1.7 角平分线的性质 课时练习 2026-2027学年浙教版八年级上册数学

**基本信息** 初中数学角平分线的性质同步练，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从性质理解到综合推理的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|角平分线性质与判定|单选1-5直接应用性质判定位置，填空12-14考查距离相等，图形简单直观| |提升层|性质与全等、面积结合|单选7-8结合全等证明，填空15用面积比体现性质应用，强化逻辑推理| |综合层|多知识点综合应用|解答题17-18结合旋转、动态问题，综合角平分线与垂直平分线，培养空间观念与创新意识|

1.7 角平分线的性质 课时练习 一、单选题 1.已知△ABC ， 两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB ， AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M ， 点M一定在（    ） A. ∠A的平分线上           B. AC边的高上              C. BC边的垂直平分线上              D. AB边的中线上 2.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=8，BD=10，则点D到BC的距离是（ 　　） A. 4                                           B. 6                                           C. 8                                           D. 10 3.如图，在 中， ， ，如果 平分 ，那么 的度数是（    ） A.                                        B.                                        C.                                        D.  4.如图，BD是△ABC的角平分线，DE是BC的垂直平分线，∠A=90°，AD=2，则CD的长为（    ） A. 3                                          B. 6                                         C. 5                                         D. 4 5.现要在一块三角形的草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在（     ） A. △ABC的三条中线的交点                                     B. △ABC三边的垂直平分线的交点 C. △ABC三条角平分线的交点                                  D. △ABC三条高所在直线的交点 6.在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”，即“如图，已知：∠B=∠C，求证：AB=AC”时，小明作了如下的辅助线，下列对辅助线的描述正确的有（   ） ①作∠BAC的平分线AD交BC于点D②取BC边的中点D，连接AD③过点A作AD⊥BC，垂足为点D④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点D A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个 7.若射线OC在∠AOB内部，则下列①∠AOC=∠BOC；②∠AOB=2∠AOC；③∠AOB=∠AOC+∠BOC；④∠BOC= ∠AOB；能判定射线OC是∠AOB的角平分线的有(    ) A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个 8.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC.若AC=8，则四边形ABCD的面积为（   ） A. 32                                         B. 24                                         C. 40                                         D. 36 9.如图， 中， 的垂直平分线 交 的平分线 于点 ，过 作 于点 ，若 ， ，则 （  ） A.                                            B.                                            C.                                            D.  10.如图， ，BP和CP分别平分 和 ，AD过点P，且与AB垂直。若点P到BC的距离是4，则AD的长为（    ） A. 8                                           B. 6                                           C. 4                                           D. 2 二、填空题 11.如图，已知AB∥CF，点E为DF的中点，若AB＝9 cm，CF＝5 cm，则BD＝________cm. 12.如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，若BC＝20，BD＝15，则点D到AB的距离为________. 13.如图，在 中， 的平分线 和边 的垂直平分线 相交于点 ，过点 作 垂直于 交 的延长线于点 ，若 ，则 的长为________． 14.如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，PB＝2cm，则点P到OA的距离是________cm． 15.如图，△ABC的角平分线交于点P，已知AB，BC，CA的长分别为5，7，6，则S△ABP∶S△BPC∶S△APC=________. 三、解答题 16.如图，已知CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，BF交CE于D点，且AB=AC. （1）求证：△ABF≌△ACE. （2）求证：A点在∠EDF的平分线上. 17.已知O是AB上的一点，从O点引出射线OC、OE、OD ， 其中OE平分∠BOC ． （1）如图1，若∠COD是直角，∠DOE＝15°，∠AOC=________°； （2）如图1，若∠AOC＝∠BOD ， ∠DOE＝15°，求∠AOC的度数； （3）将图1中的∠COD（∠COD仍是直角）绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，若∠AOC＝α，∠DOE＝β，请猜想α与β之间存在什么样的数量关系，写出你的结论，并说明理由． 18.如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°，AC=BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF=AE. （1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：EC+CD=DF； （2）如图2,连接BF交AC于G点,若 =3，求证：E点为BC中点； （3）当E点在射线CB上,连接BF与直线AC交于G点,若 ,则 =________ 答案解析部分 一、单选题 1. A 考点：角平分线的性质 解：作射线AM，由题意得，MG＝MH，MG⊥AB，MH⊥AC，∴AM平分∠BAC， 故答案为：A． 分析：根据角平分线的判定定理结合已知条件即可解答. 2. B 考点：角平分线的性质 解：D作DE⊥BC于点E，如图所示， 在Rt△ABD中， ， ∵BD平分∠ABC，由角平分线的性质可得DE=AD=6， 故答案为：B. 分析：在Rt△ABD中，利用勾股定理可求AD，再过D作DE⊥BC于点E，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=AD. 3. C 考点：三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质 解：   平分 ，     故答案为：C． 分析：根据三角形的内角和求解 利用角平分线的性质与三角形的外角的性质可得答案 4. D 考点：角平分线的性质，线段垂直平分线的性质 解：∵ED为BC的垂直平分线 ∴DB=DC ∴∠C=∠DBC ∵BD为△ABCB的角平分线 ∴∠ABD=∠DBC ∴∠C=∠DBC=∠ABD=30° ∵DA⊥BA，DE⊥BC ∴DE=AD=2 ∴CD=2ED=2AD=4 故答案为：D. 分析：根据线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质，即可得到DE=AD=2，求出CD的长度即可。 5. C 考点：角平分线的性质 解：∵角平分线上的点到这个角两边的距离相等 ∴凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点. 故答案为：C. 分析：利用角平分线的性质求解即可。 6. B 考点：三角形全等的判定 解：①作∠BAC的平分线AD交BC于点D，可得 （AAS）则△ABD≌△ACD，即可得AB=AC，故①符合题意； ②取BC边的中点D，连接AD，得BD=CD，AD=AD，∠B=∠C，根据这些条件不能判断△ABD≌△ACD，故②不符合题意； ③过点A作AD⊥BC，垂足为点D，得 （AAS）则△ABD≌△ACD，即可得AB=AC，故③符合题意； ④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点D，过已知点不能作出已知线段的垂直平分线，辅助线作法不符合题意，故④不符合题意； 故答案为：B． 分析：根据已知和作辅助线所得的条件，对每一种方法进行分析，看能否判定△ABD≌△ACD即可． 7. C 考点：角平分线的性质 解：①∵∠AOC=∠BOC ∴OC平分∠AOB，即OC为∠AOB的角平分线，正确； ②∵∠AOC=∠AOB ∴∠AOB=2∠AOC=∠AOC+∠BOC ∴∠AOC=∠BOC ∴OC平分∠AOB，即OC为∠AOB的平分线。 ③∵∠AOC+∠BOC=∠AOB ∴假设∠AOC=30°，∠BOC=40°，，∠AOB=70°，但是OC不是∠AOB的平分线；④∵∠AOB=2∠BOC=∠AOC+∠BOC ∴∠AOC=∠BOC ∴OC平分∠AOB，即OC为∠AOB的角平分线，正确； 故答案为：C. 分析：根据角平分线的判定和性质，分别进行判断得到答案即可。 8. A 考点：全等三角形的判定与性质 解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N； ∵∠BAD＝∠BCD＝90° ∴四边形AMCN为矩形，∠MAN＝90°； ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN； 在△ABM与△ADN中，   ∴△ABM≌△ADN（AAS）， ∴AM＝AN（设为a）；△ABM与△ADN的面积相等； ∴四边形ABCD的面积＝正方形AMCN的面积； 由勾股定理得：AC2＝AM2＋MC2 ， 而AC＝8； ∴2a2＝64，a2＝32， 故答案为：A. 分析：作辅助线；证明△ABM≌△ADN，得到AM＝AN，△ABM与△ADN的面积相等；求出正方形AMCN的面积即可解决问题. 9. C 考点：全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质 解：如图, 连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F. ∵ 的垂直平分线 交 的平分线 于点 ，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴BD=AD，DE=DF．∴Rt△AED≌Rt△BFD． ∴BF=AE． 又∵∠ECD=∠FCD，∠CED=∠CFD，CA=CA，∴Rt△CED≌Rt△CFD， ∴CE=CF， 设AE的长度为x，则CE=10-x，CF=CB＋BF= CB＋AE= 4＋x, ∴可列方程10-x=4＋x，x=3，∴AE=3； 故答案为：C. 分析：连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=AD，DE=DF，依据HL定理可判断出Rt△AED≌Rt△BFD，根据全等三角形的性质即可得出BF=AE，再运用AAS定理可证得Rt△CED≌Rt△CFD，证出CE=CF，设AE的长度为x，根据CE=CF列方程求解即可． 10. A 考点：角平分线的性质 解：过点P作PE⊥BC于E． ∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD． ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD． ∵PE=4，∴PA=PD=4，∴AD=PA+PD=8． 故答案为：A． 分析：过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又PE=4，进而求出AD的长． 二、填空题 11. 4 考点：全等三角形的判定与性质 解：∵AB∥CF， ∴∠A=∠ACF， 在△AED和△CEF中 ， ∴△AED≌△CEF（AAS）， ∴FC=AD=5cm， ∴BD=AB-AD=9-5=4（cm）. 故答案为：4. 分析：根据二直线平行，内错角相等得出∠A=∠ACF，从而利用AAS判断出△AED≌△CEF，根据全等三角形的对应边相等得出FC=AD=5cm，从而根据BD=AB-AD即可算出答案. 12. 5 考点：角平分线的性质 解：作DE⊥AB于E， ∵BC＝20，BD＝15， ∴CD＝20﹣15＝5， ∵∠1＝∠2，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝5. 故答案是：5. 分析：作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出DE＝CD＝5. 13. 考点：全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质 解：如图，连接CD，DB，作DM⊥AB于一点M， ∵AD平分∠A， ∴ ， 在△AFD和△AMD中， ， ∴△AFD≌△AMD(AAS)， ∴AF=AM， ∵DE垂直平分线BC， ∴CD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）， ∵AD平分∠A，DF⊥AC，DM⊥AB， ∴DF=DM（角平分线上的点到角的两边距离相等） ∵∠AFD=∠DMB=90°， ∴Rt△CDF≌Rt△BDM(HL)， ∴BM=CF， ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 分析：根据角平分线的性质结合全等三角形的判定定理得出△AFD≌△AMD，即可得出AF=AM，再利用线段垂直平分线的性质得出CD=BD，根据HL得出Rt△CDF≌Rt△BDM，即可得出CF=BM，即可得出答案． 14. 2 考点：角平分线的性质 解：过点P作PD⊥OA于点D， ∵OP平分∠AOB，PB⊥OB，PB＝2cm， ∴PD＝PB＝2cm， 故答案为2． 分析：过点P作PD⊥OA于点D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD＝PB，从而得解． 15. 5:7:6 考点：三角形的面积，角平分线的性质 解：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC，PF⊥AC， ∵△ABC的角平分线交于点P， ∴PD=PE=PF. ∵S△ABP= AB PD，S△BCP= BC PE，S△ACP= AC PF， ∴S△ABP∶S△BPC∶S△APC= AB PD： BC PE： AC PF=AB：BC：AC=5：7：6. 分析：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC，PF⊥AC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PD=PE=PF，根据根据三角形的面积计算方法，由等高三角形的面积之比就等于底之比即可得出答案. 三、解答题 16. （1）证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC， ∴∠CEA=90°，∠BFA=90°， 在△ABF和△ACE中， ， ∴△ABF≌△ACE（AAS）； （2）证明：∵△ABF≌△ACE， ∴AF=AE， 又∵AF⊥DF，AE⊥DE， ∴A点在∠EDF的平分线上. 考点：全等三角形的判定与性质 【解析】分析：（1）根据AAS可直接证明△ABF≌△ACE；（2）由△ABF≌△ACE可得AF=AE，结合AF⊥DF，AE⊥DE可得A点在∠EDF的平分线上. 17. （1）30° （2）解：设∠AOC为x°，则∠BOD为x°, 则∠BOE=x+15，∠BOC=2x+30 ∠BOC+∠AOC=180 2x+15+x=180 x=50°，∠AOC=50° （3）解：α＝2β， 理由如下： ∵ ∠COD是直角，∠DOE＝β， ∴ ∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣β， ∵ OE平分∠BOC ， ∴ ∠BOC＝2∠COE＝2（90°﹣β）， ∵ ∠AOC+∠BOC＝180°， ∴ α+2（90°﹣β）＝180°， ∴ α＝2β 考点：角平分线的性质 【解析】分析：（1）根据∠DOE的度数以及∠COD为直角，即可得到∠COE的度数，根据OE为∠COB的平分线，根据平角的性质得到∠AOC的度数即可； （2）根据题意，可以设∠AOC=∠BOD为x°，根据角之间的等量关系进行等量代换，根据平角的性质求出∠AOC的度数即可； （3）根据直角的性质，结合角平分线的性质，即可得到∠BOC的度数，由平角的性质，即可得到α与β的关系。 18. （1）证明：如图1， ∵∠FAD+∠CAE=90°，∠FAD+∠F=90°， ∴∠CAE=∠AFD， 在△ADF和△ECA中， ， ∴△ADF≌△ECA（AAS）， ∴AD=CD，FD=AC， ∴CE+CD=AD+CD=AC=FD，即EC+CD=DF； （2）证明：如图2， 过F点作FD⊥AC交AC于D点， ∵△ADF≌△ECA， ∴FD=AC=BC， 在△FDG和△BCG中， ， ∴△FDG≌△BCG（AAS）， ∴GD=CG， ∵ =3 ∴ ∴ ， ∵AD=CE，AC=BC ∴ ， ∴E点为BC中点； （3） 考点：全等三角形的判定与性质 解：过F作FD⊥AG的延长线交于点D，如图3， ∵ ，BC=AC，CE=CB+BE， ∴ ， 由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB， ∴CG=GD，AD=CE， ∴ ， ∴ ． 分析：（1）通过全等三角形△ADF≌△EDA的对应边相等得到：AD=CD，FD=AC，则利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系证得结论；（2）过F点作FD⊥AC交AC于D点，根据（1）中结论可得FD=AC=BC，即可证明△FGD≌△BCD，可得DG=CG，根据 =3可证 ，根据AD=CE，AC=BC，即可解题；（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，易证 ，由（1）（2）可知△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，可得CG=GD，AD=CE，即可求得 的值，即可解题． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $