1，    设， 则，， ∵， ∴， 解得（不符题意，舍去）； ②当点P在点A的左侧，如图2，    设， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴； ③当点P在之间，如图3，    设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴； ④当点P在之间，如图4，    设， 则， ∵， ∴， 解得（不符题意，舍去）； ⑤当点P在之间，如图5，    设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴（不符题意，舍去）； 综上，或7． 故答案为：1或7． 【变式1-2】 【答案】 或 【分析】本题主要考查线段的和差关系，线段中点的有关计算，解题的关键是注意进行分类讨论． 根据点C为线段的中点，D为线段上一点，且，得到，，即可求出的长；分点P在的延长线上和点P在的延长线上两种情况，分别运用线段的和差关系即可解答． 【详解】解：∵点C为线段的中点，D为线段上一点，且， ∴，， ∴， ∵， ∴点P在线段的延长线上或点P在线段的延长线上， 如图：当点P在线段的延长线上时，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图：当点P在的延长线上时，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：，或． 【变式1-3】 【答案】一、感悟体验： 如图所示：点D即为所求： 二、认识概念：③； 三、运用概念：（1）； （2）证明：∵点M为的中点， ∴ ∵点N为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵与互为“对称线段”， ∴ ∴ 即： ∴ ∴与互为“对称线段”． 四、拓展提升：存在时，可使的长为定值，且 【分析】本题以新定义题型为背景，重点考查了线段的和差关系，找准线段之间的关系是解题关键． 一、感悟体验：以点为圆心，长为半径画弧即可；二、认识概念：分别求出即可判断；三、运用概念：由中点的定义得， ，根据即可求解；四、拓展提升：设，则，，；根据即可求解． 【详解】解：一、感悟体验：略 二、认识概念： ①∵，， ∴ ②∵，， ∴ ∴ ③∵ ∴ 即： 故答案为：③ 三、运用概念： ∵点M为的中点， ∴ ∵点N为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵与互为“对称线段”， ∴ ∴ 即： ∴ （1） （2）由以上解析可知， ∴与互为“对称线段”． 四、拓展提升： 设， ∵且， ∴，， ∵点M为的中点， ∴ ∵点N在上且， ∴ ∵ ∴ 整理得： ∴当，即时，可使的长为定值 且 【变式1-4】 【答案】 （1）如图所示：点即为所求： ③ （2）6 （3）∵点为的中点， 点为的中点， ， 即： 与互为“对称线段”． 【分析】本题考查尺规作线段，线段的和与差，掌握新定义，是解题的关键： （1）以为圆心，的长为半径画弧，即可得到点，分别求出的长，根据新定义进行判断即可； （2）易得，线段的和差求出的长，中点求出的长即可； （3）根据线段的和差以及中点的定义，求出的长，再进行判断即可． 【详解】解：（1）①，， 不符合题意； ②，， ；不符合题意； ③， ，即：， 答案为：③ （2）与互为“对称线段”， 又点为的中点， （3）略 【变式1-5】 【答案】（1）解法一：AB－BC，AB+BC；解法二：2或4；（2）CD=0.5或2.5或3.5或5.5；（3）4或1． 【分析】（1）解法一：根据线段的和差即可求出， 解法二利用数轴上点的位置和两点间的距离即可求出； （2）建立如图所示的数轴，点 A表示：0，点B表示：3，由BC=1，求出点C表示：2或4，由AD=1.5，求出点D表示：±1.5，分类计算两点距离即可； （3）建立如图所示的数轴，点 A表示：0，点B表示：3，由线段CD在直线AB上运动，且CD=5，令点C表示：a，则点D表示：a+5或a－5；由点M为AC的中点，求出点M表示：．由点N为BD的中点，点N表示：或，分类计算两点距离即可． 【详解】（1）解法一：根据线段的和差，左图AC=AB-CB，右图AC=AB+BC， 故答案为：AB－BC，AB+BC； 解法二：设点C表示的数为x， 当点C在AB上，则3-x=1，x=2， 当点C在AB延长线上，x-3=1，x=4， ∴点C表示的数为：2或4 故答案为：2或4； （2）在直线AB上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段AB的长为3个单位长度建立如图所示的数轴，则A：0，B：3， ∵BC=1， ∴点C表示的数为：2或4， ∵AD=1.5， ∴点D表示的数为：±1.5， ∴①当点D表示1.5，点C表示2时， 则CD=2－1.5=0.5， ②当点D表示-1.5，点C表示2时， 则CD=2－（－1.5）=3.5， ③当点D表示1,5，点C表示4时， 则CD=4－1.5=2.5， ④当点D表示-1.5，点C表示4时， 则CD=4－（－1.5）=5.5， ∴CD=0.5或2.5或3.5或5.5； （3）在直线AB上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段AB的长为3个单位长度建立如图所示的数轴，则A：0，B：3 ∵线段CD在直线AB上运动，且CD=5， 令点C表示：a，则点D表示：a+5或a－5； ∵点M为AC的中点， ∴点M表示：． ∵点N为BD的中点， ∴点N表示：或， 当点N表示： NM= 当点N表示： ， MN=． ∴线段MN的长度为4或1． 【点睛】本题考查数形结合的应用以及数轴和两点间的距离等知识，掌握线段和差是求两点之间线段长度的方法，两点间的距离可以利用数轴上表示的数的差的绝对值计算，注意讨论是解题关键． ▌题型03 与方向角有关的计算题 【典例1】 【答案】D 【分析】根据角之间的关系分别求出和的度数，即可求出射线和射线的方位角，根据求出的方位角判断正误即可． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ， 射线的方向为北偏东， 故A、B选项错误； ， ， ， ， ， ， 射线的方向为南偏西， 故C选项错误，D选项正确． 【变式1-1】 【答案】A 【分析】利用角度的和差关系以及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：由题意可得： ∵，， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴射线的方向为：北偏西． 【变式1-2】 【答案】C 【分析】作，可得，故可得从点处观察山脚处的俯角为． 【详解】解：如图，作， ∴， ∵， ∴，即从点处观察山脚处的俯角为． 【变式1-3】 【答案】C 【分析】本题考查了方向角的定义、度分秒的换算以及角的和差计算．根据路程、速度、时间的关系判断①；利用角的和差关系及度分秒换算判断②③；根据方向角的定义判断④即可． 【详解】解：海轮到灯塔的距离为，速度为， 抵达灯塔需要的时间为小时分钟， 故①正确； ， 故②错误； 、 ，，在同一直线上， 故③正确； ，正北方向与夹角为， 在灯塔的北偏东的方向上， 故④正确； 综上所述，说法正确的是①③④． 【变式1-4】 【答案】B 【分析】根据题干图得到立春初昏时分斗柄指向的方向，进而计算即可． 【详解】解：由图可知立春初昏时分斗柄指向的方向为东偏北， ∵谷雨这天初昏时分北斗七星的斗柄指向辰位（南偏东）， ∴谷雨这天初昏时分北斗七星的斗柄指向东偏南， ∴立春初昏时分斗柄指向的方向与谷雨初昏时分斗柄指向的方向的夹角约为． 【变式1-5】 【答案】(1)的度数为 (2)小船在超然楼的北偏东方向上 【分析】本题考查了方向角与角平分线的应用，解题的关键是根据方向角的定义，准确计算出的度数，再利用角平分线的性质求出小船的方向角． （1） 根据方向角的定义，分别求出和，再利用方向角与直角的性质计算； （2） 先求出的度数，再计算的度数，从而确定小船的方向． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴，又， ∴ ． 答：的度数为． （2）解：平分， ， ∴． 答：小船在超然楼的北偏东方向上． 【变式1-6】 【答案】(1) (2)点在点的北偏西 【分析】（1）根据角的和差解答即可； （2）先根据角的和差求出的度数，则点的位置即可判断． 【详解】（1）∵开始时点在点的北偏东 ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴点在点的北偏西的方向． 【点睛】本题考查的是与方向角有关的计算，解题的关键是熟练掌握象限角之间的大小关系． ▌题型04 三角板中角度计算问题 【典例1】 【答案】(1)， (2) 如图，即为所求； (3)①或；② 【分析】本题考查了旋转，角的和差，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，，进而根据角的和差关系即可求解； （2）根据题意画出图形即可； （3）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得，即得，进而可得，，即得到，即可得，求出的值即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，，， ∴， ； （2）解：根据旋转的性质可得， ∴ （3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，， ∵， ∴， 解得； 如图，当旋转方向为顺时针方向时，， ， ∴， 解得； 综上，的度数为或； ②由旋转性质可得，， ∵，， ∴， ， ∴， ∵与始终满足为定值， ∴， 解得． 【变式1-1】 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余求出，根据旋转可得，然后根据等腰三角形的性质求出，即可求解； （2）根据等边对等角求得，根据三角形的两个锐角互余求得，根据旋转的性质得，，进而根据三角形的外角的性质以及直角三角形的两个锐角互余分别求得，进而根据等边对等角证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵将绕C按逆时针方向旋转角后得， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵旋转，则，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【变式1-2】 【答案】(1)，； (2) 如图，把绕点A逆时针旋转，得到和， 连接，得到，即为所求作； (3)①或；②． 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，进而根据角的和差关系即可求解； （2）根据题意画出图形即可； （3）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得，即得，进而可得，，即得到，即可得，求出m的值即可求解． 【详解】（1）解：∵将三角板绕着点A旋转得到， ，， ， ； （2）略 （3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，，， ， ， 解得； 当旋转方向为顺时针方向时，，， ， ， 解得； 综上，的度数为或； ②由旋转性质可得，， ，， ， ， ， 与始终满足为定值， ， 解得， 常数m的值为 【变式1-3】 【答案】(1)55，125；35，145 (2) (3)见解析 【分析】（1）结合图形，利用角的和差关系求解即可； （2）同（1）结合图形，利用角的和差关系求解即可； （3）用含α的代数式表示出和，然后相加即可求解． 【详解】（1）解：如图，， ∴，； 如图，， ∴，； （2）解：， ∴， ， ； （3）证明：， ， ， ， 不论取何值，的值不变． ▌题型05 角度的四则运算 【典例1】 【答案】 【详解】解：（1），； （2）； （3）； （4）． 【变式1-1】 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键； 根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解： ， ； （4）解： ， ， ， ， ． 【变式1-4】 【答案】（1）90°；（2）81°35′30″；（3）47°32′6″；（4）22°3′42″ 【分析】类比与小数的计算方法，计算度分秒即可，注意满60进一，借一当60． 【详解】解：（1）23°45′36″+66°14′24″=90°； （2）180°-98°24′30″=179°59′60″-98°24′30″=81°35′30″； （3）15°50′42″×3=45°150′126″=45°152′6″=47°32′6″； （4）88°14′48″÷4=22°3′42″． 【点睛】本题考查了角度的四则运算以及度分秒的换算，注意度分秒之间的换算：1度=60分，1分=60秒． ▌题型06 角平分线的有关计算 【典例1】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. 【变式1-1】 【答案】(1) (2)30； (3)在旋转过程中，的度数不发生变化，恒为 【分析】（1）根据三角板度数和角平分线的定义求解即可； （2）根据图2中的度数，结合角平分线的定义分别求出的度数即可得到答案； （3）根据角平分线的定义表示出的度数，再根据角的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：∵、、三点在同一条直线上， ∴，， ∵和分别平分和， ∴，， ∴； （2）解：在图1中，． 在图2中，， ∴三角形的旋转角的度数为． ∴的值为30； 在图2中， ∵，平分， ∴． ∵，平分． ∴． ∴； （3）解：的度数在旋转过程中不会变化，恒为， 理由：∵平分， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数在旋转过程中不会变化，恒为． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，再由角平分线的定义得，从而可求的度数； （2）由题意可得，由角平分线的定义可得，利用邻补角即可求得． 【详解】（1）解：∵，是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义求出和，然后根据代入数据进行计算即可得解； （2）根据角平分线的定义表示出和，然后根据计算即可得解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴ ∵平分， ∴ ∴ （2）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴ ∴ = 【变式1-4】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义，得到和的度数，再根据计算即可求解； （2）根据角平分线的定义，得到，，又根据，可得，利用，求出的度数，即可的度数； （3）分情况画出图形，根据角平分线的定义和角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：∵点A，O，B在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， 则的度数为； （2）解：∵和分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则的度数为； （3）解：∵和分别平分和， ∴，， 第一种情况如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； 第二种情况如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； 综上可知：的度数为． ▌题型07 角n等分线的有关计算 【典例1】 【答案】(1)45°； (2)． 【分析】本题主要考查角的平分线以及角的和差关系的应用，通过角平分线的性质或给定的角的比例关系，结合已知角的度数或表达式来求解的度数． 【详解】（1）解：∵平分，OF平分 ∴， ∴ ∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了角的和差与角平分线的应用，掌握利用角的和差关系结合角平分线性质或角的比例关系来推导角的度数的方法是解题的关键． 【变式1-1】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线，角的计算，掌握角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线的定义以及角之间的和差关系进行计算即可； （2）由（1）的计算过程可得结论； （3）根据角的倍数关系进行计算即可． 【详解】（1）解：∵射线和射线分别平分和． ， ． （2）解：， ∵射线和射线分别平分和． ， ， 即； （3）解：， ， 又 ∵， ， ． 【变式1-2】 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 【变式1-3】 【答案】(1)①； ②，理由如下： ， ； (2) 【分析】本题主要考查了角的运算，角平分线的概念，解题的关键是找到角的和差关系． （1）① 由，，可得，由平分，平分，可得，，最后根据角的和差即可求解； ②，结合平分，平分，即可求解； （2）由，，，，可推出，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：① ，， ， 平分，平分， ，， ； ②略 （2） ，， ， 即， ，， ， 即， ， ， ， ， ． 【变式1-4】 【答案】（1）是；（2）或或；（3）当t为6秒或秒或秒时，射线是的“巧分线” 【分析】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查角的和差运算，与角平分线，三等分线有关的计算，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义． （1）根据巧分线定义即可求解； （2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （3）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； 【详解】解：（1）∵根据角平分线的定义可知，这个角是以它的其中一边与角平分线的为两边的角的两倍， ∴一个角的平分线是这个角的“巧分线”， 故答案为：是； （2）， ①当是的角平分线时， ； ②当是三等分线时，较小时， ； ③当是三等分线时，较大时， ； 故答案为：或或； （3）依题意得：，，， ∴， ∵射线是的“巧分线”， ∴与（2）同理可得：或或， 即：或或， 分别解得：，，， ∴当t为6秒或秒或秒时，射线是的“巧分线”． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 线段、角的计算与方程思想 （题型突破·举一反三） 题型01 线段中点的有关计算 题型02 在线段的计算中的应用 题型03 与方向角有关的计算题 题型04 三角板中角度计算问题 题型05 角度的四则运算 题型06 角平分线的有关计算 题型07 角n等分线的有关计算 ▌题型01 线段中点的有关计算 1.本质与原理 线段中点的定义是：把一条线段分成两条相等线段的点。若点 是线段 的中点，则 。线段中点是几何中最基本的“定比分点”，其核心作用是将一条线段的长度“一分为二”或将两段相等的线段“合二为一”。在线段计算中，中点主要用于建立等量关系，结合线段的和差关系构建方程，从而求出未知线段的长度。 2.深度识别特征 图形中含有线段的中点（题中会明确说明“ 是 的中点”或“点 为线段 的中点”）。 有时没有直接说明“中点”，而是给出“”或“”，这些表述等价于中点。 图形可能只给出部分线段的长度，要求求另一条线段的长度。 可能出现多个中点（如“ 是 的中点， 是 的中点”），形成“中点链”。 3.操作细化步骤 标注图形：在图上标出已知长度和未知量，用字母表示待求的线段（如设 ）。 利用中点性质转化：若 是 的中点，则 ，且 。根据具体问题，选择将整体转化为两倍的部分，或将两段相等转化为整体的一半。 列出线段的和差关系：观察图形，找出各线段之间的和差关系。例如：、 等。 建立方程：将几何关系中的线段用已知数或未知量表示，列出一元一次方程。 解方程并作答：求出未知量，注意单位。 4.易错点与注意事项 中点的位置不明确：若题目只说“点 是线段 上的中点”，则 在线段 上；若说“点 到 、 两点的距离相等”，则 是 的垂直平分线上的点，不一定是线段上的中点（需注意是否在直线上）。 多个中点时对应关系错误：如 是 中点， 是 中点，则 ，而非 。 遗漏线段的和差关系：当图形中有多个点且部分点在图形外部时，线段关系需仔细辨别（如 与 的和差关系不同）。 设未知数时选择合适的参照：设最短线段为 往往计算最简便。 5.与其他方法的联系 是“在线段的计算中的应用”的基础——绝大多数线段计算都依赖于中点的性质建立方程。 与“角平分线的有关计算”形成平行对应：线段中点对应角平分线，两者的解题逻辑完全相同。 是后续学习“两点间距离” “垂直平分线”等概念的基础。 6.变化形式 多个中点：依次取中点，各段长度呈现 倍关系（等比数列规律）。 中点与比例结合：如“ 是 上一点，且 ， 是 的中点”，需要综合运用比例和中点性质建立方程。 延长线上的点：中点可能在延长线上吗？不能，中点必须在线段内部。 折叠问题：折叠后折痕上的点是对应点的中点，由此建立等量关系。 【典例1】、、、、五个车站在同一直线上，它们之间的距离如图所示（单位：）．如果，为线段的中点，则的值为___________． 【答案】8 【分析】先用的长度减去的长度，整理即可得出D、E两站的距离，再根据列式并把代入即可求出． 【详解】解：， ∵D为线段的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴（）． 故答案为：8． 【变式1-1】如图1，C是线段上一点，，现以点C为对折点，将线段向右对折，得到图2，P是中点，沿点P将线段剪断，使得原线段被剪成三条，则这三条线段长度从小到大的比为______． 【答案】 【分析】设，折叠得到，中点得到，进而得到，，剪成3条，3条线段的长度分别为的长，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵对折， ∴， ∵P是中点， ∴， ∴， ∴， 由题意，3条线段从小到大的长度分别为的长， 故这三条线段长度从小到大的比为． 【变式1-2】如图，线段，点把线段分成三部分，其中，是的中点． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用线段的比例关系可分别求得线段的长，从而求得线段的长； （2）根据中点的性质可以求得线段的长，从而求得线段的长． 【详解】（1）解： ， 设，，， ， ， ， ，，， ． （2）解： 是的中点， ， ． 【变式1-3】如图，C，B两点在线段上（点C在点B左侧），点E在线段上，点F在线段上． (1)如图1，点E为线段中点，点F为线段中点． ①若，，则的长为______； ②若，，求的长； (2)如图2，当，时，，求的值． 【答案】(1)①５；②５； (2)． 【分析】本题考查线段中点定义，线段的和差倍分，熟练掌握相关结论，会设未知数利用数形结合思想是解题的关键． （1）①先求的长，再由中点定义得, , ，最后根据线段组合得的长； ②设，得，，再由线段组合得，抵消即可得长度． （2）设，得，设，得，，设，由，推出，代入 整理后约分即得结果． 【详解】（1）解：①∵,, ∴, ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴, ∴． ②设， 则，， ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴． （2）解：∵，，， ∴设，则， 设，则，， 设， 则，，， ∵， ∴， 整理得， ∴． 【变式1-4】已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意算出 ，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线 上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段 上时和当点N在线段 的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与 的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ． （3）解：当点N在线段 上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段 的延长线上时，如图： ， 又， ，即． 综上所述的值为或． 【变式1-5】如图，点C为线段的中点，点M、N在线段上，已知 ， (1)若，求线段的长； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，由，可设，则，，根据，即可得出，再根据点C为线段的中点，可得，即可得出的长； 由可知，根据点C为线段的中点，由线段的中点定义可得：，再根据，即可得出，再根据已知，由可得出：，解方程求出x的值，则得的值，最后由进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ， 点C为线段的中点， ； （2）解：由（1）可知， ∵点C为线段的中点， ， ， ， ，， ， ， ，， ． ▌题型02 在线段的计算中的应用 1.本质与原理 “在线段的计算中的应用”是指线段计算中“不含中点”或“不止中点”的一类综合性问题。其本质是运用线段的和差倍分关系建立代数方程，通过解方程求线段长度。这类问题的核心工具包括：线段的和差关系、线段的多等分点、比例关系、方程思想。与题型一相比，本题型的“几何关系”更加多样，解题的关键是准确识别图形中各线段之间的数量关系。 2.深度识别特征 图形中给出一条直线或线段上的多个点，给出部分线段的长度，要求求未知线段。 可能给出线段间的比例关系（如 ）。 可能给出多个等分点（如“、 将线段 三等分”）。 可能涉及两条线段的和或差与第三条线段的关系（如 ）。 图形可能是一般线段，也可能涉及多个线段组合。 3.操作细化步骤 画图并标注：根据题意画出图形，将所有已知长度和未知量标注在图上。 识别线段关系：找出各线段之间的和、差、倍、分关系，列出几何关系式。 选择参数：通常设最短的线段为 （或设某一关键线段为 ），将其他相关线段用 表示出来。 利用整体线段列方程：找到一条已知总长度的线段，将其分解为各段之和，从而得到一元一次方程。 解方程并求各段长度：求出 后，回代求出所有需要求的线段长度。 验证：检查各线段长度是否满足几何关系（如是否为正数、是否符合大小关系）。 4.易错点与注意事项 多解情况：当点的位置不明确时（如“点 在直线 上”），可能存在点 在 、 之间或在延长线上两种情形，需要分类讨论。 比例关系的应用：若 ，可设 ，，则 。 “几等分点”的理解：“、 将 三等分”意味着 ，即有两个等分点将线段分成三段相等部分。 整体与部分的关系：在复杂图形中，要善于从“整体”角度观察，找到一条包含所有“部分”的总线段。 5.与其他方法的联系 以“线段中点的有关计算”为基础，但拓展到任意等分点和比例关系。 与“角度的四则运算”中的“角的和差倍分”形成平行对应。 “方程思想”是整式加减章节的直接应用——用含 的代数式表示线段，再列方程求解。 6.变化形式 两点之间的多种可能位置：如点 在线段 上或在其延长线上，需分类讨论。 多个比例条件：同时给出多个比例关系，形成比例连锁。 已知两线段之和（或差）求单个线段：如“已知 ，求某线段长”。 与中点混合：既有比例又有中点，需要综合处理。 【典例1】如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为___________． 【答案】4或24 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键．根据“折中点”的定义分情况求出的长度即可． 【详解】①如图，，， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，，， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴ ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为4或24， 故答案为：4或24． 【变式1-1】已知线段的长为10，点C为线段的中点，D为线段上一点，且，若点P为直线上一点，且，则___________． 【答案】1或7/7或1 【分析】本题考查线段的计算，准确地作图，合理分类讨论是解题的关键．先确定点C、D在线段上的位置，再通过分类讨论点P在直线上的不同位置，结合线段的和差关系列方程求解． 【详解】解：∵，点C为线段的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴． ①当点P在点B的右侧，如图1，    设， 则，， ∵， ∴， 解得（不符题意，舍去）； ②当点P在点A的左侧，如图2，    设， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴； ③当点P在之间，如图3，    设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴； ④当点P在之间，如图4，    设， 则， ∵， ∴， 解得（不符题意，舍去）； ⑤当点P在之间，如图5，    设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴（不符题意，舍去）； 综上，或7． 故答案为：1或7． 【变式1-2】如图，线段的长为a，点C为线段的中点，D为线段上一点，且．则的长为_______（用含a的式子表示）；若P为直线上一点，且，则的值为______________ 【答案】 或 【分析】本题主要考查线段的和差关系，线段中点的有关计算，解题的关键是注意进行分类讨论． 根据点C为线段的中点，D为线段上一点，且，得到，，即可求出的长；分点P在的延长线上和点P在的延长线上两种情况，分别运用线段的和差关系即可解答． 【详解】解：∵点C为线段的中点，D为线段上一点，且， ∴，， ∴， ∵， ∴点P在线段的延长线上或点P在线段的延长线上， 如图：当点P在线段的延长线上时，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图：当点P在的延长线上时，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：，或． 【变式1-3】 【感悟体验】如图1，A、B、C三点在同一直线上，点D在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定D点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图2，下列情形中与互为“对称线段”的是________（直接填序号）． ①，；②，，；③，． 【运用概念】如图3，与互为“对称线段”，点M为的中点，点N为的中点，且． （1）若，求的长； （2）在的长度可以变化的情况下，试说明与互为“对称线段”． 【拓展提升】 （3）如图4，在同一直线上依次有A、B、C、D四点，且（a为常数），点M为的中点，点N在上且．是否存在m的值使得的长为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】一、感悟体验： 如图所示：点D即为所求： 二、认识概念：③； 三、运用概念：（1）； （2）证明：∵点M为的中点， ∴ ∵点N为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵与互为“对称线段”， ∴ ∴ 即： ∴ ∴与互为“对称线段”． 四、拓展提升：存在时，可使的长为定值，且 【分析】本题以新定义题型为背景，重点考查了线段的和差关系，找准线段之间的关系是解题关键． 一、感悟体验：以点为圆心，长为半径画弧即可；二、认识概念：分别求出即可判断；三、运用概念：由中点的定义得， ，根据即可求解；四、拓展提升：设，则，，；根据即可求解． 【详解】解：一、感悟体验：略 二、认识概念： ①∵，， ∴ ②∵，， ∴ ∴ ③∵ ∴ 即： 故答案为：③ 三、运用概念： ∵点M为的中点， ∴ ∵点N为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵与互为“对称线段”， ∴ ∴ 即： ∴ （1） （2）由以上解析可知， ∴与互为“对称线段”． 四、拓展提升： 设， ∵且， ∴，， ∵点M为的中点， ∴ ∵点N在上且， ∴ ∵ ∴ 整理得： ∴当，即时，可使的长为定值 且 【变式1-4】如图1，A，B，C三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】 在同一直线上依次有A，B，C，D四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． （1）如图2，下列情形中与互为“对称线段”的是_____（直接填序号）． ①，；②，，；③，． 【运用概念】 如图3，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （2）若，求的长； （3）在的长度变化的情况下，试说明与互为“对称线段”． 【答案】 （1）如图所示：点即为所求： ③ （2）6 （3）∵点为的中点， 点为的中点， ， 即： 与互为“对称线段”． 【分析】本题考查尺规作线段，线段的和与差，掌握新定义，是解题的关键： （1）以为圆心，的长为半径画弧，即可得到点，分别求出的长，根据新定义进行判断即可； （2）易得，线段的和差求出的长，中点求出的长即可； （3）根据线段的和差以及中点的定义，求出的长，再进行判断即可． 【详解】解：（1）①，， 不符合题意； ②，， ；不符合题意； ③， ，即：， 答案为：③ （2）与互为“对称线段”， 又点为的中点， （3）略 【变式1-5】课本P130页这道题“已知A、B、C在同一直线上，AB=3cm，BC=1cm，求AC的长．”甲同学和乙同学分别给出了下列的解法一、解法二． （1）请认真阅读下列解法，并填空： 解法一：根据题意可分如下两种情形： ①C点在线段AB上；②C点在线段AB延长线上 AC=　　　　=3－1=2（cm），AC=　　　　=3+1=4（cm） 所以线段AC的长为2cm或4cm． 解法二：在直线AB上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段AB的长为3个单位长度建立如图所示的数轴． 则A：表示的数为0，B：表示的数为3；∵BC=1，∴点C表示的数为　　　　；所以线段AC的长为2cm或4cm． （2）丙同学学习了以上两种解法后若有所悟，觉得解法二很好，在解决线段的计算问题时，利用数形结合法比较简单．于是给同学们出了这样一道题：已知A、B、C、D在同一直线上，AB=3cm，BC=1cm，AD=1.5cm，求CD的长．请利用数形结合法解答丙同学的试题． （3）丁同学做完了丙同学的试题后，深受启发，觉得数形结合法太妙了，可以妙解点或线段的动态问题，于是编了以下试题：已知线段AB=3，线段CD在直线AB上运动，且CD=5，在运动的过程中，若点M、N分别为线段AC、BD的中点，求线段MN的长度．请用数形结合法解答丁同学的试题． 【答案】（1）解法一：AB－BC，AB+BC；解法二：2或4；（2）CD=0.5或2.5或3.5或5.5；（3）4或1． 【分析】（1）解法一：根据线段的和差即可求出， 解法二利用数轴上点的位置和两点间的距离即可求出； （2）建立如图所示的数轴，点 A表示：0，点B表示：3，由BC=1，求出点C表示：2或4，由AD=1.5，求出点D表示：±1.5，分类计算两点距离即可； （3）建立如图所示的数轴，点 A表示：0，点B表示：3，由线段CD在直线AB上运动，且CD=5，令点C表示：a，则点D表示：a+5或a－5；由点M为AC的中点，求出点M表示：．由点N为BD的中点，点N表示：或，分类计算两点距离即可． 【详解】（1）解法一：根据线段的和差，左图AC=AB-CB，右图AC=AB+BC， 故答案为：AB－BC，AB+BC； 解法二：设点C表示的数为x， 当点C在AB上，则3-x=1，x=2， 当点C在AB延长线上，x-3=1，x=4， ∴点C表示的数为：2或4 故答案为：2或4； （2）在直线AB上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段AB的长为3个单位长度建立如图所示的数轴，则A：0，B：3， ∵BC=1， ∴点C表示的数为：2或4， ∵AD=1.5， ∴点D表示的数为：±1.5， ∴①当点D表示1.5，点C表示2时， 则CD=2－1.5=0.5， ②当点D表示-1.5，点C表示2时， 则CD=2－（－1.5）=3.5， ③当点D表示1,5，点C表示4时， 则CD=4－1.5=2.5， ④当点D表示-1.5，点C表示4时， 则CD=4－（－1.5）=5.5， ∴CD=0.5或2.5或3.5或5.5； （3）在直线AB上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段AB的长为3个单位长度建立如图所示的数轴，则A：0，B：3 ∵线段CD在直线AB上运动，且CD=5， 令点C表示：a，则点D表示：a+5或a－5； ∵点M为AC的中点， ∴点M表示：． ∵点N为BD的中点， ∴点N表示：或， 当点N表示： NM= 当点N表示： ， MN=． ∴线段MN的长度为4或1． 【点睛】本题考查数形结合的应用以及数轴和两点间的距离等知识，掌握线段和差是求两点之间线段长度的方法，两点间的距离可以利用数轴上表示的数的差的绝对值计算，注意讨论是解题关键． ▌题型03 与方向角有关的计算题 1.本质与原理 方向角（方位角）是指以正北方向或正南方向为基准，测量目标方向与基准方向的夹角，通常表示为“北偏东 ” “南偏西 ”等形式。方向角的本质是用角度确定方向，其计算涉及：方向角的表示方法、方向角之间的和差关系、对顶角相等、平行线性质（同位角、内错角相等）等。在七年级阶段，方向角计算题通常与角的加减运算、余角补角知识结合。 2.深度识别特征 题目中出现“北偏东” “南偏西” “北偏西” “南偏东”等方向描述。 常配有方位图，标注了四个基本方向和目标方向线。 常见问法：“求 的度数” “求两个方向之间的夹角” “判断某两个方向是否垂直”等。 可能涉及实际情境（如航海、测绘、行军路线等）。 3.操作细化步骤 明确基准方向：在图上标出正北、正南、正西、正东四个基本方向（通常图上北下南、左西右东）。 理解方向角的含义：“北偏东 ”表示从正北方向向东偏转 ；“南偏西 ”表示从正南方向向西偏转 。 计算方向线与基准线的夹角：如“北偏东 ”与正北方向夹角 ，与正东方向夹角 。 利用角的和差关系求目标角： 两个方向之间的夹角 = 它们分别与同一基准方向的夹角之和或差。 例如：北偏东 与北偏西 的夹角为 。 例如：北偏东 与南偏东 的夹角为 。 注意对顶角和平行线性质：若图中涉及多条方向线相交，对顶角相等可用于转换角度。 4.易错点与注意事项 混淆“北偏东”与“东偏北”：北偏东 是从正北向东转 ；而东偏北 是从正东向北转 ，两者含义不同，不是同一个方向。 忽视90°的基准转换：正北与正东之间夹角为 ，因此“北偏东 ”与正东方向的夹角为 。 方向角的范围：方向角的范围是 （习惯上不超过90°，因为超过了可换基准方向描述，如“北偏东120°”应说成“南偏东60°”）。 图形中漏标基本方向：如果题图未标四个基本方向，需先自行补充，确保计算有参照。 5.与其他方法的联系 与“角度的四则运算”直接相关——方向角的计算本质上就是角的加减运算。 与后续“平行线的性质与判定”衔接——方向角问题中常涉及平行线（如两条南北方向线平行），可用同位角、内错角、同旁内角关系转换角度。 与“三角板中角度计算”类似——都是利用特定角度（90°、180°）进行角的和差运算。 6.变化形式 两条方向线的夹角：已知两条方向线，求它们之间的锐角或钝角。 行程路线中的方向角：结合路程、时间，求航向变化。 地图或实际情境中的应用：结合比例尺和方向角求实际距离（但距离计算需用到三角函数，七年级通常只求角度）。 多个方向角组合：从一点出发有三条以上方向线，求复杂图形中的角度。 【典例1】如图，已知，，是的平分线，，则（     ） A．射线的方向为北偏东 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为南偏西 D．射线的方向为南偏西 【答案】D 【分析】根据角之间的关系分别求出和的度数，即可求出射线和射线的方位角，根据求出的方位角判断正误即可． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ， 射线的方向为北偏东， 故A、B选项错误； ， ， ， ， ， ， 射线的方向为南偏西， 故C选项错误，D选项正确． 【变式1-1】如图射线，的方向分别为北偏东和南偏西，射线平分，则射线的方向为（     ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】利用角度的和差关系以及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：由题意可得： ∵，， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴射线的方向为：北偏西． 【变式1-2】如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，可得，故可得从点处观察山脚处的俯角为． 【详解】解：如图，作， ∴， ∵， ∴，即从点处观察山脚处的俯角为． 【变式1-3】如图，图中是某航海区域的情况，在灯塔附近有A，B，C，D，E，F，6座海轮，其中到灯塔的距离为，海轮在灯塔和海轮的中点处．且，．则下列说法正确的是（    ） ①若海轮的速度为，则海轮抵达灯塔最少需要20分钟； ②； ③； ④在灯塔的北偏东的方向上． A．①④ B．①② C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了方向角的定义、度分秒的换算以及角的和差计算．根据路程、速度、时间的关系判断①；利用角的和差关系及度分秒换算判断②③；根据方向角的定义判断④即可． 【详解】解：海轮到灯塔的距离为，速度为， 抵达灯塔需要的时间为小时分钟， 故①正确； ， 故②错误； 、 ，，在同一直线上， 故③正确； ，正北方向与夹角为， 在灯塔的北偏东的方向上， 故④正确； 综上所述，说法正确的是①③④． 【变式1-4】2026年4月20日是春季的最后一个节气——谷雨．古人观察发现，每日初昏（日落小时）时分，北斗七星的位置较前一天绕北极星沿东→南→西→北的方向移动了大约．古人将观察到的结果与气候和农耕结合，创造了二十四节气．如图，谷雨这天初昏时分北斗七星的斗柄指向辰位（南偏东），古人称“斗指辰，雨生百谷”．观察图形，立春初昏时分斗柄指向的方向与谷雨初昏时分斗柄指向的方向的夹角约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干图得到立春初昏时分斗柄指向的方向，进而计算即可． 【详解】解：由图可知立春初昏时分斗柄指向的方向为东偏北， ∵谷雨这天初昏时分北斗七星的斗柄指向辰位（南偏东）， ∴谷雨这天初昏时分北斗七星的斗柄指向东偏南， ∴立春初昏时分斗柄指向的方向与谷雨初昏时分斗柄指向的方向的夹角约为． 【变式1-5】元旦假期，小明和同学去大明湖公园游玩，他们登上超然楼俯瞰公园．如图，点P为小明所在的超然楼，曾堤A在超然楼P的北偏西的方向上，知春桥B在超然楼P的南偏东的方向上． (1)求从超然楼P看曾堤和知春桥的视角的度数； (2)东湖上有一条小船C在的平分线上，则小船C在超然楼P的什么方向上？ 【答案】(1)的度数为 (2)小船在超然楼的北偏东方向上 【分析】本题考查了方向角与角平分线的应用，解题的关键是根据方向角的定义，准确计算出的度数，再利用角平分线的性质求出小船的方向角． （1） 根据方向角的定义，分别求出和，再利用方向角与直角的性质计算； （2） 先求出的度数，再计算的度数，从而确定小船的方向． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴，又， ∴ ． 答：的度数为． （2）解：平分， ， ∴． 答：小船在超然楼的北偏东方向上． 【变式1-6】如图，一渔船在海上点开始绕点航行，开始时点在点的北偏东，然后绕点航行到，测得，继续绕行，最后到达点且． (1)求的度数； (2)说明该渔船最后到达的点在点的什么方向？ 【答案】(1) (2)点在点的北偏西 【分析】（1）根据角的和差解答即可； （2）先根据角的和差求出的度数，则点的位置即可判断． 【详解】（1）∵开始时点在点的北偏东 ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴点在点的北偏西的方向． 【点睛】本题考查的是与方向角有关的计算，解题的关键是熟练掌握象限角之间的大小关系． ▌题型04 三角板中角度计算问题 1.本质与原理 三角板（一副标准直角三角板）有两个：一个含 、、 的锐角三角板，另一个含 、、 的等腰直角三角板。三角板中角度计算问题的本质是：利用三角板固有的特殊角（30°、45°、60°、90°），通过拼摆、重叠、旋转等方式，构造出新的角度，再利用角的和差关系计算。这类问题将“特殊角的组合”作为核心考查点。 2.深度识别特征 题目中明确出现“三角板”或“含 角的直角三角板” “含 角的直角三角板”。 给出三角板的摆放方式（如“将三角板的顶点重合” “一条边重合” “三角板重叠一部分”等）。 常见问法：“求 的度数” “求两三角板重叠部分的角度” “求三角板旋转后形成的角”等。 3.操作细化步骤 识别三角板类型：弄清题目中的三角板是 型还是 型，确定各角的度数。 分析摆放方式：观察两个三角板的相对位置——顶点是否重合、边是否重合、是否有重叠区域。 标注已知角：将三角板中确定的角度（30°、45°、60°、90°）标注在图上相应位置。 利用角的和差关系： 若两个三角板拼在一起，目标角 = 两个已知角的和或差。 若重叠，目标角 = 大角 - 小角（如 ）。 注意补角与余角：有时目标角需要借助平角（180°）或直角（90°）来间接计算。 书写计算过程：用“因为……所以……”的格式，清晰表达角度关系。 4.易错点与注意事项 误记三角板的角度：两个三角板的角度要记牢—— 和 。不能混淆。 忽略三角板的厚度或无厚度假设：通常默认三角板是理想化的几何图形，厚度忽略不计。 重叠部分的角度判断错误：当两个三角板部分重叠时，重叠部分的角度需要仔细通过和差关系确定。 旋转方向：若涉及三角板的旋转，要分清顺时针和逆时针，明确角度是增加还是减少。 5.与其他方法的联系 与“角度的四则运算”直接相连——计算过程就是角的加减。 与“角平分线的有关计算”可结合——三角板中的特殊角被平分后产生 、 等角度。 与“方向角计算”类似，都是在特定背景下的角度的和差运算。 6.变化形式 两个三角板拼摆：求拼成的新角（如 、）。 三角板重叠：求重叠区域的角度或重叠后未被覆盖的部分的角度。 三角板旋转：将三角板绕顶点旋转一定角度，求旋转前后某角的度数变化。 多个三角板组合：三个或更多三角板拼接，求复杂图形中的角度。 与钟表角度结合：三角板的特殊角可用于估算钟表指针角度。 【典例1】【新考向】已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时，如图1，求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，并直接写出的大小； (3)当时， ①若，求的度数； ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为上一点，始终满足．在旋转过程中，若与始终满足为定值，直接写出常数的值． 【答案】(1)， (2) 如图，即为所求； (3)①或；② 【分析】本题考查了旋转，角的和差，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，，进而根据角的和差关系即可求解； （2）根据题意画出图形即可； （3）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得，即得，进而可得，，即得到，即可得，求出的值即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，，， ∴， ； （2）解：根据旋转的性质可得， ∴ （3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，， ∵， ∴， 解得； 如图，当旋转方向为顺时针方向时，， ， ∴， 解得； 综上，的度数为或； ②由旋转性质可得，， ∵，， ∴， ， ∴， ∵与始终满足为定值， ∴， 解得． 【变式1-1】如图，在中，．将绕逆时针旋转后得，此时点在上，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余求出，根据旋转可得，然后根据等腰三角形的性质求出，即可求解； （2）根据等边对等角求得，根据三角形的两个锐角互余求得，根据旋转的性质得，，进而根据三角形的外角的性质以及直角三角形的两个锐角互余分别求得，进而根据等边对等角证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵将绕C按逆时针方向旋转角后得， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵旋转，则，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【变式1-2】已知直角三角板ABC中，，，将三角板ABC绕着点A旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的； (3)当时． ①若，求的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数m的值． 【答案】(1)，； (2) 如图，把绕点A逆时针旋转，得到和， 连接，得到，即为所求作； (3)①或；②． 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，进而根据角的和差关系即可求解； （2）根据题意画出图形即可； （3）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得，即得，进而可得，，即得到，即可得，求出m的值即可求解． 【详解】（1）解：∵将三角板绕着点A旋转得到， ，， ， ； （2）略 （3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，，， ， ， 解得； 当旋转方向为顺时针方向时，，， ， ， 解得； 综上，的度数为或； ②由旋转性质可得，， ，， ， ， ， 与始终满足为定值， ， 解得， 常数m的值为 【变式1-3】已知直角三角板和直角三角板，，将两块直角三角板直角顶点重合，直角三角板不动，然后将直角三角板绕点O按顺时针方向转动任意一个角度．解答下列问题：（说明：为小于的角） (1)如图1，若，则______°，______°； 如图2，若，则______°，______°； (2)如图1，设，求的度数； (3)当直角三角板绕点O旋转至图2位置时，设，试说明无论α取何值，的值不变． 【答案】(1)55，125；35，145 (2) (3)见解析 【分析】（1）结合图形，利用角的和差关系求解即可； （2）同（1）结合图形，利用角的和差关系求解即可； （3）用含α的代数式表示出和，然后相加即可求解． 【详解】（1）解：如图，， ∴，； 如图，， ∴，； （2）解：， ∴， ， ； （3）证明：， ， ， ， 不论取何值，的值不变． ▌题型05 角度的四则运算 1.本质与原理 角度的四则运算是指角度单位（度、分、秒）之间的加、减、乘、除运算。角度采用六十进制：（分），（秒）。角度运算的核心规则是“度与度、分与分、秒与秒分别运算，满60进1，不足1借1为60”。这与时间的小时、分钟、秒的运算法则完全相同。掌握角度四则运算是所有角度计算的基础。 2.深度识别特征 题目中给出角度（如 ），要求进行加减乘除运算。 可能涉及单位转换（如将 化为度分秒形式）。 可能在几何证明或计算中需要角度运算作为中间步骤。 题型常以纯计算题形式出现。 3.操作细化步骤 加法运算： 将度、分、秒分别相加。 从“秒”开始检查：若秒 ≥ 60，则减去60并向“分”进1；若分 ≥ 60，则减去60并向“度”进1。 减法运算： 将度、分、秒分别相减。 从“秒”开始检查：若被减数的秒 < 减数的秒，则从“分”借1（即被减数的分减1，秒加60）再减；同理，若分不够减，则从“度”借1。 乘法运算（角度乘以一个整数）： 将度、分、秒分别乘以该整数。 从秒开始，满60进1到分；分满60进1到度。 除法运算（角度除以一个整数）： 从“度”开始除，余数乘以60加到“分”上继续除；分除后的余数乘以60加到“秒”上继续除。 若除法不整除，结果可能需要保留分数秒或四舍五入（根据题目要求）。 4.易错点与注意事项 混淆十进制与六十进制：角度不是十进制！如 ，而不是 。 进位和借位的方向：加法时“满60进1”，减法时“借1为60”，方向与十进制（满10进1）不同。 除法运算的顺序：必须从度→分→秒的顺序依次除，不能将全部角度化为秒再除（虽然也可以，但容易出错）。 结果的形式：若题目无特别要求，角度结果通常写为度分秒的形式；若度数不是整数，可写为小数度（如 ）或度分秒（如 ）。 5.与其他方法的联系 是所有角度计算（方向角、三角板、角平分线等）的运算基础。 与时间单位换算（时、分、秒）对比理解，两者都是六十进制。 为后续“角的度量” “三角函数”等提供单位基础。 6.变化形式 度与度分秒互化：如将 化为 ，或将 化为 。 角度乘法与除法的混合运算。 角度运算在几何题中作为中间计算（如求角平分线分出的角度）。 精度要求：有时要求精确到秒或保留几位小数。 【典例1】计算下列各题： （1）________，________°__________′； （2）__________________′； （3）__________________′； （4）__________________′． 【答案】 【详解】解：（1），； （2）； （3）； （4）． 【变式1-1】（1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 【变式1-3】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键； 根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解： ， ； （4）解： ， ， ， ， ． 【变式1-4】计算： （1）23°45′36″+66°14′24″； （2）180°-98°24′30″； （3）15°50′42″×3；           （4）88°14′48″÷4． 【答案】（1）90°；（2）81°35′30″；（3）47°32′6″；（4）22°3′42″ 【分析】类比与小数的计算方法，计算度分秒即可，注意满60进一，借一当60． 【详解】解：（1）23°45′36″+66°14′24″=90°； （2）180°-98°24′30″=179°59′60″-98°24′30″=81°35′30″； （3）15°50′42″×3=45°150′126″=45°152′6″=47°32′6″； （4）88°14′48″÷4=22°3′42″． 【点睛】本题考查了角度的四则运算以及度分秒的换算，注意度分秒之间的换算：1度=60分，1分=60秒． ▌题型06 角平分线的有关计算 1.本质与原理 角平分线的定义是：从角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线。若射线 是 的平分线，则 。角平分线与线段中点形成完美的类比：中点平分线段，角平分线平分角；中点将线段一分为二，角平分线将角一分为二。角平分线计算的核心是“利用角平分线的等量关系建立方程”。 2.深度识别特征 图形中含有角平分线（题中会明确说明“ 是 的平分线”或“ 平分 ”）。 有时不直接说“平分线”，而是给出 ，等价于 是角平分线。 图形中可能含有多个角平分线（如“ 平分 ， 平分 ”），形成“角平分线链”。 可能出现与角度计算综合的问题，求某个角的度数。 3.操作细化步骤 标注图形：在图上标出已知角度和未知角度，用字母表示待求的角（如设 ）。 利用角平分线性质转化：若 平分 ，则 ，且 。 列出角的和差关系：观察图形，找出各角度之间的和差关系。例如：、 等。 建立方程：将几何关系中的角度用已知数或未知量表示，列出一元一次方程。 解方程并作答：求出未知角度，注意单位（度分秒）。 4.易错点与注意事项 角平分线的位置：角平分线必须从角的顶点出发且在角的内部。若射线在角的外部，不能称其为该角的平分线。 多个角平分线时对应关系错误：如 平分 ， 平分 ，则 ，而不是 。 角平分线与角的和差结合：有时需要先利用角的和差求出某个角，再利用角平分线求另一个角。 注意角的表示方法：、、 要正确对应顶点和边。 5.与其他方法的联系 与“线段中点的有关计算”形成完全平行的类比关系（中点 ↔ 角平分线）。 与“角n等分线的有关计算”是特殊与一般的关系——角平分线是2等分线。 与“三角板中角度计算”可以结合——三角板中的特殊角被平分后得到 、 等角度。 6.变化形式 多个角平分线：依次取角平分线，各角度呈现 倍关系。 角平分线与比例结合：如“， 平分 ”，综合运用比例和角平分线。 折纸问题中的角平分线：折叠时折痕所在的射线是角平分线。 角平分线的判定：已知某角被分为两个相等角，证明该射线是角平分线。 【典例1】如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. 【变式1-1】将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转（）至图2的位置，三角形保持不动． (1)图1中的度数为 ； (2)在图2中，若，则的值为 ．的度数为 ． (3)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)30； (3)在旋转过程中，的度数不发生变化，恒为 【分析】（1）根据三角板度数和角平分线的定义求解即可； （2）根据图2中的度数，结合角平分线的定义分别求出的度数即可得到答案； （3）根据角平分线的定义表示出的度数，再根据角的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：∵、、三点在同一条直线上， ∴，， ∵和分别平分和， ∴，， ∴； （2）解：在图1中，． 在图2中，， ∴三角形的旋转角的度数为． ∴的值为30； 在图2中， ∵，平分， ∴． ∵，平分． ∴． ∴； （3）解：的度数在旋转过程中不会变化，恒为， 理由：∵平分， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数在旋转过程中不会变化，恒为． 【变式1-2】如图，已知O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)若将图1中的放置到图2所示的位置，其他条件不变；若，求的度数．（根据图形中角的关系进行推理和计算，并用含的代数式表示出） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，再由角平分线的定义得，从而可求的度数； （2）由题意可得，由角平分线的定义可得，利用邻补角即可求得． 【详解】（1）解：∵，是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式1-3】已知：是内的射线． (1)如图1．若平分平分．当射线绕点O在内旋转时，_______度． (2)也是内的射线，如图2，若平分平分，当绕点O在内旋转时，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义求出和，然后根据代入数据进行计算即可得解； （2）根据角平分线的定义表示出和，然后根据计算即可得解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴ ∵平分， ∴ ∴ （2）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴ ∴ = 【变式1-4】如图1，点A，O，B在同一条直线上，射线和射线分别平分和． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)如图2，若点A，O，B不在同一条直线上（），是射线，且，，并求出的度数（用含α或β的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义，得到和的度数，再根据计算即可求解； （2）根据角平分线的定义，得到，，又根据，可得，利用，求出的度数，即可的度数； （3）分情况画出图形，根据角平分线的定义和角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：∵点A，O，B在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， 则的度数为； （2）解：∵和分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则的度数为； （3）解：∵和分别平分和， ∴，， 第一种情况如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； 第二种情况如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； 综上可知：的度数为． ▌题型07 角n等分线的有关计算 1.本质与原理 角n等分线是指从角的顶点出发，将角分成 个相等角的射线。当 时就是角平分线； 时是角的三等分线（有两条射线将角三等分）； 时有四条射线将角四等分……一般地，将一个角 等分需要 条射线。角n等分线计算的核心是“把总角度除以 得到每一份的角度”，其本质是角度除法运算在几何图形中的应用。 2.深度识别特征 题目中明确出现“三等分线” “四等分线”或“n等分线”。 可能给出图形，图中用多条射线将一个角分成多个相等的小角。 常见问法：“求其中一份角的度数” “求某两条等分线之间的角度” “若将角m等分，求每份角度”等。 可能给出“ 等分”的条件，要求推导一般结论。 3.操作细化步骤 识别等分线数量：若将角 等分，则有 条等分线，形成 个相等的小角。 计算每份角度：每份角度 = 总角度 ÷ 。 确定目标角度：明确题目要求的是哪两条射线之间的角度（可能是相邻等分线之间，也可能相隔几条等分线）。 计算相隔份数：若目标角跨越了 份，则目标角度 = 每份角度 × 。 代入数值计算：将总角度代入，得出结果。 4.若为一般化问题：用含 的式子表达每份角度或目标角度。 易错点与注意事项 混淆“等分数”与“射线数”：将角 等分需要 条射线，但得到的是 个角。如“角的三等分线”有2条射线，分成3个角。 等分线的位置顺序：多条等分线在角内部依次排列，要正确判断哪条线对应第几份。 角度的除法运算：若总角度不能被 整除，结果可能为分数度或度分秒形式，需准确计算。 与角平分线混淆：角n等分线是角平分线的推广，但 时不存在“三等分角平分线”这种说法，应称为“三等分线”。 5.与其他方法的联系 是“角平分线的有关计算”的直接推广（n=2时就是角平分线）。 与“线段的多等分点”完全类比。 与“角度的四则运算”中的除法直接相关——求每份角度就是角度除法。 为后续学习“正多边形中心角” “圆周角”等打下基础。 6.变化形式 求特定两条等分线之间的角度：如“角的三等分线中，第一和第三条射线之间的角度”（注意相隔份数）。 已知一部分角度求总角度：已知每份角度或某几份角度之和，反推总角度。 多次等分：先将角 等分，再将其中一份 等分。 用含 的表达式表示一般规律：如“将角 n等分，求第 条等分线与角的一边的夹角”。 【典例1】如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【答案】(1)45°； (2)． 【分析】本题主要考查角的平分线以及角的和差关系的应用，通过角平分线的性质或给定的角的比例关系，结合已知角的度数或表达式来求解的度数． 【详解】（1）解：∵平分，OF平分 ∴， ∴ ∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了角的和差与角平分线的应用，掌握利用角的和差关系结合角平分线性质或角的比例关系来推导角的度数的方法是解题的关键． 【变式1-1】如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线，角的计算，掌握角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线的定义以及角之间的和差关系进行计算即可； （2）由（1）的计算过程可得结论； （3）根据角的倍数关系进行计算即可． 【详解】（1）解：∵射线和射线分别平分和． ， ． （2）解：， ∵射线和射线分别平分和． ， ， 即； （3）解：， ， 又 ∵， ， ． 【变式1-2】如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 【变式1-3】从直线上一点在同侧顺次引射线，，，，，其中点在直线上． (1)如图1，若平分，平分． ①当，时，求的度数： ②当与的大小都发生变化时，试探究与间的数量关系，并说明理由： (2)如图2，若为的一条等分线，且，为的一条等分线，，当时，此时，试直接写出的值． 【答案】(1)①； ②，理由如下： ， ； (2) 【分析】本题主要考查了角的运算，角平分线的概念，解题的关键是找到角的和差关系． （1）① 由，，可得，由平分，平分，可得，，最后根据角的和差即可求解； ②，结合平分，平分，即可求解； （2）由，，，，可推出，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：① ，， ， 平分，平分， ，， ； ②略 （2） ，， ， 即， ，， ， 即， ， ， ， ， ． 【变式1-4】【阅读理解】如图①，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． 【解决问题】 （1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；(填“是”或“不是”) （2）若，射线是的“巧分线”，则 ； 【拓展延伸】 （3）如图②，若，射线从出发，以每秒的速度顺时针方向旋转，同时射线从出发，以每秒的速度逆时针方向旋转，当其中一条射线旋转到与的边重合时，运动停止，设运动的时间为，当t为何值时，射线是的“巧分线”？并说明理由． 【答案】（1）是；（2）或或；（3）当t为6秒或秒或秒时，射线是的“巧分线” 【分析】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查角的和差运算，与角平分线，三等分线有关的计算，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义． （1）根据巧分线定义即可求解； （2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （3）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； 【详解】解：（1）∵根据角平分线的定义可知，这个角是以它的其中一边与角平分线的为两边的角的两倍， ∴一个角的平分线是这个角的“巧分线”， 故答案为：是； （2）， ①当是的角平分线时， ； ②当是三等分线时，较小时， ； ③当是三等分线时，较大时， ； 故答案为：或或； （3）依题意得：，，， ∴， ∵射线是的“巧分线”， ∴与（2）同理可得：或或， 即：或或， 分别解得：，，， ∴当t为6秒或秒或秒时，射线是的“巧分线”． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 线段、角的计算与方程思想 （题型突破·举一反三） 题型01 线段中点的有关计算 题型02 在线段的计算中的应用 题型03 与方向角有关的计算题 题型04 三角板中角度计算问题 题型05 角度的四则运算 题型06 角平分线的有关计算 题型07 角n等分线的有关计算 ▌题型01 线段中点的有关计算 1.本质与原理 线段中点的定义是：把一条线段分成两条相等线段的点。若点 是线段 的中点，则 。线段中点是几何中最基本的“定比分点”，其核心作用是将一条线段的长度“一分为二”或将两段相等的线段“合二为一”。在线段计算中，中点主要用于建立等量关系，结合线段的和差关系构建方程，从而求出未知线段的长度。 2.深度识别特征 图形中含有线段的中点（题中会明确说明“ 是 的中点”或“点 为线段 的中点”）。 有时没有直接说明“中点”，而是给出“”或“”，这些表述等价于中点。 图形可能只给出部分线段的长度，要求求另一条线段的长度。 可能出现多个中点（如“ 是 的中点， 是 的中点”），形成“中点链”。 3.操作细化步骤 标注图形：在图上标出已知长度和未知量，用字母表示待求的线段（如设 ）。 利用中点性质转化：若 是 的中点，则 ，且 。根据具体问题，选择将整体转化为两倍的部分，或将两段相等转化为整体的一半。 列出线段的和差关系：观察图形，找出各线段之间的和差关系。例如：、 等。 建立方程：将几何关系中的线段用已知数或未知量表示，列出一元一次方程。 解方程并作答：求出未知量，注意单位。 4.易错点与注意事项 中点的位置不明确：若题目只说“点 是线段 上的中点”，则 在线段 上；若说“点 到 、 两点的距离相等”，则 是 的垂直平分线上的点，不一定是线段上的中点（需注意是否在直线上）。 多个中点时对应关系错误：如 是 中点， 是 中点，则 ，而非 。 遗漏线段的和差关系：当图形中有多个点且部分点在图形外部时，线段关系需仔细辨别（如 与 的和差关系不同）。 设未知数时选择合适的参照：设最短线段为 往往计算最简便。 5.与其他方法的联系 是“在线段的计算中的应用”的基础——绝大多数线段计算都依赖于中点的性质建立方程。 与“角平分线的有关计算”形成平行对应：线段中点对应角平分线，两者的解题逻辑完全相同。 是后续学习“两点间距离” “垂直平分线”等概念的基础。 6.变化形式 多个中点：依次取中点，各段长度呈现 倍关系（等比数列规律）。 中点与比例结合：如“ 是 上一点，且 ， 是 的中点”，需要综合运用比例和中点性质建立方程。 延长线上的点：中点可能在延长线上吗？不能，中点必须在线段内部。 折叠问题：折叠后折痕上的点是对应点的中点，由此建立等量关系。 【典例1】、、、、五个车站在同一直线上，它们之间的距离如图所示（单位：）．如果，为线段的中点，则的值为___________． 【变式1-1】如图1，C是线段上一点，，现以点C为对折点，将线段向右对折，得到图2，P是中点，沿点P将线段剪断，使得原线段被剪成三条，则这三条线段长度从小到大的比为______． 【变式1-2】如图，线段，点把线段分成三部分，其中，是的中点． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 【变式1-3】如图，C，B两点在线段上（点C在点B左侧），点E在线段上，点F在线段上． (1)如图1，点E为线段中点，点F为线段中点． ①若，，则的长为______； ②若，，求的长； (2)如图2，当，时，，求的值． 【变式1-4】已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 【变式1-5】如图，点C为线段的中点，点M、N在线段上，已知 ， (1)若，求线段的长； (2)若，，求线段的长． ▌题型02 在线段的计算中的应用 1.本质与原理 “在线段的计算中的应用”是指线段计算中“不含中点”或“不止中点”的一类综合性问题。其本质是运用线段的和差倍分关系建立代数方程，通过解方程求线段长度。这类问题的核心工具包括：线段的和差关系、线段的多等分点、比例关系、方程思想。与题型一相比，本题型的“几何关系”更加多样，解题的关键是准确识别图形中各线段之间的数量关系。 2.深度识别特征 图形中给出一条直线或线段上的多个点，给出部分线段的长度，要求求未知线段。 可能给出线段间的比例关系（如 ）。 可能给出多个等分点（如“、 将线段 三等分”）。 可能涉及两条线段的和或差与第三条线段的关系（如 ）。 图形可能是一般线段，也可能涉及多个线段组合。 3.操作细化步骤 画图并标注：根据题意画出图形，将所有已知长度和未知量标注在图上。 识别线段关系：找出各线段之间的和、差、倍、分关系，列出几何关系式。 选择参数：通常设最短的线段为 （或设某一关键线段为 ），将其他相关线段用 表示出来。 利用整体线段列方程：找到一条已知总长度的线段，将其分解为各段之和，从而得到一元一次方程。 解方程并求各段长度：求出 后，回代求出所有需要求的线段长度。 验证：检查各线段长度是否满足几何关系（如是否为正数、是否符合大小关系）。 4.易错点与注意事项 多解情况：当点的位置不明确时（如“点 在直线 上”），可能存在点 在 、 之间或在延长线上两种情形，需要分类讨论。 比例关系的应用：若 ，可设 ，，则 。 “几等分点”的理解：“、 将 三等分”意味着 ，即有两个等分点将线段分成三段相等部分。 整体与部分的关系：在复杂图形中，要善于从“整体”角度观察，找到一条包含所有“部分”的总线段。 5.与其他方法的联系 以“线段中点的有关计算”为基础，但拓展到任意等分点和比例关系。 与“角度的四则运算”中的“角的和差倍分”形成平行对应。 “方程思想”是整式加减章节的直接应用——用含 的代数式表示线段，再列方程求解。 6.变化形式 两点之间的多种可能位置：如点 在线段 上或在其延长线上，需分类讨论。 多个比例条件：同时给出多个比例关系，形成比例连锁。 已知两线段之和（或差）求单个线段：如“已知 ，求某线段长”。 与中点混合：既有比例又有中点，需要综合处理。 【典例1】如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为___________． 【变式1-1】已知线段的长为10，点C为线段的中点，D为线段上一点，且，若点P为直线上一点，且，则___________． 【变式1-2】如图，线段的长为a，点C为线段的中点，D为线段上一点，且．则的长为_______（用含a的式子表示）；若P为直线上一点，且，则的值为______________ 【变式1-3】 【感悟体验】如图1，A、B、C三点在同一直线上，点D在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定D点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图2，下列情形中与互为“对称线段”的是________（直接填序号）． ①，；②，，；③，． 【运用概念】如图3，与互为“对称线段”，点M为的中点，点N为的中点，且． （1）若，求的长； （2）在的长度可以变化的情况下，试说明与互为“对称线段”． 【拓展提升】 （3）如图4，在同一直线上依次有A、B、C、D四点，且（a为常数），点M为的中点，点N在上且．是否存在m的值使得的长为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【变式1-4】如图1，A，B，C三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】 在同一直线上依次有A，B，C，D四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． （1）如图2，下列情形中与互为“对称线段”的是_____（直接填序号）． ①，；②，，；③，． 【运用概念】 如图3，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （2）若，求的长； （3）在的长度变化的情况下，试说明与互为“对称线段”． 【变式1-5】课本P130页这道题“已知A、B、C在同一直线上，AB=3cm，BC=1cm，求AC的长．”甲同学和乙同学分别给出了下列的解法一、解法二． （1）请认真阅读下列解法，并填空： 解法一：根据题意可分如下两种情形： ①C点在线段AB上；②C点在线段AB延长线上 AC=　　　　=3－1=2（cm），AC=　　　　=3+1=4（cm） 所以线段AC的长为2cm或4cm． 解法二：在直线AB上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段AB的长为3个单位长度建立如图所示的数轴． 则A：表示的数为0，B：表示的数为3；∵BC=1，∴点C表示的数为　　　　；所以线段AC的长为2cm或4cm． （2）丙同学学习了以上两种解法后若有所悟，觉得解法二很好，在解决线段的计算问题时，利用数形结合法比较简单．于是给同学们出了这样一道题：已知A、B、C、D在同一直线上，AB=3cm，BC=1cm，AD=1.5cm，求CD的长．请利用数形结合法解答丙同学的试题． （3）丁同学做完了丙同学的试题后，深受启发，觉得数形结合法太妙了，可以妙解点或线段的动态问题，于是编了以下试题：已知线段AB=3，线段CD在直线AB上运动，且CD=5，在运动的过程中，若点M、N分别为线段AC、BD的中点，求线段MN的长度．请用数形结合法解答丁同学的试题． ▌题型03 与方向角有关的计算题 1.本质与原理 方向角（方位角）是指以正北方向或正南方向为基准，测量目标方向与基准方向的夹角，通常表示为“北偏东 ” “南偏西 ”等形式。方向角的本质是用角度确定方向，其计算涉及：方向角的表示方法、方向角之间的和差关系、对顶角相等、平行线性质（同位角、内错角相等）等。在七年级阶段，方向角计算题通常与角的加减运算、余角补角知识结合。 2.深度识别特征 题目中出现“北偏东” “南偏西” “北偏西” “南偏东”等方向描述。 常配有方位图，标注了四个基本方向和目标方向线。 常见问法：“求 的度数” “求两个方向之间的夹角” “判断某两个方向是否垂直”等。 可能涉及实际情境（如航海、测绘、行军路线等）。 3.操作细化步骤 明确基准方向：在图上标出正北、正南、正西、正东四个基本方向（通常图上北下南、左西右东）。 理解方向角的含义：“北偏东 ”表示从正北方向向东偏转 ；“南偏西 ”表示从正南方向向西偏转 。 计算方向线与基准线的夹角：如“北偏东 ”与正北方向夹角 ，与正东方向夹角 。 利用角的和差关系求目标角： 两个方向之间的夹角 = 它们分别与同一基准方向的夹角之和或差。 例如：北偏东 与北偏西 的夹角为 。 例如：北偏东 与南偏东 的夹角为 。 注意对顶角和平行线性质：若图中涉及多条方向线相交，对顶角相等可用于转换角度。 4.易错点与注意事项 混淆“北偏东”与“东偏北”：北偏东 是从正北向东转 ；而东偏北 是从正东向北转 ，两者含义不同，不是同一个方向。 忽视90°的基准转换：正北与正东之间夹角为 ，因此“北偏东 ”与正东方向的夹角为 。 方向角的范围：方向角的范围是 （习惯上不超过90°，因为超过了可换基准方向描述，如“北偏东120°”应说成“南偏东60°”）。 图形中漏标基本方向：如果题图未标四个基本方向，需先自行补充，确保计算有参照。 5.与其他方法的联系 与“角度的四则运算”直接相关——方向角的计算本质上就是角的加减运算。 与后续“平行线的性质与判定”衔接——方向角问题中常涉及平行线（如两条南北方向线平行），可用同位角、内错角、同旁内角关系转换角度。 与“三角板中角度计算”类似——都是利用特定角度（90°、180°）进行角的和差运算。 6.变化形式 两条方向线的夹角：已知两条方向线，求它们之间的锐角或钝角。 行程路线中的方向角：结合路程、时间，求航向变化。 地图或实际情境中的应用：结合比例尺和方向角求实际距离（但距离计算需用到三角函数，七年级通常只求角度）。 多个方向角组合：从一点出发有三条以上方向线，求复杂图形中的角度。 【典例1】如图，已知，，是的平分线，，则（     ） A．射线的方向为北偏东 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为南偏西 D．射线的方向为南偏西 【变式1-1】如图射线，的方向分别为北偏东和南偏西，射线平分，则射线的方向为（     ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西 【变式1-2】如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，图中是某航海区域的情况，在灯塔附近有A，B，C，D，E，F，6座海轮，其中到灯塔的距离为，海轮在灯塔和海轮的中点处．且，．则下列说法正确的是（    ） ①若海轮的速度为，则海轮抵达灯塔最少需要20分钟； ②； ③； ④在灯塔的北偏东的方向上． A．①④ B．①② C．①③④ D．①②③④ 【变式1-4】2026年4月20日是春季的最后一个节气——谷雨．古人观察发现，每日初昏（日落小时）时分，北斗七星的位置较前一天绕北极星沿东→南→西→北的方向移动了大约．古人将观察到的结果与气候和农耕结合，创造了二十四节气．如图，谷雨这天初昏时分北斗七星的斗柄指向辰位（南偏东），古人称“斗指辰，雨生百谷”．观察图形，立春初昏时分斗柄指向的方向与谷雨初昏时分斗柄指向的方向的夹角约为（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】元旦假期，小明和同学去大明湖公园游玩，他们登上超然楼俯瞰公园．如图，点P为小明所在的超然楼，曾堤A在超然楼P的北偏西的方向上，知春桥B在超然楼P的南偏东的方向上． (1)求从超然楼P看曾堤和知春桥的视角的度数； (2)东湖上有一条小船C在的平分线上，则小船C在超然楼P的什么方向上？ 【变式1-6】如图，一渔船在海上点开始绕点航行，开始时点在点的北偏东，然后绕点航行到，测得，继续绕行，最后到达点且． (1)求的度数； (2)说明该渔船最后到达的点在点的什么方向？ ▌题型04 三角板中角度计算问题 1.本质与原理 三角板（一副标准直角三角板）有两个：一个含 、、 的锐角三角板，另一个含 、、 的等腰直角三角板。三角板中角度计算问题的本质是：利用三角板固有的特殊角（30°、45°、60°、90°），通过拼摆、重叠、旋转等方式，构造出新的角度，再利用角的和差关系计算。这类问题将“特殊角的组合”作为核心考查点。 2.深度识别特征 题目中明确出现“三角板”或“含 角的直角三角板” “含 角的直角三角板”。 给出三角板的摆放方式（如“将三角板的顶点重合” “一条边重合” “三角板重叠一部分”等）。 常见问法：“求 的度数” “求两三角板重叠部分的角度” “求三角板旋转后形成的角”等。 3.操作细化步骤 识别三角板类型：弄清题目中的三角板是 型还是 型，确定各角的度数。 分析摆放方式：观察两个三角板的相对位置——顶点是否重合、边是否重合、是否有重叠区域。 标注已知角：将三角板中确定的角度（30°、45°、60°、90°）标注在图上相应位置。 利用角的和差关系： 若两个三角板拼在一起，目标角 = 两个已知角的和或差。 若重叠，目标角 = 大角 - 小角（如 ）。 注意补角与余角：有时目标角需要借助平角（180°）或直角（90°）来间接计算。 书写计算过程：用“因为……所以……”的格式，清晰表达角度关系。 4.易错点与注意事项 误记三角板的角度：两个三角板的角度要记牢—— 和 。不能混淆。 忽略三角板的厚度或无厚度假设：通常默认三角板是理想化的几何图形，厚度忽略不计。 重叠部分的角度判断错误：当两个三角板部分重叠时，重叠部分的角度需要仔细通过和差关系确定。 旋转方向：若涉及三角板的旋转，要分清顺时针和逆时针，明确角度是增加还是减少。 5.与其他方法的联系 与“角度的四则运算”直接相连——计算过程就是角的加减。 与“角平分线的有关计算”可结合——三角板中的特殊角被平分后产生 、 等角度。 与“方向角计算”类似，都是在特定背景下的角度的和差运算。 6.变化形式 两个三角板拼摆：求拼成的新角（如 、）。 三角板重叠：求重叠区域的角度或重叠后未被覆盖的部分的角度。 三角板旋转：将三角板绕顶点旋转一定角度，求旋转前后某角的度数变化。 多个三角板组合：三个或更多三角板拼接，求复杂图形中的角度。 与钟表角度结合：三角板的特殊角可用于估算钟表指针角度。 【典例1】【新考向】已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时，如图1，求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，并直接写出的大小； (3)当时， ①若，求的度数； ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为上一点，始终满足．在旋转过程中，若与始终满足为定值，直接写出常数的值． 【变式1-1】如图，在中，．将绕逆时针旋转后得，此时点在上，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式1-2】已知直角三角板ABC中，，，将三角板ABC绕着点A旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的； (3)当时． ①若，求的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数m的值． 【变式1-3】已知直角三角板和直角三角板，，将两块直角三角板直角顶点重合，直角三角板不动，然后将直角三角板绕点O按顺时针方向转动任意一个角度．解答下列问题：（说明：为小于的角） (1)如图1，若，则______°，______°； 如图2，若，则______°，______°； (2)如图1，设，求的度数； (3)当直角三角板绕点O旋转至图2位置时，设，试说明无论α取何值，的值不变． ▌题型05 角度的四则运算 1.本质与原理 角度的四则运算是指角度单位（度、分、秒）之间的加、减、乘、除运算。角度采用六十进制：（分），（秒）。角度运算的核心规则是“度与度、分与分、秒与秒分别运算，满60进1，不足1借1为60”。这与时间的小时、分钟、秒的运算法则完全相同。掌握角度四则运算是所有角度计算的基础。 2.深度识别特征 题目中给出角度（如 ），要求进行加减乘除运算。 可能涉及单位转换（如将 化为度分秒形式）。 可能在几何证明或计算中需要角度运算作为中间步骤。 题型常以纯计算题形式出现。 3.操作细化步骤 加法运算： 将度、分、秒分别相加。 从“秒”开始检查：若秒 ≥ 60，则减去60并向“分”进1；若分 ≥ 60，则减去60并向“度”进1。 减法运算： 将度、分、秒分别相减。 从“秒”开始检查：若被减数的秒 < 减数的秒，则从“分”借1（即被减数的分减1，秒加60）再减；同理，若分不够减，则从“度”借1。 乘法运算（角度乘以一个整数）： 将度、分、秒分别乘以该整数。 从秒开始，满60进1到分；分满60进1到度。 除法运算（角度除以一个整数）： 从“度”开始除，余数乘以60加到“分”上继续除；分除后的余数乘以60加到“秒”上继续除。 若除法不整除，结果可能需要保留分数秒或四舍五入（根据题目要求）。 4.易错点与注意事项 混淆十进制与六十进制：角度不是十进制！如 ，而不是 。 进位和借位的方向：加法时“满60进1”，减法时“借1为60”，方向与十进制（满10进1）不同。 除法运算的顺序：必须从度→分→秒的顺序依次除，不能将全部角度化为秒再除（虽然也可以，但容易出错）。 结果的形式：若题目无特别要求，角度结果通常写为度分秒的形式；若度数不是整数，可写为小数度（如 ）或度分秒（如 ）。 5.与其他方法的联系 是所有角度计算（方向角、三角板、角平分线等）的运算基础。 与时间单位换算（时、分、秒）对比理解，两者都是六十进制。 为后续“角的度量” “三角函数”等提供单位基础。 6.变化形式 度与度分秒互化：如将 化为 ，或将 化为 。 角度乘法与除法的混合运算。 角度运算在几何题中作为中间计算（如求角平分线分出的角度）。 精度要求：有时要求精确到秒或保留几位小数。 【典例1】计算下列各题： （1）________，________°__________′； （2）__________________′； （3）__________________′； （4）__________________′． 【变式1-1】（1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-3】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式1-4】计算： （1）23°45′36″+66°14′24″； （2）180°-98°24′30″； （3）15°50′42″×3；           （4）88°14′48″÷4． ▌题型06 角平分线的有关计算 1.本质与原理 角平分线的定义是：从角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线。若射线 是 的平分线，则 。角平分线与线段中点形成完美的类比：中点平分线段，角平分线平分角；中点将线段一分为二，角平分线将角一分为二。角平分线计算的核心是“利用角平分线的等量关系建立方程”。 2.深度识别特征 图形中含有角平分线（题中会明确说明“ 是 的平分线”或“ 平分 ”）。 有时不直接说“平分线”，而是给出 ，等价于 是角平分线。 图形中可能含有多个角平分线（如“ 平分 ， 平分 ”），形成“角平分线链”。 可能出现与角度计算综合的问题，求某个角的度数。 3.操作细化步骤 标注图形：在图上标出已知角度和未知角度，用字母表示待求的角（如设 ）。 利用角平分线性质转化：若 平分 ，则 ，且 。 列出角的和差关系：观察图形，找出各角度之间的和差关系。例如：、 等。 建立方程：将几何关系中的角度用已知数或未知量表示，列出一元一次方程。 解方程并作答：求出未知角度，注意单位（度分秒）。 4.易错点与注意事项 角平分线的位置：角平分线必须从角的顶点出发且在角的内部。若射线在角的外部，不能称其为该角的平分线。 多个角平分线时对应关系错误：如 平分 ， 平分 ，则 ，而不是 。 角平分线与角的和差结合：有时需要先利用角的和差求出某个角，再利用角平分线求另一个角。 注意角的表示方法：、、 要正确对应顶点和边。 5.与其他方法的联系 与“线段中点的有关计算”形成完全平行的类比关系（中点 ↔ 角平分线）。 与“角n等分线的有关计算”是特殊与一般的关系——角平分线是2等分线。 与“三角板中角度计算”可以结合——三角板中的特殊角被平分后得到 、 等角度。 6.变化形式 多个角平分线：依次取角平分线，各角度呈现 倍关系。 角平分线与比例结合：如“， 平分 ”，综合运用比例和角平分线。 折纸问题中的角平分线：折叠时折痕所在的射线是角平分线。 角平分线的判定：已知某角被分为两个相等角，证明该射线是角平分线。 【典例1】如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式1-1】将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转（）至图2的位置，三角形保持不动． (1)图1中的度数为 ； (2)在图2中，若，则的值为 ．的度数为 ． (3)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 【变式1-2】如图，已知O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)若将图1中的放置到图2所示的位置，其他条件不变；若，求的度数．（根据图形中角的关系进行推理和计算，并用含的代数式表示出） 【变式1-3】已知：是内的射线． (1)如图1．若平分平分．当射线绕点O在内旋转时，_______度． (2)也是内的射线，如图2，若平分平分，当绕点O在内旋转时，求的大小． 【变式1-4】如图1，点A，O，B在同一条直线上，射线和射线分别平分和． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)如图2，若点A，O，B不在同一条直线上（），是射线，且，，并求出的度数（用含α或β的式子表示）． ▌题型07 角n等分线的有关计算 1.本质与原理 角n等分线是指从角的顶点出发，将角分成 个相等角的射线。当 时就是角平分线； 时是角的三等分线（有两条射线将角三等分）； 时有四条射线将角四等分……一般地，将一个角 等分需要 条射线。角n等分线计算的核心是“把总角度除以 得到每一份的角度”，其本质是角度除法运算在几何图形中的应用。 2.深度识别特征 题目中明确出现“三等分线” “四等分线”或“n等分线”。 可能给出图形，图中用多条射线将一个角分成多个相等的小角。 常见问法：“求其中一份角的度数” “求某两条等分线之间的角度” “若将角m等分，求每份角度”等。 可能给出“ 等分”的条件，要求推导一般结论。 3.操作细化步骤 识别等分线数量：若将角 等分，则有 条等分线，形成 个相等的小角。 计算每份角度：每份角度 = 总角度 ÷ 。 确定目标角度：明确题目要求的是哪两条射线之间的角度（可能是相邻等分线之间，也可能相隔几条等分线）。 计算相隔份数：若目标角跨越了 份，则目标角度 = 每份角度 × 。 代入数值计算：将总角度代入，得出结果。 4.若为一般化问题：用含 的式子表达每份角度或目标角度。 易错点与注意事项 混淆“等分数”与“射线数”：将角 等分需要 条射线，但得到的是 个角。如“角的三等分线”有2条射线，分成3个角。 等分线的位置顺序：多条等分线在角内部依次排列，要正确判断哪条线对应第几份。 角度的除法运算：若总角度不能被 整除，结果可能为分数度或度分秒形式，需准确计算。 与角平分线混淆：角n等分线是角平分线的推广，但 时不存在“三等分角平分线”这种说法，应称为“三等分线”。 5.与其他方法的联系 是“角平分线的有关计算”的直接推广（n=2时就是角平分线）。 与“线段的多等分点”完全类比。 与“角度的四则运算”中的除法直接相关——求每份角度就是角度除法。 为后续学习“正多边形中心角” “圆周角”等打下基础。 6.变化形式 求特定两条等分线之间的角度：如“角的三等分线中，第一和第三条射线之间的角度”（注意相隔份数）。 已知一部分角度求总角度：已知每份角度或某几份角度之和，反推总角度。 多次等分：先将角 等分，再将其中一份 等分。 用含 的表达式表示一般规律：如“将角 n等分，求第 条等分线与角的一边的夹角”。 【典例1】如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【变式1-1】如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 【变式1-2】如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【变式1-3】从直线上一点在同侧顺次引射线，，，，，其中点在直线上． (1)如图1，若平分，平分． ①当，时，求的度数： ②当与的大小都发生变化时，试探究与间的数量关系，并说明理由： (2)如图2，若为的一条等分线，且，为的一条等分线，，当时，此时，试直接写出的值． 【变式1-4】【阅读理解】如图①，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． 【解决问题】 （1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；(填“是”或“不是”) （2）若，射线是的“巧分线”，则 ； 【拓展延伸】 （3）如图②，若，射线从出发，以每秒的速度顺时针方向旋转，同时射线从出发，以每秒的速度逆时针方向旋转，当其中一条射线旋转到与的边重合时，运动停止，设运动的时间为，当t为何值时，射线是的“巧分线”？并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $