专题07 整式加减的四类培优综合题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 以“整体思想”为核心，通过“解题通法-题型归纳-压轴挑战”三层架构，系统整合整式加减四类培优题型，培养抽象能力与运算能力，实现方法迁移与思维提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心通法|整体思想、化简求值、整体代换|以整式加减为基础，提炼核心思想方法| |题型归纳|4类题型（每类1典例+3变式）|化简求值运算法则、取值无关/不含项（系数为0）、绝对值性质|从基础到综合，题型与方法一一对应| |压轴挑战|16道综合题|综合应用上述方法|融合多知识点，提升推理意识与模型意识|

专题07 整式加减的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整式加减中的化简求值问题 题型二、整式加减中的取值无关型问题 题型三、整式加减中的不含某一项的问题 题型四、含绝对值的整式加减问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 代数式及其化简求值是七年级上学期数学重难点，所有题型均围绕化简求值展开，其中压轴题还涉及到整体代换思想，解题贯穿基本底线原则：整体思想。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整式加减中的化简求值问题 典例1 先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】化简为，求值为12 【分析】先去括号、合并同类项化简代数式；再利用平方和绝对值的非负性：，，两个非负数相加等于，则各自为求出、的值，最后代入化简后的式子计算结果． 【详解】解： ， ，且， ， 解得：，， 把，代入： 原式． 题型模版 1.特征：整式加减中的化简求值问题. 2.方法：利用其运算法则的相关知识是解答即可． 变式1-1先化简，再求值：，其中x是最大的负整数，． 【答案】， 【分析】先根据整式的加减运算法则化简原式，再求得x值，然后将x、y代入化简式子求解即可． 【详解】解： ， ∵x是最大的负整数， ∴， 将，代入，则原式． 变式1-2已知、、都是一次式，且，，． (1)化简； (2)求出当，时的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）将，，代入，去括号合并同类项求出整式； （2）将，代入（1）中化简得到的中即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：由（1）得，， 将，代入得， ． 变式1-3已知：，，且，求的值． 【答案】147 【分析】本题主要考查了非负数的性质、整式的加减运算法则、代数式求值等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据非负数的性质可得，即，；再将其代入运用整式的加减运算法则化简，最后将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 类型二、整式加减中的取值无关型问题 典例2已知，，． (1)当时，求的值； (2)若代数式的值与a的取值无关，求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了整式的加减、偶次方与绝对值的非负性，代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则，知道代数式的值与谁无关就令谁的系数为零是解题关键． （1）先去括号，再计算整式的加减，然后根据偶次方与绝对值的非负性可得的值，代入计算即可得； （2）先将代入原式，由该式的值与a的取值无关，化简令a的系数为零求出b的值即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴ ； （2） ， ∵该式的值与a的取值无关， ∴， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：整式加减中的取值无关型问题. 2.方法：合并同类项，系数为0即可求解． 变式2-1已知两个多项式A和B，其中，小勤在计算时，误看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)若的值与a无关，求b的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了整式的加减以及整式加减中的无关型问题，掌握运算法则并正确计算是解题的关键 （1）由的结果为得：，利用整式减法进行计算即可； （2）先化简求出，的值与a无关，可列，然后解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵的值与a无关， ∴，∴． 变式2-2已知含字母的代数式是：． (1)化简这个代数式． (2)观察化简后的代数式，无论字母取何值，代数式的结果恒为定值，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）利用整式的加减计算法则进行化简即可得到答案． （2）根据题意可得，故时，代数式的结果恒为定值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵无论字母取何值，代数式的结果恒为定值， ∴， ∴ ∴ 故时，． 变式2-3已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 题型三、整式加减中的不含某一项问题 典例3 已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则______． 【答案】 【分析】先计算，然后根据关于x，y的多项式与的差不含二次项，即可得到m、n的值，再计算即可． 【详解】解：由题意可得， ， 关于x，y的多项式与的差不含二次项， ，， 解得，， ， 故答案为： 题型模版 1.特征：整式加减中的不含某一项问题. 2.方法：合并同类项，系数为0即可求解． 变式3-1若关于、的多项式与的和中不含二次项，求的值． 【答案】 【分析】首先求出多项式的和，然后由不含二次项，得出m和n的值，即可得解． 【详解】解：， ∵结果中不含二次项， ∴， ∴． ∴． 变式3-2已知是关于x，y的多项式，且该多项式化简后不含二次项，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式的定义，多项式化简求值，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式化简后不含二次项求出的值，然后将所求代数式进行去括号合并同类项，最后代入的值求值即可． 【详解】解： ∵该多项式化简后不含二次项， ∴，， ∴，； ； 当，时， 原式 ． 题型四、含绝对值的整式加减问题 典例4 若，且，则在数轴上表示，两数的对应点的距离为____． 【答案】或 【分析】根据题意，得到方程组，解得，从而得到，的值，即可求解． 【详解】解：由题意得，解得， ∴，， ∴当，或，时，； 当，或，时，， 综上可知，，两数对应点的距离为或． 题型模版 1.特征：整式加减中的绝对值问题. 2.方法：根据绝对值非负性及其性质进行化简求值即可． 变式4-1若，且，则________． 【答案】 【分析】先根据绝对值和乘方的定义得到、的所有可能取值，再根据，判断为非负数，筛选出符合条件的、，最后计算的值． 【详解】解：， 或， ， 或， ， ， 当时，无论还是，都有，不符合条件，舍去； 当，时，满足，此时； 当，时，满足，此时； 综上，的值为． 变式4-2已知a，b，c均为正整数，且，则的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值分非负性，化简绝对值，由条件且均为正整数，可知可能为0或1，对应为3或2，分两种情况讨论，计算的值，结果均为6 【详解】解：，且为正整数， ≥ 0，， 可能为0或1， 当时， ，且， 或， ，，， ； 当，则， ，且， 为正整数， ， ，但为正整数，故， ，，， ， 综上，， 故选：C 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】根据不含项即该项系数为0，先合并同类项再列方程求解． 【详解】解：， ∵多项式不含项， ∴， ∴， ∴或． 2．有理数a，b，c满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加法、绝对值的性质，根据和，可推得b、c同号，a与b、c异号，结合绝对值性质分析各选项即可． 【详解】解：A、∵，且， ∴a、b、c三个数不同号，且都不为0，且， 若b、c异号， 则， 与矛盾， ∴b、c同号，a与b、c异号， 可得， 当a为正，b、c为负时， ∵， ∴， ∴A选项不成立， ∴A错误； B、∵，且， ∴a、b、c三个数不同号，且都不为0，且， ∴B选项错误； C、当时，； 当时，． ∴不恒成立， ∴C错误； D、∵和， 当时， ∴． ∴D正确． 3．当=______时，关于的多项式中不含有项． 【答案】 【分析】当多项式不含某一项时，该项合并同类项后的系数为，先合并多项式中的同类项，再令项的系数为，即可求解的值。 【详解】解：对多项式合并同类项得： ， 多项式不含有项， 项的系数为，即， 解得． 4．若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 【答案】 7 【分析】先合并同类项，再根据已知条件列出方程式，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵无论x取何值代数式的值不变， ∴，， ∴，． 5．若，，则________． 【答案】 【分析】根据已知第一个方程判断的符号，去掉的绝对值符号，再分和两种情况讨论解方程组，得到，的值后计算的值． 【详解】解：由 ， 可得 ， ， ， ， 将代入得， ，即 把代入 得： 整理得 分两种情况讨论： （1）当时，， 方程化为 ，即， 解得， 把代入，解得， ， （2）当时， ， 方程化为 ，即， 等式不成立，此情况无解， 综上所述，． 6．已知，，若的值与x无关，则的值为________． 【答案】 【分析】根据题意计算，合并同类项后根据的值与x无关，得出，，求得，，代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵的值与x无关， ∴，，解得：，， ∴． 7．若实数，同时满足，，则______________． 【答案】25 【分析】根据绝对值的非负性确定的取值范围，去掉绝对值符号，解方程组得到，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵实数，同时满足，， 又∵， ∴，可得， ∴，原第一个方程可化为，整理得， 将代入得：， ∵， ∴，可得：， 代入第二个方程得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ∴． 8．若，，且，则__________． 【答案】7或3 【分析】本题考查了绝对值的性质及有理数的加法运算．由绝对值定义确定x和y的可能值，再根据推出，从而筛选符合条件的x和y组合，最后计算． 【详解】解：由，得或，由，得或， 又，且，故，即， 符合条件的组合为：，或，， 当，时，； 当，时，， 故答案为：7或3． 9．代数式的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简计算，明确绝对值的化简法则并明确何时题中所要求的式子取得最小值是解题的关键． 将原式化为，可理解为到的距离，到的距离的2倍，到的距离的3倍，到的距离的4倍，到的距离的5倍的和，求得时，取得最小值即可解得答案． 【详解】解： ， 原式可理解为到的距离，2倍的到的距离， 3倍的到的距离，4倍的到的距离，5倍的到的距离的和， 原式可看作个绝对值相加，而中间项第八项为， 所以当，即时取最小值， 最小值为：， ． 故答案为：． 10．已知，且，则的值为_____． 【答案】6 【分析】先根据绝对值的非负性由第一个方程确定y的取值范围，进而化简第二个方程中的绝对值，再通过代入消元结合绝对值的分类讨论求解x、y的值，最后计算． 【详解】解：由得，根据绝对值的非负性可知，即，则； 将代入，得，即； 把代入，得； 分两种情况讨论： 1. 当时，，则，解得， 将代入，得， 验证：将，代入原方程，，，均成立， 此时； 2. 当时，，则，移项得，即，等式不成立，此情况舍去． 【点睛】注意分类讨论的思想． 11．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 12．如果多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次．求m，n的值． 【答案】， 【详解】解：原式 ； ∵多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次， ∴， ∴，． 13．已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 【答案】 【详解】解： 因为的值不含a的一次项 所以 解得． 14．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】本题主要考查了整式的化简求值、非负数的性质等知识点，掌握整式的四则混合运算法则成为解题的关键，先根据整式的四则混合运算法则化简，然后将值代入计算即可． 【详解】解：原式 ∵ ∴ ∴原式． 15．已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式值与字母x的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了整式的加减以及运算后与某系数无关的问题，解题的关键是将代数式进行化简，通过最终的化简结果进行判断． （1）根据题意将、代入，再去括号合并同类项即可得到答案； （2）先将代数式进行化简，然后根据代数式的值与字母的取值无关，所以含的项的系数是0，据此求出、的值，再代入的代数式求值即可． 【详解】（1）解： （去括号） （合并同类项） 故的表达式为． （2）解： （去括号） （合并同类项） 若其最终值与的取值无关，则、， 解得，， 代入， 故代数式的值为． 16．已知，． (1)若，求的值； (2)若代数式的值与字母x的取值无关，求y的值． 【答案】(1)0；(2) 【分析】本题主要考查了非负数的性质，整式的加减运算，整式的加减运算中与某字母的值无关，掌握“去括号的法则，合并同类项，与某字母的值无关的含义”是解题的关键． （1）将代入并化简可得结果为，再由，求解和的值，再整体代入求值即可； （2）先将去括号化简为，再将代入化简，把含x的同类项合并，由代数式的值与字母x的取值无关可得，由此求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ，即， ，即， 则原式 ； （2） ， ，， ， 由于代数式的值与字母x的取值无关， ， 解得， 则y的值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 整式加减的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整式加减中的化简求值问题 题型二、整式加减中的取值无关型问题 题型三、整式加减中的不含某一项的问题 题型四、含绝对值的整式加减问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 代数式及其化简求值是七年级上学期数学重难点，所有题型均围绕化简求值展开，其中压轴题还涉及到整体代换思想，解题贯穿基本底线原则：整体思想。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整式加减中的化简求值问题 典例1 先化简，再求值：，其中x，y满足． 题型模版 1.特征：整式加减中的化简求值问题. 2.方法：利用其运算法则的相关知识是解答即可． 变式1-1先化简，再求值：，其中x是最大的负整数，． 变式1-2已知、、都是一次式，且，，． (1)化简； (2)求出当，时的值． 变式1-3已知：，，且，求的值． 类型二、整式加减中的取值无关型问题 典例2已知，，． (1)当时，求的值； (2)若代数式的值与a的取值无关，求的值． 题型模版 1.特征：整式加减中的取值无关型问题. 2.方法：合并同类项，系数为0即可求解． 变式2-1已知两个多项式A和B，其中，小勤在计算时，误看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)若的值与a无关，求b的值． 变式2-2已知含字母的代数式是：． (1)化简这个代数式． (2)观察化简后的代数式，无论字母取何值，代数式的结果恒为定值，求的值． 变式2-3已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 题型三、整式加减中的不含某一项问题 典例3 已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则______． 题型模版 1.特征：整式加减中的不含某一项问题. 2.方法：合并同类项，系数为0即可求解． 变式3-1若关于、的多项式与的和中不含二次项，求的值． 变式3-2已知是关于x，y的多项式，且该多项式化简后不含二次项，求代数式的值． 题型四、含绝对值的整式加减问题 典例4 若，且，则在数轴上表示，两数的对应点的距离为____． 题型模版 1.特征：整式加减中的绝对值问题. 2.方法：根据绝对值非负性及其性质进行化简求值即可． 变式4-1若，且，则________． 变式4-2已知a，b，c均为正整数，且，则的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 2．有理数a，b，c满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．当=______时，关于的多项式中不含有项． 4．若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 5．若，，则________． 6．已知，，若的值与x无关，则的值为________． 7．若实数，同时满足，，则______________． 8．若，，且，则__________． 9．代数式的最小值为__________． 10．已知，且，则的值为_____． 11．先化简，再求值：，其中，． 12．如果多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次．求m，n的值． 13．已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 14．先化简，再求值：，其中． 15．已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式值与字母x的取值无关，求代数式的值． 16．已知，． (1)若，求的值； (2)若代数式的值与字母x的取值无关，求y的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $