16.2整式的乘法 暑期讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

16.2整式的乘法 学习目标导航 1、探究乘法法则：通过类比数的乘法，探索并掌握单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的运算法则。 2、理解除法算理：理解同底数幂相除的意义及零指数幂的规定，掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并能进行熟练运算。 洞悉◆教材知识 知识点01 单项式乘单项式 1. 单项式乘单项式的运算法则： 把几个单项式的系数 相乘 作为积的系数，在把同底数幂分别 相乘 。对于只在一个单项式里面出现的字母，连同它的 指数 作为积的一个因式。 如：＝＝ 知识点02 单项式乘多项式 1. 单项式乘多项式的运算法则： 用单项式去乘多项式的 每一项 ，得到单项式乘单项式，再把所得的积 相加 。若有同类项，则一定要合并同类项。 说明：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 知识点03 多项式乘多项式 1. 多项式乘多项式的运算法则： 用一个多项式的 每一项 乘以另一个多项式的 每一项 ，再把所得的积 相加 。若有同类项，一定合并同类项。 说明：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 知识点04 同底数幂的除法 1. 同底数幂的除法运算法则： 同底数幂相除，底数 不变 ，指数 相减 。 即： 。（a≠0，m、n为正整数，且m＞n） 推广： 。（a≠0，m、n、p为正整数且m＞n+p） 2. 逆运算： 。（a≠0，m、n为正整数）。 知识点05 零指数幂 1. 零指数幂的计算： 任何不等于0的数的0次幂都等于 1 。即： 1 。（a≠0） 证明： = 。 ∵相等的两数（都不为0）的商等于1 ∴1 ∴=1 知识点06 单项式除以单项式 1. 单项式除以单项式的运算法则： 单项式除以单项式，系数 相除 作为商的系数，同底数幂 相除 。对于只在被除式里面出现的字母，连同它的 指数 作为商的一个因式。 说明 知识点07 多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。 (3)添括号法则 同号得正，异号得负。即括号前的符号决定了括号内各项的符号是否改变： 如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 说明： ： 核心题型◆归纳 题型01 整式的乘法的运算 题型02 利用整式的乘法运算求值 题型03 整式的乘法的化简及化简求值 题型04 整式的乘法中的不含项与无关 题型05 整式的乘法的看错或错解 题型06 整式的乘法的运用 题型07 同底数幂的除法运算 题型08 同底数幂的除法的逆运用 题型09 零指数幂的计算及成立条件 题型10 整式的除法计算 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 整式的乘法的运算 【典例1】计算： （1）x2y⋅（﹣2x3y）2； （2）（﹣a2b）3+a4b⋅（﹣2ab）2． 【变式1】计算： （1）； （2）（﹣2m）2•（﹣m•m2+3m3）． 题型02 利用整式的乘法运算求值 【典例1】若（x+3）（x﹣2）＝x2+kx﹣6，则k的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1 【变式1】若（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n，则m，n的值分别为（　　） A．m＝1，n＝﹣6 B．m＝5，n＝6 C．m＝1，n＝6 D．m＝5，n＝﹣6 题型03 整式的乘法的化简及化简求值 【典例1】化简：． 【变式1】化简： （1）（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4； （2）（﹣3ab）（2a2b+ab﹣1）． 题型04 整式的乘法中的不含项与无关 【典例1】若多项式2x2﹣（2x+m）（x﹣2n）+3的值与x的取值无关，则m和n满足（　　） A．m＝4n B．m＝0且n＝0 C．4m＝n D．m+4n＝0 【变式1】已知A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，若A•B+C的值与x的取值无关，当x＝﹣4时，A的值为（　　） A．0 B．4 C．﹣4 D．2 题型05 整式的乘法的看错或错解 【典例1】在计算（ax+1）（2x+b）时，小泉同学看错了b的值，计算结果为2x2+6x+4；小张同学看错了a的值，计算结果为4x2+12x+5． （1）求a，b的值． （2）计算（ax+1）（2x+b）的正确结果． 【变式1】在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果：x2+x﹣6． （1）求出a，b的值； （2）在（1）的条件下，计算（x+a）（x+b）的结果． 题型06 整式的乘法的运用 【典例1】从前，一位庄园主把一块长为（a+5）米，宽为（b+6）米（a＞b＞0）的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【变式1】如图所示的是人民公园的一块长为（2m+n）米，宽为（m+2n）米的空地．计划在空地上建造一个网红打卡观景台，如图中阴影部分所示． （1）请用含m，n的式子表示观景台的面积；（结果化为最简，单位：m） （2）已知修建观景台每平方米的费用为200元．若m＝5，n＝4，则修建观景台的费用为多少元？ 题型07 同底数幂的除法运算 【典例1】计算：（1）﹣m9÷m3；（2）（﹣a）6÷（﹣a）3；（3）（﹣8）6÷（﹣8）5；（4）62m+3÷6m． 【变式1】计算： （1）（﹣a）5÷a3． （2）xm÷x÷x． （3）﹣x11÷（﹣x）6•（﹣x）5． （4）（x﹣2y）4÷（2y﹣x）2÷（x﹣2y）． （5）a4÷a2+a•a﹣（3a）2． 题型08 同底数幂的除法的逆运用 【典例1】已知am﹣n＝2，am＝8，则an的值是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式1】已知xa＝3，xb＝5，则x2a﹣3b＝（　　） A． B． C． D．15 题型09 零指数幂的计算及成立条件 【典例1】计算（﹣2024）0＝（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2024 【变式1】（π﹣2025）0的值为（　　） A．π﹣2025 B．1 C．2025﹣π D．0 题型10 整式的除法计算 【典例1】若长方形面积是3a2﹣3ab+9a，一边长为3a，则这个长方形的宽是（　　） A．8a﹣2b+6 B．2a﹣2b+6 C．a+b+3 D．a﹣b+3 【变式1】计算： （1）（n3﹣7mn2n5）n2＝ ； （2）（12x4y6﹣8x2y4﹣16x3y5）÷4x2y3＝ ABC分层训练 1．已知，下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个面积为的长方形．则需要（    ） A．A类卡片2张，B类卡片3张 B．A类卡片3张，C类卡片2张 C．A类卡片3张，B类卡片2张 D．B类卡片3张，C类卡片2张 5．若m，n互为倒数，且满足，则n的值为（   ） A． B． C． D．2 6．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（     ） A．13 B．11 C．5 D．1 8．若多项式与多项式的乘积不含x的一次项，则m的值为（     ） A． B．0 C．3 D．9 9．已知，，则的值为________________． 10．根据几何图形的面积关系，可以直观的解释一些整式乘法的等式．根据下图可以写出的整式乘法的等式是______．    11．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律， 利用上述规律计算：__________． 12．计算：． 13．计算：． 14．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 15．已知，，，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 16．下面是小张同学完成的作业，每道题20分，请计算小张的得分是（     ） ①②③计算的结果是④ ⑤若，则 A．80分 B．60分 C．40分 D．20分 17．词元（Token）是大模型处理信息的最小信息单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征．2026年3月，中国日均词元调用量已突破Token.已知每消耗一度电大约可产出Token．由此估计，产出Token所消耗的电量用科学记数法表示为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 18．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 19．如图，点在线段上，，点与点向上平移距离得到点与点，点到直线的距离为，和相交于点，连结和．则和面积的差可以表示为（     ） A． B． C． D． 20．，求的值_______． 21．已知，，．若的值与的取值无关，则________． 22．用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要________张． 23．先化简，再求值：，其中． 24．（1）计算：； （2）如图，已知点C在上，，．求证：． 25．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）由此可得______； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算______； （3）计算______； （4）若，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.2整式的乘法 学习目标导航 1、探究乘法法则：通过类比数的乘法，探索并掌握单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的运算法则。 2、理解除法算理：理解同底数幂相除的意义及零指数幂的规定，掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并能进行熟练运算。 洞悉◆教材知识 知识点01 单项式乘单项式 1. 单项式乘单项式的运算法则： 把几个单项式的系数 相乘 作为积的系数，在把同底数幂分别 相乘 。对于只在一个单项式里面出现的字母，连同它的 指数 作为积的一个因式。 如：＝＝ 知识点02 单项式乘多项式 1. 单项式乘多项式的运算法则： 用单项式去乘多项式的 每一项 ，得到单项式乘单项式，再把所得的积 相加 。若有同类项，则一定要合并同类项。 说明：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 知识点03 多项式乘多项式 1. 多项式乘多项式的运算法则： 用一个多项式的 每一项 乘以另一个多项式的 每一项 ，再把所得的积 相加 。若有同类项，一定合并同类项。 说明：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 知识点04 同底数幂的除法 1. 同底数幂的除法运算法则： 同底数幂相除，底数 不变 ，指数 相减 。 即： 。（a≠0，m、n为正整数，且m＞n） 推广： 。（a≠0，m、n、p为正整数且m＞n+p） 2. 逆运算： 。（a≠0，m、n为正整数）。 知识点05 零指数幂 1. 零指数幂的计算： 任何不等于0的数的0次幂都等于 1 。即： 1 。（a≠0） 证明： = 。 ∵相等的两数（都不为0）的商等于1 ∴1 ∴=1 知识点06 单项式除以单项式 1. 单项式除以单项式的运算法则： 单项式除以单项式，系数 相除 作为商的系数，同底数幂 相除 。对于只在被除式里面出现的字母，连同它的 指数 作为商的一个因式。 说明 知识点07 多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。 (3)添括号法则 同号得正，异号得负。即括号前的符号决定了括号内各项的符号是否改变： 如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 说明： ： 核心题型◆归纳 题型01 整式的乘法的运算 题型02 利用整式的乘法运算求值 题型03 整式的乘法的化简及化简求值 题型04 整式的乘法中的不含项与无关 题型05 整式的乘法的看错或错解 题型06 整式的乘法的运用 题型07 同底数幂的除法运算 题型08 同底数幂的除法的逆运用 题型09 零指数幂的计算及成立条件 题型10 整式的除法计算 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 整式的乘法的运算 【典例1】计算： （1）x2y⋅（﹣2x3y）2； （2）（﹣a2b）3+a4b⋅（﹣2ab）2． 【答案】（1）4x8y3；（2）3a6b3． 【解答】解：（1）x2y⋅（﹣2x3y）2 ＝x2y×4x6y2 ＝4x8y3； （2）（﹣a2b）3+a4b⋅（﹣2ab）2 ＝﹣a6b3+a4b×4a2b2 ＝﹣a6b3+4a6b3 ＝3a6b3； 【变式1】计算： （1）； （2）（﹣2m）2•（﹣m•m2+3m3）． 【答案】（1）24a2b﹣8ab2． （2）8m5． 【解答】解：（1） ＝24a2b﹣8ab2． （2）（﹣2m）2•（﹣m•m2+3m3） ＝4m2•（﹣m3+3m3） ＝4m2•2m3 ＝8m5． 题型02 利用整式的乘法运算求值 【典例1】若（x+3）（x﹣2）＝x2+kx﹣6，则k的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1 【答案】D 【解答】解：展开左边的多项式乘积可得： （x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6＝x2+kx﹣6， ∴k＝1， 故选：D． 【变式1】若（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n，则m，n的值分别为（　　） A．m＝1，n＝﹣6 B．m＝5，n＝6 C．m＝1，n＝6 D．m＝5，n＝﹣6 【答案】A 【解答】解：∵（y+3）（y﹣2）＝y2﹣2y+3y﹣6＝y2+y﹣6， ∵（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n， ∴y2+my+n＝y2+y﹣6， ∴m＝1，n＝﹣6． 故选：A． 题型03 整式的乘法的化简及化简求值 【典例1】化简：． 【答案】． 【解答】解：原式 ． 【变式1】化简： （1）（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4； （2）（﹣3ab）（2a2b+ab﹣1）． 【答案】（1）3m8；（2）﹣6a3b2﹣3a2b2+3ab． 【解答】解：（1）（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4 ＝m8+m8+m4•m4 ＝m8+m8+m8 ＝3m8； （2）（﹣3ab）（2a2b+ab﹣1） ＝﹣3ab•2a2b﹣3ab•ab+3ab ＝﹣6a3b2﹣3a2b2+3ab． 题型04 整式的乘法中的不含项与无关 【典例1】若多项式2x2﹣（2x+m）（x﹣2n）+3的值与x的取值无关，则m和n满足（　　） A．m＝4n B．m＝0且n＝0 C．4m＝n D．m+4n＝0 【答案】A 【解答】解：2x2﹣（2x+m）（x﹣2n）+3 ＝2x2﹣（2x2﹣4nx+mx﹣2mn）+3 ＝2x2﹣2x2+4nx﹣mx+2mn+3 ＝（4n﹣m）x+2mn+3， ∵多项式2x2﹣（2x+m）（x﹣2n）+3的值与x的取值无关， ∴4n﹣m＝0， ∴m＝4n． 故选：A． 【变式1】已知A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，若A•B+C的值与x的取值无关，当x＝﹣4时，A的值为（　　） A．0 B．4 C．﹣4 D．2 【答案】B 【解答】解：∵A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5， ∴A•B+C ＝（x2+3x﹣a）（﹣x）+（x3+3x2+5） ＝﹣x3﹣3x2+ax+x3+3x2+5 ＝ax+5， ∵A•B+C的值与x的取值无关， ∴a＝0， ∴A＝x2+3x﹣a＝x2+3x， 当x＝﹣4时，A＝（﹣4）2+3×（﹣4）＝4， 故选：B． 题型05 整式的乘法的看错或错解 【典例1】在计算（ax+1）（2x+b）时，小泉同学看错了b的值，计算结果为2x2+6x+4；小张同学看错了a的值，计算结果为4x2+12x+5． （1）求a，b的值． （2）计算（ax+1）（2x+b）的正确结果． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵（ax+1）（2x+b） ＝2ax2+abx+2x+b， ∴2a＝2，b＝5， 解得a＝1，b＝5； （2）由（1）题结果可得， （ax+1）（2x+b） ＝（x+1）（2x+5） ＝2x2+5x+2x+5 ＝2x2+7x+5． 【变式1】在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果：x2+x﹣6． （1）求出a，b的值； （2）在（1）的条件下，计算（x+a）（x+b）的结果． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12， （x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2+x﹣6， 所以6+a＝8，﹣a+b＝1， 解得：a＝2，b＝3； （2）当a＝2，b＝3时，（x+a）（x+b）＝（x+2）（x+3）＝x2+5x+6． 题型06 整式的乘法的运用 【典例1】从前，一位庄园主把一块长为（a+5）米，宽为（b+6）米（a＞b＞0）的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：（a+5）（b+6） ＝ab+6a+5b+30， （a+5+5）（b+6﹣5） ＝（a+10）（b+1） ＝ab+a+10b+10， ∴（a+5）（b+6）﹣（a+10）（b+1） ＝ab+6a+5b+30﹣ab﹣a﹣10b﹣10 ＝5a﹣5b+20 ＝5（a﹣b）+20＞0， ∴（a+5）（b+6）＞（a+5+5）（b+6﹣5）， ∴张老汉的租地面积会变小， 故选：A． 【变式1】如图所示的是人民公园的一块长为（2m+n）米，宽为（m+2n）米的空地．计划在空地上建造一个网红打卡观景台，如图中阴影部分所示． （1）请用含m，n的式子表示观景台的面积；（结果化为最简，单位：m） （2）已知修建观景台每平方米的费用为200元．若m＝5，n＝4，则修建观景台的费用为多少元？ 【答案】（1）（7mn+2n2﹣m2）m2； （2）29400元． 【解答】解：（1）观景台的面积＝（2m+n）（m+2n﹣m+n）﹣（m﹣n）2﹣mn ＝（2m+n）×3n﹣m2+2mn﹣n2﹣mn ＝6mn+3n2﹣m2+2mn﹣n2﹣mn ＝7mn+2n2﹣m2． 答：观景台的面积为（7mn+2n2﹣m2）m2． （2）当m＝5，n＝4时， 修建观景台的费用为：200×（7mn+2n2﹣m2） ＝200×（7×5×4+2×16﹣25） ＝200×（140+32﹣25） ＝200×147 ＝29400（元）． 答：若m＝5，n＝4，修建观景台的费用为29400元． 题型07 同底数幂的除法运算 【典例1】计算：（1）﹣m9÷m3；（2）（﹣a）6÷（﹣a）3；（3）（﹣8）6÷（﹣8）5；（4）62m+3÷6m． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）﹣m9÷m3＝﹣1×m9﹣3＝﹣m6； （2）（﹣a）6÷（﹣a）3＝（﹣a）6﹣3＝（﹣a）3＝﹣a3； （3）（﹣8）6÷（﹣8）5＝（﹣8）6﹣5＝（﹣8）1＝﹣8； （4）62m+3÷6m＝6（2m+3）﹣m＝6m+3． 【变式1】计算： （1）（﹣a）5÷a3． （2）xm÷x÷x． （3）﹣x11÷（﹣x）6•（﹣x）5． （4）（x﹣2y）4÷（2y﹣x）2÷（x﹣2y）． （5）a4÷a2+a•a﹣（3a）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝﹣a5÷3＝﹣a2； （2）原式＝xm﹣1﹣1＝xm﹣2； （3）原式＝﹣x11÷x6•（﹣x5） ＝x11﹣6+5 ＝x10； （4）原式＝（x﹣2y）4÷（x﹣2y）2÷（x﹣2y） ＝（x﹣2y）1 ＝x﹣2y； （5）原式＝a2+a2﹣9a2 ＝﹣7a2． 题型08 同底数幂的除法的逆运用 【典例1】已知am﹣n＝2，am＝8，则an的值是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【解答】解：∵am﹣n＝am÷an＝2， am＝8， ∴8÷an＝2， ∴an＝4． 故答案为：D． 【变式1】已知xa＝3，xb＝5，则x2a﹣3b＝（　　） A． B． C． D．15 【答案】A 【解答】解：∵xa＝3，xb＝5， ∴x2a﹣3b＝x2a÷x3b＝（xa）2÷（xb）3＝32÷53． 故选：A． 题型09 零指数幂的计算及成立条件 【典例1】计算（﹣2024）0＝（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2024 【答案】A 【解答】解：（﹣2024）0＝1． 故选：A． 【变式1】（π﹣2025）0的值为（　　） A．π﹣2025 B．1 C．2025﹣π D．0 【答案】B 【解答】解：（π﹣2025）0＝1， 故选：B． 题型10 整式的除法计算 【典例1】若长方形面积是3a2﹣3ab+9a，一边长为3a，则这个长方形的宽是（　　） A．8a﹣2b+6 B．2a﹣2b+6 C．a+b+3 D．a﹣b+3 【答案】D 【解答】解：根据长方形面积除以其一边长可得： （3a2﹣3ab+9a）÷3a ＝3a2÷3a﹣3ab÷3a+9a÷3a ＝a﹣b+3， 故选：D． 【变式1】计算： （1）（n3﹣7mn2n5）n2＝nm+n3 ； （2）（12x4y6﹣8x2y4﹣16x3y5）÷4x2y3＝　3x2y3﹣2y﹣4xy2 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（n3﹣7mn2n5）n2， n3n2﹣7mn2n2n5n2， ＝nm+n3； （2）（12x4y6﹣8x2y4﹣16x3y5）÷4x2y3， ＝12x4y6÷4x2y3﹣8x2y4÷4x2y3﹣16x3y5÷4x2y3， ＝3x2y3﹣2y﹣4xy2． 故填空答案：（1）nm+n3；（2）3x2y3﹣2y﹣4xy2． ABC分层训练 1．已知，下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、计算单项式乘单项式 【详解】解：选项A中，，A错误； 选项B中，，运算正确，B正确； 选项C中，，C错误； 选项D中，与不是同类项，不能合并，则，D错误． 2．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、计算单项式乘多项式及求值 【详解】解： 对选项A：，计算正确； 对选项B：，计算错误； 对选项C：，计算错误； 对选项D：，计算错误. 4．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个面积为的长方形．则需要（    ） A．A类卡片2张，B类卡片3张 B．A类卡片3张，C类卡片2张 C．A类卡片3张，B类卡片2张 D．B类卡片3张，C类卡片2张 【答案】B 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】首先根据长方形面积公式计算目标图形的面积，利用单项式乘多项式法则展开，再结合图中A、B、C三类卡片的面积特征，通过对比多项式中各项的系数确定所需卡片的数量； 【详解】解：， 由图可知： A类卡片是长为、宽为的长方形，面积为，B类卡片是边长为的正方形，面积为，C类卡片是边长为的正方形，面积为， ∵目标面积中包含个和个， ∴需要C类卡片张，A类卡片张． 5．若m，n互为倒数，且满足，则n的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】倒数、利用单项式乘多项式求字母的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】根据倒数的性质得到，展开已知等式后代入求出的值，再根据倒数定义即可得到的值． 【详解】解：∵互为倒数， ∴， ∵， 展开等式得， 把代入得， ∴， 又∵互为倒数， ∴ ． 6．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、计算单项式乘单项式、计算多项式乘多项式 【详解】解：选项A：，错误； 选项B：，错误； 选项C：，错误； 选项D：，正确． 7．已知，则的值为（     ） A．13 B．11 C．5 D．1 【答案】B 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】根据多项式乘多项式的计算法则求出的展开结果即可得到m、n，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：根据多项式乘多项式的计算法则可得：， 又， ∴， ∴， ∴． 8．若多项式与多项式的乘积不含x的一次项，则m的值为（     ） A． B．0 C．3 D．9 【答案】C 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】先计算两个多项式的乘积，根据乘积不含x的一次项可知一次项系数为0，由此求解m的值即可． 【详解】解： ∵乘积不含的一次项 ∴一次项系数等于0，即 解得． 9．已知，，则的值为________________． 【答案】0 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】先将所求式子展开，整理成含有已知和的形式，再整体代入已知数值计算即可． 【详解】解：， ∵，， ∴原式． 10．根据几何图形的面积关系，可以直观的解释一些整式乘法的等式．根据下图可以写出的整式乘法的等式是______．    【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】应用多项式乘法法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：由图可知，． 11．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律， 利用上述规律计算：__________． 【答案】160000 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】观察可得的系数为，，，，，与的各项系数一致，由此计算即可得出结果． 【详解】解：观察可得：，其各项系数依次为，，，，， ∴观察的系数为，，，，，与的各项系数一致， ∴ ． 12．计算：． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、零指数幂 【分析】分别计算零指数幂，乘方和绝对值，再求和即可． 【详解】 解： ． 13．计算：． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、求一个数的算术平方根、实数的混合运算、零指数幂 【分析】本题利用乘方、绝对值、算术平方根、零指数幂的初中运算法则，分别计算原式中每一项，再合并同类项得到最终结果． 【详解】 解： 原式 ． 14．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】根据同类项合并规则，同底数幂的乘除法则，积的乘方法则逐个判断选项，即可得到正确答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，A错误； B、，B错误； C、，C错误； D、，计算正确，D正确． 15．已知，，，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【知识点】同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】利用同底数幂乘法与除法的逆用运算将幂的关系转化为指数的关系，再逐一验证各关系式即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即，，则③正确； ∴，则②正确； ∴， ∴，则④正确； ∵，， ∴，即，则①错误； 综上，正确的关系式是②③④． 16．下面是小张同学完成的作业，每道题20分，请计算小张的得分是（     ） ① ② ③计算的结果是 ④ ⑤若，则 A．80分 B．60分 C．40分 D．20分 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算、同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、零指数幂 【分析】根据幂的相关运算性质，依次判断小张每道题的正误，统计做对的题数后计算总得分． 【详解】逐题判断正误： ①∵，，∴，小张计算正确，得20分； ②与不是同类项，不能合并，小张计算错误，不得分； ③∵，小张结果为，计算错误，不得分； ④∵，小张计算正确，得20分； ⑤∵，可得，小张得，计算错误，不得分； 总得分：，因此小张得分为40分． 17．词元（Token）是大模型处理信息的最小信息单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征．2026年3月，中国日均词元调用量已突破Token.已知每消耗一度电大约可产出Token．由此估计，产出Token所消耗的电量用科学记数法表示为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、用科学记数法表示数的除法 【详解】解：度． 18．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多项式除以单项式 【分析】根据等式性质，将m变形为多项式除以单项式，按照对应运算法则计算即可得到结果． 【详解】由已知等式可得： ， 多项式除以单项式，需将多项式每一项分别除以单项式，再将所得结果相加， 计算第一项：， 计算第二项：， ． 19．如图，点在线段上，，点与点向上平移距离得到点与点，点到直线的距离为，和相交于点，连结和．则和面积的差可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式四则混合运算 【分析】连接，作于H，由题意得，，，，计算出的面积为，的面积为，再列式计算即可得到答案． 【详解】解：连接，作于H， 由题意得，，，， 的面积为， 的面积为， 和面积的差为． 20．，求的值_______． 【答案】3 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 21．已知，，．若的值与的取值无关，则________． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题、单项式乘多项式的应用、零指数幂 【分析】先计算的结果，再根据多项式的值与的取值无关，可知所有含项的系数均为，求出，的值，最后计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴， ∴． 22．用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要________张． 【答案】 15 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】根据长方形的面积公式，利用多项式乘多项式法则展开，根据展开式中，，的系数确定各类卡片的数量，最后求和即可． 【详解】解：由图可知，类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为 长方形的长为，宽为， 长方形的面积： 需要类卡片1张，类卡片6张，类卡片8张 ，，类卡片一共需要（张）． 23．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 24．（1）计算：； （2）如图，已知点C在上，，．求证：． 【答案】 （1）解： ； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】零指数幂、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，零次幂以及绝对值和相反数的性质． （1）根据绝对值和相反数的性质，零次幂的性质化简，再计算即可求解； （2）根据平行线的性质求得，等量代换得到，再利用平行线的判定定理即可得到． 【详解】略 25．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）由此可得______； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算______； （3）计算______； （4）若，求的值． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了多项式乘多项式及其应用，理解题意、找到规律是解题的关键； （1）由前面三个算式得到规律，根据规律即可求解； （2）算式乘，即可利用所得结论计算； （3）算式改写为，算式再乘，即可利用所得结论计算； （4）等式两边同乘，左边可利用所得结论计算，进而求得x的值，舍去不合题意的值，代入即可求值． 【详解】解：（1）①； ②； ③； 所以． 故答案为． （2） ． 故答案为：． （3） ． 故答案为：． （4）因为， 所以． 所以． 因为， 当时， 所以，． 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $