专题08 整式运算中的实际应用、规律、新定义型问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

专题08 整式运算中的实际应用、规律、新定义型问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整式的加减实际应用问题 题型二、单项式的规律探究问题 题型三、整式中的数字类规律探究问题 题型四、整式中的图形类规律探究问题 题型五、整式加减中的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及用整式表示实际情境（如面积、利润、数字问题）、探究图形或数列规律，以及现场定义新运算（如a＠b），考查迁移能力。 - 解题方法：实际应用抓等量关系列式；规律题观察序号与结果的对应（等差、等比、平方、周期），用含n的整式表示；新定义严格套用规则转化为常规整式运算。 - 易错提醒：列式时未化简导致繁琐；规律题未验证前三项即下结论；新定义中运算顺序与常规优先级混淆；实际背景中单位或取值范围被忽略。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整式的加减实际应用问题 典例1 （25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 【答案】(1) (2)9400元 【分析】（1）计算解答即可； （2）求代数式的值，再计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：当，时， （平方米）， 故购买所需地砖的费用为：（元）； 题型模版 1.特征：用整式表示实际问题中的数量关系（如周长、费用、和差），列式并化简。 2.方法：设未知数，根据题意用整式表示各量，列出代数式，去括号合并同类项，再代入计算或解释。 变式1-1（25-26七年级上·四川广元·期末）定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）观察图形，易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长，同理易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长； （2）根据观察可知，图①中大长方形的长为号正方形的边长与号正方形的边长和，宽为号正方形的边长与号正方形的边长和，又知长方形的周长，即可求出号正方形的边长； （3）要求阴影部分的周长，可根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形的周长，再利用大长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出的长，从而解得阴影部分的周长． 【详解】（1）解：号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号正方形的边长为，号正方形的边长为． （2）解：设号正方形的边长为，号正方形的边长为， ∴号正方形的边长为，号正方形的边长为， 则图①中的长方形的长为，宽为， 长方形的周长为，即， ． 号正方形的边长为， 号正方形的边长为． （3）解：如图，由平移知识可得阴影部分的周长为长方形的周长， 由（2）可知，号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号长方形的宽为号正方形的边长减去号正方形的边长的差即：， ， 周长为的长方形的长为：，宽为， ， ， 则长方形的周长为：， 即阴影部分的周长为． 变式1-2（25-26七年级上·浙江杭州·期末）为了在中小学生中进行爱国主义教育，我县关工委决定开展“中华魂”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍多件，各种奖品的单价如下表所示： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价元 数量件                               (1)请用含的代数式把表格补全； (2)请用含的代数式表示购买件奖品所需的总费用； (3)若一等奖奖品购买了件，则我县关工委共花费多少元？ 【答案】(1)表格见解析 (2)购买件奖品所需的总费用为元 (3)我县关工委共花费元 【分析】（1）根据题意计算出二、三等奖奖品的件数，并补全表格即可； （2）将每种奖品的单价和数量相乘，再求和即可； （3）将代入（2）中的代数式，求出总费用即可． 【详解】（1）解：∵二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍多件， 又∵共购买件奖品， ∴二等奖奖品购买件，三等奖奖品购买件， 填表如下： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价元 数量件 （2）解：根据题意，购买件奖品所需总费用为： 元； 答：购买件奖品所需的总费用为元； （3）解：当时，（元）． 答：我县关工委共花费元． 变式1-3（25-26七年级下·广东茂名·期末）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，所有支管道的总长度为米 (3)①由题意得主管道共有米，所需成本为（元）， 支管道共有米，所需成本为（元），所需固定装置成本为（元）， ， ， ， ； ②当，，时， ， ， ， ，超出了给定总预算， 支管道间距d不可以是2； 【分析】（1）由基地宽和支管间距得出总区域数，结合边界不需要安装支管道即可得到需要的支管道总条数； （2）代入，，算出，再计算可得支管总长； （3）①分别算出主管道、支管道、固定装置成本，把这些成本加起来可得到总成本关系式；②将，，代入求得的值，将这个值与进行比较可得支管道间距d不可以是2． 【详解】（1）解：由题意得基地宽度为，每间隔米划分一个灌溉区域， 总区域数为， 边界不需要安装支管道， 需要的支管道总条数； （2）解：，，， ， 所有支管道的总长度为（米）； （3）略 题型二、单项式的规律探究问题 典例2 （25-26七年级上·河南驻马店·期末）观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查单项式的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律． （1）根据题意得到所给单项式的系数，字母的指数的规律，即可求解； （2）由（1）中规律解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：所给单项式的系数依次为，即， ∴第个单项式的系数为， ∵单项式中字母的指数依次为， ∴第个单项式中字母的指数为， ∴第个单项式为， 当时，， ∴第9个单项式为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得：第9个单项式为， ∴第10个单项式为， 当时： 第9个单项式： ， 第10个单项式： ， ∴第9个单项式与第10个单项式和的值为． 题型模版 1.特征：观察一组单项式（如系数、字母指数变化），求第n个单项式或系数规律。 2.方法：分别找系数和字母指数的变化规律（常为等差或等比），用含n的式子表示通项，验证前几项。 变式2-1（2026·河南平顶山·三模）观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 【答案】/ 【分析】观察发现，奇数项为正，偶数项为负，分母为连续奇数，分子为连续偶数，x的指数为连续自然数，则式子规律可表示为（n为正整数），即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， …， 第n个式子为， ∴第10个式子为，即． 变式2-2（2026·西藏林芝·二模）有一组按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第个代数式是________． 【答案】 【分析】分别找出代数式的符号，系数绝对值，的次数对应的规律，整理即可得到第个代数式． 【详解】解：； ； ； …… 第个代数式为． 变式2-3（25-26七年级上·全国·课后作业）请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： ，， ，，，，… (1)第3个单项式应该是 ． (2)按此规律排列，次数是7的单项式的系数应该是 ． (3)第n个单项式应该是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式,确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键，解决本题的关键是要分别找出单项式的系数和次数的规律． （1）通过观察可得到答案； （2）根据题意得，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数，系数为，字母为， 得出第n个单项式为，然后将代入计算即可； （3）根据题意即可求解． 【详解】（1）解：依题意得，故第3个单项式的系数为，第3个单项式的字母为， ∴第3个单项式为； 故答案为：； （2）解：根据题意得：各单项式系数均为偶数，依次为，，……，，，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数， 第n个单项式的系数为，第n个单项式的字母为， ∴第n个单项式为， ∴当时，， 故答案为：； （3）由（2）得第n个单项式应该是， 故答案为：． 题型三、整式中的数字类规律探究问题 典例3 （25-26七年级下·江西吉安·期末）观察下列各式，解答问题： ； ； ； …… (1)【发现规律】填空：（     ）（     ）（     ）（     ）； (2)【总结规律】猜想填空：（     ）（     ）（     ）； (3)【应用规律】求的值． 【答案】(1)30；4；5；9； (2)n；；； (3) 【分析】（1）根据规律直接求解即可； （2）根据规律直接求解即可； （3）根据题意变形得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得： ； ； ； … 由此发现，； （3） ． 题型模版 1.特征：观察数字序列或等式，用整式表示第n个数或一般规律，常涉及平方、等差。 2.方法：分析相邻差或比，确定通项公式（如一次、二次、指数），用待定系数法求表达式，并验证前几项。 变式3-1（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）观察下列各式，解答后面的问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第5个等式是______； (2)第n个等式是______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干前三个的等式即可求解； （2）根据题干前三个的等式即可求解； （3）根据规律将原式变形为，再由规律求解即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： ∴第5个等式是：； （2）解：． （3）解：原式 ． 变式3-2（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 解：如图所示， （答案不唯一） (4) 【分析】（1）①的面积为的一半，②的面积是①的一半； （2）可以看成，可以看成把所得的数相加即可； （3）由（2）得到的规律计算即可． （4）由（2）得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：图1中，正方形①的面积是；矩形②的面积是； （2）解： ； （3）略 （4）解： ． 变式3-3（25-26七年级下·安徽安庆·期末）探索规律． 乐乐在计算：，这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的阴影部分表示，这个阴影部分可以转化成长是_______，宽是_______的长方形； (2)根据以上规律计算：． 【答案】(1)9，1 (2)5050 【分析】（1）根据题目可得两个数的平方的差，等于两数之和与两数之差的乘积，由此可解； （2）将原式重新组合为，再利用（1）的规律计算即可求解． 【详解】（1）解：， 这个涂色部分可以转化成长是9，宽是1的长方形； （2）解： ． 题型四、整式中的图形类规律探究问题 典例4 （26-27七年级上·全国·课后作业）完成下列小题 (1)观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ (2)根据（1）中的规律猜想： __________． (3)一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示． 【答案】(1)解：由图可得，图1由1个小圆圈组成，图2由4个小圆圈组成，图3由9个小圆圈组成，图4由16个小圆圈组成，…，图n由个小圆圈组成； 还可以发现图1由1个小圆圈组成，图2由个小圆圈组成，图3由个小圆圈组成，图4由个小圆圈组成，…，图n由个小圆圈组成； (2) (3)(n为正整数） 【分析】（1）根据图形的变化寻找规律进行求解即可； （2）由（1）求解即可； （3）由（1）求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得：(n为正整数）． 题型模版 1.特征：图形随序号变化，用整式表示第n个图形中某元素数量，常为一次或二次规律。 2.方法：数前几个图形对应元素个数，求相邻差（一次差恒定则一次，二次差恒定则二次），用待定系数法得通项。 变式4-1（2026·安徽芜湖·二模）某商业街的人行道由3块矩形地砖组成的基本图形排列而成，图1表示此基本图形中的地砖排列方式．将图1这个基本图形不断复制（即向前铺地砖），得到图2，图3，…（如图所示）． 显然，图1中共有6个矩形，图2中共有18个矩形，图3中共有36个矩形，…，按照以上规律，解决下列问题： (1)图4中共有________个矩形； (2)图n中共有________个矩形（用含n的式子表示）； (3)已知图1的面积为，若该人行道的面积，求该人行道图案上共有多少个矩形？ 【答案】(1)60 (2) (3)481200个 【分析】（1）根据，推出图4中的矩形个数即可； （2）由（1）推导出规律即可； （3）观察可知图的面积是图1面积的倍，进而求出的值，代入（2）中规律进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴图4中的矩形个数为（个）； （2）解：由（1）可知，图n中共有个矩形； （3）解：观察可知，图的面积是图1面积的倍， ∴当时，， 当时，， 故该人行道图案上共有个矩形. 变式4-2（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10，4 (2)， (3)没有，理由如下： ∵当时，， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； （2）解：由图可知： 第一个图案有三角形（个），六边形1个， 第二个图案有三角形（个），六边形2个， 第三个图案有三角形（个），六边形3个， 那么第n个图案中有三角形个，六边形有个； （3）解：略 变式4-3（25-26七年级上·广东茂名·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】小明同学经过一番思考后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， 计算时，小彬同学是这样思考的：设① 将等式两边同时乘得② 将①减去②得，即， 即， (1)【过程思考】图中阴影部分的面积是____； (2)根据以上规律，可得_____；____；（为正整数） (3)【知识迁移】请你借助小彬同学的方法，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积，设，则，用即可求解； （2）根据示范的例子求解即可； （3）根据示范的例子求解即可． 【详解】（1）解：由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， ∴图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等． 又∵第①部分的面积为：， 第②部分的面积为：， 第③部分的面积为：， …， 依次类推，第n部分的面积为． 当时，． ∴阴影部分的面积为； （2）解：设， ∴， ∴，即； 设， 将等式两边同时乘以得：②， 将①减去②得， 即，即； （3）解：令①， 将等式两边同时乘以2得：②， 将②式减去①式得， 即． 题型五、整式加减中的新定义型问题 典例5 （25-26七年级上·安徽宿州·期中）定义：若，则称与是关于6的平衡数． (1)7与_______是关于6的平衡数，与__________是关于6的平衡数； (2)若，，判断与是否是关于6的平衡数，并说明理由． 【答案】(1) (2) 与是关于6的平衡数， 理由： ， ∴与是关于6的平衡数． 【分析】本题考查了整式的加减运算，有理数的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平衡数的定义进行列式计算，得出7与是关于6的平衡数，与是关于6的平衡数，即可作答． （2）先计算，化简整理后，结合平衡数的定义进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵，则称与是关于6的平衡数， ∴， 则7与是关于6的平衡数， ∴， ∴与是关于6的平衡数； （2）略 题型模版 1.特征：定义新运算（如a＠b），按规则列式并化简，重阅读理解与整式运算。 2.方法：将新定义转化为整式加减运算，代入数值或含字母表达式，去括号合并同类项得结果。 变式5-1（24-25八年级上·北京海淀·期中）将四个有理数a，b，c，d写成的形式，称它为由有理数a，b，c，d组成的二阶矩阵，a，b，c，d为构成这个矩阵的元素，定义矩阵的运算为：，两个矩阵相加我们定义为：，下面是两个二阶矩阵的加法运算过程： ． (1)计算的值； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，整式的加减运算，弄清题中的运算法则是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法计算即可； （2）根据阅读材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式5-2（25-26七年级上·山东德州·期中）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：的差倒数是． (1)已知，则的差倒数为____________； (2)若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，是的差倒数，则的值为___________． (3)已知，求的差倒数的值，的差倒数的值； 【答案】(1) (2)4 (3)； 【分析】本题考查数字的变化规律，探索出运算结果的循环规律是解决本题的关键． （1）根据差倒数的定义直接代入求解即可； （2）通过计算发现每3次运算结果循环出现一次，则与的值相同，即可求解； （3）根据差倒数的定义直接代入求解即可． 【详解】（1）解：当时，的差倒数为， 故答案为：； （2）解：， ，，，， 每3次运算结果循环出现一次， ， 与的值相同， 的值为4， 故答案为：4； （3）解：当时，的差倒数， 当时，的差倒数． 变式5-3（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【答案】(1)①③ (2) 解：是，理由如下： 多项式是关于，的“标准多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”； (3) 证明：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴多项式为， 多项式的系数和为， ∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【分析】本题考查了新定义“标准多项式”，整式的加减运算，理解定义是解题的关键． （1）根据“标准多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“标准多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解； （3）先根据整式加减预算法则求出，再结合“标准多项式”的定义证明即可． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， ②多项式的系数和为，不是的整数倍， 该多项式不是“标准多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， 故答案为：①③； （2）略 （3）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别从符号、系数绝对值、字母指数三部分归纳式子的规律即可得解． 【详解】解：由题意得，奇数项符号为正，偶数项符号为负， ∴第项的符号为， ∵各项系数的绝对值依次为，即， ∴第项的系数绝对值为， ∵第1项的指数为2，第2项为5，第3项为8，第4项的指数为，第5项为， ∴相邻两项指数差为， ∴第项的指数为， 综上所述，第个式子为． 2．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，不符合这一规律的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的部分“三角形数”和“正方形数”找出“三角形数”可看成从1开始几个连续自然数的和以及“正方形数”可看成某个自然数的平方，依此规律逐一分析四个选项中的三个数是否符合该规律，由此即可得出结论． 【详解】解：A、9和16不是三角形数，该选项符合题意； B、， 该选项不符合题意； C、， 该选项不符合题意； D、； 该选项不符合题意． 3．（25-26七年级上·山东济南·期中）新定义  定义一种关于的“”运算：（1）当是奇数时，结果为；（）当是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如取，第一次经运算是，第二次经运算是，第三次经运算是，第四次经运算是，；若，则第次运算结果是（   ） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，数字类规律探究，根据新运算的法则，求出前几次的运算结果，得到从第二次开始运算结果循环，奇数次是，偶数次是，即可得出结果． 【详解】解：由题意时，第一次经运算是， 第二次经运算是， 第三次经运算是， 第四次经运算是 从第二次开始出现、循环，奇数次是，偶数次是， 第次运算结果， 答案：A． 4．（2026·江西赣州·模拟预测）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，，则第个图案需要用矩形的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据3个图中矩形个数的变化，总结出规律即可． 【详解】解：由题意可知，第个图案用了（个）矩形； 第个图案用了（个）矩形； 第个图案用了（个）矩形； ∴第个图案用了（个）矩形． 5．（25-26九年级下·四川达州·期中）图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，，则的值是（     ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【分析】设，根据题意得到，，进而作差，利用整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：设， 根据题意，，， ∴． 二、填空题 6．（2026·江西上饶·二模）观察下列单项式：，，，，，按照此规律，第个式子是______． 【答案】 【分析】分别从符号，的次数，分母三个部分总结规律，得到第个单项式，再代入求解即可． 【详解】解：观察已知单项式可得： 第个式子：； 第个式子：； 第个式子：； 第个式子：； ； 由此可得第个式子为； 将代入得， ∴第个式子是． 7．（25-26七年级下·四川成都·期末）按一定规律排列的数：，，，，⋯，以此规律排列，第7个数是___． 【答案】 【分析】先观察已知数中分子底数的变化规律，推导出第个数的表达式，再将代入计算即可． 【详解】解：观察已知排列的数：第个数：， 第个数：， 第个数：， 第个数：， 由此可得规律，第个数为， 当时，代入得：． 8．（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）数字游戏：第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，再计算得以此类推，___． 【答案】26 【分析】分别计算出，，，，，的值，观察规律，再计算即可． 【详解】解：根据题意有， ，， ，， ，， ，， ，， ，， …， 则该数列是以26，65，122这三个数循环出现， ∵， ∴． 9．（25-26七年级上·四川广元·期末）如图，这是2026年1月的月历，其中“”形、“”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠．设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，可得，，即可由得，进而得到，最后取b的最大值22代入计算即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵a，b都是正整数，由日历表可知b的最大值为22， 此时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为203． 10．（25-26七年级上·重庆丰都·期末）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“和而不同数”，将一个“和而不同数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算：______； （2）如果都是“和而不同数”，且，则______． 【答案】 5 19 【分析】本题主要考查了新定义，整式的加减混合运算． （1）利用新定义列式，再计算即可； （2）设，可得，再根据新定义可得，再化简，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：5； （2）设， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：19． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 【答案】(1)从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． (2)第八个单项式是，第个单项式为． 【分析】本题考查了单项式的运算和单项式的规律知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据单项式的运算和单项式的规律知识，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：，，， ∴从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． （2）解：第一个单项式是： 第二个单项式是： 第三个单项式是： 第四个单项式是： 第五个单项式是： 第六个单项式是： 第七个单项式是： 第八个单项式是： 第个单项式是：， ∴第八个单项式是，第个单项式为． 12．（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）观察下列各式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式；…… (1)请写出第7个等式：______________； (2)请写出第n个等式（n是正整数）___________； (3)根据上述规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确找到规律是解题的关键． （1）观察所给等式写出结论即可； （2）根据题目中给出的等式，结合（1）中结论找到规律得出即可． （3）根据（2）中得出的规律，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； …， 则第n个等式可表示为：， 当时， 第7个等式为：． 故答案为：； （2）解：由（1）知，第n个等式为：． 故答案为：； （3）解：由上述规律可知， 原式 ． 13．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）小亮房间窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)用代数式表示图1窗户能射进阳光的面积．（结果保留） (2)当，米时，求图1窗户能射进阳光的面积是多少?（取） (3)小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个等腰直角三角形组成，直角边与半径相同），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大?如果更大，那么大多少?（结果保留） 【答案】(1)（平方米） (2)（平方米） (3)此时窗户能射进阳光的面积更大，大平方米 【分析】（1）用长方形的面积减去两个四分之一圆的面积即可得窗户能射进阳光的面积； （2）把、的值代入（1）得出的式子即可求出； （3）用长方形的面积减去一个半圆和两个等腰直角三角形面积列代数式表示此时窗户能射进阳光的面积，再用作差法和（1）比较大小即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当，米时，（平方米）； （3）解：如图②，窗户能射进阳光的面积（平方米）， ∵ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴此时窗户能射进阳光的面积更大，大平方米． 14．（2026·河北石家庄·一模）定义：若一个三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍，则这个三位数叫做“和倍数”．例如，三位数，因为，所以它是“和倍数”． 【理解定义】 (1)三位数是“和倍数”吗？ ．（填写“是”或者“不是”） 【建模推理】 (2)设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为 ； (3)任意一个“和倍数”都能被整除吗？请说明理由． 【答案】(1)不是 (2) (3)任意一个“和倍数”都能被整除，理由如下： 设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，， ∴， ∴ ， ∵，都是整数， ∴是整数， ∴是的倍数； 故任意一个“和倍数”都能被整除． 【分析】（1）计算是否为的倍即可判断； （2）根据“和倍数”的定义即可得出结果； （3）由，可得，符合的倍数的特征，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， 故三位数不是“和倍数”； （2）解：根据“和倍数”的定义， 即三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍， 可得； （3）略 15．（25-26七年级上·湖南常德·期末）观察等式：①，②，③，…… (1)请写出第个等式：______； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键． （1）根据规律写出第n个等式即可； （2）根据（1）中的规律将代数式中的积转换为差进行计算即可； （3）先提取，使得各项分子变为3，再根据规律将代数式中的积转换为差进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知第个等式为． （2）解： ． （3）解： ． 16．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，大长方形的一组邻边长分别为10，m（），在长方形的内部放置4个完全相同的小长方形纸片（图中阴影所示），这样得到长方形，长方形及长方形． (1)若，求线段的长度； (2)记长方形的周长为，长方形的周长为，对于任意的m值，与的和是否为一个确定的值？若是一个确定的值，请写出这个值，并说明理由；若不是一个确定的值，请举例子进行说明． 【答案】(1)2 (2)与的和是一个确定的值， 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）设阴影长方形的长为a，宽为b，根据线段的和差，列出代数式求解即可； （2）分别求出，，． 【详解】（1）解：设阴影长方形的长为a，宽为b， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与的和是一个确定的值，理由如下： 设阴影长方形的长为a，宽为b， ∵，， ∴， ∵， ∴． 17．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）趣味数学社团课上，李老师提供了一系列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… 观察上述规律，回答以下问题： (1)写出第4个等式． (2)若，为正整数． ①计算的值． ②用含的代数式表示，并猜想当越来越大时，越来越接近的数． 【答案】(1) (2)①；②； 【分析】本题考查了数字类规律探究． （1）根据前几个式子的规律写出第4个等式，即可求解； （2）①根据题意计算的值； ②根据题意表示出，进而根据当越来越大时，越来越接近，即可求解． 【详解】（1）解：根据规律可得：第4个等式：， （2）解：① ②根据规律可得 ∴ 当越来越大时，越来越接近 ∴越来越接近的数是 18．（25-26六年级上·山东烟台·期末）为厚植雷锋精神，涵养时代新风，某校准备打造一条“雷锋精神”文化长廊．如图，长廊的地面宽为5米，并按如图方式在地面铺设边长为1米的正方形地砖．其中，阴影部分为彩色地砖，白色部分为普通地砖． (1)若长廊长8米，则需彩色地砖_________块，普通地砖_________块； (2)若长廊长米（m为正整数），则需彩色地砖_________块； (3)学校拟向某商家购买地砖，该商家彩色地砖原价90元/块，普通地砖原价40元/块．经协商，商家推出如下优惠：买一块彩色地砖赠送一块普通地砖．已知购买的所有地砖的边长均为1米． ①若长廊长n米（n为正整数），请用含n的代数式表示购买地砖所需的费用； ②已知学校采购地砖的预算为3600元，求可打造的长廊的最大长度． 【答案】(1)12；28 (2) (3)①元；②可打造的长廊的最大长度为16米 【分析】本题考查了图形规律，整式的加减运算的应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，观察图形规律，再结合长廊长8米进行列式计算，即可作答． （2）结合长廊长米（m为正整数），得出是奇数，然后列式化简，即可作答． （3）①先理解题意，进行分类讨论，当n为偶数时，以及当n为奇数时，分别算出彩色地砖以及普通地砖的数量，再根据商家彩色地砖原价90元/块，普通地砖原价40元/块进行列式计算，即可作答． ②先理解题意，进行分类讨论，当n为偶数时，当n为奇数时，列式计算分析，得可打造的长廊的最大长度为16米． 【详解】（1）解：依题意，（块）， ∴当长廊长8米，则需彩色地砖12块， ∵长廊的地面宽为5米，并按如图方式在地面铺设边长为1米的正方形地砖 ∴（块）， ∴当长廊长8米，则普通地砖28块； （2）解：∵长廊长米（m为正整数）， ∴是奇数， 则（块）， ∴当长廊长米（m为正整数），则需彩色地砖块； （3）解：①当n为偶数时， 彩砖数量为（块）， 普砖数量为（块）， 此时，所需钱数为（元）， 当n为奇数时， 彩砖数量为（块）， 普砖数量为（块）．   此时，所需钱数为（元）； ②当n为偶数时，，，此时最大偶数为16， 则剩余钱数为（元）， 不足再铺1米，故长廊长度为16米， 当n为奇数时，，，此时最大奇数为15， 剩余钱数为（元）， 可再铺1米，故长廊长度为16米， 因此，可打造的长廊的最大长度为16米． 19．（2026·安徽合肥·一模）[观察思考] 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层． 【规律总结】 将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 (1)当有层时，图中共有__________个圆圈； (2)如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是__________； [问题解决] (3)如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图的方式填上一串连续的整数，求图中所有圆圈中各数的绝对值之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）已知层的总圆圈个数公式，将时，代入公式即可解答； （）要求第层最左边的数，先通过公式算出前层的总圆圈数为，再用前层总圆圈数加，得到第层最左边的数是； （）先算出层的总圆圈数，确定其中负数、和正数的数量，再计算所有数的绝对值之和，最终结果为． 【详解】（1）解：已知层的总圆圈个数公式为：， 当时，代入公式得： ； （2）解：最底层第层最左边的数前层总圆圈数， 先算前层总圆圈数：； ∴第11层最左边的数是； （3）解：先算层总圆圈数：， 其中个负数，个，个正数， 按题图方式填数后所有圆圈中各数的绝对值之和 ． 20．（25-26七年级上·广西钦州·期末）数学活动——探究月历中的数字规律． 如图1是某月的月历，小乐在其中画出一个的方框，框住九个数，计算如图2表示位置的四个数的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为_______；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为________； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，________． 所以，________． (3)拓广探究：请利用小乐的方法，借助图1中的月历．继续进行如下探究： 如图3，在月历中用“Z型框”框住位置的四个数，请探究的值的规律．要求写出结论并说明理由． 【答案】(1)0；0 (2)； (3) 解：，理由如下： 设，则，，． 所以，． 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的运算，正确找到规律是解题的关键． （1）结合月历，通过计算，可得到结果； （2）根据题意，填写出空缺的部分，即可； （3）根据图3中的位置，设，依次表示出，即可得到的值． 【详解】（1）解：， 将的方框移动到图1中的其他位置，的值均为0； 故答案为：0；0； （2）解：设，则，，． 所以，． 故答案为：；； （3）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 整式运算中的实际应用、规律、新定义型问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整式的加减实际应用问题 题型二、单项式的规律探究问题 题型三、整式中的数字类规律探究问题 题型四、整式中的图形类规律探究问题 题型五、整式加减中的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及用整式表示实际情境（如面积、利润、数字问题）、探究图形或数列规律，以及现场定义新运算（如a＠b），考查迁移能力。 - 解题方法：实际应用抓等量关系列式；规律题观察序号与结果的对应（等差、等比、平方、周期），用含n的整式表示；新定义严格套用规则转化为常规整式运算。 - 易错提醒：列式时未化简导致繁琐；规律题未验证前三项即下结论；新定义中运算顺序与常规优先级混淆；实际背景中单位或取值范围被忽略。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整式的加减实际应用问题 典例1 （25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 题型模版 1.特征：用整式表示实际问题中的数量关系（如周长、费用、和差），列式并化简。 2.方法：设未知数，根据题意用整式表示各量，列出代数式，去括号合并同类项，再代入计算或解释。 变式1-1（25-26七年级上·四川广元·期末）定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 变式1-2（25-26七年级上·浙江杭州·期末）为了在中小学生中进行爱国主义教育，我县关工委决定开展“中华魂”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍多件，各种奖品的单价如下表所示： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价元 数量件                               (1)请用含的代数式把表格补全； (2)请用含的代数式表示购买件奖品所需的总费用； (3)若一等奖奖品购买了件，则我县关工委共花费多少元？ 变式1-3（25-26七年级下·广东茂名·期末）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 题型二、单项式的规律探究问题 典例2 （25-26七年级上·河南驻马店·期末）观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 题型模版 1.特征：观察一组单项式（如系数、字母指数变化），求第n个单项式或系数规律。 2.方法：分别找系数和字母指数的变化规律（常为等差或等比），用含n的式子表示通项，验证前几项。 变式2-1（2026·河南平顶山·三模）观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 变式2-2（2026·西藏林芝·二模）有一组按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第个代数式是________． 变式2-3（25-26七年级上·全国·课后作业）请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： ，， ，，，，… (1)第3个单项式应该是 ． (2)按此规律排列，次数是7的单项式的系数应该是 ． (3)第n个单项式应该是 ． 题型三、整式中的数字类规律探究问题 典例3 （25-26七年级下·江西吉安·期末）观察下列各式，解答问题： ； ； ； …… (1)【发现规律】填空：（     ）（     ）（     ）（     ）； (2)【总结规律】猜想填空：（     ）（     ）（     ）； (3)【应用规律】求的值． 题型模版 1.特征：观察数字序列或等式，用整式表示第n个数或一般规律，常涉及平方、等差。 2.方法：分析相邻差或比，确定通项公式（如一次、二次、指数），用待定系数法求表达式，并验证前几项。 变式3-1（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）观察下列各式，解答后面的问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第5个等式是______； (2)第n个等式是______； (3)计算：． 变式3-2（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 变式3-3（25-26七年级下·安徽安庆·期末）探索规律． 乐乐在计算：，这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的阴影部分表示，这个阴影部分可以转化成长是_______，宽是_______的长方形； (2)根据以上规律计算：． 题型四、整式中的图形类规律探究问题 典例4 （26-27七年级上·全国·课后作业）完成下列小题 (1)观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ (2)根据（1）中的规律猜想： __________． (3)一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示． 题型模版 1.特征：图形随序号变化，用整式表示第n个图形中某元素数量，常为一次或二次规律。 2.方法：数前几个图形对应元素个数，求相邻差（一次差恒定则一次，二次差恒定则二次），用待定系数法得通项。 变式4-1（2026·安徽芜湖·二模）某商业街的人行道由3块矩形地砖组成的基本图形排列而成，图1表示此基本图形中的地砖排列方式．将图1这个基本图形不断复制（即向前铺地砖），得到图2，图3，…（如图所示）． 显然，图1中共有6个矩形，图2中共有18个矩形，图3中共有36个矩形，…，按照以上规律，解决下列问题： (1)图4中共有________个矩形； (2)图n中共有________个矩形（用含n的式子表示）； (3)已知图1的面积为，若该人行道的面积，求该人行道图案上共有多少个矩形？ 变式4-2（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 变式4-3（25-26七年级上·广东茂名·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】小明同学经过一番思考后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， 计算时，小彬同学是这样思考的：设① 将等式两边同时乘得② 将①减去②得，即， 即， (1)【过程思考】图中阴影部分的面积是____； (2)根据以上规律，可得_____；____；（为正整数） (3)【知识迁移】请你借助小彬同学的方法，求的值． 题型五、整式加减中的新定义型问题 典例5 （25-26七年级上·安徽宿州·期中）定义：若，则称与是关于6的平衡数． (1)7与_______是关于6的平衡数，与__________是关于6的平衡数； (2)若，，判断与是否是关于6的平衡数，并说明理由． 题型模版 1.特征：定义新运算（如a＠b），按规则列式并化简，重阅读理解与整式运算。 2.方法：将新定义转化为整式加减运算，代入数值或含字母表达式，去括号合并同类项得结果。 变式5-1（24-25八年级上·北京海淀·期中）将四个有理数a，b，c，d写成的形式，称它为由有理数a，b，c，d组成的二阶矩阵，a，b，c，d为构成这个矩阵的元素，定义矩阵的运算为：，两个矩阵相加我们定义为：，下面是两个二阶矩阵的加法运算过程： ． (1)计算的值； (2)计算． 变式5-2（25-26七年级上·山东德州·期中）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：的差倒数是． (1)已知，则的差倒数为____________； (2)若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，是的差倒数，则的值为___________． (3)已知，求的差倒数的值，的差倒数的值； 变式5-3（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，不符合这一规律的是（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山东济南·期中）新定义  定义一种关于的“”运算：（1）当是奇数时，结果为；（）当是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如取，第一次经运算是，第二次经运算是，第三次经运算是，第四次经运算是，；若，则第次运算结果是（   ） A．1 B．2 C．7 D．8 4．（2026·江西赣州·模拟预测）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，，则第个图案需要用矩形的个数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·四川达州·期中）图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，，则的值是（     ） A．8 B．16 C．32 D．64 二、填空题 6．（2026·江西上饶·二模）观察下列单项式：，，，，，按照此规律，第个式子是______． 7．（25-26七年级下·四川成都·期末）按一定规律排列的数：，，，，⋯，以此规律排列，第7个数是___． 8．（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）数字游戏：第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，再计算得以此类推，___． 9．（25-26七年级上·四川广元·期末）如图，这是2026年1月的月历，其中“”形、“”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠．设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的最大值为________． 10．（25-26七年级上·重庆丰都·期末）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“和而不同数”，将一个“和而不同数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算：______； （2）如果都是“和而不同数”，且，则______． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 12．（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）观察下列各式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式；…… (1)请写出第7个等式：______________； (2)请写出第n个等式（n是正整数）___________； (3)根据上述规律，计算：． 13．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）小亮房间窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)用代数式表示图1窗户能射进阳光的面积．（结果保留） (2)当，米时，求图1窗户能射进阳光的面积是多少?（取） (3)小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个等腰直角三角形组成，直角边与半径相同），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大?如果更大，那么大多少?（结果保留） 14．（2026·河北石家庄·一模）定义：若一个三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍，则这个三位数叫做“和倍数”．例如，三位数，因为，所以它是“和倍数”． 【理解定义】 (1)三位数是“和倍数”吗？ ．（填写“是”或者“不是”） 【建模推理】 (2)设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为 ； (3)任意一个“和倍数”都能被整除吗？请说明理由． 15．（25-26七年级上·湖南常德·期末）观察等式：①，②，③，…… (1)请写出第个等式：______； (2)计算：； (3)计算：． 16．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，大长方形的一组邻边长分别为10，m（），在长方形的内部放置4个完全相同的小长方形纸片（图中阴影所示），这样得到长方形，长方形及长方形． (1)若，求线段的长度； (2)记长方形的周长为，长方形的周长为，对于任意的m值，与的和是否为一个确定的值？若是一个确定的值，请写出这个值，并说明理由；若不是一个确定的值，请举例子进行说明． 17．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）趣味数学社团课上，李老师提供了一系列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… 观察上述规律，回答以下问题： (1)写出第4个等式． (2)若，为正整数． ①计算的值． ②用含的代数式表示，并猜想当越来越大时，越来越接近的数． 18．（25-26六年级上·山东烟台·期末）为厚植雷锋精神，涵养时代新风，某校准备打造一条“雷锋精神”文化长廊．如图，长廊的地面宽为5米，并按如图方式在地面铺设边长为1米的正方形地砖．其中，阴影部分为彩色地砖，白色部分为普通地砖． (1)若长廊长8米，则需彩色地砖_________块，普通地砖_________块； (2)若长廊长米（m为正整数），则需彩色地砖_________块； (3)学校拟向某商家购买地砖，该商家彩色地砖原价90元/块，普通地砖原价40元/块．经协商，商家推出如下优惠：买一块彩色地砖赠送一块普通地砖．已知购买的所有地砖的边长均为1米． ①若长廊长n米（n为正整数），请用含n的代数式表示购买地砖所需的费用； ②已知学校采购地砖的预算为3600元，求可打造的长廊的最大长度． 19．（2026·安徽合肥·一模）[观察思考] 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层． 【规律总结】 将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 (1)当有层时，图中共有__________个圆圈； (2)如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是__________； [问题解决] (3)如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图的方式填上一串连续的整数，求图中所有圆圈中各数的绝对值之和． 20．（25-26七年级上·广西钦州·期末）数学活动——探究月历中的数字规律． 如图1是某月的月历，小乐在其中画出一个的方框，框住九个数，计算如图2表示位置的四个数的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为_______；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为________； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，________． 所以，________． (3)拓广探究：请利用小乐的方法，借助图1中的月历．继续进行如下探究： 如图3，在月历中用“Z型框”框住位置的四个数，请探究的值的规律．要求写出结论并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $