15.1.2 课时1 线段的垂直平分线的性质与判定 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质、判定及互逆命题，通过复习轴对称性质及垂直平分线概念导入，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生自然过渡。 其亮点在于以折叠探究活动培养几何直观（数学眼光），通过SAS、HL全等证明发展推理能力（数学思维），规范符号语言强化数学语言。互逆命题结合对顶角相等的逆命题实例构建知识网络，学生能提升探究与推理能力，教师可借助清晰结构高效教学。

（人教版）八年级上 第十五章 轴对称 15.1.2.1线段的垂直平分线的性质与判定 22051 学习目标 1. 了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立； 2.探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理. 22051 轴对称 及其性质 (1)成轴对称的两个图形全等； (2)无论是轴对称图形，还是成轴对称的两个图形，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 相关概念 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称. 性质 复习导入 22051 知识点1 线段的垂直平分线的性质 探究：如图，直线 l 垂直平分线段 AB，点 P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点 P1，P2，P3，… 与点 A 的距离和这些点与点 B 的距离，你有什么发现？对此有什么猜想？ A B l P1 P2 P3 如果把线段沿直线对折，线段与、 线段与、线段与......都是重合的. 发现：P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B······ 猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如何证明你的猜想？ 22051 猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，直线 l ⊥ AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上. 求证：PA = PB. A B l P C 证明：当点P与点C不重合时， ∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB = 90°． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． 当点P与点C重合时，显然成立 22051 03 新知讲解 探究 如图，直线 l 垂直平分线段 AB，点 P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点 P1，P2，P3，… 与点 A 的距离和这些点与点 B 的距离，你有什么发现？ A B l P1 P2 P3 P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B······ 22051 03 新知讲解 探究 如果把线段 AB 沿直线 l 对折，线段 P1A 与 P1B，P2A 与 P2B，P3A 与 P3B··· 都重合吗？它们都分别相等吗？ A B l P1 P2 P3 都重合，都分别相等. 22051 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 几何语言： ∵直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上， ∴PA = PB. A B l P C 注：用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等. 22051 如图，在△ABC中，线段BC的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E， BE＝5，则CE的长是(　C　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 C 22051 03 新知讲解 猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 22051 03 新知讲解 验证结论 　 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 　证明：当点P与点C不重合时， ∵ l⊥AB， ∴∠PCA =∠PCB． 　　又 AC =CB，PC =PC， 　　∴△PCA≌△PCB（SAS）． 　　∴ PA =PB． A B P C l 当点P与点C重合时，显然成立 22051 知识点2 线段垂直平分线的判定 思考：把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗? 你有什么猜想？ PA = PB 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 猜想：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 如何证明你的猜想？ 22051 猜想：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 如图，在△ABP 中， PA = PB. 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 证明：过点 P 作线段 AB 的垂线 PC，垂足为 C． 则∠PCA =∠PCB = 90°． A B P C 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵ PA = PB，PC = PC， ∴ Rt△PCARt△PCB（HL），∴ AC =BC． 又 PC⊥AB，∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上. 22051 03 新知讲解 思考 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 已知：如图，在△ABP 中 PA = PB. 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 猜想：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 A B P 22051 03 新知讲解 证明：过点P 作线段AB 的垂线PC， 垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵　PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上． P A B C 思考 22051 线段垂直平分线的判定： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． A B l P C 符号语言： ∵PA =PB， ∴点P 在AB 的垂直平分线上． 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 22051 如图，在△ABC中，点D在BC上，且AD＝CD，则点D在(　A　) A. AC的垂直平分线上 B. ∠BAC的平分线上 C. BC的中线上 D. AB的垂直平分线上 A 22051 03 新知讲解 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 用符号语言表示为： ∵ CA =CB，l⊥AB， ∴ PA =PB． A B P C l 性质定理 22051 03 新知讲解 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 应用格式： ∵PA =PB， ∴点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 22051 知识点3 互逆命题与互逆定理 思考：分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 两个命题的题设、结论正好相反. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 22051 我们把具有题设、结论正好相反这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 注意：一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的； 而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立. 22051 03 新知讲解 思考 分析下面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 两个命题的题设、结论正好相反. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 22051 03 新知讲解 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的； 而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立. 22051 ①线段的垂直平分线的性质与判定； ②角的平分线的性质与判定； ③“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”； ······ 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 思考：你能列举一些我们学过的互逆定理吗？ 22051 03 新知讲解 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 在几何中，有许多互逆的定理. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理， “两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理. 22051 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 22051 26 线段的垂直平分线 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 判定定理 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 性质定理 互逆命题 互逆定理 22051 谢谢大家聆听 22051 $