2.3 一元二次方程的根与系数的关系（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元二次方程的根与系数的关系，课堂导入先复习求根公式和判别式，通过“想一想”引导学生思考根与系数的深层联系，搭建从已知到新知的学习支架。 其亮点在于通过合作探究和实例验证培养抽象能力，代数推导发展推理意识，应用实例提升模型意识。如例3利用公式变形求根的平方和，当堂反馈含高频易错题，助力学生掌握知识，教师高效教学。

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 第二章 一元二次方程 北师版 九年级（上） 1. 探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点） 素养目标 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？ 2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？ 对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式 Δ = b2 - 4ac. 当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ＜0 时，方程无实数根. 复习导入 由前面的学习我们知道，如果 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) (a≠0，x1，x2 是实数)， 那么一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 必有两个实数根， x = x1，x = x2。 反过来，如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个实数根，那么 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) 一定成立吗？ 探究点1：一元二次方程根与系数的关系 新知探究 (1) 2x² - 3x + 1 = 0 的两根为 x1 = ，x2 = 1，那么 2x² - 3x + 1 和 2(x - )(x - 1) 相等吗？ 换几个一元二次方程再试一试。 2(x - )(x - 1) = 2(x² - x - x + ) = 2(x² - x + ) = 2x² - 3x + 1 相等。 【合作探究】 探究点1：一元二次方程根与系数的关系 新知探究 试一试：下列几个一元二次方程是否有上述结论. ①方程 x² - 5x + 6 = 0； ②方程 3x² - 7x + 2 = 0. 求根：x1 = 2，x2 = 3. 因式分解： (x − 2)(x − 3) = x² - 5x + 6， 与原多项式相等。 求根：x1 = ，x2 = 2. 因式分解： 3(x − )(x − 2) = 3x² - 7x + 2，与原多项式相等。 探究点1：一元二次方程根与系数的关系 新知探究 (2) 你认为 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)是否一定成立？与同伴进行交流。 如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个实数根，那么 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)。 探究点1：一元二次方程根与系数的关系 新知探究 思考 · 交流 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有两个实数根 x1，x2 ，那么这两个实数根与该方程的系数有怎样的关系呢？与同伴进行交流。 事实上，因为 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)，而a(x - x1)(x - x2) = ax2 - a(x1 + x2) x + ax1·x2 ， 所以 b = - a(x1 + x2)， c = ax1x2 能证明它们为什么成立吗？ 探究点1：一元二次方程根与系数的关系 新知探究 所以 x1＋x2＝ 因为 x1＝ ，x2＝ . x1·x2＝ ＝ . 于是 探究点1：一元二次方程根与系数的关系 新知探究 如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 的两个实数根 x1，x2 ，那么 由此我们可以得到一元二次方程的根与系数的关系： 【归纳总结】 满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac≥0. 探究点1：一元二次方程根与系数的关系 新知探究 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2 + 7x + 6 = 0； 解：这里 a = 1，b = 7， c = 6 . Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 ×6 = 49 – 24 = 25＞0. 所以方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = –7， x1 x2 = 6. 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 新知探究 (2) 2x2 - 3x - 2 = 0. x1 + x2 = ， x1 x2 = -1. 解：这里 a = 2，b = –3， c = -2. Δ = b2 − 4ac = (−3)2 – 4×2×(−2) = 9 + 16 = 25 ＞ 0， 所以方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 新知探究 所以 x1·x2 = 2x2 = ，即 x2 = 由于 x1 + x2 = 2 + = ， 解得 k = -7. 答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7. 例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. 解： 因方程有两个实数根，故 Δ = k² + 120，则 k 是任意数. 设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2. 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 新知探究 例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 新知探究 【知识拓展】常见的求值式子如下： 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 新知探究 15 1.设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则 (1) x1 + x2 = ； (2) x1·x2 = ； (3) ； (4) (x1 - x2)2 = . 4 1 14 12 归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 【练一练】 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 新知探究 2. 已知 x1，x2 是方程 x2 - x - 2026 = 0 的两个实数根，则代数式 x13 - 2026x1 + x22 的值是 ( ) A. 4053 B. 4052 C. 2026 D. 2025 A x12-x1-2026=0 x12 -2026= x1 x13-2026x1+x22 x1(x12-2026)+x22 x12+x22 (x1+x2)2-2x1x2 x2-x-2026=0 x1+x2=1，x1x2 =-2026 4053 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 新知探究 一元二次方程的根与系数的关系 内 容 如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根 ，那么 应 用 …… 课堂小结 1. 设下列方程的两个根均为α，β，不解方程，直接 写出两根的和与积. (1)x2＋4x－1＝0； α＋β＝ ；α·β＝ ⁠. (2)2x2＋4x＋1＝0； α＋β＝ ；α·β＝ ⁠. (3)6x2－x＝2x2＋3. α＋β＝ 　 　；α·β＝ 　－ 　. －4　 －1　 －2　 　 　 － 　 当堂反馈 2. 设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用 根与系数的关系，求下列各式的值： (1) ＋ ； 解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝ － . (1) ＋ ＝ ＝ ＝ . 解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－2， x1x2＝－ . (1) ＋ ＝ ＝ ＝ . 当堂反馈 (2) ＋ . 解： ＋ ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－ ) ＝7. 解： ＋ ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－ ) ＝7. 2. 设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用 根与系数的关系，求下列各式的值： 当堂反馈 3. [高频易错]已知关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k2 －k＋1＝0有两个实数根. (1)求k的取值范围； 解：∵方程有两个实数根， ∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2－k＋1)≥0， 解得k≥ . 解：∵方程有两个实数根， ∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2－k＋1)≥0， 解得k≥ . 当堂反馈 3. [高频易错]已知关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k2 －k＋1＝0有两个实数根. (2)若该方程有两个实数根x1，x2，且(x1＋1)(x2＋1) ＝11，求k的值. 　　　 易错通关：需考虑k的值满足Δ≥0. 当堂反馈 解：∵x1＋x2＝－2k－1，x1x2＝k2－k＋1，(x1＋ 1)(x2＋1)＝11， ∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝11， 即k2－k＋1－2k－1＋1＝11. 整理得k2－3k－10＝0， 解得k1＝－2，k2＝5. ∵k≥ ，∴k＝5. 解：∵x1＋x2＝－2k－1，x1x2＝k2－k＋1， (x1＋1)(x2＋1)＝11， ∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝11， 即k2－k＋1－2k－1＋1＝11. 整理得k2－3k－10＝0， 解得k1＝－2，k2＝5. ∵k≥ ， ∴k＝5. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $