精品解析：湖北黄冈市实验中学2025-2026学年上学期九年级10月学情自测数学试题

2025-2026学年黄冈市实验中学学校九年级（上）月考数学试卷（10月） 一．选择题（共8小题） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程需要同时满足三个条件：1、 是整式方程 ，2 、只含有一个未知数； 3、 未知数的最高次数为2，根据三个条件逐一判断选项即可． 【详解】解：A、方程含有2个未知数，属于二元一次方程，不是一元二次方程； B、分母含有未知数，属于分式方程，不是一元二次方程； C、方程是整式方程，只含1个未知数，且未知数最高次数为2，是一元二次方程； D、方程含有2个未知数，属于二元二次方程，不是一元二次方程． 2. 已知、、、依次成比例线段，其中，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵、、、依次成比例线段，，，， ∴， ∴． 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 4. 如图，直线，， ，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据可得，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ，， ∴， 解得， 故选：B． 5. 正方形的一条对角线长为8，则正方形的面积是（　　） A. 16 B. 64 C. 32 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和菱形面积公式，解题的关键是掌握菱形面积公式（对角线乘积的一半）．根据正方形是特殊菱形的性质，利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：∵ 正方形是特殊的菱形，对角线相等且互相垂直， ∴ 正方形面积 ， 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中 与 是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形的对应坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 与 的位似比为， ∵B点坐标为， ∴点D的坐标为， 故选：C． 7. 春节期间某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设每日票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设平均每天票房的增长率为x，分别表示出三天的票房，根据三天累计票房为亿元列方程即可． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为 ， ∵第一天票房约为3亿元，增长率为 ， ∴第二天票房为亿元，第三天票房为亿元， ∵三天累计票房为亿元， ∴可列方程． 8. 如图． 经过圆心O，是的一条弦，，是的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，便得 ． 条件①：平分 条你②： 条件③： 则所有可以添加的条件序号是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，令 ，交于点，由垂径定理可知，，，则 ，若选条件①，可是，证，可得 ，若选条件②，可知，得，设，则，可得，，则，可得，若选条件③，可知，即可证，进而可证，得 ，可知 ，即可判断答案． 【详解】解：连接，，令 ，交于点， ∵ 经过圆心O，是的一条弦，， ∴，， 则 ， 若选条件①，∵平分 ， ∴， ∴， ∴ ，故①符合题意； 若选条件②，∵ ， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵，则， ∴， 设，则， ∴，， 则， ∴ ，即，故②不符合题意； 若选条件③，∵，即： ∴， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∴ ，故③符合题意； 综上，所有可以添加的条件序号是①③， 故选：B． 【点睛】本题属于几何综合题，考查了垂径定理，切线的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 二．填空题（共10小题） 9. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 10. 如果一个矩形的宽与长的比值为，人们就称它为“黄金矩形”．现需制作一个符合黄金矩形的相框，若相框的长为3米，则相框的宽为_________米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金比的定义及应用，解题的关键是掌握黄金比的计算公式．先根据黄金比的定义求出相框的宽，再代入数据计算即可． 【详解】解：黄金矩形的宽与长的比值为，相框的长为米， 相框的宽为（米）． 故答案为：． 11. 《九章算术》勾股卷有一题目：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门十五里有木，问出南门几何里而见木？大意是：如图，今有长方形城池，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各方中央开有城门，出东门里有树，则出南门____________里见到树． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出 是解决此题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意得：（里），（里），里， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 即：， 解得：里； 即：出南门里见到树． 故答案为： 12. 关于 的一元二次方程的一个根是0，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的定义，把，代入方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】解：把，代入方程，得：， 解得：， ∵， ∴； 故答案为： 13. 如图，点O是正方形的中心，．在中，，过点D，，分别交 ，于点G，M，连接 ，，．若，，则的值为_________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用三角函数和勾股定理求出线段 、 的长度，再过点作于点，证明得到 ，进而推出为中点，然后利用直角三角形斜边中线性质和三角形中位线定理分别求出 和 的长度，最后计算的值． 【详解】解：如图，连接，过点F作于点H， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中，， 又， ∴， ， 故答案为：． 14. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到一元二次方程两根之和与两根之积的值，再将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得：，. ∴． 15. 已知，则k的值为_________． 【答案】1或 【解析】 【分析】先由题意得m，n，p都不为0，则，故，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵， ∴m，n，p都不为0， ∴， 三个式子相加得， 则， 当时， 解得， 当时，则， ∴， 综上所述，k的值为1或． 16. 小明和小亮在如图所示的地毯上做投球游戏，已知正六边形是的内接正六边形，则球落在阴影部分的概率为_______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查几何概率，正六边形的性质，熟练掌握概率公式是解题的关键．将阴影部分进行转化为，进行计算即可． 【详解】解：正六边形中，， ∴， ， ∴， ∴， ∴球落在阴影部分的概率为， 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点在抛物线上．若以点为顶点的三角形与相似，则点的坐标为_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】过点O作直线的垂线，交抛物线于点，连接，再求出直线的关系式，即可得出直线的关系式，然后将两个关系式联立可得点，最后说明，同时抛物线与 轴的交点满足条件，则此题可解． 【详解】解：过点O作直线的垂线，交抛物线于点，连接，抛物线与 轴交于点 ∵直线经过点， ∴， ∴直线． 过直线上任意一点F作轴，交于点G，设点，则， ∵点， ∴， 在中，． ∵ ， ∴， ∴， 即， ∴直线的关系式为， 将两个关系式联立，得， 解得， ∴点， 此时点在上，且轴， ∴． ∵， ∴， ∴点D的坐标为或． 连接， ∴, ∴, ∴, , 则点为点满足条件 ∴点D的坐标为或或． 18. 对于一个三位自然数n，将各个数位上的数字分别乘以2后，取其个位数字，得到三个新的数字x，y，z，我们对自然数n规定一个运算：，例如： ，其各个数位上的数字分别乘以2后，再取其个位数字分别是：4，8，4，则．则______；若已知两个三位数，（b，c为整数，且，），若能被9整除，则的最大值是______． 【答案】 ①. 40 ②. 192 【解析】 【分析】根据新定义计算，可得的值；先用、 的解析式表示，再根据整除的性质列出关于、 的关系式从而求得、 的值，最后根据的定义求出结果即可． 【详解】解：的各个数位上的数字分别乘以2后，再取其个位数字分别是：0，6，2， ； ∵， ， ∴ ， ∵能被9整除， ∴是9的倍数， ∵b，c为整数，且，， ∴， ∴， ∴， ∵，c均为整数， ∴或， 当时，， ∴， ； 当时，， ∴， ； 的最大值为192． 三．解答题（共8小题） 19. 用配方法解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2）， 【解析】 【分析】用配方法计算即可． 【小问1详解】 解： ， ∴ ， ； 【小问2详解】 解： ，． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的两实数根为满足，求k的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合一元二次方程根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得出方程解之即可． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：∵方程的两实数根为， ， ， ， 解得：． 21. 2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量．某中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D． ），下面给出了部分信息：八年级20名学生的成绩是：68，69，77，84，85，86，86，86，89，90，90，94，94，94，94，97，98，99，100，100．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，86，88，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 89 90 a 九年级 89 b 92 （1）填空： ______； ______， ______； （2）根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条） （3）该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市航天科普知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率． 【答案】（1）25，94，87 （2） 八年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好． 理由如下： ∵两个年级学生成绩的平均数相同，但八年级成绩的中位数高于九年级， ∴八年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好； （3） 【解析】 【分析】（1）先求出九年级C组占比，进而即可得出m的值，根据众数和中位数的定义即可得出a、b的值； （2）可从平均数、众数、中位数角度分析解答； （3）先列表求出所有可能的结果数，再找出必有甲同学参加比赛的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 在八年级的成绩中 出现次，次数最多， 故； 九年级成绩中D组人数为人， 中位数应是排列后居于第位和位数据的平均数，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 — （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） — （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） — （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） — 由表格可知，所有等可能的结果共有12种，其中必有甲同学参加比赛的结果有6种，可得． 22. 如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时大华的影长GH=5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度． 【答案】路灯杆AB的高度为7m． 【解析】 【分析】找出图中的相似三角形，利用三角形相似的性质解决即可． 【详解】∵CD∥AB， ∴△EAB∽△ECD， ∴=，即=①， ∵FG∥AB， ∴△HFG∽△HAB， ∴=，即=②， 由①②得，=， 解得，BD=7.5， ∴=， 解得，AB=7． 答：路灯杆AB的高度为7m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．在本题中关键是两组相似三角形中的公共边和身高，这两个量的性质，人的身高不变，AB是公共边，这样就可以解决了． 23. 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°， ∴∠BPA＋∠DPC＝120° ∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°， ∴∠DPC＋∠PDC＝120°， ∴∠BPA＝∠PDC， ∴△ABP∽△PCD ； （2）3． 【解析】 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，证明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定义与三角形的内角和定理证明：∠BPA＝∠PDC，从而可得结论； （2）由 ，先求解，设 ，再利用相似三角形的性质可得：，列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）∵2BP＝3CD，且BP＝1， ∴， ∵△ABP∽△PCD ， 设 ，则 ， ∴ 经检验： 是原方程的解， 所以三角形的边长为：3． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键． 24. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在2月和3月分两次购入甲、乙两款头盔．2月购入了第一批，购入甲款头盔的数量是购入乙款头盔数量的2倍还多50，甲、乙两种头盔的购入单价分别为40元和60元，共用去资金23000元． （1）求第一批购入甲、乙两款头盔的数量； （2）3月恰逢开学季，随着家长接送孩子，头盔需求量增加．甲款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数，涨幅不超过 ）．批发店决定，若甲款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批甲款头盔的数量减少2个．因乙款头盔单价与第一批相同，所以乙款头盔的购入数量在第一批乙款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了3100元，求甲款头盔的单价上涨了多少元？ 【答案】（1）第一批购入甲款头盔350个，购入乙款头盔150个 （2）甲款头盔的单价上涨了5元 【解析】 【分析】（1）设第一批购入乙款头盔的数量为x个，则第一批购入甲款头盔的数量为个.，根据费用和为元建立一元一次方程求解； （2）设甲款头盔的单价上涨了元，根据题意建立一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设第一批购入乙款头盔的数量为x个，则第一批购入甲款头盔的数量为个.， 由题意得， 解得 ， 则甲款头盔的数量为， 答：第一批购入甲款头盔350个，购入乙款头盔150个； 【小问2详解】 解：设甲款头盔的单价上涨了元， 由题意得，， 整理得，， 解得或， 由题意得，， ∴舍去， 答：甲款头盔的单价上涨了5元． 25. 【模型建立】如图1，等腰直角三角形中，，，直线 经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【模型运用】如图2，在平面直角坐标系中，等腰 ，， ， 与 轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点B、D两点的坐标； 【模型拓展】如图3，直线 上有一点A，x轴上有一点，且满足，直接写出点A的坐标________． 【答案】 （1）证明：， ． ，， ， ， ． 在 与中， ， ． （2），；（3） 【解析】 【分析】（1）证明 ，进而用即可证明； （2）过点作轴于．证明推出，，可得，求出直线 的解析式，即可解决问题； （3）作于B，交的延长线于K，作轴于T，轴于F，设，则，，证明，得到，由此得到，设直线的解析式为，将，代入得到，解方程求出a值即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图1，过点作轴于， AI 点的坐标为，点的坐标为， ， ， 等腰 ，， ， 又轴， 轴轴， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设直线 的解析式为 ， ，， ， ， 直线 的解析式为， 与 轴交点， ； （3）作于B，交的延长线于K，作轴于T，轴于F，如图： 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，运用面积法解决问题，属于压轴题． 26. 综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边 ，重合，再展开，折痕与 交于点． 第二步：如图（2），在 上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长 交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在 上，折痕与 交于点． （1）【初步发现】探究图（2）中和 的位置关系． （2）【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． （3）【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与 交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 【答案】（1） ，理由如下， 矩形， ， ， ，， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出，再根据平行线的判定方法即可得到结论； （2）连接，设，，先证明，得到，再证明，得到，根据勾股定理得出，即可得到答案； （3）分两种情况：当时，得出四边形是正方形，得出；当时，过点作于点，则，再证明，得到，，证明，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，， 如图（3），连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：当时，如备用图（1）， ， ， ， 四边形是正方形， 当时， 如图（4），过点作于点， 则， ，，， ， ， ； ， ∴ ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年黄冈市实验中学学校九年级（上）月考数学试卷（10月） 一．选择题（共8小题） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知、、、依次成比例线段，其中，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 如图，直线，， ，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 5. 正方形的一条对角线长为8，则正方形的面积是（　　） A. 16 B. 64 C. 32 D. 4 6. 如图，在平面直角坐标系中 与 是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 春节期间某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设每日票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图．经过圆心O，是的一条弦，，是的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，便得 ． 条件①：平分 条你②： 条件③： 则所有可以添加的条件序号是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二．填空题（共10小题） 9. 若，则_________． 10. 如果一个矩形的宽与长的比值为，人们就称它为“黄金矩形”．现需制作一个符合黄金矩形的相框，若相框的长为3米，则相框的宽为_________米（结果保留根号）． 11. 《九章算术》勾股卷有一题目：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门十五里有木，问出南门几何里而见木？大意是：如图，今有长方形城池，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各方中央开有城门，出东门里有树，则出南门____________里见到树． 12. 关于 的一元二次方程的一个根是0，则的值为______． 13. 如图，点O是正方形的中心，．在中，，过点D，，分别交，于点G，M，连接 ，，．若，，则的值为_________________ ． 14. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 15. 已知，则k的值为_________． 16. 小明和小亮在如图所示的地毯上做投球游戏，已知正六边形是的内接正六边形，则球落在阴影部分的概率为_______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点在抛物线上．若以点为顶点的三角形与相似，则点的坐标为_______． 18. 对于一个三位自然数n，将各个数位上的数字分别乘以2后，取其个位数字，得到三个新的数字x，y，z，我们对自然数n规定一个运算：，例如： ，其各个数位上的数字分别乘以2后，再取其个位数字分别是：4，8，4，则．则______；若已知两个三位数，（b，c为整数，且，），若能被9整除，则的最大值是______． 三．解答题（共8小题） 19. 用配方法解方程 （1）； （2）． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的两实数根为满足，求k的值． 21. 2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量．某中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D． ），下面给出了部分信息：八年级20名学生的成绩是：68，69，77，84，85，86，86，86，89，90，90，94，94，94，94，97，98，99，100，100．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，86，88，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 89 90 a 九年级 89 b 92 （1）填空： ______； ______， ______； （2）根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条） （3）该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市航天科普知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率． 22. 如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时大华的影长GH=5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度． 23. 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 24. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在2月和3月分两次购入甲、乙两款头盔．2月购入了第一批，购入甲款头盔的数量是购入乙款头盔数量的2倍还多50，甲、乙两种头盔的购入单价分别为40元和60元，共用去资金23000元． （1）求第一批购入甲、乙两款头盔的数量； （2）3月恰逢开学季，随着家长接送孩子，头盔需求量增加．甲款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数，涨幅不超过 ）．批发店决定，若甲款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批甲款头盔的数量减少2个．因乙款头盔单价与第一批相同，所以乙款头盔的购入数量在第一批乙款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了3100元，求甲款头盔的单价上涨了多少元？ 25. 【模型建立】如图1，等腰直角三角形中，，，直线 经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【模型运用】如图2，在平面直角坐标系中，等腰 ，， ，与 轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点B、D两点的坐标； 【模型拓展】如图3，直线 上有一点A，x轴上有一点，且满足，直接写出点A的坐标________． 26. 综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长 交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在 上，折痕与 交于点． （1）【初步发现】探究图（2）中和 的位置关系． （2）【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． （3）【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $