专项02 探索规律（数式规律与图形规律）（题型专练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 以数式与图形规律为核心，通过“原理-步骤-易错-联系”四阶方法体系，系统构建从数字序列到图形转化的归纳推理能力，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数字类-单项式规律|1典例+5变式|拆解系数与指数，符号周期控制，表达式组合验证|为排列问题奠基，体现数列思想萌芽| |数字类-排列问题|1典例+5变式|位置编号与数值函数关系，行列/圈数定位法|综合单项式规律，数字化图形排列基础| |数字类-末尾数字|1典例+4变式|底数个位提取，周期观察与余数推断|周期规律典型应用，强化推理意识| |图形类-数字问题|1典例+5变式|图形数量转化数列，等差/二阶等差归纳|图形几何特征转数量关系，培养几何直观| |图形变化类规律|1典例+6变式|初始量与增量规律分析，总量表达式推导|图形动态变化量化，深化模型意识|

专题03 绝对值的化简与分类讨论 （题型突破·举一反三） ▌题型01 数字类规律探究之单项式的规律问题 【典例1】 【答案】A 【分析】根据给出的单项式，抽象出相应的数字规律即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴第n个单项式为：， 故选A． 【点睛】本题考查数字规律探究，根据已知的单项式，抽象概括出数字规律，是解题的关键． 【变式1-1】 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式规律探究，直接利用已知得出数字变化规律，进而得出答案． 【详解】解：观察各单项式的系数，其符号规律为，分母的规律为，字母及指数规律为， ∴依照此规律，第n个单项式为：， 故选：D． 【变式1-2】 【答案】D 【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】解： ， ， ， ， ， 由上可知，第个单项式是：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了规律题——数字的变化类，关键是分别找出符号与指数的变化规律． 【变式1-3】 【答案】B 【分析】不难看出奇数项为正，偶数项为负，分母为x2n-2，分子的指数为由1开始的自然数，据此即可求解． 【详解】解：∵2=， ∴按一定规律排列的代数式为：，，，，，…， ∴第n个单项式是(-1)n-1， 故选：B． 【点睛】本题考查单项式的规律，根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解题的关键． 【变式1-4】 【答案】B 【分析】本题考查的是代数式的规律探究，观察代数式的系数、符号和分母指数的变化规律．分子是2的n次幂，符号交替出现，分母的指数是奇数序列，可表示为． 【详解】解：∵ 第1项：， 第2项：， 第3项：， …… ∴ 第n个代数式为 ． 故选：B 【变式1-5】 【答案】A 【分析】分别从符号、分子系数、分母、x的次数四个部分寻找其与序数n的规律，再归纳得到第n个单项式即可． 【详解】解：我们分四部分找规律： ①符号规律： ∵第1个为正，第2个为负，第3个为正，第4个为负， ∴符号的规律为； ②分子系数规律： ∵第1个分子系数是，第2个是，第3个是，， ∴分子系数规律为； ③分母规律： ∵第1个分母是，第2个分母是，第3个分母是，， ∴分母规律为； ④x的次数规律： ∵第1个x的次数是，第2个x的次数是，第3个x的次数是，， ∴x的次数规律为． 综上，第n个单项式是． ▌题型02 数字类规律探索之排列问题 【典例1】 【答案】C 【分析】由2000是正偶数列中第1000项，再由每一行四项，可知在第250行中的第四个数．最后由第250行是从左右向左排且从第四列开始排，即可得到结果． 【详解】∵2000是正偶数列中第1000项， 又∵每一行四项， ∴在第250行中的第四个数． 又∵第250行是从左向右排且从第四列开始排， ∴2000为第250行第1列， 故选C. 【点睛】本题主要考查数列的规律，这类题的解决方法，一般是从具体到推知一般性的规律． 【变式1-1】 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据题目中的数字，可以发现数字的变化规律，从而可以求得第10层第4个数．解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的数字． 【详解】解：由题目中的数字可知， 第1层有2个数，第一个数字是， 第2层有3个数，第一个数字是， 第3层有4个数，第一个数字是， 第4层有5个数，第一个数字是， 第5层有6个数，第一个数字是， …， 故第10层有11个数，第一个数字是， 由每一行数的绝对值是连续整数，第奇数个整数是负数，第偶数个整数是正数， 故第10层的数是：，，，，，…… 故第10层第4个数是， 故选：A． 【变式1-2】 【答案】 正数 B 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列规律，确定循环规律是解题的关键． 通过观察发现，每4个数为一组循环，并且是正数负数交替出现，再结合所给的A的位置可确定此处是正数，由于，可确定2025在B处． 【详解】解：∵A的位置与4、8、12......对应， ∴A处是正数；每4个数为一组循环， ∵， ∴2025排在对应的B处， 故答案为：正数，B． 【变式1-3】 【答案】45 【分析】本题属于探究规律类题目，解答本题需掌握题目中数的排列规律，考虑从最大数与行数入手. 分析可得各行最大数依次为1、4、9、16、25，可得每行的最大数为行数的平方，接下来求得，再结合结论即可得到答案. 【详解】解：观察可知：各行最大数依次为1、4、9、16、25，可得每行的最大数为行数的平方. ∵ 所以是第45行的数. 故答案为：45 【变式1-4】 (2)若其中某三个相邻数的积是，求这三个数的和． 【答案】(1)64， (2)12 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． （1）根据题目中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以写出相应的数据； （2）根据（1）中发现的数字的特点和题意，可以计算出这三个数，从而可以得到这三个数的和． 【详解】（1）这列数为，…， 这列数的第个数为， 当时，这个数是， 故答案为：64，； （2）设这三个数是，，， 则， 即， 解得， 这三个数是4，，16， 这三个数的和是． 【变式1-5】 【答案】(1)150；7 (2)5 (3)，24 【分析】本题考查了数字类规律探索，代数式的应用及计算，理解题意是解此题的关键． （1）把身份证前17位号码代入S关于的表达式求出S的值，再除以11即可得到Y值； （2）由Y值根据验证码对照表可得到校验码； （3）先把已知的身份证号码代入S表达式，得到，再结合小方身份证号按公式求得的S为131，求出的值，然后由将S除以11得到余数Y，可得，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意，把小睿同学身份证前17位号码11010820101008324代入： ， 即： ， ∴． 故答案为：150；7． （2）解：当时，由校验码对照表可得，． 故答案为：5． （3）解：根据小方同学的出生年月份应该是2011年03月，故， 把及其它已知的身份证号码代入S表达式得：∵小方身份证号按公式求得的S为131， ∴ ∴ ∴， 则， 即， ∴由校验码对照表可得， 即他通过上述规则推算出小方同学身份证号码中的校验码是2，小方同学的生日是2011年3月24日． ▌题型03 数字类规律探索之末尾数字问题 【典例1】 【答案】A 【分析】观察所给等式发现规律末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，每4个数一组循环，进而可得算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字． 【详解】解：观察下列等式： 31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…， 发现规律： 末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…， 每4个数一组循环， 所以2020÷4＝505， 而3+9+7+1＝20， 20×505＝10100． 所以算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是0． 故选：A． 【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 【变式1-1】 【答案】 6 4 【分析】本题考查数字类规律探究．根据给出的算式，得到的个位数字以为一组，进行循环，分别求出，，，，，得到和的个位数字以2，6，4，0为一组，进行循环，再进行求解即可． 【详解】解：∵，…， ∴个位数字是以为一组进行循环， ∵， ∴的个位数是6； ∵，个位数字为2； ，个位数字为6； ，个位数字为4； ，个位数字为0； ，个位数字为2； … ∴和的个位数字以2，6，4，0为一组，进行循环， ∵， ∴末位数字为4． 故答案为：6；4． 【变式1-2】 【答案】5 【分析】本题是规律探索问题，考查了乘方的运算，发现规律是关键． 通过观察和的末位数字的循环规律，分别求出和的末位数字，然后相加得到和的末位数字． 【详解】的末位数字循环周期为4：当指数除以4余1时末位为2，余2时末位为4， 余3时末位为8，余0时末位为6． 的末位数字循环周期为4：当指数除以4余1时末位为3，余2时末位为9， 余3时末位为7，余0时末位为1． 计算：余3，对应末位为8． 计算：余3，对应末位为7． 8+7=15，末位数字为5． 故答案为：5． 【变式1-3】 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，找到式子规律是解题的关键． （1）通过观察可得第4个式子；同时总结出第n个等式的结果； （2）根据（1）中结果求解即可； （3）由（1）的规律代入进行运算求解即可． 【详解】（1）解：第4个等式：； ； （2）根据（1）中结果得：， ， ； 故答案为：； （3）根据（1）中结果得：与的差为， ∴， 解得：（负值舍去）． 【变式1-4】 【答案】见解析. 【分析】根据题目给出的计算过程可得规律：第n个数可以表示为100×n×（n+1）+25，据此填空即可． 【详解】根据规律，第n个数可以表示为100×n×（n+1）+25， 则：（1）452=100×4（4+1）+25，652=100×6（6+1）+25，952=100×9（9+1）+25， 故答案为100×4（4+1）+25，100×6（6+1）+25，100×9（9+1）+25； （2）（10n+5）2=100×n×（n+1）+25， 故答案为100×n×（n+1）+25； （3）19952=（199×10+5）2=100×199×（199+1）+25=3980025， 故答案为3980025． 【点睛】此题考查了完全平方数的计算技巧，同时考查了规律的探索问题，可以激发同学们的探索意识，激发学习兴趣． ▌题型04 图形类规律探索之数字问题 【典例1】 【答案】B 【分析】观察根据排列的规律得到第一行为0，第二行为0加6个数即为6，第三行为从6开始加15个数得到21，第四行为从21开始加24个数即45，…，由此得到后面加的数比前一行加的数多9，由此得到第6行的数． 【详解】解：∵第一个数字为0， 第二个数字为， 第三个数字为， 第四个数字为， 第五个数字为， 第六行的数字为， 故选：B． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 【变式1-1】 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化规律，找到变化规律是解题的关键． 根据第二点开始，每个点等于前面的点表示的数再加上连续的四个偶数，即可求解． 【详解】解：第1个数为1， 第2个数为：1+2+4+6=13， 第3个数为：13+8+10+12+14=57， 第4个数为：57+16+18+20+22=133， 第5个数为：133+24+26+28+30=241， 第6个数为：241+32+34+36+38=381． 故选：D． 【变式1-2】 【答案】6080 【分析】每增加一个梯形，其周长就增加，据此求解即可得出n个梯形得到的图形的周长，从而可求解． 【详解】解：1个梯形时，其周长， 2个梯形时，其周长， 3个梯形时，其周长， ...， 个梯形时，其周长为， 当时，其周长为：． 【变式1-3】 【答案】(1) 完成表格，如下： 多面体 顶点数 面数 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 根据表格得：顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是； (2)12 (3)14 【分析】（1）观察可得顶点数+面数-棱数=2； （2）代入（1）中的式子即可得到面数； （3）根据题意得到多面体的棱数，可求得面数即为x+y的值 【详解】（1）解： （2）解：由题意得：， 解得； 故答案为：12； （3）解：有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； 共有条棱， 那么，解得， ． 【点睛】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用． 【变式1-4】 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数形结合思想，探索数列规律，等差数列求和，解题的关键在于建立“形”与“数”的对应关系，易错点在于规律归纳错误和计算项数错误； （1）观察：对比图形序号、算式中的加数个数和结果；归纳：发现第个图形有个加数，结果是的平方；表达：最后一个加数（第个奇数）是； （2）确定项数：令最后一项，解得，再套用规律即可； （3）转换数列：将原式视为从1加到199的和减去从1加到39的和，分别计算项数，再套用规律即可． 【详解】（1）解：观察：对比图形序号、算式中的加数个数和结果； 归纳：发现第个图形有个加数，结果是的平方； 表达：最后一个加数（第个奇数）是， 故． （2）解：确定项数：令最后一项，解得， 套用规律：根据(1)的结论， 故原式． （3）解： 令最后一项 令最后一项 上式 故原式． 【变式1-5】 【答案】(1)①9，12； ②不可能，理由如下： 由所给图形可知， 图（1）中黑色棋子的个数为：； 图（2）中黑色棋子的个数为：； 图（3）中黑色棋子的个数为：； …， 所以图（n）中黑色棋子的个数为个． 令，解得 ∵n须为正整数， ∴图中的黑色棋子的个数不可能是40； (2)①7（答案不唯一），8（答案不唯一）； ②如图所示， 所以． 【分析】（1）①根据所给图形，数出黑色棋子的个数即可解决问题． ②依次求出图形中黑色棋子的个数，发现规律即可解决问题． （2）①利用数形结合的数学思想即可解决问题． ②根据题意，画出示意图并进行计算即可． 【详解】（1）解：①由所给图形可知， 第（3）个图形中黑色棋子的个数为9，第（4）个图形中黑色棋子的个数为12， 故答案为：9，12； ②略 （2）解：①由所给图形可知， 图2是一个一边为7个棋子，邻边为8个棋子的长方形， 所以图中黑色棋子的总个数为（个）， ∴， 故答案为：7（答案不唯一），8（答案不唯一）． ②略 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律及数学常识，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． ▌题型05 图形变化类规律 【典例1】 【答案】C 【分析】根据所给图形，依次求出图形中圆点的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图形中圆点的个数为：， 第②个图形中圆点的个数为：， 第③个图形中圆点的个数为：， …， 所以第n个图形中圆点的个数为． 当时，第⑨个图形中圆点的个数为． 【变式1-1】 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意得出第n个图形中棋子数为，据此求解． 【详解】解：图①数量是， 图②数量是， 图③数量是， 图④数量是， ⋯， 图n中棋子的数量是， 当时，， 故选：B． 【变式1-2】 【答案】C 【分析】本题主要考查对图形的变化找规律，仔细观察图形得到一定规律进行计算即可． 【详解】解：图1黑棋数目 图2黑棋数目 图3黑棋数目 图4黑棋数目     图5黑棋数目 图6黑棋数目 图7黑棋数目 故图7中黑色棋子的颗数是 =18+14+21 故选：C． 【变式1-3】 【答案】（1）12；（2）；（3）可以组成第n个图案， 【分析】本题考查图形类规律探究，从已有图形，抽象出相应的规律，是解题的关键． （1）从已有图形中，得到第n个图案有个正方形，进而求出第5个图案即可； （2）由（1）即可得出结果； （3）令，进行求解即可． 【详解】解：（1）第1个图案有：个正方形； 第2个图案有：个正方形； 第3个图案有：个正方形； ， ∴第n个图案有个正方形， ∴第5个图案有个正方形， 故答案为：12； （2）由（1）可知：第n个图案有个正方形， 故答案为：； （3）可以， 当时，． 【变式1-4】 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）3035 【分析】（1）第一个图形需要4根火柴棒，以后的每个图形都比前一个图形多3根，据此找到规律列出代数式； （2）第一个图形需要5根火柴棒，以后的每个图形都比前一个图形多4根，据此找到规律列出代数式； （3）第①个图形需要4个等边三角形，共12根火柴棒，以后的每个图形都比前一个图形多2个等边三角形，多6根火柴棒，据此找到规律列出代数式； （4）根据前几个图形的规律，找到当n为奇数时和当n为偶数时需要的黑色正方形个数，继而代入计算即可． 【详解】解：（1）搭1个小正方形需要4根火柴棒， 搭2个小正方形需要根火柴棒， 搭3个小正方形需要根火柴棒， … 搭n个小正方形需要根火柴棒； （2）摆1个五边形需要根火柴棒， 摆2个五边形需要根火柴棒， 摆3个五边形需要根火柴棒， … 摆n个五边形需要根火柴棒， （3）第①个图案所需要的火柴棍的根数为：， 第②个图案所需要的火柴棍的根数为：， 第③个图案所需要的火柴棍的根数为：， …， ∴第n个图案需要火柴棍的根数为：． （4）第1个图形中黑色正方形的数量是2个， 第2个图形中黑色正方形的数量是3个， 第3个图形中黑色正方形的数量是5个， 第4个图形中黑色正方形的数量是6个， 第5个图形中黑色正方形的数量是8个， … 当n为奇数时，黑色正方形的个数为， 当n为偶数时，黑色正方形的个数为， ∴第2023个图形中黑色正方形的数量是个． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给图形分析出图形变化的规律． 【变式1-5】 【答案】(1)14，20 (2)， (3)从第2023个图案开始，正方形的个数与三角形个数之差大于2024 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． （1）根据图案填写即可； （2）根据表格提供的数据总结规律即可； （3）根据规律列不等式求解即可． 【详解】（1）解：第4个图案中有14个三角形，20个正方形， 填表如下： 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 … 的个数 2 6 10 14 … 的个数 5 10 15 20 … （2）解：由表格数据可得： 第n个图案中有个三角形，个正方形． 故答案为：，； （3）解：根据题意得：， 解得：， ∴从第2023个图案开始，正方形的个数与三角形个数之差大于2024． 【变式1-6】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意画出四边形的不同三角剖分方法数； （2）根据题意画出五边形的三角剖分的一种方法； （3）根据公式进行计算即可求解． 【详解】（1）如图， 将一个四边形进行三角剖分，则有种剖分方法； （2）略 （3）由题意得，， ∵ 时，， 时，， ∴， 时，， ∴， 时，， ∴， 时，， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 探索规律（数式规律与图形规律） （题型突破·举一反三） 题型01 数字类规律探究之单项式的规律问题 题型02 数字类规律探索之排列问题 题型03 数字类规律探索之末尾数字问题 题型04 图形类规律探究之数字问题 题型05 图形变化类规律 ▌题型01 数字类规律探究之单项式的规律问题 1.本质与原理 单项式规律问题通常给出一列单项式（如 ），要求写出第 个单项式或第 项的系数、指数等。这类问题的本质是数列规律在单项式系数和字母指数上的体现。一个单项式由系数（含符号）和字母部分（含指数）组成，因此需要分别找出系数和指数的变化规律，再将两者组合起来。 2.深度识别特征 给出一串单项式，它们之间按照某种顺序排列（通常按项数递增）。 每个单项式的系数（包括正负号）和字母的指数呈现明显的规律性变化。 字母通常只有一个（如 、 等），也可能有多个但指数变化有规律。 题目常见问法：“第 个单项式是什么？” “第 个单项式的系数/次数是多少？” 3.操作细化步骤 拆解单项式：将每个单项式拆分为“系数部分”和“字母部分”（字母及指数）。 观察系数规律： 符号规律：正负交替（如 ）或更复杂的周期变化。 绝对值规律：系数的大小是否按等差数列、等比数列或其他规律变化。 符号与绝对值组合：常用 或 来控制符号。 观察字母指数规律：指数是否为连续的整数（如 ）或等差数列，也可能与序号 有函数关系（如 ）。 组合表达式：将系数和字母部分的规律合并，得到第 个单项式的统一表达式。 验证：将 代入表达式，检查是否能得到给定的前三项。 4.易错点与注意事项 符号规律混淆：常见交替符号可用 （当 时为正）或 （当 时为负），要根据第一项的符号确定。 系数的绝对值与序号的关系：有时系数绝对值等于序号（如第 项系数绝对值为 ），有时是序号加一或减一，需仔细比对。 指数规律：指数不一定等于序号，可能是指数等差数列，如 则指数为 。 常数项的处理：若出现常数项（如 ），可将其视为 ，但通常这类题不含常数项。 若系数中包含分数，需分别找分子和分母的规律。 5.与其他方法的联系 为“数字类规律探索之排列问题”的基础——排列问题中每个位置的数也可能按此方式生成。 与“图形类规律”有相通之处——图形中的数量变化最终也会转化为数字序列。 是后续数列学习的前奏。 6.变化形式 系数和指数的规律可能不是独立的，而是相互关联的（如系数等于指数加一）。 字母可能有两个或多个，指数分别有各自规律。 题目可能只问第 项的系数、次数或特定项的取值。 可能给出第 项表达式，要求写出前几项或判断某个单项式是否在序列中。 【典例1】按一定规律排列的单项式：第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】观察按规律排列的单项式：，，，，…，第n个单项式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】按一定规律排列的单项式：，，，，，……，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】按一定规律排列的代数式：2，，……，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第n个代数式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】按一定规律排列的单项式：，，，，，，…．则第个单项式是（   ） A． B． C． D． ▌题型02 数字类规律探索之排列问题 1.本质与原理 排列问题是指将数字（或式子）排成一定的阵形（如三角形、正方形、螺旋形等），每个位置上的数字按某种规则生成。这类问题的本质是位置编号与数值之间的函数关系——将每个位置用一个序号（如第 行第 列）表示，再找出该位置数字与序号的代数关系。常见的排列方式有：杨辉三角、自然数方阵、回形排列等。 2.深度识别特征 数字被排列成有规律的形状（如数表、三角阵、螺旋阵）。 每个位置上的数字与它所在的行、列或序号有明确的代数关系。 常见问法：“第 行第 列的数是多少？” “前 行的所有数之和是多少？” 3.操作细化步骤 观察排列结构：确定数字是如何排列的（每行几个数、递增方向、换行规律等）。 建立序号与位置的关系： 若为简单行列阵，常用“第 行第 列”作为位置记号。 若为斜排或螺旋，需先确定该位置的“层数”或“圈数”。 寻找数字生成规则：每个数字是由行号、列号通过某种运算得到的吗（如加法、乘法、指数）？ 归纳表达式：用含 （或仅含 ）的整式表示该位置的数字。 针对特殊问题（如求某一行之和、某一列之和）：先写出该行/列各数的表达式，再用整式加减求和。 验证：代入小的 检查是否与实际排列一致。 4.易错点与注意事项 序号起点：行号、列号是从0开始还是从1开始？要与题目中给出的示例对应。 换行时的跳变：有些排列（如自然数方阵）在换行时数字不连续，而有的排列（如按行连续编号）则连续，需区分。 对角线或特殊线：若求对角线上的数，需找出满足 或 定值的表达式。 求和时用整式加法：求前 行和时，通常需要用到后续学习的数列求和公式，但在七年级范围内，通常只要求写出求和表达式（可能需合并同类项）。 5.与其他方法的联系 综合运用了“单项式规律”中的序号法。 与“图形类规律”有交叉——有些数字排列本身就是图形的“数字化”。 为后续学习等差数列、等比数列奠定基础。 6.变化形式 杨辉三角：每个数等于上方两个数之和，可用组合数表达（但七年级通常只要求找行的规律）。 乘法表式排列：数字为行号与列号的乘积。 斜向排列：如“第1行1个，第2行2个……”的三角形排列，要求找第几行第几个数。 回形螺旋排列：需找“圈数”规律。 【典例1】将正偶数按下表排成5列： 根据上面的排列规律，则2000应在（ ） A．第125行，第1列 B．第125行，第2列 C．第250行，第1列 D．第250行，第2列 【变式1-1】观察下列整数： 第1层          第2层          第3层           第4层             …              … 在上述“整数宝塔”中，第4层第2个数是，则第10层第4个数是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】探索组在老师的安排下准备了一个规律题，如图，请根据数字规律，探索下列问题：在A处的数是______（填正数或负数）；第2025个数对应排在______位置（从A，B，C，D中选择填写）． 【变式1-3】将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 第1行 1 第2行 2 3 4 第3行 9 8 7 6 5 第4行 10 11 12 13 14 15 16 第5行 25 24 23 22 21 20 19 18 17 … 则数字在第______行． 【变式1-4】有一列数，按一定规律排列成，…，观察这列数的规律解决如下问题： (1)第七个数是______，第n个数可表示为________； (2)若其中某三个相邻数的积是，求这三个数的和． 【变式1-5】我国现行的二代身份证号码是18个数字（第18位可能由字母X表示），它是由（从左至右）前17位数字本体码和最后1位校验码组成的． 小睿同学通过查阅资料发现：身份证前6位为行政区划代码，第7至14位为出生日期码，第15至17位为顺序码，第18位为校验码．第18位校验码由前17位数字根据一定规则计算得出．为了方便表示，现将身份证的18位数字（从左至右）依次记为：，，…，，，其中表示（从左至右）第1位上的数字．计算校验码的规则是： 步骤1．将每一位数字本体码分别乘以一个指定的数，之后将乘积相加，求得S．具体公式为： ； 步骤2．将S除以11得到余数Y； 步骤3．查阅下表得到对应的校验码（其中X为罗马数字，用来代替10） 余数Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 校验码 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2 小睿同学决定用自己的身份证号码验证一下，他的身份证前17位数字本体码是：11010820101008324（如下表），请按照校验码计算规则完成下列问题： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 1 0 1 0 8 2 0 1 0 1 0 0 8 3 2 4 (1)小睿同学的身份证号码按照公式求得的______，余数______； (2)小睿同学的身份证号码中校验码是______； (3)小睿想要在小方同学生日时给他惊喜，已知小方同学身份证号码的一部分，如下： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 1 0 1 0 2 0 1 1 0 3 2 0 5 1 且小方身份证号按公式求得的S为131，于是他通过上述规则推算出小方同学身份证号码中的校验码是______，小方同学的生日是2011年3月______日． ▌题型03 数字类规律探索之末尾数字问题 1.本质与原理 末尾数字问题（或称个位数字问题）是指求某个幂（如 、）的个位数字，或若干个幂的运算结果的个位数字。其本质是周期性规律——个位数字随指数变化呈周期循环。由于个位数字只取决于底数的个位数字和指数对周期的余数，因此可通过观察小指数的个位数字变化找到周期，再根据指数除以周期的余数推断。 2.深度识别特征 题目要求计算某个幂的个位数字（如 的个位数）。 或求多个幂之和、之差的个位数。 指数往往很大，不可能直接计算。 底数可能是个位数或任意整数（但个位数由底数的个位决定）。 3.操作细化步骤 确定底数的个位数字：若底数是多位数，只需取其个位数。如 的个位等价于 。 列表观察个位数字变化：从指数1开始，依次计算该底数次幂的个位，直到出现循环。 例如，2的幂个位：2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, … 周期为4。 常见周期：0和1周期为1；2、3、7、8周期为4；4、9周期为2；5、6周期为1。 确定周期：找出个位数字循环的最小正周期 。 求指数除以周期的余数：用 除以 ，得到余数 （若余数为0，则对应周期末位）。 根据余数确定个位数字：查表得到该余数对应的个位数字。 若多个幂相加减：分别求出每个幂的个位，再按运算规则取个位（注意减法中可能借位）。 4.易错点与注意事项 周期起点：周期从指数1开始，若从0开始（如 ），需注意是否符合题目（通常指数为正整数）。 余数为0的处理：当 能被周期整除时，个位对应周期末项（如周期为4，余数为0时对应第4个）。 多个幂的运算：先分别求个位，再做加减乘除，最后取个位（乘法中个位相乘取个位）。 幂的幂：如 ，需先处理外层指数，但对个位而言，可化简底数，但指数仍需按模周期处理，可能需用欧拉定理（但七年级不会涉及太复杂的）。 5.与其他方法的联系 是数字规律中典型的“周期规律”应用。 与“单项式规律”中符号交替的“周期”思想一致。 在后续学习数论、同余时更为深入。 6.变化形式 求某数的高次幂的末两位或末三位，需用模100、模1000的周期，周期更长。 求多个幂之和的个位，如 的个位，需分别找周期。 求某数的平方、立方等的个位，可化为幂的个位问题。 【典例1】观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，试利用上述规律判断算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是（    ） A．0 B．1 C．3 D．7 【变式1-1】观察下列算式： ，… 用你所发现的规律写出的个位数是 _____，的个位数字是 _____． 【变式1-2】观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是________． 【变式1-3】【观察思考】观察个位上的数字是5的自然数的平方（任意一个个位数字为5 的自然数可用代数式来表示，其中n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律，并归纳猜想出一般结论． 【规律发现】第1个等式： ；第2个等式：   第3个等式： ； … 【规律应用】 (1)写出第4个等式：_________；写出你猜想的第n个等式：_________（用含n的等式表示）： (2)根据以上的规律直接写出结果： _________²； (3)若 与的差为， 求n的值． 【变式1-4】你能很快计算出吗？ 为了解决这个问题，我们来考察个位为5的自然数的平方，任意一个个位为5的自然数都可以写成10n+5的形式，于是原题即求的值.N为自然数，分析n=1,n=2,n=3,……这些简单情况，从中探索其规律，并归纳、猜想出结论. （1）通过计算、探索规律：        = , = ,= , （2）从（1）小题的结果，归纳、猜想得：= , （3）根据上面的归纳、猜想，请计算出= . ▌题型04 图形类规律探索之数字问题 1.本质与原理 图形类规律中的数字问题，是指给出由图形（如点阵、线段、三角形等）构成的图案序列，每个图案中都标有数量（如点的个数、线段条数、三角形个数等），要求找出这些数量随图案序号变化的规律，并用含字母的整式表示。这类问题的本质是将图形的几何特征转化为数量，再寻找数量序列的代数规律。核心步骤是“数出前几个图形的数量，归纳出一般表达式”。 2.深度识别特征 给出若干个图形（如图1、图2、图3…），图形由基本元素（点、线段、小正方形等）组成。 要求找出第 个图形中某种元素的数量，或求第某个图形的数量。 图形有明显的层次或递推结构（如每次增加一圈、增加一行等）。 3.操作细化步骤 数出前几个图形的数量：根据题目图形，数出图1、图2、图3中各元素的数量，列出数列。 寻找数列规律： 看相邻两项的差：若差为常数，则为等差数列；若差的差为常数，则为二阶等差数列。 看比值：若比值为常数，则为等比数列（但初中较少）。 看增量规律：每次增加的量是否呈等差数列或其他规律。 建立表达式： 若为等差数列：第 项 = 首项 + (n-1)×公差。 若为二阶等差数列：通常表达式为 的形式，需用待定系数法求 。 若增量有规律，可写出递推式，再求通项。 验证：将 代入表达式，检查是否与图形一致。 若求第几个图形：令表达式等于给定值，解关于 的方程， 为正整数。 4.易错点与注意事项 数图形时要细心：容易被重叠或隐藏的元素遗漏，建议用标注法避免重复或遗漏。 区分“第n个图形”与“前n个图形之和”：前者是单个数列，后者是求和。 待定系数法求二次表达式：需用三个方程解出三个系数，计算要准确。 图形变化可能不是单纯的加常量：有时增量本身在变化，需观察增量规律。 5.与其他方法的联系 与“数字类规律（排列问题）”本质相同，只是数据来源于图形。 与“图形变化类规律”的区别：前者关注图形中某个数量的数值，后者关注图形本身的形状变化（如增加的点、线段数量）。 与“单项式规律”类似，都是找序号与数值的关系。 6.变化形式 点阵问题：如三角形点阵、正方形点阵，求点的总数。 分割问题：如n条直线最多将平面分成几部分，需用递推公式。 图形叠加问题：如每次增加一圈等边三角形，求总三角形个数。 计数问题：如数线段条数、角个数等，需组合计数。 【典例1】如图，一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是0，第二行的数是6，第三行的数是21，…，第六行的数是（　　） A．78 B．120 C．145 D． 【变式1-1】如图1是一根起点为1且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成如图2，弯折后落在虚线上的点，从起点开始往右上方第一个数是1，第二个数是13，第三个数是57，…，依此规律，落在虚线上的第六个点对应的数是（   ） A．241 B．247 C．363 D．381 【变式1-2】如图，一个小梯形的下底长为，上底和两腰长都为，用小梯形按图所示拼接，观察图形、表格，若小梯形的个数为，则拼接所成图形的周长是________． 梯形个数 … 图形周长 … 【变式1-3】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 棱数（E） 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是　　． (2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　　． (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 多面体 顶点数 面数 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 【变式1-4】我国著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”代数与几何是辩证统一的关系，数形结合思想在解决数学问题中经常用到，我们用完全相同的小圆圈按下图中的方式拼摆图形，发现规律并运用规律解决问题． 图①：； 图②：； 图③：； 图④：； …… (1)观察图片中小圆圈的排列方式，我们发现： 第n个图形：（n是正整数）； (2)根据（1）中的规律，计算：； (3)根据（1）中的规律，计算：． 【变式1-5】我国著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”利用数形结合，可以从代数角度解决图形问题，也可以通过图形关系解决代数问题． (1)用黑白两色棋子按如图1所示方式摆放． ①按此规律，依次写出第（3）个图和第（4）个图中黑色棋子的个数分别为_______、_______； ②按此规律，某个图中的黑色棋子的个数可能是40吗？请说明理由． (2)①用黑色棋子按如图2所示方式摆放． 根据图形，得，则 _______，_______（写出符合条件的一种情况即可）； ②用黑色棋子按如图3所示方式摆放，则棋子的个数为，画出必要的图形变化示意图，计算的结果． ▌题型05 图形变化类规律 1.本质与原理 图形变化类规律是指图形的形状或结构随着序号变化而发生规律性变化，要求找出每次增加（或减少）的元素数量与序号的关系。与“图形类规律之数字问题”的不同之处在于：数字问题直接给出元素数量，而图形变化类更强调“变化的过程”——每次新增多少个，新增的图形本身可能也有结构。但两者的解题思路高度一致，都是将图形数量转化为数字序列，再归纳通项。 2.深度识别特征 给出连续变化的图形（如搭火柴棒、摆小正方形、折纸等）。 通常问“第n个图形需要多少根火柴棒/多少个小正方形”或“第n次操作后的图形有多少个某元素”。 图形有明显的变化步骤（每次增加固定的形状或层数）。 3.操作细化步骤 明确初始状态：图1（或第1次操作）有多少个基本元素。 观察每次增加的数量：从图1到图2增加了几个，从图2到图3增加了几个，列出新增量的序列。 分析新增量的规律：新增量可能为常数（等差数列）、等差数列（二阶）或其他规律。 求第n个图形的总量： 若每次增加常数 ，则总量 = 初始量 + (n-1)d。 若每次增加的量本身成等差数列，则总量可能为二次多项式。 常用公式：总量 = 初始量 + 前(n-1)次新增量的和。 若求总增量或总数量：可能需要用到求和公式（如等差数列求和），但在七年级可用逐项相加或写出表达式。 验证：代入前几项检验。 4.易错点与注意事项 初始状态编号：有些题目从图0开始，有些从图1开始，要看清。 新增量是否包含前一轮的保留部分：如搭火柴棒，新增的火柴棒可能要与已有的共用，需注意重叠部分。 空间想象：对于立体图形（如堆叠的正方体），需分层计数。 图形方向或旋转：可能只改变方向不改变数量，不要被迷惑。 5.与其他方法的联系 与“图形类数字问题”紧密相连，是同一类问题的两个角度。 与“整式加减”直接相关——最终表达式就是整式。 与“探索与表达规律”的核心目标一致：培养从特殊到一般的归纳能力。 6.变化形式 火柴棒搭三角形/正方形：经典问题，每次增加固定根数或按等差数列增加。 折纸层数问题：折n次后的层数为 ，属于等比数列。 细胞分裂问题：每次分裂数量翻倍。 图形旋转或对称：可能出现倍数规律。 【典例1】按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有5个圆点，第②个图中有7个圆点，第③个图中有9个圆点，……按照这一规律，则第⑨个图中圆点的个数是（     ） A．17 B．19 C．21 D．23 【变式1-1】如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，图⑧中的棋子颗数为（   ） A．55 B．68 C．72 D．85 【变式1-2】下列图形都是由同样大小的黑色和白色棋子按一定规律所组成的，图1中共有8颗黑色棋子，图2中共有13颗黑色棋子，…，按此规律，则图7中黑色棋子的颗数是（    ） A．34 B．43 C．53 D．64 【变式1-3】【观察思考】 如图，这是由正方形和等边三角形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正方形，第2个图案有6个正方形，第3个图案有8个正方形，… 依此规律，请解答下面的问题． 【规律发现】 （1）第5个图案有________个正方形； （2）第n个图案有________个正方形（用含n的代数式表示）； 【规律应用】 （3）结合图案中正方形的排列方式，现有4050个正方形，若干个三角形（足够多）．依此规律，是否可以组成第n个图案（正方形一次性用完）？若可以，请求出n的值；若不可以，请说明理由． 【变式1-4】阅读与探索： 问题情境： 通过学习“探索与表达规律”让我们感受到：发现数学中的规律是一件十分有趣的事情．用简洁的语言表达变化规律应该从简单入手，经过熟悉、认知、思考、总结，从而发现规律．请你用自己学到的方法探索并表达下列规律： （1）如图，搭1个小正方形需要4根火柴棒，搭2个小正方形需要7根火柴棒，搭3个小正方形需要10根火柴棒……，如果用表示所搭正方形的个数，那么搭个这样的小正方形需要__________根火柴棒（用的代数式表示）． 类比探索： （2）如图，是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第个图案需要__________根火柴棒（用的代数式表示）．    （3）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，．．．．．．．若按此规律拼下去，则第个图案需要火柴棍的根数为__________（用含的式子表示）．    拓展应用： （4）观察并找出图形变化的规律，则第2023个图形中黑色正方形的数量是__________个．    【变式1-5】下列是由若干个边长均为1的正方形“”和等边三角形“△”拼成的图案． 根据以上规律，解决下列问题： (1)填写下表中的空格： 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 … 的个数 2 6 10 … 的个数 5 10 15 … (2)第n个图案中有 个三角形， 个正方形．（用含n的式子表示） (3)从第几个图案开始，正方形的个数与三角形个数之差大于2024？ 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 … 的个数 2 6 10 14 … 的个数 5 10 15 20 … 【变式1-6】三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形，把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．下图1给出了七边形的三角剖分的两种方法。 (1)将一个四边形进行三角剖分，则有______种剖分方法； (2)在图2中给出五边形的三角剖分的一种方法； (3)瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（）的公式：当时，，其中规定．请根据公式，计算七边形的三角剖分方法数． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 探索规律（数式规律与图形规律） （题型突破·举一反三） 题型01 数字类规律探究之单项式的规律问题 题型02 数字类规律探索之排列问题 题型03 数字类规律探索之末尾数字问题 题型04 图形类规律探究之数字问题 题型05 图形变化类规律 ▌题型01 数字类规律探究之单项式的规律问题 1.本质与原理 单项式规律问题通常给出一列单项式（如 ），要求写出第 个单项式或第 项的系数、指数等。这类问题的本质是数列规律在单项式系数和字母指数上的体现。一个单项式由系数（含符号）和字母部分（含指数）组成，因此需要分别找出系数和指数的变化规律，再将两者组合起来。 2.深度识别特征 给出一串单项式，它们之间按照某种顺序排列（通常按项数递增）。 每个单项式的系数（包括正负号）和字母的指数呈现明显的规律性变化。 字母通常只有一个（如 、 等），也可能有多个但指数变化有规律。 题目常见问法：“第 个单项式是什么？” “第 个单项式的系数/次数是多少？” 3.操作细化步骤 拆解单项式：将每个单项式拆分为“系数部分”和“字母部分”（字母及指数）。 观察系数规律： 符号规律：正负交替（如 ）或更复杂的周期变化。 绝对值规律：系数的大小是否按等差数列、等比数列或其他规律变化。 符号与绝对值组合：常用 或 来控制符号。 观察字母指数规律：指数是否为连续的整数（如 ）或等差数列，也可能与序号 有函数关系（如 ）。 组合表达式：将系数和字母部分的规律合并，得到第 个单项式的统一表达式。 验证：将 代入表达式，检查是否能得到给定的前三项。 4.易错点与注意事项 符号规律混淆：常见交替符号可用 （当 时为正）或 （当 时为负），要根据第一项的符号确定。 系数的绝对值与序号的关系：有时系数绝对值等于序号（如第 项系数绝对值为 ），有时是序号加一或减一，需仔细比对。 指数规律：指数不一定等于序号，可能是指数等差数列，如 则指数为 。 常数项的处理：若出现常数项（如 ），可将其视为 ，但通常这类题不含常数项。 若系数中包含分数，需分别找分子和分母的规律。 5.与其他方法的联系 为“数字类规律探索之排列问题”的基础——排列问题中每个位置的数也可能按此方式生成。 与“图形类规律”有相通之处——图形中的数量变化最终也会转化为数字序列。 是后续数列学习的前奏。 6.变化形式 系数和指数的规律可能不是独立的，而是相互关联的（如系数等于指数加一）。 字母可能有两个或多个，指数分别有各自规律。 题目可能只问第 项的系数、次数或特定项的取值。 可能给出第 项表达式，要求写出前几项或判断某个单项式是否在序列中。 【典例1】按一定规律排列的单项式：第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给出的单项式，抽象出相应的数字规律即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴第n个单项式为：， 故选A． 【点睛】本题考查数字规律探究，根据已知的单项式，抽象概括出数字规律，是解题的关键． 【变式1-1】观察按规律排列的单项式：，，，，…，第n个单项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式规律探究，直接利用已知得出数字变化规律，进而得出答案． 【详解】解：观察各单项式的系数，其符号规律为，分母的规律为，字母及指数规律为， ∴依照此规律，第n个单项式为：， 故选：D． 【变式1-2】按一定规律排列的单项式：，，，，，……，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】解： ， ， ， ， ， 由上可知，第个单项式是：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了规律题——数字的变化类，关键是分别找出符号与指数的变化规律． 【变式1-3】按一定规律排列的代数式：2，，……，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不难看出奇数项为正，偶数项为负，分母为x2n-2，分子的指数为由1开始的自然数，据此即可求解． 【详解】解：∵2=， ∴按一定规律排列的代数式为：，，，，，…， ∴第n个单项式是(-1)n-1， 故选：B． 【点睛】本题考查单项式的规律，根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解题的关键． 【变式1-4】按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第n个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是代数式的规律探究，观察代数式的系数、符号和分母指数的变化规律．分子是2的n次幂，符号交替出现，分母的指数是奇数序列，可表示为． 【详解】解：∵ 第1项：， 第2项：， 第3项：， …… ∴ 第n个代数式为 ． 故选：B 【变式1-5】按一定规律排列的单项式：，，，，，，…．则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别从符号、分子系数、分母、x的次数四个部分寻找其与序数n的规律，再归纳得到第n个单项式即可． 【详解】解：我们分四部分找规律： ①符号规律： ∵第1个为正，第2个为负，第3个为正，第4个为负， ∴符号的规律为； ②分子系数规律： ∵第1个分子系数是，第2个是，第3个是，， ∴分子系数规律为； ③分母规律： ∵第1个分母是，第2个分母是，第3个分母是，， ∴分母规律为； ④x的次数规律： ∵第1个x的次数是，第2个x的次数是，第3个x的次数是，， ∴x的次数规律为． 综上，第n个单项式是． ▌题型02 数字类规律探索之排列问题 1.本质与原理 排列问题是指将数字（或式子）排成一定的阵形（如三角形、正方形、螺旋形等），每个位置上的数字按某种规则生成。这类问题的本质是位置编号与数值之间的函数关系——将每个位置用一个序号（如第 行第 列）表示，再找出该位置数字与序号的代数关系。常见的排列方式有：杨辉三角、自然数方阵、回形排列等。 2.深度识别特征 数字被排列成有规律的形状（如数表、三角阵、螺旋阵）。 每个位置上的数字与它所在的行、列或序号有明确的代数关系。 常见问法：“第 行第 列的数是多少？” “前 行的所有数之和是多少？” 3.操作细化步骤 观察排列结构：确定数字是如何排列的（每行几个数、递增方向、换行规律等）。 建立序号与位置的关系： 若为简单行列阵，常用“第 行第 列”作为位置记号。 若为斜排或螺旋，需先确定该位置的“层数”或“圈数”。 寻找数字生成规则：每个数字是由行号、列号通过某种运算得到的吗（如加法、乘法、指数）？ 归纳表达式：用含 （或仅含 ）的整式表示该位置的数字。 针对特殊问题（如求某一行之和、某一列之和）：先写出该行/列各数的表达式，再用整式加减求和。 验证：代入小的 检查是否与实际排列一致。 4.易错点与注意事项 序号起点：行号、列号是从0开始还是从1开始？要与题目中给出的示例对应。 换行时的跳变：有些排列（如自然数方阵）在换行时数字不连续，而有的排列（如按行连续编号）则连续，需区分。 对角线或特殊线：若求对角线上的数，需找出满足 或 定值的表达式。 求和时用整式加法：求前 行和时，通常需要用到后续学习的数列求和公式，但在七年级范围内，通常只要求写出求和表达式（可能需合并同类项）。 5.与其他方法的联系 综合运用了“单项式规律”中的序号法。 与“图形类规律”有交叉——有些数字排列本身就是图形的“数字化”。 为后续学习等差数列、等比数列奠定基础。 6.变化形式 杨辉三角：每个数等于上方两个数之和，可用组合数表达（但七年级通常只要求找行的规律）。 乘法表式排列：数字为行号与列号的乘积。 斜向排列：如“第1行1个，第2行2个……”的三角形排列，要求找第几行第几个数。 回形螺旋排列：需找“圈数”规律。 【典例1】将正偶数按下表排成5列： 根据上面的排列规律，则2000应在（ ） A．第125行，第1列 B．第125行，第2列 C．第250行，第1列 D．第250行，第2列 【答案】C 【分析】由2000是正偶数列中第1000项，再由每一行四项，可知在第250行中的第四个数．最后由第250行是从左右向左排且从第四列开始排，即可得到结果． 【详解】∵2000是正偶数列中第1000项， 又∵每一行四项， ∴在第250行中的第四个数． 又∵第250行是从左向右排且从第四列开始排， ∴2000为第250行第1列， 故选C. 【点睛】本题主要考查数列的规律，这类题的解决方法，一般是从具体到推知一般性的规律． 【变式1-1】观察下列整数： 第1层          第2层          第3层           第4层             …              … 在上述“整数宝塔”中，第4层第2个数是，则第10层第4个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据题目中的数字，可以发现数字的变化规律，从而可以求得第10层第4个数．解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的数字． 【详解】解：由题目中的数字可知， 第1层有2个数，第一个数字是， 第2层有3个数，第一个数字是， 第3层有4个数，第一个数字是， 第4层有5个数，第一个数字是， 第5层有6个数，第一个数字是， …， 故第10层有11个数，第一个数字是， 由每一行数的绝对值是连续整数，第奇数个整数是负数，第偶数个整数是正数， 故第10层的数是：，，，，，…… 故第10层第4个数是， 故选：A． 【变式1-2】探索组在老师的安排下准备了一个规律题，如图，请根据数字规律，探索下列问题：在A处的数是______（填正数或负数）；第2025个数对应排在______位置（从A，B，C，D中选择填写）． 【答案】 正数 B 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列规律，确定循环规律是解题的关键． 通过观察发现，每4个数为一组循环，并且是正数负数交替出现，再结合所给的A的位置可确定此处是正数，由于，可确定2025在B处． 【详解】解：∵A的位置与4、8、12......对应， ∴A处是正数；每4个数为一组循环， ∵， ∴2025排在对应的B处， 故答案为：正数，B． 【变式1-3】将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 第1行 1 第2行 2 3 4 第3行 9 8 7 6 5 第4行 10 11 12 13 14 15 16 第5行 25 24 23 22 21 20 19 18 17 … 则数字在第______行． 【答案】45 【分析】本题属于探究规律类题目，解答本题需掌握题目中数的排列规律，考虑从最大数与行数入手. 分析可得各行最大数依次为1、4、9、16、25，可得每行的最大数为行数的平方，接下来求得，再结合结论即可得到答案. 【详解】解：观察可知：各行最大数依次为1、4、9、16、25，可得每行的最大数为行数的平方. ∵ 所以是第45行的数. 故答案为：45 【变式1-4】有一列数，按一定规律排列成，…，观察这列数的规律解决如下问题： (1)第七个数是______，第n个数可表示为________； (2)若其中某三个相邻数的积是，求这三个数的和． 【答案】(1)64， (2)12 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． （1）根据题目中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以写出相应的数据； （2）根据（1）中发现的数字的特点和题意，可以计算出这三个数，从而可以得到这三个数的和． 【详解】（1）这列数为，…， 这列数的第个数为， 当时，这个数是， 故答案为：64，； （2）设这三个数是，，， 则， 即， 解得， 这三个数是4，，16， 这三个数的和是． 【变式1-5】我国现行的二代身份证号码是18个数字（第18位可能由字母X表示），它是由（从左至右）前17位数字本体码和最后1位校验码组成的． 小睿同学通过查阅资料发现：身份证前6位为行政区划代码，第7至14位为出生日期码，第15至17位为顺序码，第18位为校验码．第18位校验码由前17位数字根据一定规则计算得出．为了方便表示，现将身份证的18位数字（从左至右）依次记为：，，…，，，其中表示（从左至右）第1位上的数字．计算校验码的规则是： 步骤1．将每一位数字本体码分别乘以一个指定的数，之后将乘积相加，求得S．具体公式为： ； 步骤2．将S除以11得到余数Y； 步骤3．查阅下表得到对应的校验码（其中X为罗马数字，用来代替10） 余数Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 校验码 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2 小睿同学决定用自己的身份证号码验证一下，他的身份证前17位数字本体码是：11010820101008324（如下表），请按照校验码计算规则完成下列问题： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 1 0 1 0 8 2 0 1 0 1 0 0 8 3 2 4 (1)小睿同学的身份证号码按照公式求得的______，余数______； (2)小睿同学的身份证号码中校验码是______； (3)小睿想要在小方同学生日时给他惊喜，已知小方同学身份证号码的一部分，如下： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 1 0 1 0 2 0 1 1 0 3 2 0 5 1 且小方身份证号按公式求得的S为131，于是他通过上述规则推算出小方同学身份证号码中的校验码是______，小方同学的生日是2011年3月______日． 【答案】(1)150；7 (2)5 (3)，24 【分析】本题考查了数字类规律探索，代数式的应用及计算，理解题意是解此题的关键． （1）把身份证前17位号码代入S关于的表达式求出S的值，再除以11即可得到Y值； （2）由Y值根据验证码对照表可得到校验码； （3）先把已知的身份证号码代入S表达式，得到，再结合小方身份证号按公式求得的S为131，求出的值，然后由将S除以11得到余数Y，可得，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意，把小睿同学身份证前17位号码11010820101008324代入： ， 即： ， ∴． 故答案为：150；7． （2）解：当时，由校验码对照表可得，． 故答案为：5． （3）解：根据小方同学的出生年月份应该是2011年03月，故， 把及其它已知的身份证号码代入S表达式得：∵小方身份证号按公式求得的S为131， ∴ ∴ ∴， 则， 即， ∴由校验码对照表可得， 即他通过上述规则推算出小方同学身份证号码中的校验码是2，小方同学的生日是2011年3月24日． ▌题型03 数字类规律探索之末尾数字问题 1.本质与原理 末尾数字问题（或称个位数字问题）是指求某个幂（如 、）的个位数字，或若干个幂的运算结果的个位数字。其本质是周期性规律——个位数字随指数变化呈周期循环。由于个位数字只取决于底数的个位数字和指数对周期的余数，因此可通过观察小指数的个位数字变化找到周期，再根据指数除以周期的余数推断。 2.深度识别特征 题目要求计算某个幂的个位数字（如 的个位数）。 或求多个幂之和、之差的个位数。 指数往往很大，不可能直接计算。 底数可能是个位数或任意整数（但个位数由底数的个位决定）。 3.操作细化步骤 确定底数的个位数字：若底数是多位数，只需取其个位数。如 的个位等价于 。 列表观察个位数字变化：从指数1开始，依次计算该底数次幂的个位，直到出现循环。 例如，2的幂个位：2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, … 周期为4。 常见周期：0和1周期为1；2、3、7、8周期为4；4、9周期为2；5、6周期为1。 确定周期：找出个位数字循环的最小正周期 。 求指数除以周期的余数：用 除以 ，得到余数 （若余数为0，则对应周期末位）。 根据余数确定个位数字：查表得到该余数对应的个位数字。 若多个幂相加减：分别求出每个幂的个位，再按运算规则取个位（注意减法中可能借位）。 4.易错点与注意事项 周期起点：周期从指数1开始，若从0开始（如 ），需注意是否符合题目（通常指数为正整数）。 余数为0的处理：当 能被周期整除时，个位对应周期末项（如周期为4，余数为0时对应第4个）。 多个幂的运算：先分别求个位，再做加减乘除，最后取个位（乘法中个位相乘取个位）。 幂的幂：如 ，需先处理外层指数，但对个位而言，可化简底数，但指数仍需按模周期处理，可能需用欧拉定理（但七年级不会涉及太复杂的）。 5.与其他方法的联系 是数字规律中典型的“周期规律”应用。 与“单项式规律”中符号交替的“周期”思想一致。 在后续学习数论、同余时更为深入。 6.变化形式 求某数的高次幂的末两位或末三位，需用模100、模1000的周期，周期更长。 求多个幂之和的个位，如 的个位，需分别找周期。 求某数的平方、立方等的个位，可化为幂的个位问题。 【典例1】观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，试利用上述规律判断算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是（    ） A．0 B．1 C．3 D．7 【答案】A 【分析】观察所给等式发现规律末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，每4个数一组循环，进而可得算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字． 【详解】解：观察下列等式： 31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…， 发现规律： 末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…， 每4个数一组循环， 所以2020÷4＝505， 而3+9+7+1＝20， 20×505＝10100． 所以算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是0． 故选：A． 【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 【变式1-1】观察下列算式： ，… 用你所发现的规律写出的个位数是 _____，的个位数字是 _____． 【答案】 6 4 【分析】本题考查数字类规律探究．根据给出的算式，得到的个位数字以为一组，进行循环，分别求出，，，，，得到和的个位数字以2，6，4，0为一组，进行循环，再进行求解即可． 【详解】解：∵，…， ∴个位数字是以为一组进行循环， ∵， ∴的个位数是6； ∵，个位数字为2； ，个位数字为6； ，个位数字为4； ，个位数字为0； ，个位数字为2； … ∴和的个位数字以2，6，4，0为一组，进行循环， ∵， ∴末位数字为4． 故答案为：6；4． 【变式1-2】观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是________． 【答案】5 【分析】本题是规律探索问题，考查了乘方的运算，发现规律是关键． 通过观察和的末位数字的循环规律，分别求出和的末位数字，然后相加得到和的末位数字． 【详解】的末位数字循环周期为4：当指数除以4余1时末位为2，余2时末位为4， 余3时末位为8，余0时末位为6． 的末位数字循环周期为4：当指数除以4余1时末位为3，余2时末位为9， 余3时末位为7，余0时末位为1． 计算：余3，对应末位为8． 计算：余3，对应末位为7． 8+7=15，末位数字为5． 故答案为：5． 【变式1-3】【观察思考】观察个位上的数字是5的自然数的平方（任意一个个位数字为5 的自然数可用代数式来表示，其中n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律，并归纳猜想出一般结论． 【规律发现】第1个等式： ；第2个等式：   第3个等式： ； … 【规律应用】 (1)写出第4个等式：_________；写出你猜想的第n个等式：_________（用含n的等式表示）： (2)根据以上的规律直接写出结果： _________²； (3)若 与的差为， 求n的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，找到式子规律是解题的关键． （1）通过观察可得第4个式子；同时总结出第n个等式的结果； （2）根据（1）中结果求解即可； （3）由（1）的规律代入进行运算求解即可． 【详解】（1）解：第4个等式：； ； （2）根据（1）中结果得：， ， ； 故答案为：； （3）根据（1）中结果得：与的差为， ∴， 解得：（负值舍去）． 【变式1-4】你能很快计算出吗？ 为了解决这个问题，我们来考察个位为5的自然数的平方，任意一个个位为5的自然数都可以写成10n+5的形式，于是原题即求的值.N为自然数，分析n=1,n=2,n=3,……这些简单情况，从中探索其规律，并归纳、猜想出结论. （1）通过计算、探索规律：        = , = ,= , （2）从（1）小题的结果，归纳、猜想得：= , （3）根据上面的归纳、猜想，请计算出= . 【答案】见解析. 【分析】根据题目给出的计算过程可得规律：第n个数可以表示为100×n×（n+1）+25，据此填空即可． 【详解】根据规律，第n个数可以表示为100×n×（n+1）+25， 则：（1）452=100×4（4+1）+25，652=100×6（6+1）+25，952=100×9（9+1）+25， 故答案为100×4（4+1）+25，100×6（6+1）+25，100×9（9+1）+25； （2）（10n+5）2=100×n×（n+1）+25， 故答案为100×n×（n+1）+25； （3）19952=（199×10+5）2=100×199×（199+1）+25=3980025， 故答案为3980025． 【点睛】此题考查了完全平方数的计算技巧，同时考查了规律的探索问题，可以激发同学们的探索意识，激发学习兴趣． ▌题型04 图形类规律探索之数字问题 1.本质与原理 图形类规律中的数字问题，是指给出由图形（如点阵、线段、三角形等）构成的图案序列，每个图案中都标有数量（如点的个数、线段条数、三角形个数等），要求找出这些数量随图案序号变化的规律，并用含字母的整式表示。这类问题的本质是将图形的几何特征转化为数量，再寻找数量序列的代数规律。核心步骤是“数出前几个图形的数量，归纳出一般表达式”。 2.深度识别特征 给出若干个图形（如图1、图2、图3…），图形由基本元素（点、线段、小正方形等）组成。 要求找出第 个图形中某种元素的数量，或求第某个图形的数量。 图形有明显的层次或递推结构（如每次增加一圈、增加一行等）。 3.操作细化步骤 数出前几个图形的数量：根据题目图形，数出图1、图2、图3中各元素的数量，列出数列。 寻找数列规律： 看相邻两项的差：若差为常数，则为等差数列；若差的差为常数，则为二阶等差数列。 看比值：若比值为常数，则为等比数列（但初中较少）。 看增量规律：每次增加的量是否呈等差数列或其他规律。 建立表达式： 若为等差数列：第 项 = 首项 + (n-1)×公差。 若为二阶等差数列：通常表达式为 的形式，需用待定系数法求 。 若增量有规律，可写出递推式，再求通项。 验证：将 代入表达式，检查是否与图形一致。 若求第几个图形：令表达式等于给定值，解关于 的方程， 为正整数。 4.易错点与注意事项 数图形时要细心：容易被重叠或隐藏的元素遗漏，建议用标注法避免重复或遗漏。 区分“第n个图形”与“前n个图形之和”：前者是单个数列，后者是求和。 待定系数法求二次表达式：需用三个方程解出三个系数，计算要准确。 图形变化可能不是单纯的加常量：有时增量本身在变化，需观察增量规律。 5.与其他方法的联系 与“数字类规律（排列问题）”本质相同，只是数据来源于图形。 与“图形变化类规律”的区别：前者关注图形中某个数量的数值，后者关注图形本身的形状变化（如增加的点、线段数量）。 与“单项式规律”类似，都是找序号与数值的关系。 6.变化形式 点阵问题：如三角形点阵、正方形点阵，求点的总数。 分割问题：如n条直线最多将平面分成几部分，需用递推公式。 图形叠加问题：如每次增加一圈等边三角形，求总三角形个数。 计数问题：如数线段条数、角个数等，需组合计数。 【典例1】如图，一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是0，第二行的数是6，第三行的数是21，…，第六行的数是（　　） A．78 B．120 C．145 D． 【答案】B 【分析】观察根据排列的规律得到第一行为0，第二行为0加6个数即为6，第三行为从6开始加15个数得到21，第四行为从21开始加24个数即45，…，由此得到后面加的数比前一行加的数多9，由此得到第6行的数． 【详解】解：∵第一个数字为0， 第二个数字为， 第三个数字为， 第四个数字为， 第五个数字为， 第六行的数字为， 故选：B． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 【变式1-1】如图1是一根起点为1且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成如图2，弯折后落在虚线上的点，从起点开始往右上方第一个数是1，第二个数是13，第三个数是57，…，依此规律，落在虚线上的第六个点对应的数是（   ） A．241 B．247 C．363 D．381 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化规律，找到变化规律是解题的关键． 根据第二点开始，每个点等于前面的点表示的数再加上连续的四个偶数，即可求解． 【详解】解：第1个数为1， 第2个数为：1+2+4+6=13， 第3个数为：13+8+10+12+14=57， 第4个数为：57+16+18+20+22=133， 第5个数为：133+24+26+28+30=241， 第6个数为：241+32+34+36+38=381． 故选：D． 【变式1-2】如图，一个小梯形的下底长为，上底和两腰长都为，用小梯形按图所示拼接，观察图形、表格，若小梯形的个数为，则拼接所成图形的周长是________． 梯形个数 … 图形周长 … 【答案】6080 【分析】每增加一个梯形，其周长就增加，据此求解即可得出n个梯形得到的图形的周长，从而可求解． 【详解】解：1个梯形时，其周长， 2个梯形时，其周长， 3个梯形时，其周长， ...， 个梯形时，其周长为， 当时，其周长为：． 【变式1-3】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 棱数（E） 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是　　． (2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　　． (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 【答案】(1) 完成表格，如下： 多面体 顶点数 面数 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 根据表格得：顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是； (2)12 (3)14 【分析】（1）观察可得顶点数+面数-棱数=2； （2）代入（1）中的式子即可得到面数； （3）根据题意得到多面体的棱数，可求得面数即为x+y的值 【详解】（1）解： （2）解：由题意得：， 解得； 故答案为：12； （3）解：有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； 共有条棱， 那么，解得， ． 【点睛】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用． 【变式1-4】我国著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”代数与几何是辩证统一的关系，数形结合思想在解决数学问题中经常用到，我们用完全相同的小圆圈按下图中的方式拼摆图形，发现规律并运用规律解决问题． 图①：； 图②：； 图③：； 图④：； …… (1)观察图片中小圆圈的排列方式，我们发现： 第n个图形：（n是正整数）； (2)根据（1）中的规律，计算：； (3)根据（1）中的规律，计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数形结合思想，探索数列规律，等差数列求和，解题的关键在于建立“形”与“数”的对应关系，易错点在于规律归纳错误和计算项数错误； （1）观察：对比图形序号、算式中的加数个数和结果；归纳：发现第个图形有个加数，结果是的平方；表达：最后一个加数（第个奇数）是； （2）确定项数：令最后一项，解得，再套用规律即可； （3）转换数列：将原式视为从1加到199的和减去从1加到39的和，分别计算项数，再套用规律即可． 【详解】（1）解：观察：对比图形序号、算式中的加数个数和结果； 归纳：发现第个图形有个加数，结果是的平方； 表达：最后一个加数（第个奇数）是， 故． （2）解：确定项数：令最后一项，解得， 套用规律：根据(1)的结论， 故原式． （3）解： 令最后一项 令最后一项 上式 故原式． 【变式1-5】我国著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”利用数形结合，可以从代数角度解决图形问题，也可以通过图形关系解决代数问题． (1)用黑白两色棋子按如图1所示方式摆放． ①按此规律，依次写出第（3）个图和第（4）个图中黑色棋子的个数分别为_______、_______； ②按此规律，某个图中的黑色棋子的个数可能是40吗？请说明理由． (2)①用黑色棋子按如图2所示方式摆放． 根据图形，得，则 _______，_______（写出符合条件的一种情况即可）； ②用黑色棋子按如图3所示方式摆放，则棋子的个数为，画出必要的图形变化示意图，计算的结果． 【答案】(1)①9，12； ②不可能，理由如下： 由所给图形可知， 图（1）中黑色棋子的个数为：； 图（2）中黑色棋子的个数为：； 图（3）中黑色棋子的个数为：； …， 所以图（n）中黑色棋子的个数为个． 令，解得 ∵n须为正整数， ∴图中的黑色棋子的个数不可能是40； (2)①7（答案不唯一），8（答案不唯一）； ②如图所示， 所以． 【分析】（1）①根据所给图形，数出黑色棋子的个数即可解决问题． ②依次求出图形中黑色棋子的个数，发现规律即可解决问题． （2）①利用数形结合的数学思想即可解决问题． ②根据题意，画出示意图并进行计算即可． 【详解】（1）解：①由所给图形可知， 第（3）个图形中黑色棋子的个数为9，第（4）个图形中黑色棋子的个数为12， 故答案为：9，12； ②略 （2）解：①由所给图形可知， 图2是一个一边为7个棋子，邻边为8个棋子的长方形， 所以图中黑色棋子的总个数为（个）， ∴， 故答案为：7（答案不唯一），8（答案不唯一）． ②略 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律及数学常识，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． ▌题型05 图形变化类规律 1.本质与原理 图形变化类规律是指图形的形状或结构随着序号变化而发生规律性变化，要求找出每次增加（或减少）的元素数量与序号的关系。与“图形类规律之数字问题”的不同之处在于：数字问题直接给出元素数量，而图形变化类更强调“变化的过程”——每次新增多少个，新增的图形本身可能也有结构。但两者的解题思路高度一致，都是将图形数量转化为数字序列，再归纳通项。 2.深度识别特征 给出连续变化的图形（如搭火柴棒、摆小正方形、折纸等）。 通常问“第n个图形需要多少根火柴棒/多少个小正方形”或“第n次操作后的图形有多少个某元素”。 图形有明显的变化步骤（每次增加固定的形状或层数）。 3.操作细化步骤 明确初始状态：图1（或第1次操作）有多少个基本元素。 观察每次增加的数量：从图1到图2增加了几个，从图2到图3增加了几个，列出新增量的序列。 分析新增量的规律：新增量可能为常数（等差数列）、等差数列（二阶）或其他规律。 求第n个图形的总量： 若每次增加常数 ，则总量 = 初始量 + (n-1)d。 若每次增加的量本身成等差数列，则总量可能为二次多项式。 常用公式：总量 = 初始量 + 前(n-1)次新增量的和。 若求总增量或总数量：可能需要用到求和公式（如等差数列求和），但在七年级可用逐项相加或写出表达式。 验证：代入前几项检验。 4.易错点与注意事项 初始状态编号：有些题目从图0开始，有些从图1开始，要看清。 新增量是否包含前一轮的保留部分：如搭火柴棒，新增的火柴棒可能要与已有的共用，需注意重叠部分。 空间想象：对于立体图形（如堆叠的正方体），需分层计数。 图形方向或旋转：可能只改变方向不改变数量，不要被迷惑。 5.与其他方法的联系 与“图形类数字问题”紧密相连，是同一类问题的两个角度。 与“整式加减”直接相关——最终表达式就是整式。 与“探索与表达规律”的核心目标一致：培养从特殊到一般的归纳能力。 6.变化形式 火柴棒搭三角形/正方形：经典问题，每次增加固定根数或按等差数列增加。 折纸层数问题：折n次后的层数为 ，属于等比数列。 细胞分裂问题：每次分裂数量翻倍。 图形旋转或对称：可能出现倍数规律。 【典例1】按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有5个圆点，第②个图中有7个圆点，第③个图中有9个圆点，……按照这一规律，则第⑨个图中圆点的个数是（     ） A．17 B．19 C．21 D．23 【答案】C 【分析】根据所给图形，依次求出图形中圆点的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图形中圆点的个数为：， 第②个图形中圆点的个数为：， 第③个图形中圆点的个数为：， …， 所以第n个图形中圆点的个数为． 当时，第⑨个图形中圆点的个数为． 【变式1-1】如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，图⑧中的棋子颗数为（   ） A．55 B．68 C．72 D．85 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意得出第n个图形中棋子数为，据此求解． 【详解】解：图①数量是， 图②数量是， 图③数量是， 图④数量是， ⋯， 图n中棋子的数量是， 当时，， 故选：B． 【变式1-2】下列图形都是由同样大小的黑色和白色棋子按一定规律所组成的，图1中共有8颗黑色棋子，图2中共有13颗黑色棋子，…，按此规律，则图7中黑色棋子的颗数是（    ） A．34 B．43 C．53 D．64 【答案】C 【分析】本题主要考查对图形的变化找规律，仔细观察图形得到一定规律进行计算即可． 【详解】解：图1黑棋数目 图2黑棋数目 图3黑棋数目 图4黑棋数目     图5黑棋数目 图6黑棋数目 图7黑棋数目 故图7中黑色棋子的颗数是 =18+14+21 故选：C． 【变式1-3】【观察思考】 如图，这是由正方形和等边三角形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正方形，第2个图案有6个正方形，第3个图案有8个正方形，… 依此规律，请解答下面的问题． 【规律发现】 （1）第5个图案有________个正方形； （2）第n个图案有________个正方形（用含n的代数式表示）； 【规律应用】 （3）结合图案中正方形的排列方式，现有4050个正方形，若干个三角形（足够多）．依此规律，是否可以组成第n个图案（正方形一次性用完）？若可以，请求出n的值；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）12；（2）；（3）可以组成第n个图案， 【分析】本题考查图形类规律探究，从已有图形，抽象出相应的规律，是解题的关键． （1）从已有图形中，得到第n个图案有个正方形，进而求出第5个图案即可； （2）由（1）即可得出结果； （3）令，进行求解即可． 【详解】解：（1）第1个图案有：个正方形； 第2个图案有：个正方形； 第3个图案有：个正方形； ， ∴第n个图案有个正方形， ∴第5个图案有个正方形， 故答案为：12； （2）由（1）可知：第n个图案有个正方形， 故答案为：； （3）可以， 当时，． 【变式1-4】阅读与探索： 问题情境： 通过学习“探索与表达规律”让我们感受到：发现数学中的规律是一件十分有趣的事情．用简洁的语言表达变化规律应该从简单入手，经过熟悉、认知、思考、总结，从而发现规律．请你用自己学到的方法探索并表达下列规律： （1）如图，搭1个小正方形需要4根火柴棒，搭2个小正方形需要7根火柴棒，搭3个小正方形需要10根火柴棒……，如果用表示所搭正方形的个数，那么搭个这样的小正方形需要__________根火柴棒（用的代数式表示）． 类比探索： （2）如图，是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第个图案需要__________根火柴棒（用的代数式表示）．    （3）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，．．．．．．．若按此规律拼下去，则第个图案需要火柴棍的根数为__________（用含的式子表示）．    拓展应用： （4）观察并找出图形变化的规律，则第2023个图形中黑色正方形的数量是__________个．    【答案】（1）；（2）；（3）；（4）3035 【分析】（1）第一个图形需要4根火柴棒，以后的每个图形都比前一个图形多3根，据此找到规律列出代数式； （2）第一个图形需要5根火柴棒，以后的每个图形都比前一个图形多4根，据此找到规律列出代数式； （3）第①个图形需要4个等边三角形，共12根火柴棒，以后的每个图形都比前一个图形多2个等边三角形，多6根火柴棒，据此找到规律列出代数式； （4）根据前几个图形的规律，找到当n为奇数时和当n为偶数时需要的黑色正方形个数，继而代入计算即可． 【详解】解：（1）搭1个小正方形需要4根火柴棒， 搭2个小正方形需要根火柴棒， 搭3个小正方形需要根火柴棒， … 搭n个小正方形需要根火柴棒； （2）摆1个五边形需要根火柴棒， 摆2个五边形需要根火柴棒， 摆3个五边形需要根火柴棒， … 摆n个五边形需要根火柴棒， （3）第①个图案所需要的火柴棍的根数为：， 第②个图案所需要的火柴棍的根数为：， 第③个图案所需要的火柴棍的根数为：， …， ∴第n个图案需要火柴棍的根数为：． （4）第1个图形中黑色正方形的数量是2个， 第2个图形中黑色正方形的数量是3个， 第3个图形中黑色正方形的数量是5个， 第4个图形中黑色正方形的数量是6个， 第5个图形中黑色正方形的数量是8个， … 当n为奇数时，黑色正方形的个数为， 当n为偶数时，黑色正方形的个数为， ∴第2023个图形中黑色正方形的数量是个． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给图形分析出图形变化的规律． 【变式1-5】下列是由若干个边长均为1的正方形“”和等边三角形“△”拼成的图案． 根据以上规律，解决下列问题： (1)填写下表中的空格： 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 … 的个数 2 6 10 … 的个数 5 10 15 … (2)第n个图案中有 个三角形， 个正方形．（用含n的式子表示） (3)从第几个图案开始，正方形的个数与三角形个数之差大于2024？ 【答案】(1)14，20 (2)， (3)从第2023个图案开始，正方形的个数与三角形个数之差大于2024 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． （1）根据图案填写即可； （2）根据表格提供的数据总结规律即可； （3）根据规律列不等式求解即可． 【详解】（1）解：第4个图案中有14个三角形，20个正方形， 填表如下： 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 … 的个数 2 6 10 14 … 的个数 5 10 15 20 … （2）解：由表格数据可得： 第n个图案中有个三角形，个正方形． 故答案为：，； （3）解：根据题意得：， 解得：， ∴从第2023个图案开始，正方形的个数与三角形个数之差大于2024． 【变式1-6】三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形，把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．下图1给出了七边形的三角剖分的两种方法。 (1)将一个四边形进行三角剖分，则有______种剖分方法； (2)在图2中给出五边形的三角剖分的一种方法； (3)瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（）的公式：当时，，其中规定．请根据公式，计算七边形的三角剖分方法数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意画出四边形的不同三角剖分方法数； （2）根据题意画出五边形的三角剖分的一种方法； （3）根据公式进行计算即可求解． 【详解】（1）如图， 将一个四边形进行三角剖分，则有种剖分方法； （2）略 （3）由题意得，， ∵ 时，， 时，， ∴， 时，， ∴， 时，， ∴， 时，， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $