专项03 整式中不含某项或取值无关问题（题型专练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 聚焦整式中不含某项及取值无关问题，构建“原理-步骤-变式”三阶方法体系，衔接代数与几何应用，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式不含某一项|1典例+7变式|合并同类项后令目标项系数为0，细化“列-去-合-定-解-验”六步操作|从单一项系数为0切入，关联合并同类项与方程求解，区分“不含项”与“项值为0”| |取值与字母无关|1典例+6变式|化简为“含参部分+常数”，令所有含目标字母项系数为0|拓展为多字母项系数全为0，衔接常函数思想，强调高次项系数处理| |图形面积与字母无关|1典例+7变式|割补法建立面积表达式，化简后令含参项系数为0|代数方法迁移至几何情境，融合图形关系分析与整式运算，培养模型意识|

专题03 整式中不含某项或取值无关问题 （题型突破·举一反三） 题型01 整式加减运算中不含某一项的问题 题型02 整式加减运算中取值与字母无关的问题 题型03 整式加减应用中图形面积与字母无关的问题 ▌题型01 整式加减运算中不含某一项的问题 1.本质与原理 当两个或多个整式进行加减运算后，结果中“不含某一项”的含义是：该项的系数为0。因为整式中某一项的存在与否完全取决于其系数是否为0——系数为0时，该项实际上消失（）。因此，这类问题的本质是：先对整式进行加减运算（去括号、合并同类项）得到结果表达式；再令目标项的系数等于0；最后解关于参数的方程，求出参数的值。 2.深度识别特征 题目中含有字母系数（如 、 等），要求确定参数的值。 明确说明“化简后的结果中不含 项”或“不含二次项” “不含某一项”。 有时会给出两个整式的和或差，要求化简后不含某一项。 也可能反向设问：“若要使结果中不含某项，求参数的值。” 3.操作细化步骤 列出运算式：按照题目要求，写出两个（或多个）整式的和或差。 去括号：按去括号法则展开所有括号（注意括号前为负号时要变号）。 合并同类项：将所有同类项合并，将结果表示为最简形式。此时结果中各项的系数可能含有参数（如 ）。 确定目标项：找出题目要求“不含”的那一项（如 项、 项、三次项等）。 令系数为零并求解：令目标项的系数（含参数）等于0，解出参数的值。 代入检验：将求得的参数代入原式，重新化简验证是否确实不含该项。 4.易错点与注意事项 混淆“不含某项”与“某项的值为零” ：不含某项是指合并后该项的系数为0，而不是该项在某个具体 值下为0。例如“化简后不含 项”意味着 的系数为0，而不是 。 漏掉参数带来的同类项：如 与 是同类项，合并后系数为 ，令其为0得 。不要遗漏任何含有该字母的项。 忽略常数项：若要求“不含常数项”，需令所有常数项的系数之和为0。 多个参数或多项要求：若题目涉及两个字母（如“不含 项且不含 项”），可分别令对应系数为0，列出方程组求解。 符号错误：去括号时符号处理不当会直接导致参数求错。 5.与其他方法的联系 与“合并同类项”直接相关——该项的系数是在合并同类项后体现的。 与“取值与字母无关的问题”是同类逻辑的延伸（后者要求含某字母的所有项的系数都为0）。 与后续“一元一次方程”的学习衔接，因为“令系数为零”本身就是解方程。 6.变化形式 两个整式相加减：如 、、 等，先进行整式运算再令系数为零。 含两个参数：如 中不含 且不含 项，可列方程组。 不含中间项：有时会表述为“化简后的结果是一个二次三项式”或“化简后的结果是四次三项式”，相当于某些项系数为0，要求具体判断哪些项不存在。 完全平方或特殊形式：有时会要求“结果是关于 的一次二项式”，即除一次项和常数项外，其余项系数均为0。 【典例1】已知，． (1)若，求．（用含，的式子表示） (2)若的值与的取值无关，求的值． 【变式1-1】已知，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 【变式1-2】已知，． (1)化简． (2)若与y的值无关，求x的值． 【变式1-3】已知关于x、y的多项式与多项式． (1)当时，多项式A是几次几项式：______． (2)当，时，计算； (3)如果A与的差中不含和y，求的值． 【变式1-4】已知是关于x，y的多项式，且该多项式化简后不含二次项，求代数式的值． 【变式1-5】已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式值与字母x的取值无关，求代数式的值． 【变式1-6】我们在分析解决某些数学问题时经常用“作差法”来比较两个代数式的大小．所谓“作差法”就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要求出它们的差，若，则：若，则：若，则． 例如：比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)比较：______； (2)已知有理数在数轴上的位置如图所示： ①比较：______；（填“”，“”或“”） ②若，，比较代数式与的大小； (3)已知，，若的值与无关，比较代数式与的大小． 【变式1-7】如图，在数轴上点，表示的数分别为，，动点从点出发以每秒个单位的速度先沿正方向运动，到达原点后立即按原速返回，动点从点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，动点从原点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，三点同时出发，当点回到点时，三点停止运动．存在常数，当在某段时间内为定值时，的值是__________． ▌题型02 整式加减运算中取值与字母无关的问题 1.本质与原理 当一个整式化简后的值不随某个字母（如 ）的变化而变化时，称该整式的值“与 无关”。其本质是：整式中所有含 的项的系数之和为0——因为只有当含 的全部项消失后，剩余部分才不含 ，此时无论 取什么值，结果都不变。这是“不含某一项”问题的推广：不是某一项系数为0，而是所有含有该字母的项的系数都为0。 2.深度识别特征 题目中含有字母系数（如 ），同时含有变量（如 ）。 明确指出“该式的值与 的取值无关”或“无论 取何值，该式的值都不变”。 也可能反向设问：“若要使代数式的值与 无关，求参数的值。” 有时会给出两个整式的和或差，要求取值与某一字母无关。 3.操作细化步骤 列出运算式：按题目要求写出整式运算的表达式。 去括号：按去括号法则展开所有括号，注意符号。 合并同类项：将所有同类项合并，将结果写为“含 的部分 + 不含 的部分”的形式。例如化简为 的形式。 列出条件方程：若要结果与 无关，则含 的每一项的系数都必须为0。若有 项、 项等多个含 的项，需要分别令其系数为0。 解方程组：解出所有参数的值。 代入验证：将求得的参数代入，检验原式是否确实与 无关（此时应只剩余常数项，若常数项中也含参数则一并代入）。 4.易错点与注意事项 “与 无关”不是“时取值”：很多学生误以为“与 无关”就是令 ，这是根本性错误。无关性是指无论 是0还是1还是任何数，结果都一样。 仅考虑一次项，忽略高次项：若结果中有 、 等项，每一项的系数都必须为0，否则值会随 变化。 常数项中含有参数不影响无关性：常数项不含 ，它的值虽然含参数，但只要参数取定，它就是个固定值，不随 变化。所以不需要令常数项也为0。 多个变量时要区分“与谁无关”：若表述为“与 无关”，只需令所有含 的项系数为0；若还含有其他字母（如 ）但未要求，则 可视为参数保留。 由无关性求值后再代入：常常求得参数后，题目还要求“求化简后的值”，此时将参数代入常数项即可。 5.与其他方法的联系 是“不含某一项”问题的推广——不含某一项只要求某一项的系数为0，而与字母无关要求所有含该字母的项的系数都为0。 与“整式的值”概念密切相关——整式的值是在字母取具体数值时计算的结果。 与后续“函数”中“常函数”的概念有联系——与 无关的整式实际上是一个常函数。 与“图形面积与字母无关”问题思路相同——都是令相关项的系数为零，但后者需先建立面积表达式。 6.变化形式 两个整式的复杂组合：如 的值与 无关，需先化简 再令含 项系数为0。 与两个字母都无关：要求结果与 无关且与 无关，则所有含 和含 的项系数都必须为0（但常数项仍可含其他参数）。 取值与字母无关的前提下求最值：先利用无关性求出参数，再求代数式的最值。 先无关再代入求值：如“若该式的值与 无关，求当 时该式的值”，需先求参数再代入。 【典例1】已知，． (1)若，求（用含a，b的式子表示）． (2)若的值与的取值无关，求和的值． 【变式1-1】已知：M=3a2+4ab -5a-6，N=a2-2ab-4 (1)化简：5M-(3N + 4M)，结果用含a、b的式子表示. (2)若式子5M-(3N + 4M)的值与字母a的取值无关，求b4+M-N-的值. 【变式1-2】已知：，． (1)试化简：，结果用含a、b的式子表示． (2)若式子的值与字母a的取值无关，求的值． 【变式1-3】【阅读理解】 已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】 已知，． (1)用含m，x的式子表示； (2)若的值与字母m的取值无关，求x的值； 【变式1-4】【阅读理解】已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】（1）已知，． ①用含m，x的式子表示；②若的值与字母m的取值无关，求x的值； 【知识拓展】（2）年末，商场计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件利润为300元．购进羽绒服后，商场决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服不变．设购进甲种羽绒服x件，当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，求a的值． 【变式1-5】综合与探究 对于两个有理数和，我们定义一种新的运算“” 例如：． 根据以上材料，回答下列问题： (1)计算下列各式的值： ①_____②_____③_____ (2)已知有理数满足且，若，求的值（用含的式子表示） (3)在（2）的条件下，进一步探究：是否存在使得式子与的取值无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式1-6】如图1，已知点A，P所表示的数分别为，2，若以数轴上某一点为折点，将数轴对折后，点A的对应点用B表示，此时点B 所表示的数为5，我们称点B 是点A 关于点P 的镜像点；记作： 或 如图2，已知点M和线段，若以数轴上某一点为折点，将数轴对折后，使点A 和点 B重合，此时点M所对应的点用N表示，我们称点N是点M关于线段的镜像点：记作：；如： (1)填空： ； (2)设点A 表示的数为a，点B 表示的数为b，且点B 在点A 的右侧，点C 是数轴上一动点，点C在运动过程中，设点C表示的数为c，且、 ①若，当，时，求a的值； ②的长是否与点C的位置有关，如果无关，请直接用含a，b的代数式表示的长；如果有关，请直接用含a，b，c的代数式表示的长 ▌题型03 整式加减应用中图形面积与字母无关的问题 1.本质与原理 在几何图形的面积问题中，有时用含字母的式子表示某部分的面积后，发现该面积表达式与某个字母的取值无关。其本质与题型二完全相同：面积表达式中含该字母的所有项的系数之和为0。差别仅在于：这里的整式是通过面积计算（如长方形面积=长×宽、三角形面积=底×高/2、割补法求阴影面积等）得到的，需要先根据几何关系建立面积表达式，再分析其与字母的关系。 2.深度识别特征 题目给出几何图形（常为长方形、正方形、三角形或由它们组合的图形）。 图形中的某些长度用字母（如 、、）表示。 要求判断（或证明）某个区域的面积与某一字母的取值无关。 或已知面积与某字母无关，求参数（如图形中某个特定的比值或长度）。 3.操作细化步骤 审图标注：仔细观察几何图形，明确各部分的长度关系，将已知的含字母的长度标注在图上。 确定所求面积：明确题目要求的是哪一部分的面积（如阴影部分面积、某个三角形的面积等）。 建立面积表达式： 若为规则图形，直接用面积公式计算； 若为不规则图形，用“割补法”——整体面积减去空白部分面积； 若为多个图形组合，分别计算后相加减。 化简面积表达式：对得到的式子进行去括号、合并同类项，化为最简形式，通常为 的形式，其中字母可能是图形的边长参数。 分析无关性：若要判断面积是否与某个字母（如 ）无关，看化简后的结果中是否含有 的项。若无，则无关；若有，看系数是否因条件为0。 若已知无关求参数：令含该字母的所有项的系数为0，解方程或方程组。 得出结论或求值：根据题目要求，写出判断结论或计算出具体的面积值。 4.易错点与注意事项 几何关系中隐含的相等关系：图形中可能隐含着某些边相等（如正方形四边相等、长方形对边相等），这些是建立表达式时不可忽视的条件。 割补法中的重叠和遗漏：用整体减空白时，要确保空白部分面积的计算正确，不能多减或少减。 区分“与某个字母无关”与“面积为0” ：面积是一个具体的正值（或非负值），与某字母无关意味着该面积表达式中没有含该字母的项（或者含该字母的项相互抵消），而不是面积本身为0。 单位统一：所有长度单位一致，面积单位自然一致。 参数的实际意义：图形中的字母通常表示长度，因此有正数约束（如 ），求得的参数值若为负值可能不合理（需结合具体图形判断），但若仅从代数角度求值，负值也需保留，再结合几何意义取舍。 5.与其他方法的联系 是“取值与字母无关”思想在几何情境中的具体应用。 需要综合运用“整式的加减”与“列代数式”的技能。 与“整式加减的应用”紧密相连，是实际问题的一种形式。 本质上还是“令含该字母的项的系数为零”这一核心思路的延伸。 6.变化形式 平移或旋转后的图形面积：图形可能经过平移、旋转等变换，面积不变，但表达式需利用变换后的边长关系重新建立。 多个字母同时出现：面积表达式中含有多个字母（如 ），需明确要判断与哪个字母无关。 已知无关反求图形关系：已知面积与某字母无关，可推出图形中某些边长之间的比例关系。 与最值结合：判断面积与某字母无关后，进一步求面积的最大值或最小值（通常剩余部分为常数或与另一字母有关）。 证明题：题目要求“证明某部分的面积与 无关”，需先建立表达式再证明不含 项。 【典例1】嘉淇设计了一个小程序：程序界面分为A，B两区，每按一次按键，A区就会自动加上，同时B区就会自动乘以2，且A；B两区均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是和（如图1），按一次按键后，A，B两区分别显示和（如图2）． (1)从初始状态按2次按键后，A区显示的结果是______；B区显示的结果是______； (2)从初始状态按3次按键后，张老师让同学们计算“当，时，A区代数式与B区代数式的差的值”．嘉淇说，只需要知道a的值就可以求出这个差的值．你认为他的说法有道理吗？请说明理由． 【变式1-1】【问题背景】 如图1，有一长，宽的长方形电脑屏幕，动点以每秒2个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点的运动时间为秒，连接． 【初步探究】 （1）当，时，求四边形的面积 （2）当为何值时，四边形的面积与的取值无关： 【拓展提升】 （3）如图2，若点每运动1秒，电脑屏幕的区显示的结果就会自动加上2，同时区的结果会自动将整个代数式乘以2，且均显示化简后的结果．已知两区初始显示的分别是和，若，试比较区、区显示的结果哪个大，并说明理由． 【变式1-2】如图，有一电脑程序：每按一次按键，区就会自动加上，同时区就会自动乘2，并在各自区域显示化简后的结果．已知，两区的初始显示值分别是和． (1)若从初始状态按1次按键后，区与区代数式的和为0，求的值； (2)是否存在的值，使得从初始状态按2次按键后，，两区显示的结果同时为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式1-3】如图1，有9个完全相同的长为厘米，宽为厘米的长方形．如图2，小红将这9个小长方形按如图所示不重叠地放置在长方形中．对于长方形中未被覆盖的两个部分（阴影部分），设左下角的面积为，右上角的面积为． (1)当，且厘米时，长方形的面积为_______，阴影部分的面积为_______； (2)设厘米，若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【变式1-4】已知，有7个完全相同的边长为的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中． (1)当时，求大长方形的面积； (2)请说明阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关． 【变式1-5】［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； （能力提升） (3)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【变式1-6】【知识再现】 学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式为，所以，则． (1)【初步运用】关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)【类比迁移】已知，，且化简的结果与x取值无关，求m，n的值； (3)【拓展应用】图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张这种纸片按图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分是阴影部分（是两个长方形）．设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分的面积为，当的长度变化时，设，且S为定值，试探究a与b之间的数量关系，并说明理由． 【变式1-7】学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，m看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分)，设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式中不含某项或取值无关问题 （题型突破·举一反三） ▌题型01 整式加减运算中不含某一项的问题 【典例1】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，利用合并同类项运算法则进行化简即可； （2）由（1）可知，令，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）可知：， 的值与的取值无关， ， 解得． 【变式1-1】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将与代入，去括号后合并同类项，然后把，代入化简后的式子，计算得出结果； （2）根据“代数式的值与无关”意味着含的项的系数为，据此列方程求解的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 当，时， ； （2）解：∵的值与的值无关， ∴，解得． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算及某一字母的取值无关的问题． （1）先代入A和B的表达式，去括号后合并同类项得出的值； （2）将的结果变形为含y的项与常数项的和，令y的系数为0，解方程求出x的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：由（1）知，， ∵与y的值无关， ∴， 解得． 【变式1-3】 【答案】(1)二次三项式 (2) (3) 【分析】（1）依据多项式的次数与项数的定义进行判断，多项式的次数为最高次项的次数，项数为多项式中单项式的个数． （2）代入给定的与的值得到多项式和，再通过合并同类项完成整式的加法运算． （3）先求出与的差，根据差中不含某一项则该项系数为的性质，求出和的值，进而计算的值． 【详解】（1）解：∵多项式，且， ∴该多项式的最高次是2，包含3个单项式， ∴多项式A是二次三项式 （2）解：当，时 ， （3）解： ∵与的差中不含项和项， ∴，， 解得，， ∴． 【变式1-4】 【答案】 【分析】本题考查多项式的定义，多项式化简求值，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式化简后不含二次项求出的值，然后将所求代数式进行去括号合并同类项，最后代入的值求值即可． 【详解】解： ∵该多项式化简后不含二次项， ∴，， ∴，； ； 当，时， 原式 ． 【变式1-5】 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减以及运算后与某系数无关的问题，解题的关键是将代数式进行化简，通过最终的化简结果进行判断． （1）根据题意将、代入，再去括号合并同类项即可得到答案； （2）先将代数式进行化简，然后根据代数式的值与字母的取值无关，所以含的项的系数是0，据此求出、的值，再代入的代数式求值即可． 【详解】（1）解： （去括号） （合并同类项） 故的表达式为． （2）解： （去括号） （合并同类项） 若其最终值与的取值无关，则、， 解得，， 代入， 故代数式的值为． 【变式1-6】 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）利用作差法得到，计算出结果即可得出答案； （2）①利用作差法得到，再根据即可得到答案； ②，再根据，，即可得出； （3）代入计算得到，根据无关型求得，得到，，再利用作差法，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：① ， 根据数轴可知：， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵，， ∴ ， 根据数轴可知：，， ∴， ∴； ∴； （3）解：∵，， ∴ ， ∵的值与无关， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 【变式1-7】 【答案】，， 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，关键是根据点的运动速度和方向，表示的长度，进而求得的值． 【详解】解：当时，， ∴， ∵上式为定值， ∴， 即：； 当时，，， ∴ ∵上式为定值， ∴； 当时，， ∴， ∵上式为定值， ∴； 故答案为： ． ▌题型02 整式加减运算中取值与字母无关的问题 【典例1】 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，列代数式，代数式求值，解一元一次方程等知识点，由“的值与的取值无关”得出是解题的关键． （1）由可得，然后将，代入，去括号、合并同类项即可得出答案； （2）将变形为，由“的值与的取值无关”可得，解方程即可求出的值，然后将代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， 的值与的取值无关， ， 解得：， ． 【变式1-1】 【答案】(1)10ab－5a+6；(2). 【分析】(1).直接把M，N带入到待解的代数式中直接求解 (2)把5M-(3N + 4M)整理成，因为结果与a无关，这只需，求B代入b4+M-N-即可. 【详解】（1）由题意，得： 原式= ∵M=3a2+4ab -5a-6，N=a2-2ab-4 ∴原式= （2）若式子5M-(3N + 4M)的值与字母a的取值无关， ∴ 当时，可知5M-(3N + 4M)的值与字母a的取值无关，此时， 题中原式=b4+M-N- = 【点睛】与某个未知量无关可以简单理解为不论这个未知量取何值时，代数式大小不变．然后带入最为简单的数值求解另一个未知量． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先将化简为，然后代入M、N的值整理即得结论； （2）由（1）得，根据与字母a的取值无关，令即可求得b的值，再化简，最后代入b的值，即得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：由（1）得， ∵式子与a的取值无关， ∴， 解得：， 原式 ， ∵， ∴原式． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解． （1）把，代入，然后去括号合并同类项即可； （2）合并关于m的同类项，然后令其系数等于0求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴ ； （2）解： ， ∵的值与字母m的取值无关， ∴， ∴． 【变式1-4】 【答案】（1）①；②10；（2）20 【分析】本题主要考查了代数式表示式，整式加减中的无关型问题等知识． （1）①把，代入，展开去括号合并合并同类项即可． ②根据的值与字母m的取值无关，结合①可知，进而可得出x的值． （2）设购进甲种羽绒服x件，则购进乙种羽绒服件，销售完这30件羽绒服的利润为：，展开得出，再根据销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，即可得出，进而可得出a的值． 【详解】解：（1）①，， ∴ ， ②若的值与字母m的取值无关， 则， ∴． （2）设购进甲种羽绒服x件，则购进乙种羽绒服件， 销售完这30件羽绒服的利润为：， 当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时， ∴ ∴ 【变式1-5】 【答案】(1)①②③ (2) (3) 不存在，理由如下： 由（2）得， 则 当时，则 ∵式子与的取值无关 ∴， 解得； 当时，则 ∵式子与的取值无关 ∴， 解得； ∵有理数满足且， ∴不能同时等于和， ∴不存在使得式子与的取值无关． 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的混合运算，整式的加减运算的无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解，再运用该法则进行计算①②③，即可作答． （2）根据，，得出，故，即，再进行分类讨论，即可作答． （3）由（2）得，则 当时，则，根据式子与的取值无关，故，解得；当时，则，同理得，解得，即可作答． 【详解】（1）解：①， ②； ③； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ 则 ∴， 当时，则， ∴， 整理得； 当时，则， ∴，与相矛盾，不符合题意，舍去 ∴； ∴； （3）略 【变式1-6】 【答案】(1)，4； (2)①2或4；②的长与点C的位置无关， 【分析】（1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）①根据、，得出，根据点A 表示的数为a，点B 表示的数为b，且点B 在点A 的右侧，，当，时计算即可； ②根据点A表示的数为，且点B 在点A 的右侧，点表示的数为，设点表示的数为，点表示的数为，求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：； 根据题意得：． 故答案为：，4； （2）解：①点A 表示的数为a，点B 表示的数为b，且点B 在点A 的右侧， ， ， A为的中点， 时，设点表示的数为， ， ， 点表示的数为， ， 当点C在线段上时，如图所示： 点D在点A的左侧，此时，不合题意； 当点C在线段延长线上时，如图所示： 点D在点A的左侧，此时，不合题意； 当点C在线段反向延长线上时， Ⅰ如图所示： 点D在点B的左侧， 此时， ； Ⅱ如图所示： 点D在点B的右侧， 此时， ； 综上所述，，当，时，a的值2或4； ② ， A为的中点， 点A 表示的数为a，点C表示的数为c， 设点表示的数为， ， ， 点表示的数为， ， 的中点与的中点是同一个点， 设点表示的数为， ， ， ； 点在运动过程中，的长与点C的位置无关， ． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，整式加减运算，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式，注意进行分类讨论． ▌题型03 整式加减应用中图形面积与字母无关的问题 【典例1】 【答案】(1)， (2) 嘉淇说的有道理，理由如下： 由（1）知，2次按键后A，B两区分别显示，， ∴3次按键后，A，B两区分别显示，， ∴A区代数式与B区代数式的差为， ∴差与的值无关， 故嘉淇说的有道理． 【分析】本题考查整式加减的应用，以及整式加减中的无关型问题． （1）根据题意，列出代数式，即可； （2）求出按按3次按键A区代数式与B区代数式，作差后，进行判断即可． 读懂题意，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，按一次按键后，A，B两区分别显示和， 再按一次按键后，A，B两区分别显示和， 故答案为：，； （2）略 【变式1-1】 【答案】（1）； （2）； （3）N区显示的结果大，理由如下： 由题意得，当时，， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴N区显示的结果大； 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题，代数式求值，正确理解题意和熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）求出此时的长，再根据列式求解即可； （2）同（1）求出，根据面积与t无关可得，据此可得答案； （3）根据题意求出时，M区和N区的结果，再利用作差法求解即可． 【详解】解：（1）当，时，， ∴， ∴ ； （2）由题意得，， ∴， ∴ ， ∵四边形的面积与的取值无关， ∴， ∴； （3）略 【变式1-2】 【答案】(1)2或 (2)存在的值，使得从初始状态按2次按键后，，两区显示的结果同时为0．此时的值为1 【分析】本题考查了列代数式，涉及到解方程，关键是读懂题意，得到按一次、按两次，分别得到的，区显示的式子，不能出错． （1）根据题意，按一次后，分别得到，区显示和为，，根据其和为0，得到方程，解方程即可得到结果； （2）按二次后，分别得到，区显示的，区显示为：，根据，两区显示的结果同时为0，分别解方程，得到公共解，即可得到结果． 【详解】（1）解：依题意，按1次后，区显示为，区显示为， 按1次按键后，区与区代数式的和为0， ， ， 或， 的值是2或； （2）解：按2次后，区显示为：，区显示为：， 按2次按键后，，两区显示的结果同时为0， 若， 即：， ，即：， ， 解得或； 同时，， 解得：， 综上可得：， 存在的值，使得从初始状态按2次按键后，，两区显示的结果同时为0．此时的值为1． 【变式1-3】 【答案】(1)270，64 (2)与的数量关系为． 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题； （1）根据长方形面积公式求解即可； （2）由图可知，，则，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可知的值与的值无关，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴长方形的面积为， 阴影部分的面积为； 故答案为：270，64； （2）解：由题意得，， ，， ∴ ， 当即时，在的长变化时，的值始终保持不变． ∴与的数量关系为． 【变式1-4】 【答案】(1) (2) 解：由图可知：阴影A的周长； 阴影B的周长, ∴阴影A与阴影B的周长的和， ∴阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关． 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． （1）求出长方形的长，然后利用长乘以宽求出面积即可； （2）求出阴影的周长，再求出周长和即可说明； 【详解】（1）解：由图可知：大长方形的长为：； ∴当时，大长方形的长为：； ∴大长方形的面积 （2）略 【变式1-5】 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简整式，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）解： ， ∵的值与x无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 【变式1-6】 【答案】(1)1 (2)， (3) ， 理由：设， ∴，， ∴ ， ∵的长度变化时，S为定值， ∴S的值与x取值无关， ∴， ∴． 【分析】本题考查了整式的加减． （1）先合并同类项，再根据“关于x的多项式的值与x的取值无关”得到，进而求解即可； （2）求出的值，根据“结果与x取值无关”得到，，进而求解即可； （3）设，则，，求出，根据“S为定值”得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解： ， ∵化简的结果与x取值无关， ∴，， ∴，； （3）略 【变式1-7】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）设，分别求出，进而求出，再由的值始终保持不变进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：设， 由题意得，， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的相关计算法则是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式中不含某项或取值无关问题 （题型突破·举一反三） 题型01 整式加减运算中不含某一项的问题 题型02 整式加减运算中取值与字母无关的问题 题型03 整式加减应用中图形面积与字母无关的问题 ▌题型01 整式加减运算中不含某一项的问题 1.本质与原理 当两个或多个整式进行加减运算后，结果中“不含某一项”的含义是：该项的系数为0。因为整式中某一项的存在与否完全取决于其系数是否为0——系数为0时，该项实际上消失（）。因此，这类问题的本质是：先对整式进行加减运算（去括号、合并同类项）得到结果表达式；再令目标项的系数等于0；最后解关于参数的方程，求出参数的值。 2.深度识别特征 题目中含有字母系数（如 、 等），要求确定参数的值。 明确说明“化简后的结果中不含 项”或“不含二次项” “不含某一项”。 有时会给出两个整式的和或差，要求化简后不含某一项。 也可能反向设问：“若要使结果中不含某项，求参数的值。” 3.操作细化步骤 列出运算式：按照题目要求，写出两个（或多个）整式的和或差。 去括号：按去括号法则展开所有括号（注意括号前为负号时要变号）。 合并同类项：将所有同类项合并，将结果表示为最简形式。此时结果中各项的系数可能含有参数（如 ）。 确定目标项：找出题目要求“不含”的那一项（如 项、 项、三次项等）。 令系数为零并求解：令目标项的系数（含参数）等于0，解出参数的值。 代入检验：将求得的参数代入原式，重新化简验证是否确实不含该项。 4.易错点与注意事项 混淆“不含某项”与“某项的值为零” ：不含某项是指合并后该项的系数为0，而不是该项在某个具体 值下为0。例如“化简后不含 项”意味着 的系数为0，而不是 。 漏掉参数带来的同类项：如 与 是同类项，合并后系数为 ，令其为0得 。不要遗漏任何含有该字母的项。 忽略常数项：若要求“不含常数项”，需令所有常数项的系数之和为0。 多个参数或多项要求：若题目涉及两个字母（如“不含 项且不含 项”），可分别令对应系数为0，列出方程组求解。 符号错误：去括号时符号处理不当会直接导致参数求错。 5.与其他方法的联系 与“合并同类项”直接相关——该项的系数是在合并同类项后体现的。 与“取值与字母无关的问题”是同类逻辑的延伸（后者要求含某字母的所有项的系数都为0）。 与后续“一元一次方程”的学习衔接，因为“令系数为零”本身就是解方程。 6.变化形式 两个整式相加减：如 、、 等，先进行整式运算再令系数为零。 含两个参数：如 中不含 且不含 项，可列方程组。 不含中间项：有时会表述为“化简后的结果是一个二次三项式”或“化简后的结果是四次三项式”，相当于某些项系数为0，要求具体判断哪些项不存在。 完全平方或特殊形式：有时会要求“结果是关于 的一次二项式”，即除一次项和常数项外，其余项系数均为0。 【典例1】已知，． (1)若，求．（用含，的式子表示） (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，利用合并同类项运算法则进行化简即可； （2）由（1）可知，令，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）可知：， 的值与的取值无关， ， 解得． 【变式1-1】已知，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将与代入，去括号后合并同类项，然后把，代入化简后的式子，计算得出结果； （2）根据“代数式的值与无关”意味着含的项的系数为，据此列方程求解的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 当，时， ； （2）解：∵的值与的值无关， ∴，解得． 【变式1-2】已知，． (1)化简． (2)若与y的值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算及某一字母的取值无关的问题． （1）先代入A和B的表达式，去括号后合并同类项得出的值； （2）将的结果变形为含y的项与常数项的和，令y的系数为0，解方程求出x的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：由（1）知，， ∵与y的值无关， ∴， 解得． 【变式1-3】已知关于x、y的多项式与多项式． (1)当时，多项式A是几次几项式：______． (2)当，时，计算； (3)如果A与的差中不含和y，求的值． 【答案】(1)二次三项式 (2) (3) 【分析】（1）依据多项式的次数与项数的定义进行判断，多项式的次数为最高次项的次数，项数为多项式中单项式的个数． （2）代入给定的与的值得到多项式和，再通过合并同类项完成整式的加法运算． （3）先求出与的差，根据差中不含某一项则该项系数为的性质，求出和的值，进而计算的值． 【详解】（1）解：∵多项式，且， ∴该多项式的最高次是2，包含3个单项式， ∴多项式A是二次三项式 （2）解：当，时 ， （3）解： ∵与的差中不含项和项， ∴，， 解得，， ∴． 【变式1-4】已知是关于x，y的多项式，且该多项式化简后不含二次项，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式的定义，多项式化简求值，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式化简后不含二次项求出的值，然后将所求代数式进行去括号合并同类项，最后代入的值求值即可． 【详解】解： ∵该多项式化简后不含二次项， ∴，， ∴，； ； 当，时， 原式 ． 【变式1-5】已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式值与字母x的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减以及运算后与某系数无关的问题，解题的关键是将代数式进行化简，通过最终的化简结果进行判断． （1）根据题意将、代入，再去括号合并同类项即可得到答案； （2）先将代数式进行化简，然后根据代数式的值与字母的取值无关，所以含的项的系数是0，据此求出、的值，再代入的代数式求值即可． 【详解】（1）解： （去括号） （合并同类项） 故的表达式为． （2）解： （去括号） （合并同类项） 若其最终值与的取值无关，则、， 解得，， 代入， 故代数式的值为． 【变式1-6】我们在分析解决某些数学问题时经常用“作差法”来比较两个代数式的大小．所谓“作差法”就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要求出它们的差，若，则：若，则：若，则． 例如：比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)比较：______； (2)已知有理数在数轴上的位置如图所示： ①比较：______；（填“”，“”或“”） ②若，，比较代数式与的大小； (3)已知，，若的值与无关，比较代数式与的大小． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）利用作差法得到，计算出结果即可得出答案； （2）①利用作差法得到，再根据即可得到答案； ②，再根据，，即可得出； （3）代入计算得到，根据无关型求得，得到，，再利用作差法，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：① ， 根据数轴可知：， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵，， ∴ ， 根据数轴可知：，， ∴， ∴； ∴； （3）解：∵，， ∴ ， ∵的值与无关， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 【变式1-7】如图，在数轴上点，表示的数分别为，，动点从点出发以每秒个单位的速度先沿正方向运动，到达原点后立即按原速返回，动点从点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，动点从原点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，三点同时出发，当点回到点时，三点停止运动．存在常数，当在某段时间内为定值时，的值是__________． 【答案】，， 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，关键是根据点的运动速度和方向，表示的长度，进而求得的值． 【详解】解：当时，， ∴， ∵上式为定值， ∴， 即：； 当时，，， ∴ ∵上式为定值， ∴； 当时，， ∴， ∵上式为定值， ∴； 故答案为： ． ▌题型02 整式加减运算中取值与字母无关的问题 1.本质与原理 当一个整式化简后的值不随某个字母（如 ）的变化而变化时，称该整式的值“与 无关”。其本质是：整式中所有含 的项的系数之和为0——因为只有当含 的全部项消失后，剩余部分才不含 ，此时无论 取什么值，结果都不变。这是“不含某一项”问题的推广：不是某一项系数为0，而是所有含有该字母的项的系数都为0。 2.深度识别特征 题目中含有字母系数（如 ），同时含有变量（如 ）。 明确指出“该式的值与 的取值无关”或“无论 取何值，该式的值都不变”。 也可能反向设问：“若要使代数式的值与 无关，求参数的值。” 有时会给出两个整式的和或差，要求取值与某一字母无关。 3.操作细化步骤 列出运算式：按题目要求写出整式运算的表达式。 去括号：按去括号法则展开所有括号，注意符号。 合并同类项：将所有同类项合并，将结果写为“含 的部分 + 不含 的部分”的形式。例如化简为 的形式。 列出条件方程：若要结果与 无关，则含 的每一项的系数都必须为0。若有 项、 项等多个含 的项，需要分别令其系数为0。 解方程组：解出所有参数的值。 代入验证：将求得的参数代入，检验原式是否确实与 无关（此时应只剩余常数项，若常数项中也含参数则一并代入）。 4.易错点与注意事项 “与 无关”不是“时取值”：很多学生误以为“与 无关”就是令 ，这是根本性错误。无关性是指无论 是0还是1还是任何数，结果都一样。 仅考虑一次项，忽略高次项：若结果中有 、 等项，每一项的系数都必须为0，否则值会随 变化。 常数项中含有参数不影响无关性：常数项不含 ，它的值虽然含参数，但只要参数取定，它就是个固定值，不随 变化。所以不需要令常数项也为0。 多个变量时要区分“与谁无关”：若表述为“与 无关”，只需令所有含 的项系数为0；若还含有其他字母（如 ）但未要求，则 可视为参数保留。 由无关性求值后再代入：常常求得参数后，题目还要求“求化简后的值”，此时将参数代入常数项即可。 5.与其他方法的联系 是“不含某一项”问题的推广——不含某一项只要求某一项的系数为0，而与字母无关要求所有含该字母的项的系数都为0。 与“整式的值”概念密切相关——整式的值是在字母取具体数值时计算的结果。 与后续“函数”中“常函数”的概念有联系——与 无关的整式实际上是一个常函数。 与“图形面积与字母无关”问题思路相同——都是令相关项的系数为零，但后者需先建立面积表达式。 6.变化形式 两个整式的复杂组合：如 的值与 无关，需先化简 再令含 项系数为0。 与两个字母都无关：要求结果与 无关且与 无关，则所有含 和含 的项系数都必须为0（但常数项仍可含其他参数）。 取值与字母无关的前提下求最值：先利用无关性求出参数，再求代数式的最值。 先无关再代入求值：如“若该式的值与 无关，求当 时该式的值”，需先求参数再代入。 【典例1】已知，． (1)若，求（用含a，b的式子表示）． (2)若的值与的取值无关，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，列代数式，代数式求值，解一元一次方程等知识点，由“的值与的取值无关”得出是解题的关键． （1）由可得，然后将，代入，去括号、合并同类项即可得出答案； （2）将变形为，由“的值与的取值无关”可得，解方程即可求出的值，然后将代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， 的值与的取值无关， ， 解得：， ． 【变式1-1】已知：M=3a2+4ab -5a-6，N=a2-2ab-4 (1)化简：5M-(3N + 4M)，结果用含a、b的式子表示. (2)若式子5M-(3N + 4M)的值与字母a的取值无关，求b4+M-N-的值. 【答案】(1)10ab－5a+6；(2). 【分析】(1).直接把M，N带入到待解的代数式中直接求解 (2)把5M-(3N + 4M)整理成，因为结果与a无关，这只需，求B代入b4+M-N-即可. 【详解】（1）由题意，得： 原式= ∵M=3a2+4ab -5a-6，N=a2-2ab-4 ∴原式= （2）若式子5M-(3N + 4M)的值与字母a的取值无关， ∴ 当时，可知5M-(3N + 4M)的值与字母a的取值无关，此时， 题中原式=b4+M-N- = 【点睛】与某个未知量无关可以简单理解为不论这个未知量取何值时，代数式大小不变．然后带入最为简单的数值求解另一个未知量． 【变式1-2】已知：，． (1)试化简：，结果用含a、b的式子表示． (2)若式子的值与字母a的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先将化简为，然后代入M、N的值整理即得结论； （2）由（1）得，根据与字母a的取值无关，令即可求得b的值，再化简，最后代入b的值，即得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：由（1）得， ∵式子与a的取值无关， ∴， 解得：， 原式 ， ∵， ∴原式． 【变式1-3】【阅读理解】 已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】 已知，． (1)用含m，x的式子表示； (2)若的值与字母m的取值无关，求x的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解． （1）把，代入，然后去括号合并同类项即可； （2）合并关于m的同类项，然后令其系数等于0求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴ ； （2）解： ， ∵的值与字母m的取值无关， ∴， ∴． 【变式1-4】【阅读理解】已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】（1）已知，． ①用含m，x的式子表示；②若的值与字母m的取值无关，求x的值； 【知识拓展】（2）年末，商场计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件利润为300元．购进羽绒服后，商场决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服不变．设购进甲种羽绒服x件，当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，求a的值． 【答案】（1）①；②10；（2）20 【分析】本题主要考查了代数式表示式，整式加减中的无关型问题等知识． （1）①把，代入，展开去括号合并合并同类项即可． ②根据的值与字母m的取值无关，结合①可知，进而可得出x的值． （2）设购进甲种羽绒服x件，则购进乙种羽绒服件，销售完这30件羽绒服的利润为：，展开得出，再根据销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，即可得出，进而可得出a的值． 【详解】解：（1）①，， ∴ ， ②若的值与字母m的取值无关， 则， ∴． （2）设购进甲种羽绒服x件，则购进乙种羽绒服件， 销售完这30件羽绒服的利润为：， 当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时， ∴ ∴ 【变式1-5】综合与探究 对于两个有理数和，我们定义一种新的运算“” 例如：． 根据以上材料，回答下列问题： (1)计算下列各式的值： ①_____②_____③_____ (2)已知有理数满足且，若，求的值（用含的式子表示） (3)在（2）的条件下，进一步探究：是否存在使得式子与的取值无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 不存在，理由如下： 由（2）得， 则 当时，则 ∵式子与的取值无关 ∴， 解得； 当时，则 ∵式子与的取值无关 ∴， 解得； ∵有理数满足且， ∴不能同时等于和， ∴不存在使得式子与的取值无关． 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的混合运算，整式的加减运算的无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解，再运用该法则进行计算①②③，即可作答． （2）根据，，得出，故，即，再进行分类讨论，即可作答． （3）由（2）得，则 当时，则，根据式子与的取值无关，故，解得；当时，则，同理得，解得，即可作答． 【详解】（1）解：①， ②； ③； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ 则 ∴， 当时，则， ∴， 整理得； 当时，则， ∴，与相矛盾，不符合题意，舍去 ∴； ∴； （3）略 【变式1-6】如图1，已知点A，P所表示的数分别为，2，若以数轴上某一点为折点，将数轴对折后，点A的对应点用B表示，此时点B 所表示的数为5，我们称点B 是点A 关于点P 的镜像点；记作： 或 如图2，已知点M和线段，若以数轴上某一点为折点，将数轴对折后，使点A 和点 B重合，此时点M所对应的点用N表示，我们称点N是点M关于线段的镜像点：记作：；如： (1)填空： ； (2)设点A 表示的数为a，点B 表示的数为b，且点B 在点A 的右侧，点C 是数轴上一动点，点C在运动过程中，设点C表示的数为c，且、 ①若，当，时，求a的值； ②的长是否与点C的位置有关，如果无关，请直接用含a，b的代数式表示的长；如果有关，请直接用含a，b，c的代数式表示的长 【答案】(1)，4； (2)①2或4；②的长与点C的位置无关， 【分析】（1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）①根据、，得出，根据点A 表示的数为a，点B 表示的数为b，且点B 在点A 的右侧，，当，时计算即可； ②根据点A表示的数为，且点B 在点A 的右侧，点表示的数为，设点表示的数为，点表示的数为，求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：； 根据题意得：． 故答案为：，4； （2）解：①点A 表示的数为a，点B 表示的数为b，且点B 在点A 的右侧， ， ， A为的中点， 时，设点表示的数为， ， ， 点表示的数为， ， 当点C在线段上时，如图所示： 点D在点A的左侧，此时，不合题意； 当点C在线段延长线上时，如图所示： 点D在点A的左侧，此时，不合题意； 当点C在线段反向延长线上时， Ⅰ如图所示： 点D在点B的左侧， 此时， ； Ⅱ如图所示： 点D在点B的右侧， 此时， ； 综上所述，，当，时，a的值2或4； ② ， A为的中点， 点A 表示的数为a，点C表示的数为c， 设点表示的数为， ， ， 点表示的数为， ， 的中点与的中点是同一个点， 设点表示的数为， ， ， ； 点在运动过程中，的长与点C的位置无关， ． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，整式加减运算，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式，注意进行分类讨论． ▌题型03 整式加减应用中图形面积与字母无关的问题 1.本质与原理 在几何图形的面积问题中，有时用含字母的式子表示某部分的面积后，发现该面积表达式与某个字母的取值无关。其本质与题型二完全相同：面积表达式中含该字母的所有项的系数之和为0。差别仅在于：这里的整式是通过面积计算（如长方形面积=长×宽、三角形面积=底×高/2、割补法求阴影面积等）得到的，需要先根据几何关系建立面积表达式，再分析其与字母的关系。 2.深度识别特征 题目给出几何图形（常为长方形、正方形、三角形或由它们组合的图形）。 图形中的某些长度用字母（如 、、）表示。 要求判断（或证明）某个区域的面积与某一字母的取值无关。 或已知面积与某字母无关，求参数（如图形中某个特定的比值或长度）。 3.操作细化步骤 审图标注：仔细观察几何图形，明确各部分的长度关系，将已知的含字母的长度标注在图上。 确定所求面积：明确题目要求的是哪一部分的面积（如阴影部分面积、某个三角形的面积等）。 建立面积表达式： 若为规则图形，直接用面积公式计算； 若为不规则图形，用“割补法”——整体面积减去空白部分面积； 若为多个图形组合，分别计算后相加减。 化简面积表达式：对得到的式子进行去括号、合并同类项，化为最简形式，通常为 的形式，其中字母可能是图形的边长参数。 分析无关性：若要判断面积是否与某个字母（如 ）无关，看化简后的结果中是否含有 的项。若无，则无关；若有，看系数是否因条件为0。 若已知无关求参数：令含该字母的所有项的系数为0，解方程或方程组。 得出结论或求值：根据题目要求，写出判断结论或计算出具体的面积值。 4.易错点与注意事项 几何关系中隐含的相等关系：图形中可能隐含着某些边相等（如正方形四边相等、长方形对边相等），这些是建立表达式时不可忽视的条件。 割补法中的重叠和遗漏：用整体减空白时，要确保空白部分面积的计算正确，不能多减或少减。 区分“与某个字母无关”与“面积为0” ：面积是一个具体的正值（或非负值），与某字母无关意味着该面积表达式中没有含该字母的项（或者含该字母的项相互抵消），而不是面积本身为0。 单位统一：所有长度单位一致，面积单位自然一致。 参数的实际意义：图形中的字母通常表示长度，因此有正数约束（如 ），求得的参数值若为负值可能不合理（需结合具体图形判断），但若仅从代数角度求值，负值也需保留，再结合几何意义取舍。 5.与其他方法的联系 是“取值与字母无关”思想在几何情境中的具体应用。 需要综合运用“整式的加减”与“列代数式”的技能。 与“整式加减的应用”紧密相连，是实际问题的一种形式。 本质上还是“令含该字母的项的系数为零”这一核心思路的延伸。 6.变化形式 平移或旋转后的图形面积：图形可能经过平移、旋转等变换，面积不变，但表达式需利用变换后的边长关系重新建立。 多个字母同时出现：面积表达式中含有多个字母（如 ），需明确要判断与哪个字母无关。 已知无关反求图形关系：已知面积与某字母无关，可推出图形中某些边长之间的比例关系。 与最值结合：判断面积与某字母无关后，进一步求面积的最大值或最小值（通常剩余部分为常数或与另一字母有关）。 证明题：题目要求“证明某部分的面积与 无关”，需先建立表达式再证明不含 项。 【典例1】嘉淇设计了一个小程序：程序界面分为A，B两区，每按一次按键，A区就会自动加上，同时B区就会自动乘以2，且A；B两区均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是和（如图1），按一次按键后，A，B两区分别显示和（如图2）． (1)从初始状态按2次按键后，A区显示的结果是______；B区显示的结果是______； (2)从初始状态按3次按键后，张老师让同学们计算“当，时，A区代数式与B区代数式的差的值”．嘉淇说，只需要知道a的值就可以求出这个差的值．你认为他的说法有道理吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2) 嘉淇说的有道理，理由如下： 由（1）知，2次按键后A，B两区分别显示，， ∴3次按键后，A，B两区分别显示，， ∴A区代数式与B区代数式的差为， ∴差与的值无关， 故嘉淇说的有道理． 【分析】本题考查整式加减的应用，以及整式加减中的无关型问题． （1）根据题意，列出代数式，即可； （2）求出按按3次按键A区代数式与B区代数式，作差后，进行判断即可． 读懂题意，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，按一次按键后，A，B两区分别显示和， 再按一次按键后，A，B两区分别显示和， 故答案为：，； （2）略 【变式1-1】【问题背景】 如图1，有一长，宽的长方形电脑屏幕，动点以每秒2个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点的运动时间为秒，连接． 【初步探究】 （1）当，时，求四边形的面积 （2）当为何值时，四边形的面积与的取值无关： 【拓展提升】 （3）如图2，若点每运动1秒，电脑屏幕的区显示的结果就会自动加上2，同时区的结果会自动将整个代数式乘以2，且均显示化简后的结果．已知两区初始显示的分别是和，若，试比较区、区显示的结果哪个大，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）N区显示的结果大，理由如下： 由题意得，当时，， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴N区显示的结果大； 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题，代数式求值，正确理解题意和熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）求出此时的长，再根据列式求解即可； （2）同（1）求出，根据面积与t无关可得，据此可得答案； （3）根据题意求出时，M区和N区的结果，再利用作差法求解即可． 【详解】解：（1）当，时，， ∴， ∴ ； （2）由题意得，， ∴， ∴ ， ∵四边形的面积与的取值无关， ∴， ∴； （3）略 【变式1-2】如图，有一电脑程序：每按一次按键，区就会自动加上，同时区就会自动乘2，并在各自区域显示化简后的结果．已知，两区的初始显示值分别是和． (1)若从初始状态按1次按键后，区与区代数式的和为0，求的值； (2)是否存在的值，使得从初始状态按2次按键后，，两区显示的结果同时为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)2或 (2)存在的值，使得从初始状态按2次按键后，，两区显示的结果同时为0．此时的值为1 【分析】本题考查了列代数式，涉及到解方程，关键是读懂题意，得到按一次、按两次，分别得到的，区显示的式子，不能出错． （1）根据题意，按一次后，分别得到，区显示和为，，根据其和为0，得到方程，解方程即可得到结果； （2）按二次后，分别得到，区显示的，区显示为：，根据，两区显示的结果同时为0，分别解方程，得到公共解，即可得到结果． 【详解】（1）解：依题意，按1次后，区显示为，区显示为， 按1次按键后，区与区代数式的和为0， ， ， 或， 的值是2或； （2）解：按2次后，区显示为：，区显示为：， 按2次按键后，，两区显示的结果同时为0， 若， 即：， ，即：， ， 解得或； 同时，， 解得：， 综上可得：， 存在的值，使得从初始状态按2次按键后，，两区显示的结果同时为0．此时的值为1． 【变式1-3】如图1，有9个完全相同的长为厘米，宽为厘米的长方形．如图2，小红将这9个小长方形按如图所示不重叠地放置在长方形中．对于长方形中未被覆盖的两个部分（阴影部分），设左下角的面积为，右上角的面积为． (1)当，且厘米时，长方形的面积为_______，阴影部分的面积为_______； (2)设厘米，若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】(1)270，64 (2)与的数量关系为． 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题； （1）根据长方形面积公式求解即可； （2）由图可知，，则，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可知的值与的值无关，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴长方形的面积为， 阴影部分的面积为； 故答案为：270，64； （2）解：由题意得，， ，， ∴ ， 当即时，在的长变化时，的值始终保持不变． ∴与的数量关系为． 【变式1-4】已知，有7个完全相同的边长为的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中． (1)当时，求大长方形的面积； (2)请说明阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关． 【答案】(1) (2) 解：由图可知：阴影A的周长； 阴影B的周长, ∴阴影A与阴影B的周长的和， ∴阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关． 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． （1）求出长方形的长，然后利用长乘以宽求出面积即可； （2）求出阴影的周长，再求出周长和即可说明； 【详解】（1）解：由图可知：大长方形的长为：； ∴当时，大长方形的长为：； ∴大长方形的面积 （2）略 【变式1-5】［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； （能力提升） (3)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简整式，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）解： ， ∵的值与x无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 【变式1-6】【知识再现】 学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式为，所以，则． (1)【初步运用】关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)【类比迁移】已知，，且化简的结果与x取值无关，求m，n的值； (3)【拓展应用】图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张这种纸片按图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分是阴影部分（是两个长方形）．设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分的面积为，当的长度变化时，设，且S为定值，试探究a与b之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)， (3) ， 理由：设， ∴，， ∴ ， ∵的长度变化时，S为定值， ∴S的值与x取值无关， ∴， ∴． 【分析】本题考查了整式的加减． （1）先合并同类项，再根据“关于x的多项式的值与x的取值无关”得到，进而求解即可； （2）求出的值，根据“结果与x取值无关”得到，，进而求解即可； （3）设，则，，求出，根据“S为定值”得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解： ， ∵化简的结果与x取值无关， ∴，， ∴，； （3）略 【变式1-7】学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，m看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分)，设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）设，分别求出，进而求出，再由的值始终保持不变进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：设， 由题意得，， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的相关计算法则是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $