人教版2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷培优卷（湖北省武汉市专用）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数，通过选择、填空、解答题分层考查，融入商品利润、篱笆围场等实际情境，培养运算能力、模型意识与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程定义、函数平移|基础概念辨析，如第2题平移规律| |填空题|6/18|根的判别式、函数性质|小综合应用，如第14题飞机滑行距离| |解答题|8/72|方程解法、函数综合、实际应用|分层设计，21题利润问题培养模型意识，24题函数与几何结合提升推理能力|

人教版2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷培优卷（湖北省武汉市专用） 测试范围：第25章一元二次方程、第26章二次函数(考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列方程中，关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（    ） A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位； B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位； C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位； D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位； 3．关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为 A． B．0 C．1 D．或1 4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列关于抛物线 的结论，正确的是（    ） A．开口方向向上 B．对称轴为直线 C．当时， 函数有最小值为 D．当时， y随x的增大而减小 7．已知一元二次方程的两根为，则的值是（ ） A．2 B． C． D．3 8．若一个二次函数的图象经过五个点、、、和，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 9．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为，则所列方程应为（    ） A． B． C． D． 10．二次函数的图像如图所示，对称轴为，抛物线与轴交点分别为和，且．下列结论：①；②；③方程有两个实数根分别为和；④．其中正确的是（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11．一元二次方程：的解为：______． 12．已知：是二次函数，且当时，随的增大而减小，则的值为 ________ ． 13．方程有两个相等的实数根，则______． 14．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是，那么飞机着陆后最后10秒滑行______米． 15．一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程的一个根，则这个三角形的周长是_____． 16．关于二次函数的五个结论：①函数最小值是；②对于任意实数，都有与对应的函数值相等；③无论取何值时，抛物线必过两个定点；④若抛物线与轴交于两个不同的交点，且两交点距离小于等于6，则或；⑤若，对应的的整数值有4个，则一定有或，其中正确的结论是___________ 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解下列方程： (1) (2) 18．如图，现有长的篱笆，要利用一面长的墙围成一个养鸡场，鸡场的一边靠墙，其它三边及中间的隔栏都用篱笆围成．若鸡场的总面积为，求鸡场垂直于墙的边长． 19．已知关于x的一元二次方程有两个实数根， (1)求实数m的取值范围； (2)若 ，求m的值． 20．抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在B左侧，与y轴交于点C． (1)点C坐标为_________，顶点坐标为_________； (2)当x满足时，y的取值范围是_________； (3)当y满足时，x的取值范围是_________． 21．小商品市场一经营者将进价为每件60元的某种小商品按每件80元出售．一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种小商品单价每降低元，其销量可增加5件．设该小商品每件降价x元，该经营者一天可获利润y元． (1)求y与x的函数关系式（不需要写自变量x的取值范围） (2)若该经营者经营该商品一天要获利润1890元，每件商品应降价多少元？ (3)当x取何值时，该经营者所获利润最大？最大利润为多少元？ 22．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线的顶点，求的面积． 23．数学思想、方法是数学的灵魂，若能灵活运用，会使得问题解决更简洁．“整体思想”就是一种非常重要的数学思想，换元法能达到简化运算的目的．例如，解方程时，可以将看作一个整体，采用换元法求解，设，则原方程可以变形为，整理得，解得，所以，解得，经检验是原方程的根． (1)用换元法解方程时，如果设，则原方程可以变形为 ； (2)用换元法解方程； (3)已知是一元二次方程的一个实数根，求的值． 24．如图，抛物线的顶点在轴正半轴上，且过点和点 (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在抛物线上是否存在点（不与点重合）使的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A A C D D A D B 11．或 12． 13．9 14．120 15． 16．②③ 17．【详解】（1）解：， ， ， ∴； （2）解：， ， ∴， ∴． 18．【详解】解：设鸡场垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 依题意， 整理得 解得或 当时，则，故舍去， 当时符合题意； ∴鸡场垂直于墙的边长为 19．【详解】（1）， ∵， ∴， ∴， ∴实数的取值范围是； （2），， 又∵， ∴， ∴， 解得，， 又∵， ∴， ∴即的值为． 20．【详解】（1）解：把代入得，， ∴点坐标为， ∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：把代入得，， 解得，， ∴当时，或， 故答案为：或． 21．【详解】（1）解：依题意，得； （2）解：依题意，得， 即， 解得，（舍去）． 故每件商品应降价元． （3）解：根据题意，得． 当时，元． 故当时，该经营者所获利润最大，且最大利润为元． 22．【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得： ， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 点的坐标为， 连接， ． 23．【详解】（1）解：用换元法解方程时，如果设，则原方程可以变形为（或）； 故答案为：（或）； （2）解：设，则原方程可以变形为， 整理得， 解得，， 当时，， 整理得， 解得，， 经检验，都是原方程的根， 当时，，整理得， ， 该方程无实数根， 综上可得，原方程的解为，； （3）解：是一元二次方程的一个实数根， ， ，， ． 24．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴正半轴上， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得， ∵抛物线的顶点在轴正半轴上， ∴顶点的坐标为； ∵点，点， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：存在，过程如下： 当点在的上方时， ∵的面积与的面积相等， ∴点到的距离等于点到的距离相等， ∴， ∵点，点， ∴设的解析式为， ∴， 解得， ∴的解析式为， ∵， ∴设的解析式为， ∵顶点的坐标为 ∴， ∴的解析式为， 依题意得， ∴， 整理得， 解得或， ∵顶点的坐标为； ∴把代入，得， ∴点P的坐标为； 当点在的下方时， ∵的解析式为，且记与的交点为点， ∴点的坐标为， 则， ∴， 即直线向下平移个单位到，则向下平移个单位得到的直线经过原点O， 即直线的解析式为， ∵的面积与的面积相等， ∴点到的距离等于点到的距离相等， 即与二次函数的交点分别是， 联立 解得， 点的坐标为；点的坐标为； 综上：点P的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $