第三章 代数式全章高频重点题型突破（六大高频+三大重难题型，专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以“基础-提升-攻坚”三级进阶为框架，系统整合代数式核心题型，通过典型例题渗透整体思想、归纳法等解题方法，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|6类基础题型（含26题）|代数式书写规范、文字转符号、直接代入法|从概念识别到简单应用，构建代数式表达基础| |核心提升|3类重难题型（含19题）|整体代入求值、数形结合列式、规律探究归纳法|深化代数式工具性，衔接期中高频难点| |综合攻坚|综合应用（含15题）|实际问题建模、多方法综合运用|整合知识解决复杂情境，培养推理与应用意识|

第三章 代数式全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 代数式识别与书写规范判断（基础必考题） 题型2 文字描述转化列代数式（高频基础题） 题型3 正反比例简单应用 题型4 基础数字规律 题型5 生活实际应用题列式（购物、行程、数量） 题型6 直接代入求代数式的值 核心提升·重难题型归纳 题型1 整体代入求值（重难点、期中必考） 题型2 图形周长、面积列式（数形结合高频） 题型3 数字&图形规律探究（填空压轴） 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 代数式识别与书写规范判断（基础必考题） 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：2是代数式；是代数式；是代数式；是代数式；是不等式，不是代数式；是等式，不是代数式； 综上，代数式有4个． 故选：B． 2．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：∵代数式是指用运算符号连接数或字母的式子，或单独的数、字母，含有等号、不等号的式子不是代数式 ∴①（单独的数）是代数式， ②（数与字母的乘积）是代数式， ④（数与字母的除法）是代数式， ⑦（字母的乘方）是代数式， ③（含等号，是方程）不是代数式， ⑤（含等号，是公式）不是代数式， ⑥（含不等号，是不等式）不是代数式， 综上，代数式有①②④⑦，共个． 故选：C． 3．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列式子：①1；②；③；④；⑤，其中代数式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：① 1是数字，是代数式； ②是数字与字母的乘积，是代数式； ③含有等号，是方程，不是代数式； ④是除法运算，是代数式； ⑤含有不等号，是不等式，不是代数式； 代数式有①②④，共3个． 故选：B． 4．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【详解】解：①带分数作字母系数时，必须化为假分数，因此不符合要求； ②代数式中除法运算需要写成分数形式，不能直接使用除号，因此不符合要求； ③加减形式的代数式带单位时，需要给整体代数式加括号，因此人不符合要求； ④数字与数字相乘不能使用点乘，必须用乘号连接，因此不符合要求； ⑤符合代数式的书写要求． ∴符合书写要求的式子共1个，故选C． 5．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）下列代数式的书写格式规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵代数式书写规范要求：带分数应化为假分数，乘号应省略，除号应写成分数线，数字应写在字母前； A中是带分数，未化成假分数，不规范； B中含乘号和除号，未省略乘号且除号未写成分数线，不规范； C中含乘号，未省略，不规范； D中是分数系数，乘号省略，书写规范； 故选D． 6．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解： 符合代数式书写要求； 含有除号，应改为，不符合要求； 符合要求； 符合要求； 系数为带分数，应改为，不符合要求， 符合要求的有 、、，共个， 故选：B． ◆题型2 文字描述转化列代数式（高频基础题） 7．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米． A． B．at C． D． 【答案】A 【详解】∵原有水量为20立方米，进水速率为a立方米/小时，时间为t小时， ∴进水量为立方米， ∴总水量为立方米． 故选：A． 8．（25-26七年级上·北京·阶段检测）一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为百位上的数字是，表示个百，即， 因为十位上的数字是，表示个十，即， 因为个位上的数字是，表示个一，即， 所以表示这个三位数的式子应该是． 故选：D． 9．（24-25七年级下·河南郑州·开学考试）四年级同学参加兴趣小组，其中参加绘画小组的有a人，比参加书法小组的2倍少4，参加书法小组的有多少人？正确的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，书法小组的人数为， 故选：C． 10．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：每小时上升或下降．若初始温度为，经过小时后的温度可能表示为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】解：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升， 则经过小时后的温度可能表示为； ②若某日棚内温度变化规律为：每小时下降， 则经过小时后的温度可能表示为； 综上，经过小时后的温度可能表示为或． 11．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）早上，李明一家点了4碗二两的宜宾燃面，每碗元，付了元，应找回________元（用含，的代数式表示） 【答案】 【详解】解：由题意可知，每碗燃面元，4碗燃面的总花费为元， 已知付款金额为元，应找回的金额为付款金额减去总花费，即元． 12．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）若一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，它的百位数字为，十位数字为，个位数字为，用含，的式子表示这个三位数为___________ 【答案】 【详解】解：已知三位数中百位数字的计数单位为，十位数字的计数单位为，个位数字的计数单位为， 故当百位数字为时，百位对应的数值为， 当十位数字为时，十位对应的数值为， 当个位数字为时，个位对应的数值为， 将三个数位的数值相加，可得这个三位数为： ． ◆题型3 正反比例简单应用 13．（25-26七年级上·山东德州·期末）已知如表所示的和两个量成反比例关系，则“”处应填（    ） 6 5 A． B．3 C． D．5 【答案】A 【详解】解：∵ 和 成反比例关系， ∴ ． 设“”处的值为 ，则有：，，． 此选项符合题意． 故选：A． 14．（25-26七年级上·福建福州·期中）下面说法正确的是（   ） A．正方形的面积与边长成反比例关系 B．从平潭到福州的路程一定，行驶的时间与平均速度成反比例关系 C．完成一项工作，已完成的工作量与未完成的工作量成反比例关系 D．钢笔的单价一定时，购买的总价与钢笔数量成反比例关系 【答案】B 【详解】解：∵正方形的面积=边长×边长，面积÷边长=边长（不是定值） ∴正方形的面积与边长不成比例，A选项错误 ∵路程=行驶时间×平均速度，从平潭到福州的路程一定，即行驶时间与平均速度的乘积为定值 ∴行驶的时间与平均速度成反比例关系，B选项正确 ∵已完成工作量+未完成工作量=总工作量（和为定值），不是乘积或比值一定 ∴已完成的工作量与未完成的工作量不成比例，C选项错误 ∵总价÷钢笔数量=单价（一定），即比值为定值 ∴购买的总价与钢笔数量成正比例关系，D选项错误 故选：B． 15．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）判断反比例关系：下列各组的两个变量间成反比例关系的是__________（填序号）． ①销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系； ②等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长； ③三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高； ④圆的周长与它的半径． 【答案】③ 【详解】解：销售单价一定时，销售总价与销售数量成正比例关系，故①不符合题意; 等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长不成反比例关系，故②不符合题意； 三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高成反比例关系，故③符合题意； 圆的周长与它的半径成正比例关系，故④不符合题意； 故答案为：③. 16．（25-26七年级上·河北沧州·期中）一本《诗词大全》，小林每天读的页数和需要读的天数如表所示． 每天读的页数（页） 需要读的天数（天） (1)小林需要读的总页数为 页，“”盖住的数字为 ； (2)随着每天读的页数越来越多，需要读的天数将会怎样变化？ (3)设每天读的页数为，需要读的天数为，判断与之间成什么比例关系？ 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：观察表格数据可得：随着每天读的页数越来越多，需要读的天数将会越来越少； （3）解：∵， ∴与的关系是， ∴与成反比例关系． ◆题型4 基础数字规律 17．（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）如图，按此规律，第行最后一个数字是，第（　　）行最后一个数是． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：每一行的最后一个数分别是，，，， ∴第行的最后一个数字为， ∴当时，， ∴第行最后一个数是． 18．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）有一数列，前五个数依次为、、、、，…，则这个数列的第n项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 数列前五项：，，，， ， ∴分子为n，分母为，符号规律：n为奇数时为正，n为偶数时为负， ∵，当n为奇数时，为偶数，； 当n为偶数时，为奇数，， ∴ 第n项为， 故选：D． 19．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）观察下面的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，用代数式表示第行、第列的数，正确表示是（    ） 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 … 第1行 － － － － － 第2行 － － － － 第3行 － － － 第4行 － － … － A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格可知，第1行第1列的数为， 第2行第1列的数为， 第3行第1列的数为， 第4行第1列的数为， 归纳类推得：第行第1列的数为（为正整数）， 由表格可知，同一行中的数，随着列的增加，分母依次减1，分子等于其所在列对应的数字， 所以第行上的数依次为，，，， 所以第行、第列的数为（均为正整数）， 故选：B． 20．（25-26七年级下·西藏林芝·期中）数列，，，，，，第个数是______． 【答案】 【详解】解：由题干可得，第个数为，第个数为，第个数为，第个数为， 依此类推，归纳可得第个数为． 21．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）观察这一列数：，根据它们的排列规律写出第6个数是___________． 【答案】 【详解】解：观察数列可得排列规律： 符号规律：第奇数个数为负，第偶数个数为正， 分子规律：第个数的分子为， 分母规律：第个数的分母为， 第个数位于偶数位置． 符号为正．分子为．分母为． 第个数为． 22．（25-26七年级下·四川成都·期末）按一定规律排列的数：，，，，⋯，以此规律排列，第7个数是___． 【答案】 【详解】解：观察已知排列的数：第个数：， 第个数：， 第个数：， 第个数：， 由此可得规律，第个数为， 当时，代入得：． 23．（2026·陕西榆林·三模）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形，它第行两端的数均为，且每个数都是它下一行左右相邻两数的和，则第行从左到右第个数为_____． 【答案】 【详解】解：图中每一行第个数是，则 第二行第个数：， 第三行第个数：， 第四行第个数：， 第五行第个数：， 上述式子满足的规律是第行第个数可表示为， 则第行从左到右第个数为 ◆题型5 生活实际应用题列式（购物、行程、数量） 24．（25-26七年级上·福建福州·期末）一种商品每件进价元，商家在进价的基础上增加定为售价．回答下列问题： (1)每件商品加价了多少元？售价为多少元？ (2)现在由于库存积压，商家按原售价的9折出售，现售价为多少元？每件还能盈利多少元？ 【详解】（1）解：由题意得：每件商品加价了元， 每件商品的售价为元； 答：每件商品加价了元，售价为元； （2）解：由题意得：现售价为元； 每件还能盈利元． 25．（25-26七年级上·山东威海·期末）威海市居民使用自来水实行阶梯水价，按户年用水量分为三档，具体收费标准如下： 户年用水量 单价 不超过 3.70元 超过但不超过 5.35元 超过 8.70元 (1)某用户一年的用水量是，求该用户本年度应缴纳的水费？ (2)设某户年用水量为，当时，求该用户应缴纳的水费（用含x的整式表示）． 【详解】（1）解： （元）， 所以，该用户应缴纳的水费是1407.6元． （2）解：当时，则该用户应缴纳的水费为 元， 所以，该用户应缴纳的水费是元． 26．（24-25七年级上·云南保山·期末）综合与实践 【项目背景】 积极倡导并实践“低碳”生活是我们每一个人的社会责任．某中学七年级（2）班开展“低碳”生活实践活动． 【数据整理及应用】 任务1  计算生活中的“碳足迹” 下表是小隆同学查询相关资料计算出一家三人某月的“碳足迹”： 小隆家某月份“碳足迹”计算 序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量 1 家庭用电 2 水 3 液化气 0 4 汽油/柴油 5 鸡肉 6 牛肉 7 塑料袋 10个 8 中程飞机 1次 任务2   根据小隆同学家某月份“碳足迹”计算的相关信息，请你思考并写出三个问题． 任务3   已知每节约电可以减少碳排放，每减少汽油可以减少碳排放，如果小隆家计划未来6个月每月节约用电，每月节约汽油，则小隆家未来6个月中每个月可以从使用电及汽油方面减少多少的耗碳量？（用含的代数式表示） 根据所给信息，请完成任务2和任务3． 【详解】解：任务2： 问题1：每节约电的碳排放多少？ 问题2：每升汽油方面的耗碳量有多少？ 问题3：每千克的鸡肉方面和牛肉方面的耗碳量共有多少？ 任务3 ：根据题意得：每个月可以从使用电及汽油方面减少的耗碳量． 27．（24-25七年级上·全国·课后作业）青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路．青藏铁路上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段行驶的速度是，列车在冻土地段行驶时，根据已知数据求出列车行驶的路程． (1)行驶的路程是多少？呢？呢？呢？ (2)字母表示时间有什么意义？如果用表示速度，列车行驶的路程是多少？ (3)回顾以前所学过的知识，你还能举出用字母表示数或数量关系的例子吗？ 【详解】（1）解：行驶的路程是； 行驶的路程是； 行驶的路程是； 行驶的路程是； （2）解：字母表示列车在冻土地段行驶的时间； 用表示速度，列车行驶的路程是路程； （3）解：圆的面积（为圆的半径）． 28．（25-26七年级上·河南商丘·期末）十一黄金周期间，郑州动物园在7天假期中每天旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（单位：万人） (1)若9月30日的游客人数记为万人，请用含的代数式表示10月2日的游客人数； (2)请判断七天内游客人数最多的是哪天？游客人数是多少？ (3)若9月30日的游客人数为2万人，门票每人10元，问黄金周期间郑州动物园门票收入是多少元，并将求得的数据用科学记数法表达出来． 【详解】（1）解：由题意知，10月1日游客人数为万人 10月2日游客人数为万人 （2）解：10月1日游客人数为万人 10月2日游客人数为万人 10月3日游客人数为万人 10月4日游客人数为万人 10月5日游客人数为万人 10月6日游客人数为万人 10月7日游客人数为万人 10月3日游客人数最多，是万人； （3）解：当时， 七天游客总人数为 （万人） 门票总收入为（元） 答：黄金周期间郑州动物园门票收入是元． 29．（25-26七年级上·吉林·期末）根据以下素材完成任务： 如何制定奶茶订购方案 素材1：为庆祝七年(1)班获得运动会团体总分优胜奖，班主任李老师决定在某奶茶店订购单价为15元的奶茶共46杯奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式 店铺优惠活动 配送费 电话订购 每购买10杯奶茶，赠送1杯． 免费 某外卖下单 满20元起送（配送费另算），如有优惠券结算时可使用，每个订单只允许使用一张优惠券． 1元/单 注：下单后，每个订单结算时系统自动加收配送费． 素材2：该外卖平台赠送李老师6张优惠券（无门店限制）如下： ①1张“无门槛5元”优惠券；②2张“满28元可减13元”优惠券；③3张“满38元可减15元”优惠券． 问题1： ①李老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，共需花费 元； ②某顾客通过外卖下单： 若一单购买6杯奶茶，使用“满28元可减13元”优惠券则需花费 元；使用“满38元可减15元”优惠券则需花费 元．若一单购买杯奶茶，使用“无门槛5元”优惠券需花费 元； ③李老师在外卖分六次下单这46杯奶茶，并将6张优惠券全部使用，则她共花费了 元． 问题2：请帮助李老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过580元．确定订购的最低费用方式与数量：电话订购 杯，送 杯；外卖订购 杯．该方案订购总费用为 元． 问题3：若你现在打算共下四单外卖订购杯奶茶，则最低花费 元． 【详解】解：问题1：①电话订购，每购买10杯奶茶，赠送1杯， ∴李老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶中，购买40杯时，赠送了4杯，还需要购买2杯即可， ∴李老师需要花费：（元）， 故答案为：630； ②某顾客通过外卖下单，购买6杯奶茶，需要花费（元）， ∵每个订单结算时系统自动加收配送费， ∴需要花费（元）， 若使用“满28元可减13元”优惠券，则需要花费（元）； 若使用“满38元可减15元”优惠券，则需要花费（元）； 若一单购买杯奶茶，需要花费元，使用“无门槛5元”优惠券需花费（元）； 故答案为：78；76；； ③李老师在外卖分六次下单这46杯奶茶，并将6张优惠券全部使用， ∵，， ∴使用1张“无门槛5元”优惠券时，下单了1次，每次下单1杯，合计1杯， 需要花费：（元）； 使用2张“满28元可减13元”优惠券时，下单了2次，每次下单6杯，合计12杯， 需要花费：（元）； 使用3张“满38元可减15元”优惠券时，下单了3次，每次下单11杯，合计33杯， 需要花费：（元）； ∴共花费（元）， 故答案为：620； 问题2：∵电话订购，每购买10杯奶茶，赠送1杯， ∴结合问题1中的情况，电话订购30杯，送3杯，需要花费（元）， 外卖订购分5次下单杯， 使用2张“满28元可减13元”优惠券时，分2次下单，每次2杯，共4杯，花费（元）， 使用3张“满38元可减15元”优惠券时，分3次下单，每次3杯，共9杯，花费（元）， ∴共花费（元）， 故答案为：579； 问题3：共下四单外卖订购杯奶茶， 当时， 使用2张“满28元可减13元”优惠券时，分2次下单，每次2杯，共4杯，花费（元）， 使用2张“满38元可减15元”优惠券时，分2次下单，每次3杯，共6杯，花费（元）， ∴共花费（元）； 当时，为使花费最少，应使用优惠力度最大的4张优惠券， 即3张“满38元可减15元”的优惠券和1张“满28元可减13元”优惠券， ∴总花费为奶茶费用与4次配送费之和减去4张优惠券的总优惠金额， ∴共花费（元）， 故答案为：当时为98；当时为． ◆题型6 直接代入求代数式的值 30．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【详解】（1）解：当时， 原式 ； （2）解：当时， 原式 ； 31．（24-25七年级上·新疆巴州·期中）已知有理数a，b满足，且数轴正半轴上表示数c的点C到原点的距离是3，求的值． 【答案】9 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵数轴正半轴上表示数c的点C到原点的距离是3， ∴， ∴． 32．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）已知，．若，求的值． 【答案】或 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为或． 33．（25-26七年级上·湖北荆门·期末）已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，m的绝对值是2，求式子的值． 【答案】或 【详解】解： a和b互为相反数，c和d互为倒数，m的绝对值是2， ， 当时， ； 当时， ． 34．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）我们把称为a的差倒数．如的差倒数．已知y是x的差倒数，且，求y的值． 【答案】 【详解】解：∵，y是x的差倒数， ∴． ◆题型1 整体代入求值（重难点、期中必考） 35．（25-26七年级下·云南昭通·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：， ， ． 36．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若x，y互为相反数，m，n互为倒数，a的绝对值是5，求代数式的值． 【答案】或9 【详解】解：∵x，y互为相反数，m，n互为倒数，a的绝对值是5， ∴，，， ∴， 当时， ； 当时， ． 综上所述，代数式的值为或9． 37．（25-26七年级上·四川凉山·期末）【阅读理解】整体思想是一种重要的数学思想．当题目中的字母取值不确定或不易求出时，我们可以将含有这些字母的代数式看作一个“整体”，直接代入所求的代数式进行求值．例如：已知，求的值．我们可以将看作一个整体，则． (1)已知，求的值； (2)若代数式的值为10，求代数式的值； (3)已知当时，代数式的值为2024，求当时，代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵代数式的值为10， ∴，即， ∵， ∴原式； （3）解：∵当时，代数式的值为2024， ∴,即， 当时，， ∴， ∵， ∴原式． 38．（25-26七年级上·四川乐山·期末）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．以下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为_______． 阅读理解： 小乐在做作业时采用的方法如下： ， ， ， ∴代数式的值为5． 方法运用： （1）若代数式，则代数式_______； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 拓展运用： （3）已知，，，求的值； （4）已知，的值为最大负整数，求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：11； （2）解：把代入，得 ， ， 当时， ； （3）解：当，时， ， 当，即时， ∴原式； （4）解：∵的值为最大负整数， ∴， ∵， ∴    ． ◆题型2 图形周长、面积列式（数形结合高频） 39．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，长方形的长为，宽为．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出四分之一圆． (1)用含，的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求图中阴影部分的面积．（取） 【详解】（1）解：根据题意知，阴影部分的面积为； （2）解：当，时， 阴影部分的面积为． 40．（25-26七年级上·河南安阳·期末）如图，池塘边有一块长为、宽为的长方形土地，现在将其余三面留出宽都是的小路，中间余下的长方形部分为菜地 (1)菜地的长______m，菜地的宽______m；（用含x的代数式表示） (2)用含x的代数式表示菜地的周长C，并求当时，菜地的周长C． 【详解】（1）解：菜地的长，菜地的宽； （2）解：菜地的周长C为． 当时，菜地的周长为：． 41．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为． (1)这条跑道的周长为 （用含的代数式表示）； (2)当时，求这条跑道的周长．（取3.14，结果取整数） 【详解】（1）解：这条跑道的周长为∶， 故答案为：． （2）解：当取3.14时， ． 答：这条跑道的周长为． 42．（25-26七年级下·广东清远·期末）如图，在一个边长为的正方形的四个角处都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请用含的代数式表示． (2)当小正方形的边长为时，求出此时阴影部分的面积． (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积， ∵大正方形的边长为，小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为， ∴． （2）解：当时，， 答：此时阴影部分的面积为． （3）解：当时，， 当时，， ∵， ∴阴影部分的面积减小了． 43．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）如图，将边长为a的正方形纸片剪去一个边长为的小正方形，剩余部分沿实线剪开后拼成一个长方形（无重叠、无缝隙）． (1)用含a、b的代数式分别表示拼成的长方形的长和宽； (2)分别计算剪拼前后图形的面积（用含a、b的代数式表示），并根据结果写出一个关于a、b的等式； (3)利用（2）中的等式，计算的值． 【详解】（1）解：由图可得，拼成的长方形的长为，宽为； （2）解：由图可得，剪拼前的面积为， 剪拼后的面积为， ∴得到的等式为； （3）解：由（2）得： ． 44．（25-26七年级上·吉林·期末）综合与实践 如图是某校田径运动场平面图，运动场跑道由直跑道和半环形跑道组成，最中间（即阴影部分）长方形的长为，环形跑道内侧半圆的半径为，跑道宽为． (1)用含有，的代数式表示跑道内侧的周长为______； (2)用含有，，的代数式表示跑道外侧的周长为______； (3)当，时，求小强沿着跑道内侧跑一圈的路程．（取）． 【详解】（1）解：∵最中间（即阴影部分）长方形的长为，环形跑道内侧半圆的半径为， ∴跑道内侧的周长为， 故答案为：． （2）解：∵最中间（即阴影部分）长方形的长为，环形跑道内侧半圆的半径为，跑道宽为， ∴跑道外侧的周长为， 故答案为：． （3）解：当，，取时，． ∴当，时，小强沿着跑道内侧跑一圈的路程为． 45．（25-26七年级上·广东茂名·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】小明同学经过一番思考后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， 计算时，小彬同学是这样思考的：设① 将等式两边同时乘得② 将①减去②得，即， 即， (1)【过程思考】图中阴影部分的面积是____； (2)根据以上规律，可得_____；____；（为正整数） (3)【知识迁移】请你借助小彬同学的方法，求的值． 【详解】（1）解：由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， ∴图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等． 又∵第①部分的面积为：， 第②部分的面积为：， 第③部分的面积为：， …， 依次类推，第n部分的面积为． 当时，． ∴阴影部分的面积为； （2）解：设， ∴， ∴，即； 设， 将等式两边同时乘以得：②， 将①减去②得， 即，即； （3）解：令①， 将等式两边同时乘以2得：②， 将②式减去①式得， 即． ◆题型3 数字&图形规律探究（填空压轴） 46．（25-26七年级上·福建福州·期中）如图，李明用棋子摆出一组形如小彩旗的图形，按照这种方法摆下去，当要摆第2025图形时需要棋子的枚数是（    ） A．6073 B．6074 C．6075 D．6076 【答案】D 【详解】解：∵第个图形点的个数为：， 第个图形点的个数为：， 第个图形点的个数为：， 第个图形点的个数为：， ∴第个图形点的个数为： ， ∴第2025个图形点的个数为：， 故选D． 47．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是(     ) A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴ ∴该数列以三个数为一个周期循环 ∵，刚好整除 ∴ 故选：C． 48．（25-26七年级上·四川成都·期末）设一列数，，，，中任意三个相邻数之和都是15，已知，，，那么_____． 【答案】4 【详解】解：∵任意三个相邻数之和都是15， ∴，， 两式相减得， ∴数列周期为3． ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴， ， ， ． ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 49．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成如图所示的图形．设第个图中有个“△”，个“★”，则与之间的数量关系为________． 【答案】 【详解】由所给图形可知， 图1中“△”的个数为，“★”的个数为； 图2中“△”的个数为，“★”的个数为； 图3中“△”的个数为，“★”的个数为， … 所以图中“△”的个数为个，“★”的个数为个． ， ． ． 故答案为：． 50．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）1261年，我国南宋数学家杨辉（13世纪）在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作法本源图”，如图所示，并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术．”这幅图被后人称为“贾宪三角”．“贾宪三角”中蕴含了许多数字的规律，按照它的构造规则可知：从左边数第3条斜线的第个数是_________（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：由题意和图可知： 从左边数第3条斜线的第1个数是：1； 从左边数第3条斜线的第2个数是：； 从左边数第3条斜线的第3个数是：； 从左边数第3条斜线的第4个数是：； 依次类推： 从左边数第3条斜线的第个数是：； 故答案为：． 51．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算． 【详解】（1）解：观察等式可知，第5个等式：． （2）解：观察等式可知，第个等式：． （3）解：由题意得： ． 52．（25-26七年级下·四川成都·期末）任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，若积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程…例如，若三位数832，按以上规则进行运算依次可得到：832，766，669，999，999，… (1)若三位数123，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________； (2)若三位数205，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________；若输入三位数788，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________； (3)由上面的举例，你能得出什么结论？ 【详解】（1）解：三位数：123， 第1次：百位，十位，个位，得326， 第2次：百位，十位，个位，得963， 第3次：百位，十位，个位，得999， 第4次及以后：999运算后仍为999，不再变化． 因此第2026次运算结果为999． （2）解：三位数：205， 第1次：百位，十位，个位，得100， 第2次：百位，十位，个位，得000， 第3次及以后：000运算后仍为000，不再变化． 因此第2026次运算结果为000． 三位数：788， 第1次：百位，十位，个位，得221， 第2次：百位，十位，个位，得242， 第3次：百位，十位，个位，得488， 第4次：百位，十位，个位，得551， 第5次：百位，十位，个位，得575， 第6次：百位，十位，个位，得788， 周期为6．，余数4对应第4次结果， 故第2026次运算结果为551． (3)结论：任意三位数按照题干规则重复运算，最终都会进入固定状态：要么稳定为同一个数不再变化，要么按固定周期循环往复． 当三位数不含数字0，且三个数字中至少有一个是3、6、9时，经过若干次运算后，结果最终会稳定为999，之后不再变化． 当三位数不含数字0，且三个数字都不是3、6、9时，最终会进入固定周期的循环，重复出现一组数字． 当三位数中含有数字0时，经过若干次运算后，结果最终会稳定为000，之后不再变化． 1．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列式子：①1；②2a；③；④；⑤；⑥，其中代数式有（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【详解】解：①1；②2a；③；④；⑤；⑥中，①②④为代数式；③⑤⑥中的式子含有等号或不等号，不是代数式； 故选B． 2．（25-26七年级上·河南开封·期中）在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：应写出，故①错误； ，书写正确，故②正确； ，应写成：，故③错误； ，书写正确，故④正确； ，书写错误，故⑤错误； 应写成，故⑥错误； 则符合代数式书写要求的有2个． 故选：A． 3．（25-26七年级上·河南信阳·期末）某轮船先顺水航行，后逆水航行，已知轮船在静水中的速度为．水流速度为，则轮船共航行了（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得，顺水速度为，逆水速度为， ∴顺水航行的路程为，逆水航行的路程为， ∴总航行路程为． 故选：B． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，这是一个对于正整数x的循环迭代的计算程序．根据该程序指令，若第一次输入x的值是5时，那么第一次输出的值是16；把第一次输出的值再次输入，那么第二次输出的值是4；重复这个过程，则第2026次输出的值是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】解：第三次输入4，输出的数为； 第四次输入1，输出的数为； 第五次输入4，输出的数为； ...... ∴输出的数分别为， 即从第二次输出开始，偶数次输出的数为4， ∴第2026次输出的值是． 5．（25-26七年级上·福建漳州·期末）数学实践课研究“低多边形风格”，小漳将五边形区域分割成若干个三角形．他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．当五边形内有2026个点时，可分得三角形个数为（    ） A． B． C．4057 D．4055 【答案】D 【详解】解：由所给图形可知， 当五边形内有1个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有2个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有3个点时，可分得的三角形的个数为：； ……； 所以当五边形内有n个点时，可分得的三角形的个数为个， 所以当五边形内有2026个点时，可分得的三角形的个数为． 故选：D． 6．（25-26七年级下·山西运城·期末）某校为进一步落实中小学每天不少于两小时的综合体育活动，更好地开展篮球课，计划购买一批篮球，体育用品商店里每个篮球的标价为120元，商家推出了如下优惠方案：若购买篮球的数量不超过15个，不享受优惠方案；购买15个以上时，超过部分按标价的八折出售．该校购买个篮球的总费用为元，则与的关系式为______． 【答案】，其中为正整数 【详解】解：∵购买个篮球，满足， ∴总费用由两部分组成，分别是前15个的费用和超过15个部分的费用， 计算前15个的费用：元， 超过15个的数量为个，超过部分每个的价格为元， 因此超过部分的总费用为元， ∴总费用， 展开整理得： ， 即与的关系式为； 7．（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期末）某车间每天需要完成一定量的零件生产任务，每名工人每天生产的零件件数和需要安排的工人人数如下表： 每名工人每天生产的零件件数 60 40 30 … 需要安排的工人人数 2 3 4 … 每名工人每天生产的零件件数和需要安排的工人人数成____________比例关系．（填“正”或“反”） 【答案】反 【详解】解：设每名工人每天生产的零件件数为x，需要安排的工人人数为y． 由表格可得： 当时，，； 当时，，； 当时，，． 可见x与y的乘积一定，故成反比例关系． 故答案为：反． 8．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是______．（保留幂的形式） 【答案】 【详解】解：由图可知，； ； ； ； ， ； ， ∴． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·全国·期末）探索规律：如图所示的图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中图（1）一共有2个五角星，图（2）一共有8个五角星，图（3）一共有18个五角星，…，则图（n）中五角星的个数为_____（用含n的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：第（1）个图形中五角星的个数为； 第（2）个图形中五角星的个数为； 第（3）个图形中五角星的个数为； 第（4）个图形中五角星的个数为； 所以第（）个图形中五角星的个数为． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·吉林·期末）如图，文山七都古镇计划修建一座花坛，花坛呈长方形，两端四分之一圆铺设草地，中间空白区域铺设鹅卵石． (1)用含、的代数式表示铺设鹅卵石的面积（结果保留）； (2)若米，米，每铺平方米鹅卵石需元，每铺平方米草地需元，求铺这个花坛共需花费多少元？（取） 【详解】（1）解：∵长方形面积为，两个四分之一圆的面积和为， ∴； （2）解：当，，时， （平方米）， 草地面积为（平方米）， 总花费（元）． 11．（25-26七年级上·福建漳州·期末）为鼓励人们节约用水，某地实行阶梯式计量水价（如表所示）． 级别 月用水量 水价 第1级 20吨以下（含20吨） 2元/吨 第2级 20吨至30吨（含30吨） 超过20吨部分按2.4元/吨 第3级 30吨以上 超过30吨部分按4.8元/吨 (1)若小明家4月份用水量为16吨，则该月需缴纳水费多少元； (2)若小红家5月份用水量为a吨，请计算该月需缴纳水费多少元？（用含a的代数式表示） 【详解】（1）解：∵， ∴（元）． 答：该月需缴水费为32元； （2）解：当时，水费为元， 当时，水费为元， 当时，水费为元． 12．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如表所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以．所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 (1)若代数式的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为10，求当时，代数式的值． 【详解】（1）解：根据题意得， ∴． ∴ ； （2）解：∵当时，代数式的值为10， ∴， ∴， 当时， ． 13．（25-26七年级上·广东汕尾·阶段检测）把一瓶果汁平均分成若干杯，分得的杯数和每杯的果汁量如下表所示： 分得的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/ 100 120 200 (1)请把上表补充完整． (2)分得的杯数和每杯的果汁量有什么关系？为什么？ (3)如果把这些果汁平均分成10杯，那么每杯的果汁量是多少毫升？ 【详解】表格补充如下： 分得的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/ 100 120 150 200 解：一瓶果汁共有，， （2）解：成反比例关系； 因为每杯的果汁量分得的杯数， 所以分得的杯数和每杯的果汁量是反比例关系； （3）解：， 答：每杯的果汁量是60毫升． 14．（25-26七年级下·河南郑州·期末）“数理致远”数学兴趣小组探究如下问题： 从1，2，3，…，n为整数，且这个整数中任取6个整数，这6个整数之和共有多少种不同的结果？ 【分析问题】 我们采取特殊化的策略，先从最简单的特殊化情形入手，再将一般问题转化为特殊问题，从而找出解决问题的方法． 【解决问题】 (1)特殊化1：从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． 特殊化2：从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，任意2个整数之和中最小的是： ，最大的是 ，所以共有 种不同的结果． 特殊化3：从1，2，3，…，10这10个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果． (2)验证结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这个整数中任取6个整数，这6个整数之和共有多少种不同的结果，说明理由．（结果用含的式子表示） (3)迁移应用：从60张面值分别为1元、2元、3元、…、60元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券并把面值相加，共有 种不同的金额． 【详解】（1）解：特殊化2：由题意得：从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数， 所取的2个整数 1，2 1，3 1，4 1，5 2，3 2，4 2，5 3，4 3，5 4，5 2个整数之和 3 4 5 6 5 6 7 7 8 9 其中它们和的最小值为，最大值为， 所以这两个整数之和共有种情况； 特殊化3：类比特殊化1和2可知：从1，2，3，4，…，10这10个整数中任取3个整数，其中它们和的最小值为，最大值为， 所以这3个整数之和共有种情况． （2）解：由（1）可知：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这个整数中任取6个整数，其中它们和的最小值为，最大值为， 所以这6个整数之和共有种情况． （3） 解：由（1）（2）规律可得：从60张面值分别为1元、2元、3元、…、60元的奖券中面值为整数，任意抽取5张奖券，其中它们和的最小值为，最大值为，所以其面值之和共有种情况． 15．（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．    材料一：最常用的是十进制，例如：6273中的6表示6个千，2表示2个百，7表示7个十，3表示3个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数1101的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除2取余法，以此类推，8进制就是除8取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为：；八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为__________，逢__________进一． (2)问题解决：十进制63对应的二进制数为__________，二进制对应的十进制数为__________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示12年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，，．其中代表10，代表11.请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数． (4)拓展应用：将二进制数转化为七进制数是多少？（思路：先将二进制数转化为十进制数，再转化为七进制数） 【详解】（1）解：六进制的基数为6，逢六进一， （2）解：运用除2取余法，如图所示，    ∴十进制63对应的二进制数为：， 二进制对应的十进制的数为：， （3）解：将十二进制转化为十进制数为：， （4）解：先将转化为十进制数为：， 运用除7取余法，如图所示，    将所得的十进制数转化为七进制数为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 代数式全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 代数式识别与书写规范判断（基础必考题） 题型2 文字描述转化列代数式（高频基础题） 题型3 正反比例简单应用 题型4 基础数字规律 题型5 生活实际应用题列式（购物、行程、数量） 题型6 直接代入求代数式的值 核心提升·重难题型归纳 题型1 整体代入求值（重难点、期中必考） 题型2 图形周长、面积列式（数形结合高频） 题型3 数字&图形规律探究（填空压轴） 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 代数式识别与书写规范判断（基础必考题） 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列式子：①1；②；③；④；⑤，其中代数式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）下列代数式的书写格式规范的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ◆题型2 文字描述转化列代数式（高频基础题） 7．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米． A． B．at C． D． 8．（25-26七年级上·北京·阶段检测）一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·河南郑州·开学考试）四年级同学参加兴趣小组，其中参加绘画小组的有a人，比参加书法小组的2倍少4，参加书法小组的有多少人？正确的算式是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：每小时上升或下降．若初始温度为，经过小时后的温度可能表示为（     ） A． B． C．或 D． 11．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）早上，李明一家点了4碗二两的宜宾燃面，每碗元，付了元，应找回________元（用含，的代数式表示） 12．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）若一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，它的百位数字为，十位数字为，个位数字为，用含，的式子表示这个三位数为___________ ◆题型3 正反比例简单应用 13．（25-26七年级上·山东德州·期末）已知如表所示的和两个量成反比例关系，则“”处应填（    ） 6 5 A． B．3 C． D．5 14．（25-26七年级上·福建福州·期中）下面说法正确的是（   ） A．正方形的面积与边长成反比例关系 B．从平潭到福州的路程一定，行驶的时间与平均速度成反比例关系 C．完成一项工作，已完成的工作量与未完成的工作量成反比例关系 D．钢笔的单价一定时，购买的总价与钢笔数量成反比例关系 15．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）判断反比例关系：下列各组的两个变量间成反比例关系的是__________（填序号）． ①销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系； ②等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长； ③三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高； ④圆的周长与它的半径． 16．（25-26七年级上·河北沧州·期中）一本《诗词大全》，小林每天读的页数和需要读的天数如表所示． 每天读的页数（页） 需要读的天数（天） (1)小林需要读的总页数为 页，“”盖住的数字为 ； (2)随着每天读的页数越来越多，需要读的天数将会怎样变化？ (3)设每天读的页数为，需要读的天数为，判断与之间成什么比例关系？ ◆题型4 基础数字规律 17．（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）如图，按此规律，第行最后一个数字是，第（　　）行最后一个数是． A． B． C． D． 18．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）有一数列，前五个数依次为、、、、，…，则这个数列的第n项是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）观察下面的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，用代数式表示第行、第列的数，正确表示是（    ） 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 … 第1行 － － － － － 第2行 － － － － 第3行 － － － 第4行 － － … － A． B． C． D． 20．（25-26七年级下·西藏林芝·期中）数列，，，，，，第个数是______． 21．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）观察这一列数：，根据它们的排列规律写出第6个数是___________． 22．（25-26七年级下·四川成都·期末）按一定规律排列的数：，，，，⋯，以此规律排列，第7个数是___． 23．（2026·陕西榆林·三模）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形，它第行两端的数均为，且每个数都是它下一行左右相邻两数的和，则第行从左到右第个数为_____． ◆题型5 生活实际应用题列式（购物、行程、数量） 24．（25-26七年级上·福建福州·期末）一种商品每件进价元，商家在进价的基础上增加定为售价．回答下列问题： (1)每件商品加价了多少元？售价为多少元？ (2)现在由于库存积压，商家按原售价的9折出售，现售价为多少元？每件还能盈利多少元？ 25．（25-26七年级上·山东威海·期末）威海市居民使用自来水实行阶梯水价，按户年用水量分为三档，具体收费标准如下： 户年用水量 单价 不超过 3.70元 超过但不超过 5.35元 超过 8.70元 (1)某用户一年的用水量是，求该用户本年度应缴纳的水费？ (2)设某户年用水量为，当时，求该用户应缴纳的水费（用含x的整式表示）． 26．（24-25七年级上·云南保山·期末）综合与实践 【项目背景】 积极倡导并实践“低碳”生活是我们每一个人的社会责任．某中学七年级（2）班开展“低碳”生活实践活动． 【数据整理及应用】 任务1  计算生活中的“碳足迹” 下表是小隆同学查询相关资料计算出一家三人某月的“碳足迹”： 小隆家某月份“碳足迹”计算 序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量 1 家庭用电 2 水 3 液化气 0 4 汽油/柴油 5 鸡肉 6 牛肉 7 塑料袋 10个 8 中程飞机 1次 任务2   根据小隆同学家某月份“碳足迹”计算的相关信息，请你思考并写出三个问题． 任务3   已知每节约电可以减少碳排放，每减少汽油可以减少碳排放，如果小隆家计划未来6个月每月节约用电，每月节约汽油，则小隆家未来6个月中每个月可以从使用电及汽油方面减少多少的耗碳量？（用含的代数式表示） 根据所给信息，请完成任务2和任务3． 27．（24-25七年级上·全国·课后作业）青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路．青藏铁路上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段行驶的速度是，列车在冻土地段行驶时，根据已知数据求出列车行驶的路程． (1)行驶的路程是多少？呢？呢？呢？ (2)字母表示时间有什么意义？如果用表示速度，列车行驶的路程是多少？ (3)回顾以前所学过的知识，你还能举出用字母表示数或数量关系的例子吗？ 28．（25-26七年级上·河南商丘·期末）十一黄金周期间，郑州动物园在7天假期中每天旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（单位：万人） (1)若9月30日的游客人数记为万人，请用含的代数式表示10月2日的游客人数； (2)请判断七天内游客人数最多的是哪天？游客人数是多少？ (3)若9月30日的游客人数为2万人，门票每人10元，问黄金周期间郑州动物园门票收入是多少元，并将求得的数据用科学记数法表达出来． 29．（25-26七年级上·吉林·期末）根据以下素材完成任务： 如何制定奶茶订购方案 素材1：为庆祝七年(1)班获得运动会团体总分优胜奖，班主任李老师决定在某奶茶店订购单价为15元的奶茶共46杯奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式 店铺优惠活动 配送费 电话订购 每购买10杯奶茶，赠送1杯． 免费 某外卖下单 满20元起送（配送费另算），如有优惠券结算时可使用，每个订单只允许使用一张优惠券． 1元/单 注：下单后，每个订单结算时系统自动加收配送费． 素材2：该外卖平台赠送李老师6张优惠券（无门店限制）如下： ①1张“无门槛5元”优惠券；②2张“满28元可减13元”优惠券；③3张“满38元可减15元”优惠券． 问题1： ①李老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，共需花费 元； ②某顾客通过外卖下单： 若一单购买6杯奶茶，使用“满28元可减13元”优惠券则需花费 元；使用“满38元可减15元”优惠券则需花费 元．若一单购买杯奶茶，使用“无门槛5元”优惠券需花费 元； ③李老师在外卖分六次下单这46杯奶茶，并将6张优惠券全部使用，则她共花费了 元． 问题2：请帮助李老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过580元．确定订购的最低费用方式与数量：电话订购 杯，送 杯；外卖订购 杯．该方案订购总费用为 元． 问题3：若你现在打算共下四单外卖订购杯奶茶，则最低花费 元． ◆题型6 直接代入求代数式的值 30．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 31．（24-25七年级上·新疆巴州·期中）已知有理数a，b满足，且数轴正半轴上表示数c的点C到原点的距离是3，求的值． 32．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）已知，．若，求的值． 33．（25-26七年级上·湖北荆门·期末）已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，m的绝对值是2，求式子的值． 34． （25-26七年级上·安徽铜陵·期末）我们把称为a的差倒数．如的差倒数．已知y是x的差倒数，且，求y的值． ◆题型1 整体代入求值（重难点、期中必考） 35．（25-26七年级下·云南昭通·期中）已知，求代数式的值． 36．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若x，y互为相反数，m，n互为倒数，a的绝对值是5，求代数式的值． 37．（25-26七年级上·四川凉山·期末）【阅读理解】整体思想是一种重要的数学思想．当题目中的字母取值不确定或不易求出时，我们可以将含有这些字母的代数式看作一个“整体”，直接代入所求的代数式进行求值．例如：已知，求的值．我们可以将看作一个整体，则． (1)已知，求的值； (2)若代数式的值为10，求代数式的值； (3)已知当时，代数式的值为2024，求当时，代数式的值． 38．（25-26七年级上·四川乐山·期末）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．以下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为_______． 阅读理解： 小乐在做作业时采用的方法如下： ， ， ， ∴代数式的值为5． 方法运用： （1）若代数式，则代数式_______； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 拓展运用： （3）已知，，，求的值； （4）已知，的值为最大负整数，求的值． ◆题型2 图形周长、面积列式（数形结合高频） 39．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，长方形的长为，宽为．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出四分之一圆． (1)用含，的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求图中阴影部分的面积．（取） 40．（25-26七年级上·河南安阳·期末）如图，池塘边有一块长为、宽为的长方形土地，现在将其余三面留出宽都是的小路，中间余下的长方形部分为菜地 (1)菜地的长______m，菜地的宽______m；（用含x的代数式表示） (2)用含x的代数式表示菜地的周长C，并求当时，菜地的周长C． 41．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为． (1)这条跑道的周长为 （用含的代数式表示）； (2)当时，求这条跑道的周长．（取3.14，结果取整数） 42．（25-26七年级下·广东清远·期末）如图，在一个边长为的正方形的四个角处都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请用含的代数式表示． (2)当小正方形的边长为时，求出此时阴影部分的面积． (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 43．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）如图，将边长为a的正方形纸片剪去一个边长为的小正方形，剩余部分沿实线剪开后拼成一个长方形（无重叠、无缝隙）． (1)用含a、b的代数式分别表示拼成的长方形的长和宽； (2)分别计算剪拼前后图形的面积（用含a、b的代数式表示），并根据结果写出一个关于a、b的等式； (3)利用（2）中的等式，计算的值． 44．（25-26七年级上·吉林·期末）综合与实践 如图是某校田径运动场平面图，运动场跑道由直跑道和半环形跑道组成，最中间（即阴影部分）长方形的长为，环形跑道内侧半圆的半径为，跑道宽为． (1)用含有，的代数式表示跑道内侧的周长为______； (2)用含有，，的代数式表示跑道外侧的周长为______； (3)当，时，求小强沿着跑道内侧跑一圈的路程．（取）． 45．（25-26七年级上·广东茂名·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】小明同学经过一番思考后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， 计算时，小彬同学是这样思考的：设① 将等式两边同时乘得② 将①减去②得，即， 即， (1)【过程思考】图中阴影部分的面积是____； (2)根据以上规律，可得_____；____；（为正整数） (3)【知识迁移】请你借助小彬同学的方法，求的值． ◆题型3 数字&图形规律探究（填空压轴） 46．（25-26七年级上·福建福州·期中）如图，李明用棋子摆出一组形如小彩旗的图形，按照这种方法摆下去，当要摆第2025图形时需要棋子的枚数是（    ） A．6073 B．6074 C．6075 D．6076 47．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是(     ) A． B． C．4 D． 48．（25-26七年级上·四川成都·期末）设一列数，，，，中任意三个相邻数之和都是15，已知，，，那么_____． 49．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成如图所示的图形．设第个图中有个“△”，个“★”，则与之间的数量关系为________． 50．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）1261年，我国南宋数学家杨辉（13世纪）在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作法本源图”，如图所示，并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术．”这幅图被后人称为“贾宪三角”．“贾宪三角”中蕴含了许多数字的规律，按照它的构造规则可知：从左边数第3条斜线的第个数是_________（用含的代数式表示） 51．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算． 52．（25-26七年级下·四川成都·期末）任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，若积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程…例如，若三位数832，按以上规则进行运算依次可得到：832，766，669，999，999，… (1)若三位数123，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________； (2)若三位数205，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________；若输入三位数788，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________； (3)由上面的举例，你能得出什么结论？ 1．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列式子：①1；②2a；③；④；⑤；⑥，其中代数式有（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 2．（25-26七年级上·河南开封·期中）在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26七年级上·河南信阳·期末）某轮船先顺水航行，后逆水航行，已知轮船在静水中的速度为．水流速度为，则轮船共航行了（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，这是一个对于正整数x的循环迭代的计算程序．根据该程序指令，若第一次输入x的值是5时，那么第一次输出的值是16；把第一次输出的值再次输入，那么第二次输出的值是4；重复这个过程，则第2026次输出的值是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（25-26七年级上·福建漳州·期末）数学实践课研究“低多边形风格”，小漳将五边形区域分割成若干个三角形．他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．当五边形内有2026个点时，可分得三角形个数为（    ） A． B． C．4057 D．4055 6．（25-26七年级下·山西运城·期末）某校为进一步落实中小学每天不少于两小时的综合体育活动，更好地开展篮球课，计划购买一批篮球，体育用品商店里每个篮球的标价为120元，商家推出了如下优惠方案：若购买篮球的数量不超过15个，不享受优惠方案；购买15个以上时，超过部分按标价的八折出售．该校购买个篮球的总费用为元，则与的关系式为______． 7．（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期末）某车间每天需要完成一定量的零件生产任务，每名工人每天生产的零件件数和需要安排的工人人数如下表： 每名工人每天生产的零件件数 60 40 30 … 需要安排的工人人数 2 3 4 … 每名工人每天生产的零件件数和需要安排的工人人数成____________比例关系．（填“正”或“反”） 8．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是______．（保留幂的形式） 9．（25-26七年级上·全国·期末）探索规律：如图所示的图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中图（1）一共有2个五角星，图（2）一共有8个五角星，图（3）一共有18个五角星，…，则图（n）中五角星的个数为_____（用含n的代数式表示）． 10．（25-26七年级上·吉林·期末）如图，文山七都古镇计划修建一座花坛，花坛呈长方形，两端四分之一圆铺设草地，中间空白区域铺设鹅卵石． (1)用含、的代数式表示铺设鹅卵石的面积（结果保留）； (2)若米，米，每铺平方米鹅卵石需元，每铺平方米草地需元，求铺这个花坛共需花费多少元？（取） 11．（25-26七年级上·福建漳州·期末）为鼓励人们节约用水，某地实行阶梯式计量水价（如表所示）． 级别 月用水量 水价 第1级 20吨以下（含20吨） 2元/吨 第2级 20吨至30吨（含30吨） 超过20吨部分按2.4元/吨 第3级 30吨以上 超过30吨部分按4.8元/吨 (1)若小明家4月份用水量为16吨，则该月需缴纳水费多少元； (2)若小红家5月份用水量为a吨，请计算该月需缴纳水费多少元？（用含a的代数式表示） 12．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如表所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以．所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 (1)若代数式的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为10，求当时，代数式的值． 13．（25-26七年级上·广东汕尾·阶段检测）把一瓶果汁平均分成若干杯，分得的杯数和每杯的果汁量如下表所示： 分得的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/ 100 120 200 (1)请把上表补充完整． (2)分得的杯数和每杯的果汁量有什么关系？为什么？ (3)如果把这些果汁平均分成10杯，那么每杯的果汁量是多少毫升？ 分得的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/ 100 120 150 200 14．（25-26七年级下·河南郑州·期末）“数理致远”数学兴趣小组探究如下问题： 从1，2，3，…，n为整数，且这个整数中任取6个整数，这6个整数之和共有多少种不同的结果？ 【分析问题】 我们采取特殊化的策略，先从最简单的特殊化情形入手，再将一般问题转化为特殊问题，从而找出解决问题的方法． 【解决问题】 (1)特殊化1：从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． 特殊化2：从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，任意2个整数之和中最小的是： ，最大的是 ，所以共有 种不同的结果． 特殊化3：从1，2，3，…，10这10个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果． (2)验证结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这个整数中任取6个整数，这6个整数之和共有多少种不同的结果，说明理由．（结果用含的式子表示） (3)迁移应用：从60张面值分别为1元、2元、3元、…、60元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券并把面值相加，共有 种不同的金额． 15．（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．    材料一：最常用的是十进制，例如：6273中的6表示6个千，2表示2个百，7表示7个十，3表示3个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数1101的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除2取余法，以此类推，8进制就是除8取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为：；八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为__________，逢__________进一． (2)问题解决：十进制63对应的二进制数为__________，二进制对应的十进制数为__________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示12年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，，．其中代表10，代表11.请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数． (4)拓展应用：将二进制数转化为七进制数是多少？（思路：先将二进制数转化为十进制数，再转化为七进制数） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $