第4讲 代数式与整式的进阶 奥数培优讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

人教版初中数学竞赛培优讲义 ★ 第4讲 代数式与整式的进阶 人教版初中奥数培优讲义★★★★★ 第4讲 代数式与整式的进阶 ——恒等变形·因式分解·分式·根式—— 【课程信息】 适用年级 初中七年级（竞赛培优） 专题名称 代数式与整式的进阶 难度星级 ★★★★☆（进阶篇） 建议课时 3课时（120分钟） 核心方法 恒等变形五大技巧 前置知识 整式的加减、乘法公式初步 重点内容 因式分解六大方法、分式条件求值、根式化简 难点内容 待定系数法、系数和法、对称式双换元 例题数量 8道（含变式训练） 习题数量 12道（基础4/提升4/冲刺4） 【学习目标】 1. 熟练掌握七大乘法公式的正向与逆向运用，理解公式的结构特征，能在复杂代数式中识别公式模型。 2. 掌握整式恒等变形的五大技巧：整体代入、降次法、配方法、待定系数法、系数和法，能根据题目特征灵活选择。 3. 掌握因式分解六大方法（提公因式、公式法、十字相乘、分组分解、拆项添项、换元法），能根据多项式特征选择合适方法，分解到不能再分为止。 4. 掌握分式化简求值的核心技巧：先化简再代入、裂项相消、取倒数法、设比例系数，能处理复杂条件求值问题。 5. 掌握根式运算的核心技巧：分母有理化、共轭根式、复合根式化简、裂项相消，能准确处理含字母的二次根式。 【前言】 【思考问题】 如果直接展开计算 ，你需要展开多少项？有没有更巧妙的方法？ 【故事引入】 在数学竞赛中，有一道经典题目：计算 。如果逐项通分计算，需要计算 99 个分数的和，工作量巨大。但数学家发现了一个巧妙的规律：。利用这个"裂项"技巧，中间的分数全部抵消，答案瞬间得出：。 这就是代数式恒等变形的魅力——通过巧妙的变形，将复杂问题化为简单问题。本讲我们将系统学习代数式四大板块（整式、因式分解、分式、根式）的核心变形技巧，掌握"形变质不变"的核心思想，让你在竞赛中如鱼得水！ 一、知识导航 考点1 整式运算与恒等变形 图2 整式恒等变形五大技巧 【七大乘法公式】 ①平方差： ②完全平方： ③立方和： ④立方差： ⑤完全立方： ⑥三数和平方： ⑦欧拉公式： 【多项式除法】被除式=除式×商式+余式（余式次数<除式次数）。方法：竖式除法、待定系数法。 【恒等变形五大技巧】①整体代入 ②降次法 ③配方法 ④待定系数法 ⑤系数和法（=系数和，=偶次项系数和−奇次项系数和） 考点2 因式分解 图3 因式分解六大方法决策流程（一提二套三十字四分组五拆添六换元） 【定义】把一个多项式化成几个整式的积的形式。 【原则】①分解到不能再分；②结果为乘积；③首项系数为正。 【六大方法】 ①提公因式法： ②公式法：平方差、完全平方、立方和差等 ③十字相乘法： ④分组分解法：合理分组，组内分解，组间提公因式 ⑤拆项添项法：通过添项构造完全平方，再用平方差（如 ） ⑥换元法：将重复结构设为新元，简化后分解再回代 【常用结论】当 时，；二元对称式令 ，。 考点3 分式 【基本性质】分子分母同乘（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。 【运算技巧】 ①通分与约分：先因式分解，再找最简公分母 ②裂项相消： ③条件求值：先化简所求式，再将条件变形代入 ④设比例系数：若 ，设 ， ⑤取倒数法：分子简单分母复杂时，取倒数简化 考点4 根式及其运算 【二次根式性质】 ①（） ②（易错！不是 a） ③（） ④（） 【运算技巧】 ①分母有理化：乘共轭根式， ②共轭根式： ③换元法：复杂根式设新元，转化为整式或分式 ④复合根式：（，） ⑤比较大小：平方法、倒数法、分子有理化法 图1 本讲知识地图：代数式四大板块与方法总览 二、易错辨析 常见错误 正确做法 运用平方差公式时符号出错： 误算为 先确定相同项和相反项：相同项为−a，相反项为 b 和−b，结果 因式分解不彻底： 只分解到 继续分解 ，最终 分式化简时随意"约分"： 误约去 a 只有分子分母的公因式才能约去，a 不是公因式，不能约 取倒数法忘记倒回来，或忽略分母为0的情况 取倒数后求出结果，必须再取倒数还原；取倒数前要确认原分母不为0 直接等于 a，忽略 a 为负数的情况 ，当 时等于 a，当 时等于−a，必须分类讨论 分母有理化时符号错误： 误算为 分子分母同乘 ，结果 ，注意共轭根式符号 换元法分解后忘记回代，或回代时出错 换元求出结果后必须将新元换回原变量；回代后要检查能否继续分解 三、典例精讲 例1 整式运算——配方法与非负性 【方法标签】配方法 · 非负性 题目：已知实数 x, y 满足 ，求 的值。 分析：将 5 拆成 1+4，分别与 和 配成完全平方。两个非负数之和为 0，则每个都为 0，从而求出 x, y。 详解： 第1步：将 5 拆为 1+4： 第2步：配成完全平方： 第3步：由非负性：，，且和为 0， 故 ， 第4步：得 ， 第5步：代入求值： 【方法点睛】 配方法的关键是"加上一次项系数一半的平方"。当多个平方和为0时，每个平方都为0。这是整式求值中常用的非负性技巧。 【变式训练】 变式：已知实数 a, b 满足 ，求 的值。 【变式答案】，， （） 例2 整式运算——降次法与倒数关系 【方法标签】降次法 · 对称式 题目：已知 ，求 的值。 分析：由已知得 ，两边除以 x 得 。 利用完全平方公式 ，逐步升次求出 。 详解： 第1步：由 ，显然 ，两边除以 x：，即 第2步：两边平方：，所以 第3步：再两边平方： 第4步：所以 【方法点睛】 当已知条件可化为x+1/x=k时，利用完全平方公式可以逐步求出更高次的对称式x²+1/x²、x⁴+1/x⁴等。这比直接降次更简洁，是整式求值的经典技巧。 【变式训练】 变式：已知 ，求 的值。 【变式答案】， 例3 因式分解——分组分解与换元 【方法标签】分组分解 · 换元法 题目：分解因式：。 分析：前三项 是完全平方 ，中间两项 。设 换元后，原式变为 ，可用十字相乘分解。 详解： 第1步：分组：原式 第2步：前三项用完全平方： 第3步：设 ，则原式 第4步：十字相乘： 第5步：回代： 【方法点睛】 二次六项式如果前三项（或某三项）能配成完全平方，且其余项能用这个整体表示，就可以换元后用十字相乘分解。关键是观察到"整体"结构，换元后大大简化。 【变式训练】 变式：分解因式：。 【变式答案】 例4 因式分解——对称式双换元 【方法标签】换元法 · 对称式 题目：分解因式：。 分析：设 ，，则 ，。原式 ，用平方差公式展开即得。 详解： 第1步：设 ，，则 ， 第2步：原式 第3步：回代： 第4步：验证： 与 在实数范围内均不能继续分解，结果正确 【方法点睛】 对称式中，a²+b²和ab是两个基本对称元。设u=a²+b²，v=ab后，很多复杂对称式都能简化。注意分解后要检查是否还能继续分解。 【变式训练】 变式：分解因式：。 【变式答案】设 ，， 原式 例5 分式——取倒数法条件求值 【方法标签】取倒数法 · 条件求值 题目：已知 ，求 的值。 分析：直接求 x 很困难。对已知条件取倒数，得到 的关系；再对所求式取倒数，用 表示，最后倒回来。 详解： 第1步：由 ，取倒数得 第2步：即 ，所以 第3步：对所求式取倒数： 第4步： 第5步：所以 第6步：验证：由 得 ，即 ，代入原条件成立 图4 例5·取倒数法思维流程 【方法点睛】 取倒数法适用于分子是单项式、分母是多项式的分式条件。取倒数后可以拆成x+1/x的形式，再利用完全平方公式。注意最后要把倒数再倒回来，且要确认分母不为0。 【变式训练】 变式：已知 ，求 的值。 【变式答案】，，所求倒数 ，所以原式 例6 根式——分母有理化与裂项相消 【方法标签】分母有理化 · 裂项相消 题目：计算：。 分析：每一项的分母都是两个连续根式的和，用分母有理化后，每一项变成两个根式的差，相邻项中间全部抵消，只剩首项和末项。 详解： 第1步：对一般项：，分子分母同乘 第2步： 第3步：原式 第4步：中间项全部抵消， 图5 例6·根式有理化与裂项相消原理 【方法点睛】 根式裂项相消的关键是分母有理化后变成两个根式的差。当分母是 时，有理化后正好是 ，相邻项抵消。注意首项和末项不要漏， 要化简。 【变式训练】 变式：计算：。 【变式答案】原式 例7 整式综合——待定系数法与多项式整除 【方法标签】待定系数法 · 多项式除法 题目：已知多项式 能被 整除，求 a、b 的值。 分析：。能被整除意味着余式为零，被除式是 3 次，除式是 2 次，商式必为 1 次且首项系数为 1。设商式为 ，利用被除式=除式×商式，比较对应项系数求解。 详解： 第1步：计算除式： 第2步：设商式为 ，则 第3步：展开右边： 第4步：比较常数项：，得 第5步：比较 x² 项： 第6步：比较 x 项： 第7步：验证：，与被除式一致 【方法点睛】待定系数法的关键是根据次数确定商式的形式，再利用恒等式对应项系数相等列方程。常数项往往是突破口。多项式整除问题也可以用因式定理：若 是因式，则 ；若 是因式，则 ，列方程组求解。 【变式训练】 变式：若 能被 整除，求 p、q。 【变式答案】， 设商式 ，；；。 验证： 例8 整式综合——系数和法与赋值法 【方法标签】系数和法 · 赋值法 题目：已知 ，求：(1) ；(2) ；(3) 。 分析：系数和法的核心是赋值法：令 可得所有系数之和；令 可得偶次项系数和减去奇次项系数和。通过两式的加减可以分别求出偶次项系数和与奇次项系数和。 详解： 第1步：(1)令 ： 第2步：(2)令 ： 第3步：将 和 的结果相加： 第4步：所以 第5步：(3)将 和 的结果相减： 第6步：所以 第7步：验证：，与(1)的结果一致 【方法点睛】 系数和法（赋值法）是求多项式系数和的标准方法。记住三个常用赋值：①x=1→所有系数和；②x=−1→偶次项系数和−奇次项系数和；③x=0→常数项a₀。通过加减组合可以求出任意需要的系数和。 【变式训练】 变式：已知 ，求 和 。 【变式答案】：=所有系数和； ：； 相加：，所以 四、方法总结 方法 适用场景 操作要点 典型例题 配方法 含平方项和一次项的整式求值、非负性问题 加上一次项系数一半的平方，配成完全平方；利用非负性求变量 例1 降次法 已知二次方程求高次多项式的值 从已知方程得出 ，逐次将高次降为低次 例2 换元法 含重复结构的因式分解、对称式、复杂根式 将重复结构设为新元，简化后分解/计算，最后回代 例3、例4 取倒数法 分子为单项式、分母为多项式的分式条件求值 对已知和所求式分别取倒数，转化为 的形式，最后倒回 例5 裂项相消法 分式/根式求和（分母为连续乘积或连续根式和） 将每一项拆成两个分数/根式之差，相邻项抵消，只剩首末项 例6 待定系数法 多项式整除、恒等式求系数 根据次数设未知系数，利用恒等式比较对应项系数列方程 例7 系数和法 求多项式展开式的系数和 赋值法：x=1求全体系数和，x=−1求偶−奇，x=0求常数项 例8 拆项添项法 看似无法分解的多项式（如x⁴+4） 添加和减去相同项构造完全平方，再用平方差公式分解 习题B2 五、解题口诀 1. 代数式，不算难，先看结构再判断；整式运算用公式，平方差和完全平方。 2. 恒等变形有五招，整体代入降次法；配方待定系数和，五招灵活搭配用。 3. 因式分解有步骤，一提二套三十字；四分组来五拆添，六换元法是高招。 4. 分解一定要彻底，分到不能再分止；结果必须是乘积，留有加减不算完。 5. 分式运算先通分，分子分母看公因；约分只能约公因，不能随意约字母。 6. 条件求值有技巧，先化简来再代入；取倒数法设参数，裂项相消求和巧。 7. 根式化简看被开方，分母有理化是关键；共轭根式乘一乘，平方差里根号消。 8. 整体思想贯始终，能不求解就不求；代数式中寻规律，巧算胜过硬计算。 六、习题分层训练 说明：A组为基础过关，B组为能力提升，C组为挑战冲刺。建议先独立完成，再对照参考答案与解析。 A组 基础过关（4题） A1. 已知 ，求 的值。 A2. 分解因式：。 A3. 化简：。 A4. 化简：。 B组 能力提升（4题） B1. 已知多项式 能被 整除，求 a, b 的值。 B2. 分解因式：。 B3. 计算：。 B4. 化简：。 C组 挑战冲刺（4题） C1. 分解因式：。 C2. 已知 ，，求 的值。 C3. 已知 ，求：(1) ；(2) 。 C4. 已知实数 x, y, z 满足 ，，求 的值。 七、参考答案与详细解析 A组 A1 解析：由 得 。。原式 。 A2 解析：十字相乘： 拆成 ，−2 拆成 ，交叉相乘 ✓。所以 。 A3 解析：。除以 =乘以 =。 A4 解析：。。和 。 B组 B1 ， 解析：。设商式为 ，则 。比较常数项：。，。验证：✓。 B2 解析：添项法：。这是苏菲·姬曼定理（Sophie Germain 恒等式）的应用。 B3 解析：裂项：。原式 。 B4 解析：设 ，则 ，。解得 ，。所以 。验证：✓。 C组 C1 解析：重新组合：。设 ，原式 。 C2 解析：原式 。由 得 ，，。原式 。 C3 (1)；(2) 解析：(1)令 ：。(2)令 ：。两式相加：，所以 。 C4 解析：由 ，。利用 ，得 ，所以 。又 ，所以 。由 得 。所以 。 八、本讲小结 本讲系统学习了代数式四大板块的核心方法与竞赛技巧，是初中代数的基础与重点。 1. 整式运算：七大乘法公式要熟记并会逆用；恒等变形五大技巧（整体代入、降次法、配方法、待定系数法、系数和法）要根据题目特征灵活选择。配方法利用非负性求变量，降次法从二次方程逐次降次，待定系数法通过比较系数列方程，系数和法用赋值法求系数和。 2. 因式分解：按"一提二套三十字四分组五拆添六换元"的顺序尝试；分解到不能再分为止；换元后要回代。对称式双换元（u=a²+b², v=ab）是处理对称多项式的利器。 3. 分式：先化简再代入是基本原则；裂项相消、取倒数法、设比例系数是条件求值的常用技巧。取倒数法要记得最后倒回来，且确认分母不为0。 4. 根式：分母有理化是基本功；共轭根式要熟练运用；复合根式记住"设根号、比系数"的方法；√(a²)=|a|要分类讨论。根式裂项相消是求和的常用技巧。 5. 核心思想：恒等变形——形变质不变。先观察结构，再选择方法，最后规范变形并验证。能用整体不拆分，能用换元不硬算，这是代数式学习的最高境界。 解题总原则：先观察结构，再选择方法；能整体不拆分，能换元不硬算；公式记心间，巧算胜蛮力。 九、易错警示与学习建议 ⚠ 易错警示 1. 运用乘法公式时，注意区分"相同项"和"相反项"，符号是最容易出错的地方。建议每次用公式前先标注相同项和相反项。 2. 因式分解必须彻底！分解后检查每个因式是否还能继续分解。特别注意 、 等还能继续用平方差分解的情况。 3. 分式约分只能约去分子分母的公因式，不能"约去"分子分母中的某一项。 中的 a 不能约去！ 4. 取倒数法必须记得最后把倒数倒回来！且取倒数前要确认原分母不为0，否则会产生增根或错误。 5. ，不是 a！当 时，。在化简含有字母的二次根式时，必须先判断字母的正负性。 6. 分母有理化时，共轭根式的符号不要写错。 的共轭是 ，分子分母同乘后分母为 ，注意符号。 7. 换元法分解后必须回代！回代后要检查能否继续分解。对称式双换元回代后要检查 、 等因式是否还能继续分解。 8. 系数和法中， 得到的是"偶次项系数和−奇次项系数和"，不是"偶次项系数和"。需要与 的结果加减组合才能分别求出。 📖 学习建议 1. 公式熟记：将七大乘法公式制成卡片，每天默写一遍，做到脱口而出。特别注意公式的逆向运用（如因式分解就是乘法公式的逆用）。 2. 方法归类：每做一道因式分解题，先判断用哪种方法，将题目按方法分类整理，形成"方法—题型"对应表。按"一提二套三十字四分组五拆添六换元"的顺序尝试。 3. 错题整理：建立错题本，将做错的题按"公式用错""分解不彻底""符号错误""取倒数忘记倒回""符号"等类型归类，定期复习。 4. 一题多解：对于典型例题（如例5取倒数法、例8系数和法），尝试用多种方法求解，比较不同方法的优劣，培养灵活思维。 5. 限时训练：竞赛考试时间紧，平时练习要限时。A组每题3分钟、B组每题5分钟、C组每题8分钟，逐步提高速度。 6. 拓展阅读：推荐阅读《奥数教程》《数学奥林匹克小丛书》中代数式相关章节，拓展方法视野，提升代数变形能力。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 代数式变形有技巧，整式因式分式根式； 恒等变形是核心，形变质不变记心间！ 学科网（北京）股份有限公司 $