精品解析：湖北省曾都区第一高级中学2025-2026学年高二上学期数学综合测试19

湖北曾都一中2025至2026学年高二上综合测试19 时间：2026-2-3-18:30-20:30 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，若，则k=（ ） A. 4 B. C. 17 D. 2. 经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆：关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 4. 云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 5. 已知椭圆：的离心率为，双曲线：的离心率为，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（ ） A. B. C. D. 7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入某循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一个动点，记△的内切圆圆心为，则点与点的横坐标之比为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题错误的是（ ） A. 若事件与事件互斥，则 B. 若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立． C. 事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小． D. 抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大． 10. 四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 的最小值为 C. 不存在点，使得 D. 点到直线的距离的最小值为 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列四个结论正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：与直线：互相垂直，则它们的交点坐标为_________. 13. 已知数列为等差数列，为其前项和，，，则________时，最小. 14. 若椭圆且直线点为y轴正半轴上一点（在椭圆上顶点上方），过A点作椭圆两条切线交直线l于B，C两点，则面积的最小值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）若一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程． 16. 数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 如图，一个正八面体八个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于”，记事件“得到的点数为质数”． （1）请写出具体的样本空间； （2）请证明：； （3）连续抛掷次这个正八面体，记事件为第次抛掷这个正八面体事件发生，求连续抛掷次这个正八面体事件只发生次的概率． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的外接球的体积； （3）线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 19. 过抛物线：的焦点的直线交抛物线于点、两点（点在轴上方）. （1）若，求点的坐标； （2）当时，求的值； （3）对于轴上给定的点，若过点和两点的直线交抛物线的准线于点，问直线是否经过一定点，如果存在，求出此定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北曾都一中2025至2026学年高二上综合测试19 时间：2026-2-3-18:30-20:30 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，若，则k=（ ） A. 4 B. C. 17 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量平行的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：B 2. 经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两点斜率公式可求解斜率，进而得，然后求解三角不等式得答案． 【详解】设直线的倾斜角为， , 所以，即， 由题意知：， 解得：或． 倾斜角的取值范围是 故BCD错误，A正确， 故选：A 3. 已知圆：关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对称求出值，然后求出圆心距，进而得出两圆位置关系. 【详解】因为圆，即关于直线， 说明该直线过圆心，则有， 解得，所以圆的圆心坐标为，半径为1， 圆的圆心坐标为，半径为4，而. 所以两圆的位置关系是相交. 故选：B. 4. 云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】推导出是以2为公比的等比数列，且，解得，由此能求出的值． 【详解】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列， 因为每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍， 所以是以2为公比的等比数列， 由于共有1016个“浮雕像”，即， 整理得：，解得， 所以， 所以． 故选：B 5. 已知椭圆：的离心率为，双曲线：的离心率为，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用离心率和双曲线渐近线的公式求解即可. 【详解】依题意，，， 又，所以，整理得， 所以， 所以双曲线E的渐近线方程为， 故选：B. 6. 如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令， 则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的正切值为. 故选：A 【点睛】 7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入某循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“冰雹猜想”探讨数列的周期性，再利用该性质求得答案. 【详解】因为满足：，，则， ，，，， 以此类推可知，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列， 因为，故， 故选：C. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一个动点，记△的内切圆圆心为，则点与点的横坐标之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，结合圆的切线长定理进行求解即可. 【详解】由椭圆， 则， 设，与圆分别切于点， 所以， 因为， 又因为，所以， 所以， 由切线性质可知， 所以， 所以， 又点与点的横坐标相同，所以点与点的横坐标之比为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题错误的是（ ） A. 若事件与事件互斥，则 B. 若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立． C. 事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小． D. 抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大． 【答案】ACD 【解析】 【分析】举反例判断AC；根据独立事件的概念及乘法公式判断B；根据独立重复试验概率性质判断D. 【详解】选项 A：互斥事件指不能同时发生的事件，但只有对立事件互斥且必有一个发生的概率和为. 例如，掷骰子时“出现点”与“出现点”互斥，但，故A错误． 选项B：若与独立，则.计算： ， 满足独立事件的定义，故与独立，B正确． 选项C：举反例：若即事件与完全相同， 则“与同时发生”的概率为，“与恰有一个发生”的概率为， 此时，故C错误． 选项D：抛掷均匀硬币是独立重复试验，每次正面向上的概率均为，前两次结果不影响第三次的概率， 故第三次正面与反面的可能性相等，D错误． 故选：ACD 10. 四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 的最小值为 C. 不存在点，使得 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，将该四棱锥补为长方体，求出长方体的体对角线即可得出该四棱锥外接球的半径，根据表面积公式即可得出答案；对于B项，将四棱锥沿剪开得到平面图，最小值即为，根据已知求出各边边长，进而计算即可得出答案；对于C项，假设存在点，建立空间直角坐标系，表示出的坐标.进而根据，得出，列出方程解出的值，即可得出判断；对于D项，表示出，进而根据向量法表示出点到直线的距离.结合二次函数的性质，即可得出最小值. 【详解】对于A项，将该四棱锥补为长方体，可知即为该长方体的一条体对角线， 且. 且该长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，半径为， 表面积为，故A正确； 对于B项，如图1，将四棱锥沿剪开得到平面图，连接，交于点， 易知均为直角三角形，且全等， 且，，， 则，且， 即有， 所以，即的最小值为.故B正确； 对于C项，假设存在点，使得 如图2，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 则，，. 设，， 则. 因为， 所以，解得. 故存在点，使得.故C项错误； 对于D项，由已知可得，， 所以点到直线的距离， ， ， 所以，当时，点到直线的距离的最小值为.故D正确. 故选：ABD. 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列四个结论正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据斐波那契数列的性质，结合周期性逐一判断选项. 【详解】由题可知斐波那契数列定义为：， 令，即除以4的余数. 计算的周期性： 前几项为： 观察得是以为周期的周期数列， 一个周期为：，和. A选项：计算（余数为），则，A正确； B选项：利用斐波那契数列性质可知， 求和：， 因为，所以 取：，B错误； C选项：，个完整周期的和， 余下项为， ，，C正确； D选项：先证明恒等式，当时，， 则平方和： ， 取：，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：与直线：互相垂直，则它们的交点坐标为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用互相垂直求出，然后两直线联立即可求出交点坐标. 【详解】因为直线：与直线：互相垂直， 所以，解得， 联立，解得直线和的交点坐标为， 故答案为： 13. 已知数列为等差数列，为其前项和，，，则________时，最小. 【答案】8或9 【解析】 【分析】由题设条件列方程组求出等差数列的首项和公差，然后写出其前项和，由二次函数的对称轴可求得最小值时的。 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 由题知，，解得， 故，为单调递增的等差数列， ，的对称轴为， 但，由二次函数的性质，或时，最小. 故答案为：8或9 14. 若椭圆且直线点为y轴正半轴上一点（在椭圆上顶点上方），过A点作椭圆两条切线交直线l于B，C两点，则面积的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】设切线：，和椭圆方程联立得到的关系，然后用来表示的面积，结合基本不等式求解. 【详解】 显然直线的斜率存在，设的方程为：，如图可知， 直线和椭圆联立，得到， 由可得， 令可得，则， 令，解得，则， 由对称性，， 由可知，，则， 记，则， 记，则， 由基本不等式，， ， 则，，当时取得等号， 即，时，面积最小值是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）若一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程． 【答案】（1）入射光线所在直线的方程为，反射光线所在直线的方程为； （2）或或． 【解析】 【分析】（1）由点的坐标求得入射光线的方程，进而得到入射光线的斜率，根据对称求得反射光线的斜率，根据反射光线过点求得反射光线的方程； （2）讨论直线在两坐标轴上的截距等于零和不等于零两种情况，当在两坐标轴上的截距均为零时，设直线的方程为；当在两坐标轴上的截距均不为零时，设直线的方程为.分别代入点，可求得直线的方程． 【详解】 【小问1】设入射光线为，反射光线为， 光线从点射出，与轴相交于点， 入射光线的方程为，整理得， 入射光线的斜率，反射光线的斜率， 又反射光线要经过点， 反射光线的方程为，即. 【小问2】当直线的截距为时，设直线的方程为. 因为直线经过点，所以，所以直线方程为，即， 当直线的截距不为时，设直线的方程为， 则解得或． 若，则直线的方程为，即 若则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为：或或． 16. 数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由递推关系可得为等比数列，利用等比数列的通项公式求解； （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由题意得，可变形为：， 设，则，即是公比为的等比数列， 又，故， 因此，数列的通项公式为：， 【小问2详解】 数列的前项和， 则， 所以 因此：， 故． 17. 如图，一个正八面体八个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于”，记事件“得到的点数为质数”． （1）请写出具体的样本空间； （2）请证明：； （3）连续抛掷次这个正八面体，记事件为第次抛掷这个正八面体事件发生，求连续抛掷次这个正八面体事件只发生次的概率． 【答案】（1） （2） 事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：， 事件所含的样本点为：， 故事件所含的样本点为：，所以， 又，所以， （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到正八面体与地面接触的面上的数字，即可求解样本空间； （2）由题意求出事件所含的样本点，事件所含的样本点，事件所含的样本点，事件所含的样本点，利用古典概型概率公式求解即可证明； （3）结合对立事件概率公式，根据互斥事件概率加法公式和独立事件乘法公式求解即可. 【小问1详解】 因为正八面体八个面分别标以数字到， 任意抛掷一次，与地面接触的面上的数字可能是，，，，，，，， 所以样本空间． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意知每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响，即互相独立， 记为第次抛掷这个正八面体发生事件，则， 所以事件只发生次的概率为： ． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的外接球的体积； （3）线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：若是的中点，连接，又为中点，则，， 由且，所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 平面，平面，则平面； （2）； （3）存在为靠近的处或中点，满足要求. 【解析】 【分析】（1）若是的中点，连接，易得四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定证明结论； （2）首先注意是长宽高分别为的长方体的一部分，再求出外接球的半径，即可求球体的体积； （3）构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标并设且，再求出与平面的方向向量、法向量，应用向量法求线面角得到方程，即可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，即平面，平面，则 由，，则， 且都在平面内， 所以平面，易知是长宽高分别为的长方体的一部分， 所以为长方体的体对角线，且与该长方体的外接球重合，故， 所以外接球半径，则外接球的体积为； 【小问3详解】 构建如上图示的空间直角坐标系，则且， 所以， 若是平面的一个法向量，则，取，则， 由与平面所成角为，则， 所以，可得，可得或， 综上，存在为靠近的处或中点时，与平面所成角为. 19. 过抛物线：的焦点的直线交抛物线于点、两点（点在轴上方）. （1）若，求点的坐标； （2）当时，求的值； （3）对于轴上给定的点，若过点和两点的直线交抛物线的准线于点，问直线是否经过一定点，如果存在，求出此定点. 【答案】（1）；（2）1；（3）过定点，.. 【解析】 【分析】（1）设，则由抛物线的定义可得，从而可求得点会标； （2）设，，则，，而，然后代入中化简，结合抛物线的定义化简即可； （3）设，，由题意知直线与轴不垂直，所以，所以：，从而可得点，进而可求出直线的方程：，令，可求得的值 【详解】解：（1）设，则，得，故. （2）由，设直线为，设，， 由，得，则， 显然，，， 所以 （3）设，，由题意知直线与轴不垂直，所以，所以：. 设：，代入，得，所以， 又抛物线的准线方程为，，所以，所以，所以：，令，所以，所以直线与轴交于一定点. 【点睛】此题考查抛物线的几何性质的应用，考查直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $