2026-2027学年人教版数学八年级上册第二周周练 13.31-13.32

**基本信息** 本卷聚焦八年级数学13.3节，以折叠方桌、高压线支撑等生活情境命题，通过三角形内角和证明、五角星模型探究等题，考查角平分线、外角性质等知识，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形内角、外角计算|生活情境（如折叠方桌角度问题）| |填空题|5/20|等腰三角形、中线角平分线综合|结论辨析（如第12题多结论判断）| |解答题|8/70|证明与探究（角平分线、动态位置）|分层设计（从操作到推理，如第18题辅助线添加）|

2026-2027学年人教版八年级上学期数学周周测02 （13.3） （考试时间：90分钟；满分120分） 1、 选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角的性质得到，再利用两直线平行，内错角相等得到，结合三角形内角和求出，进而利用对顶角相等求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 2．如图，是的外角，过点作射线，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 4．如图，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴. 5．如图，已知直线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出同位角相等，再结合三角形外角的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，设直线与截线的夹角为 ， 是三角形的外角 ． 6．图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 7．如图，在中，，分别平分和，、交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理进行求解即可. 【详解】解：∵，分别平分和，，， ∴， ∴. 8．如图，在四边形中，，平分交边于点为延长线上一点，且，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证及，利用平行线性质推导角的关系，逐项判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，故A正确； ∵， ∴． ∵， ∴，故D正确； ∵，，且， ∴，故C正确； ∵，， ∴． 若， 则， 即，题目未限定此条件，故B不一定正确． 9．如图，已知，为上的两点，为上的两点，延长至点平分，点在直线上，且平分．若，则下列结论中，一定成立的是：（     ） ①； ②； ③设，则； ④． A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，分别对四个结论进行推导验证；利用推导角的关系，结合计算具体角度表达式，从而判断结论的正确性． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故②正确； 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵共线， ∴， ∴ ，故④正确； ∵， 而， ∴与不一定相等，故①错误； 综上所述，正确的结论是②④． 10．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴． 二、填空题 11．在等腰三角形（）中，，则的度数为________． 【答案】或 【分析】本题分是顶角，是底角两种情况，结合等腰三角形性质，三角形内角和定理和已知条件，排除不符合条件的情况后求解． 【详解】已知等腰中，，且． 若是顶角，则，所以，符合； 若是底角，当是顶角时，，所以，符合； 当是顶角时，，与矛盾，故舍去． 综上，的度数为或． 12．如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定正确的结论有____________（填序号）． 【答案】②③⑤ 【分析】根据三角形的中线的性质判断④和⑤；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断①和③，根据三角形的面积公式判断⑥． 【详解】解：是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ，故正确； ，， ，故③正确； 由已知条件不能确定， 不能得出，故④错误； F不一定是的中点， 不能得出，故错误； 不能得出， 不能得出， 不能得出，即不能得出， 故⑥错误； ，， ， ，故⑤正确； 综上可知，正确的有②③⑤． 13．如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 【答案】 【分析】先根据角的和差关系求出的度数，再在中，利用三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义求出，最后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解：，， ∴， ∵是边上的高， ， ， 是的平分线， ， ∴, ∴． 14．如图，在中，，平分的外角交的延长线于点D，若，则的度数为______________． 【答案】95 【分析】由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵平分的外角交的延长线于点D，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．如图，已知是的角平分线，是的高，，，________． 【答案】 【分析】由直角三角形两个锐角互余得出，，得到，由角平分线的定义得出，最后由三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 三、解答题 16．在中，，，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形三个内角的关系设未知数，结合三角形内角和为列方程即可求解． 【详解】解：设，则，， 任意三角形的内角和为，即， ， 解得，即． 17．求出下列各图形中x的值． (1) (2) 【答案】(1)110 (2)60 【分析】本题考查了三角形内角和定理与三角形外角的性质，解题的关键是根据内角和及外角性质建立方程求解． （1）利用三角形内角和求出，再结合邻补角关系求； （2）利用“三角形外角等于不相邻两内角和”列方程求解． 【详解】（1）解：∵三角形内角和为， ∴， 解得，． ∵与互为邻补角， ∴； （2）解：∵三角形外角等于与它不相邻的两内角的和， ∴， 化简得， 解得． 18．问题解决 问题 三角形内角和为什么等于 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于呢？    思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角呢？ 尝试思考 请过三角形的顶点A添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和等于．要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述．    逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点（不与点、重合）．如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”．    (1)完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长至点，过点作___________、利用平行线的性质得到即可求解． 方法二：如图3，过点作，利用平行线的性质得到___________． 再利用平角定义和等量代换可得结论：_________．    (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4画出图形，写出证明过程）    【答案】(1)． ，内角和为． (2)选择图2，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； 选择图3，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； (3)证明：过点作交于点，过点作交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴ 即内角和为． 【分析】（1）方法一：过点A作，利用平行线的性质得到，即可求解． 方法二：过点A作，利用平行线的性质得到，，再利用平角定义和等量代换可得结论； （2）根据平行线的性质进行证明即可； （3）过点作交于点，过点作交于点，由两直线平行，同位角相等，内错角相等易证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 19．如图，在中，点在边上，，平分分别交，于点，．求证． 【答案】证明：∵平分， ∴， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∵，， ∴． 【分析】根据角平分线的定义，得到，再根据是的外角，是的外角，得到，，进而推导出，即可解答． 【详解】略 20．如图，在中，，平分，在的延长线上任取一点，过点作于点．求证：． 【答案】 证明：如图，过点作于点． ， ． 平分， ． ， ， ， ． ，， ， ， ． 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的判定与性质，掌握通过作辅助线构造平行线进行角的转化，结合角平分线和三角形内角和推导角度关系是解题的关键． 作辅助线构造平行线，将转化为；再利用角平分线和三角形内角和，通过角的差推导，从而得证． 【详解】略 21．【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理计算即可； （3）根据角平分线的定义求出，可知只能是或，根据三角形外角的性质得到，根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和定理求出，则，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的平分线，相交于点， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分外角，， ∴，即， 因此只能是或． 根据三角形外角的性质得到， ∵平分外角，平分外角， ∴， ∴，即， ∴， 分情况讨论： 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述，的度数为或． 22．求解下列各题： (1)【建立模型】如图1，在内部有一点，连接，．求证：． (2)【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，____________． (3)【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 【答案】(1)证明：如图，延长交于点， ∵，， ∴． (2)180 (3) 【分析】（1）延长交于点，由三角形外角性质得，，由此即可得出结论； （2）设与相交于点，由（1）得，则，然后根据三角形的内角和定理即可得出答案； （3）延长与的延长线相交于点，则，，进而得，由（2）得，则． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设与相交于点， 由（1）得， ∴． 在中，， ∴． （3）解：如图，延长与的延长线相交于点， ，， ． 在中，， ． 由（2）得，， ． 23．【问题情景】如图①，将一块直角三角尺放置在上（点在内），使得该三角尺的两条直角边，恰好分别经过点，． 【特殊探究】（1）若，则__________，__________，__________． 【类比探究】（2）请探究与之间存在的数量关系，并证明你的结论． 【类比延伸】（3）如图②，改变直角三角尺的位置，使点在外，且在边的左侧，直接写出，与之间存在的数量关系． 【答案】（1）     （2）．证明如下： ， ， ． （3） 【分析】本题考查了三角形内角和定理与角度的整体转化，掌握通过角度的加减与整体代换，将所求角转化为已知角的和差关系是解题的关键． （1）先在中用内角和求，再在中求，最后通过角的加减得到； （2）从特殊情况推广到一般，利用三角形内角和定理，将整体转化为，从而推导出与的数量关系； （3）改变三角尺位置后，重新分析角的组成，将和分别表示为与的组合，再通过内角和代换得到新的数量关系． 【详解】解：（1）在中，， 根据三角形内角和： 在中，，同理： （2）略 （3）． ． 2、 第21页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版八年级上学期数学周周测02 （13.3） 考试时间：90分 总分120分 一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的外角，过点作射线，若，，则（     ） A． B． C． D． 3．如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，已知直线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，，，，则（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，分别平分和，、交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，，平分交边于点为延长线上一点，且，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，已知，为上的两点，为上的两点，延长至点平分，点在直线上，且平分．若，则下列结论中，一定成立的是：（     ） ①； ②； ③设，则； ④． A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④ 10．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11．在等腰三角形（）中，，则的度数为________． 12．如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定正确的结论有____________（填序号）． 13．如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 14．如图，在中，，平分的外角交的延长线于点D，若，则的度数为______________． 15．如图，已知是的角平分线，是的高，，，________． 三．解答题(本大题有8小题，共70分) 16．（本题8分）在中，，，求的度数． 17．（本题6分）求出下列各图形中x的值． (1) (2) 18．（本题8分）问题解决 问题 三角形内角和为什么等于 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于呢？    思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角呢？ 尝试思考 请过三角形的顶点A添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和等于．要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述．    逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点（不与点、重合）．如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”．    (1)完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长至点，过点作___________、利用平行线的性质得到即可求解． 方法二：如图3，过点作，利用平行线的性质得到___________． 再利用平角定义和等量代换可得结论：_________．    (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4画出图形，写出证明过程）    19．（本题8分）如图，在中，点在边上，，平分分别交，于点，．求证． 20.（本题8分）如图，在中，，平分，在的延长线上任取一点，过点作于点．求证：． 21．（本题9分）【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 22．（本题11分）求解下列各题： (1)【建立模型】如图1，在内部有一点，连接，．求证：． (2)【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，____________． (3)【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 23．（本题12分）【问题情景】如图①，将一块直角三角尺放置在上（点在内），使得该三角尺的两条直角边，恰好分别经过点，． 【特殊探究】（1）若，则__________，__________，__________． 【类比探究】（2）请探究与之间存在的数量关系，并证明你的结论． 【类比延伸】（3）如图②，改变直角三角尺的位置，使点在外，且在边的左侧，直接写出，与之间存在的数量关系． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $