16.3.2完全平方公式 讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

16.3.2 完全平方差公式 学习目标 1. 理解平方差公式的推导过程，掌握公式的结构特征. 2. 能准确识别公式中的“相同项”和“相反项”，熟练运用公式进行整式乘法运算. 3. 能灵活运用公式解决简单的化简与计算问题，提高代数运算能力. 知识点讲解 一、平方差公式的推导 通过多项式乘法法则推导： 二、公式内容 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 公式表示为： 三、公式结构特征 1. 左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（记为(a)），另一项互为相反数（分别记为(b)和(-b)）. 2. 右边：相同项的平方减去相反项的平方，即. 四、注意事项 · (a)和(b)可以是具体数字、单项式（如(3x)、(-2y)）或多项式（如(x+y)、(m-n)）. · 运用公式前需先判断是否符合结构特征：相乘的两个二项式必须有“一项相同，一项相反”. 例题解析 例题1：基础型（单项式参与） 计算：((2x + 3)(2x - 3)) 例题2：符号变形型 计算：(-5m + n)(-5m - n) 例题3：多项式整体代换型 计算：(x + 2y + 3)(x + 2y - 3) 例题4：混合运算型 计算： 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列算式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. (a + b)(-a - b) B. (a - b)(b - a) C. (x + 2y)(x - 2z) D. (m - 3n)(m + 3n) 2. 计算(4x - 5)(4x + 5)的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则a的值是（ ） A. 4 B. -4 C. ±4 D. ±8 4. 计算(-2m - n)(2m - n)的结果是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 1. . 2. . 3. . 4. . 三、解答题 1. 计算：(5x - 4y)(5x + 4y). 2. 计算：(-p + 2q)(-p - 2q). 3. 计算：(m + n - 1)(m + n + 1). 4. 计算：. 学科网（北京）股份有限公司 $16.3.2完全平方差公式 学习目标 1.理解平方差公式的推导过程，掌握公式的结构特征. 2.能准确识别公式中的“相同项”和“相反项”，熟练运用公式进行整式乘法运算. 3.能灵活运用公式解决简单的化简与计算问题，提高代数运算能力. 知识点讲解 一、平方差公式的推导 通过多项式乘法法则推导： (a+b)(a-b)=a.a+a.(-b)+b.a+b.(-b) =a2-ab+ab-b2 =a2-b1 二、公式内容 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 公式表示为： (a+b(a-b)=a2-b2 三、公式结构特征 1.左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（记为(）)，另一项互为相反数（分别记为 b)和(-b). 2.右边：相同项的平方减去相反项的平方，即a2一b2 四、注意事项 (a)和(b)可以是具体数字、单项式（如(3x以、（-2y)或多项式（如(x+y、(m-n). 运用公式前需先判断是否符合结构特征：相乘的两个二项式必须有“一项相同，一项相 反” 例题解析 例题1：基础型（单项式参与) 计算：(2x+3(2x-3》 解： (2×+32x-3) =(2x)2-32=4x2-9 例题2：符号变形型 计算：（←5m+n(-5m-n) 解： (-5m+n(-5m-n) =(-5m)2-n2=25m2-n2 例题3：多项式整体代换型 计算：(x+2y+3x+2y-3) 解： (x+2y+3x+2y-3) =[x+2y+3Ix+2y)-3] =(x+2y)2-32=x2+4xy+4y2-9 例题4：混合运算型 计算：3a-2b3a+2b)-(（a-b)2 3a-2b03a+2b)-(a-b)2 =(3a2-(2b)2-(a2-2ab+b3 =9a2-4b2-a2+2ab-b2 =8a2+2ab-5b2 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1.下列算式中，能用平方差公式计算的是() A.(a +b)(-a-b) B.(a-b)(b-a) C.(x +2y)(x-2z) D.(m-3n)(m+3n) 2.计算(4x-5(4x+5)的结果是() A. 16x2-25 B. 16x2+25 C. 8x2-25 D. 8x2+25 3.若8+ax-a=x2-16,则a的值是() A.4 B.-4 C.±4 D.±8 4.计算(-2m-n(2m-n)的结果是（) A. 4m2-n2 B. -4m2+n2 C. 4m2+4mn+n2 D. -4m2-4mn-n2 二、填空题 1.(x+5x- 5)= 2. 3a+2b3a-2b= 3. (-y+1-y-)=--- 4. (x2+2x2-2= 三、解答题 1.计算：(5x-4y)5x+4y). 2.计算：（p+2q(-p-2q) 3.计算：(m+n-1(m+n+1). 4.计算：(2x-32x+3)-(x+12. 巩固练习答案 一、选择题 1.D 解析：A中两项均相反，B中两项均相反，c中无相反项，D中(m)相同，(-3)和(3n)相 反，符合平方差公式 2.A 解析：(4x-5)(4x+5)=(4x-52=16x2-25. 3.C 解析：(+ax-a)=x2-a2=x2-16,故a2=16,a=±4. 4.B 解 析 (-2m-(2m-m)=(-n-2m(-n+2m)=(-n)2-(2m)2=n2-4m2=-4m2+n2 二、填空题 1.x2-25 解析：(&+5)区-5)=x2-52=x2-25. 2.9a2-4b2 解析：(3a+2b)3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-462 3.y2-1 解析：(-y+1以-y-1)=(-y2-12=y2-1. 4.x4-4 解析：(&2+2(x2-2)=(x习-22=x4-4. 三、解答题 1.解： (5×-4y)5x+4y） =(5x)2-(4y)月(=25x2-16y2 2.解： (-p+2q(-p-2q) =(-p)2-(2g)(=p2-492 3.解： (m+n-1m+n+1) =[(m+n)-1I(m+n)+1] =(m+n-13(=m2+2mn+n2-1 4.解： (2x-32x+3)-(x+1)月 =(2x)2-32-(x2+2x+1) =4x2-9-x2-2x-1 =3x2-2x-10