第07讲 2.4.1 圆的标准方程（知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦圆的标准方程核心知识点，从圆的定义出发，系统梳理标准方程推导、点与圆位置关系判断，延伸至圆上点到定点的最值、对称问题及轨迹方程，形成递进学习支架，含思维导图辅助构建知识体系。 资料特色在于知识梳理配即学即练题，题型精讲设典例与变式，精练分基础、提升、素养层次。通过高考真题实例培养数学思维（推理、运算）和数学语言（模型意识），课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

第07讲 2.4.1圆的标准方程 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 知识点02：圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 【即学即练1】（26-27高三上·贵州·开学考试）已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 知识点03：点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 【即学即练2】（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知点在圆内，则实数的取值范围为__________. 知识点04：圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 【即学即练3】（2026高二下·上海·专题练习）已知实数,满足方程，则的取值范围是______． 第三部分 题型精讲 题型01求圆的标准方程 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·黑龙江·模拟预测）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 【变式1】（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·山东·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型02由圆的方程求圆心或半径 【典例1】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·青海·阶段检测）圆的圆心和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）圆的方程为，则该圆的圆心与半径分别是（   ） A．圆心，半径 B．圆心，半径 C．圆心，半径5 D．圆心，半径 5 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）圆的圆心的坐标为__________． 题型03点与圆的位置关系 【典例1】（25-26高二上·江西·阶段检测）已知点在圆内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B．C． D． 【变式2】（25-26高二上·河北邢台·期中）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 题型04与圆有关的最值问题 【典例1】（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【典例2】（24-25高二上·重庆·阶段检测）如果实数满足，那么的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西·一模）已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 【变式3】（23-24高二下·吉林延边·阶段检测）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为__________． 题型05与圆有关的对称问题 【典例1】（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）若直线是圆的一条对称轴，则实数的值为（    ）. A． B．1 C． D． 【典例2】（25-26高二上·山西太原·阶段检测）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·贵州安顺·期末）已知圆关于直线对称，则坐标原点到直线的距离等于（    ） A．0 B． C． D．5 【变式2】（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式3】（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 题型06轨迹方程 【典例1】（25-26高二上·四川成都·期末）已知的斜边为，且，则直角顶点的轨迹方程为（ ） A． B．且 C．且 D．且 【典例2】（25-26高三上·上海青浦·期末）设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是__________. 【变式1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 4．（25-26高三上·贵州·阶段检测）“”是“圆：的直径为4”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（多选）（25-26高二·全国·寒假作业）若坐标原点在圆的内部，则实数的取值可以是（   ） A． B．2 C． D．1 6．（多选）（24-25高二上·全国·课堂例题）（多选）下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径为 B．圆的圆心为，半径为 C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 7．（25-26高二下·上海·期中）以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 8．（25-26高三·全国·一轮复习）若点到两定点和的距离的比等于2，则动点的轨迹方程是______． 9．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知，两点． (1)求以线段为直径的圆的标准方程； (2)若动点满足为的中点，求点的轨迹方程. 10．（23-24高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆过点，． (1)求周长最小的圆的标准方程； (2)求圆心在直线上的圆的标准方程； B能力提升 1．（25-26高一下·重庆开州·阶段检测）已知平面向量满足，且．若向量满足，则的最大值为（ ） A． B． C．2 D．1 2．（25-26高三上·河南漯河·期末）定义：如果在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标分别为.那么称为两点间的曼哈顿距离；为两点间的欧几里得距离.已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江西·阶段检测）已知直线，圆，点在直线上运动，是圆上一动点，点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 5．（25-26高二上·陕西安康·期中）已知圆的圆心在直线上. (1)求； (2)过的直线与相交于. （i）求的一般式方程； （ii）记为圆上一点，求的最大值. C综合素养 1．（2026·河南·一模）若圆与曲线有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 3．（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 4．（2026·河北·二模）若圆 M: 上存在两点A，B，且直线l:3x+4y-5=0上存在点 P，使得∠APB=60°，则r的取值范围是（   ） A．(0，4] B．[4，+∞) C．(0，2] D．[2，+∞) 5．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点为圆上的动点：为坐标原点，则面积的最小值为__________. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 2.4.1圆的标准方程 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 知识点02：圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 【即学即练1】（26-27高三上·贵州·开学考试）已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直径的两个端点确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可． 【详解】线段的中点为，故圆心为． 又，所以． 因此所求圆的标准方程为． 知识点03：点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 【即学即练2】（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知点在圆内，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由点与圆的位置关系可得答案. 【详解】由题知， 解得. 故答案为： 知识点04：圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 【即学即练3】（2026高二下·上海·专题练习）已知实数,满足方程，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】设原点为，是圆上任意一点，则， 因为圆心坐标为，，在圆内， 所以，，即， 因此． 第三部分 题型精讲 题型01求圆的标准方程 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定圆的圆心与半径，从而根据圆的标准方程进行求解. 【详解】设圆心为，根据圆过点且半径为2， 可得，解得，即圆心坐标为. 因此所求圆的方程是． 【典例2】（2026·黑龙江·模拟预测）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 【答案】 【详解】已知圆的圆心坐标为，且圆与轴相切， 由直线与圆相切的性质可知，圆的半径 等于圆心到切线 轴的距离， 圆心到 轴的距离为其横坐标的绝对值，即 . 根据圆的标准方程 （其中为圆心坐标， 为半径）. 将 代入，可得所求圆的方程为 . 【变式1】（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径端点的坐标可得圆心和半径，进而可求圆的方程. 【详解】由题意得圆M的圆心坐标为，，所以圆M的方程为. 【变式2】（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，可设， 由可得， 解得，故得圆心，半径为， 则所求圆的方程为. 故选：A. 【变式3】（25-26高二上·山东·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求圆C的圆心关于直线对称点即可求得所求圆圆心，进而得解. 【详解】圆的圆心为，半径为5， 设圆心关于直线对称点坐标为， 由题意得，解得，即对称圆的圆心为， 所以圆C关于直线对称的圆的方程为. 故选：B 题型02由圆的方程求圆心或半径 【典例1】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由圆的标准方程可得圆心坐标. 【详解】由圆的标准方程，可知圆心为. 故选：B 【典例2】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程求得圆心和半径. 【详解】圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为. 故选：B 【变式1】（25-26高二上·青海·阶段检测）圆的圆心和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程的性质得出圆心和半径． 【详解】圆的标准方程为， 圆心为，半径的平方，故半径，故C正确． 故选：C． 【变式2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）圆的方程为，则该圆的圆心与半径分别是（   ） A．圆心，半径 B．圆心，半径 C．圆心，半径5 D．圆心，半径 5 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程即可确定圆心和半径. 【详解】由题意知圆的标准方程为， 则该圆的圆心与半径分别是、， 故选：A 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）圆的圆心的坐标为__________． 【答案】 【详解】圆的圆心的坐标为． 题型03点与圆的位置关系 【典例1】（25-26高二上·江西·阶段检测）已知点在圆内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆内，将点坐标代入圆方程列出不等式，求解即可． 【详解】由题知，解得， 故选：A． 【典例2】（多选）（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】依次求点到圆心的距离进行判断即可. 【详解】对A：因为，所以点在圆内； 对B：因为，所以点在圆内； 对C：因为，所以点在圆上； 对D：因为，所以点在圆外. 故选：AB 【变式1】（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接将点的坐标代入结合点与圆的位置关系求解即可. 【详解】因为点在圆内部， 所以，解得. 故选：C. 【变式2】（25-26高二上·河北邢台·期中）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系，代入求解，即可得答案. 【详解】由在圆内，得，解得． 故选：A 【变式3】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 题型04与圆有关的最值问题 【典例1】（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【详解】因为，所以点在圆外，又, 故的最大值为. 【典例2】（24-25高二上·重庆·阶段检测）如果实数满足，那么的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析方程得出圆心和半径，代数式表示圆上的点到原点的距离，通过数形结合得到最小值点，从而求得最小值. 【详解】是以为圆心，半径的圆， 所求代数式可以理解为求圆上的点到原点的距离， 如图： 显然最远距离和最小距离分别为圆与轴的交点和， ∴的最小值为. 故选：C. 【变式1】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径为， 点到直线的距离， 即直线与圆相离，又点在圆上， 故点到直线的最小值为， 故选：. 【变式2】（2026·陕西·一模）已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 【答案】 【分析】先求得圆心到直线的最大距离，再根据圆周上的点到直线距离的最大值为即可求解． 【详解】圆心，半径为， 直线过定点， 圆心到直线的最大距离， 所以到直线的最大距离为. 【变式3】（23-24高二下·吉林延边·阶段检测）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】表示圆上的点到原点之间的距离，再结合点圆关系确定最值和范围即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 表示圆上的点到原点之间的距离， 因为， 所以原点在圆外， ， 所以，即， 即. 故答案为：. 题型05与圆有关的对称问题 【典例1】（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）若直线是圆的一条对称轴，则实数的值为（    ）. A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题意得圆心为，而直线是圆的一条对称轴， 则在直线上，可得，解得. 【典例2】（25-26高二上·山西太原·阶段检测）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为． 故选：B. 【变式1】（25-26高三上·贵州安顺·期末）已知圆关于直线对称，则坐标原点到直线的距离等于（    ） A．0 B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据题意知直线必过圆心，求出参数m的值，再根据点到直线的距离公式求解即可． 【详解】由题意可知，直线必过圆心，所以有， 解得，所以坐标原点到直线的距离． 故选：B． 【变式2】（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据直线是圆的对称轴可知，直线过圆心，进而可求出结果. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过点，所以，解得． 故选：D． 【变式3】（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【分析】圆上两点关于直线对称时该直线必过圆心，代入圆心坐标即可求解参数. 【详解】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 题型06轨迹方程 【典例1】（25-26高二上·四川成都·期末）已知的斜边为，且，则直角顶点的轨迹方程为（ ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】设点，利用的斜边为推得，借助于向量数量积的坐标运算由即得轨迹方程，去除不合题意的点即可. 【详解】设点，由题意，， 由，整理得， 因当时，，此时两点恰分别与点重合，故不合题意，应舍去. 即直角顶点的轨迹方程为且 故选：D. 【典例2】（25-26高三上·上海青浦·期末）设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质可得，再利用圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径， 由切圆于点，得，而，则， 即，因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹方程是. 故答案为： 【变式1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，根据线段的中点坐标得到与和与的关系式，再代入圆的方程即可求得结果. 【详解】设，，则线段的中点坐标为， 即，所以. 因为点在圆上，所以满足. 化简得. 故选：C. 【变式2】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程. 【详解】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 【变式3】（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】设，根据中点公式得到，代入已知圆的方程即可得轨迹方程. 【详解】设，又线段的中点是B，， 所以，则， 所以，故线段的中点B的轨迹方程为. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心是，半径是． 故圆的方程为． 2．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若点在圆外，则，所以. 若点在圆外，则，所以. 显然是的真子集， 故“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知圆的圆心为， 因为圆的对称轴必过圆心，所以，解得. 4．（25-26高三上·贵州·阶段检测）“”是“圆：的直径为4”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由圆的方程和充分不必要条件的定义即可分析求解. 【详解】时，圆：，直径为4，充分性成立； 当圆：的直径为4时，则的半径为2，则，则，必要性不成立， 所以“”是“圆：的直径为4”的充分不必要条件． 故选：A 5．（多选）（25-26高二·全国·寒假作业）若坐标原点在圆的内部，则实数的取值可以是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】AD 【分析】根据原点在圆内可建立不等式，求解即可. 【详解】由题意，得，解得， 结合选项，实数的取值可以是，1. 故选：AD. 6．（多选）（24-25高二上·全国·课堂例题）（多选）下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径为 B．圆的圆心为，半径为 C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 【答案】AC 【分析】根据圆的标准方程特征即可求得圆心和半径. 【详解】圆的圆心为，半径为，A正确； 圆的圆心为，半径为，B错误； 圆的圆心为，半径为，C正确； 圆的圆心为，半径为，D错误． 故选：AC. 7．（25-26高二下·上海·期中）以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 【答案】 【分析】先计算圆心到点的距离得到圆的半径，再代入圆的标准公式即可求解. 【详解】根据两点间距离公式： ， 所以所求圆的标准方程为. 8．（25-26高三·全国·一轮复习）若点到两定点和的距离的比等于2，则动点的轨迹方程是______． 【答案】 【分析】由两点间的距离得，代入，化简即可求解. 【详解】由题意得， 由题意得，则， 整理可得， 化简得， 则动点P的轨迹方程为． 9．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知，两点． (1)求以线段为直径的圆的标准方程； (2)若动点满足为的中点，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)．（除两点）. 【分析】（1）求线段中点，然后确定圆的半径，即可求得圆的标准方程； （2）设坐标，由中点坐标公式得到点与点坐标的关系式，由题意可知点在（1）中的圆上，从而求得点的轨迹方程. 【详解】（1）因为为直径，则的中点为， 所以圆心为， 半径， 所以圆的标准方程为. （2）设， 因为，是线段的中点， 由中点坐标公式得， 所以， （1）知，点的轨迹方程为， 将代入得， 即. 又∵，∴， ∴动点的轨迹方程为．（除两点）. 10．（23-24高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆过点，． (1)求周长最小的圆的标准方程； (2)求圆心在直线上的圆的标准方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）周长最小即圆的半径最小，求出圆心和半径，即可求解圆的标准方程； （2）先求出AB的垂直平分线，然后联立方程求解圆心坐标，利用两点距离求解半径，即可求解圆的标准方程. 【详解】（1）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小， 即圆心为线段AB的中点，半径为． 则所求圆的标准方程为． （2）由题意可知，圆心在AB的垂直平分线上， 由（1）知AB的中点，斜率为， ∴AB的垂直平分线为，即， 又∵圆心也在直线上，∴圆心是这两条直线的交点， ∴ ，解得，即圆心的坐标是， ∴半径， ∴所求圆的标准方程是． B能力提升 1．（25-26高一下·重庆开州·阶段检测）已知平面向量满足，且．若向量满足，则的最大值为（ ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】由的垂直关系和模长可令，，再设，由数量积的坐标表示确定的轨迹方程，进而可求解. 【详解】因为，且，令，，设， 由，代入坐标得： ， 整理配方得： ， 即点的轨迹是圆心为，半径的圆. 则是原点到圆上点的距离， 又原点到圆心的距离为： ， 所以圆上点到原点的最大距离为，因此的最大值为. 2．（25-26高三上·河南漯河·期末）定义：如果在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标分别为.那么称为两点间的曼哈顿距离；为两点间的欧几里得距离.已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设，利用题意得到，然后三角换元，表示，然后化简求最值即可. 【详解】设，因为，即， 令，，则，， 可得， 所以的最大值为. 故选：C. 3．（25-26高二上·江西·阶段检测）已知直线，圆，点在直线上运动，是圆上一动点，点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先作出关于的对称点，然后根据结合三点共线求解出最小值. 【详解】圆的圆心，半径， 关于的对称点为， 所以， 当且仅当共线时且位于线段之间时取等号， 所以的最小值为， 故选：A. 4．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 【答案】 【详解】由题意得，点在直线上， 因为原点到直线的距离为， 则圆心到原点的距离的最小值为， 则圆上任意一点到原点的距离的最小值为 5．（25-26高二上·陕西安康·期中）已知圆的圆心在直线上. (1)求； (2)过的直线与相交于. （i）求的一般式方程； （ii）记为圆上一点，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由圆的标准方程得圆心坐标，再结合条件，即可求解； （2）（i）先求出，进而可得直线的斜率，再利用点斜式得直线方程，再化成一般式，即可求解；（ii）利用圆的性质即可求解. 【详解】（1）因为圆的圆心为，半径为， 由题有，解得，所以的值为. （2）（i）由（1）知，所以，又在直线上， 所以，得到，则直线的斜率为，所以的方程为， 其一般式方程为. （ii）由（1）知圆，圆心为，半径为， 所以的最大值为， 即的最大值为. C综合素养 1．（2026·河南·一模）若圆与曲线有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定圆的圆心和半径，再将问题转化为圆心到直线的距离不超过半径的不等式，分析求解得到的取值范围. 【详解】圆的方程为，可得圆心，半径， 又的值域为，圆与曲线有公共点，等价于存在，使得直线与圆有交点， 直线与圆有交点的条件为圆心到该直线的距离不大于半径，即， 问题转化为存在使该不等式成立。该不等式化为， 因，故，所以，即， 要使存在满足此条件，需区间与有交集，故，解得， 综上，的取值范围是. 2．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先由圆的对称性推出圆心在已知直线上，得到与的和为定值，再通过基本不等式求目标式的最小值. 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 3．（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】依题意设，根据数量积的坐标表示，辅助角公式，及正弦函数的性质即可求解． 【详解】依题意设，则，， 则 ，其中， 又，则， 所以的最大值为． 4．（2026·河北·二模）若圆 M: 上存在两点A，B，且直线l:3x+4y-5=0上存在点 P，使得∠APB=60°，则r的取值范围是（   ） A．(0，4] B．[4，+∞) C．(0，2] D．[2，+∞) 【答案】D 【分析】过点作圆的两条切线（为切点），根据题意得到，结合已知可得圆心到直线的距离，由点直线的距离公式代入列不等式求解即可． 【详解】圆 M:的圆心坐标，半径为， 此时圆心到直线l:的距离为， 若在圆M上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝60°，过点作圆的两条切线（为切点），, 所以，解得， 故选：D. 5．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点为圆上的动点：为坐标原点，则面积的最小值为__________. 【答案】 【分析】先求定点，再求和直线的方程，利用点到直线的距离公式求圆上点到直线距离的最小值，最后利用三角形面积即可求解. 【详解】由，令，即，解得，即， 所以，， 所以直线的方程为：， 又圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离为：， 所以点到直线的距离的最小值为：， 所以面积的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $