15.1.2 线段的垂直平分线-【七彩课堂】2026-2027学年八年级上册数学一课一练（人教版）

15.1.2线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定 基础通关 □线段垂直平分线的判定 四线段垂直平分线的性质 6.如图，AC=AD,BC=BD,则有 1.下列说法错误的是 ( A.过“到线段两端点距离相等的点”的直线是 线段的垂直平分线 B.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距 离相等 A.AB垂直平分CD C.线段有且只有一条垂直平分线 B.CD垂直平分AB D.线段的垂直平分线是一条直线 2.如图，用两根钢索加固直立的电线杆，若要使 C.AB与CD互相垂直平分 AB与AC的长相等，可添加条件 D.CD平分∠ACB 这样做的理由是 7.如图，直线PO与线段AB交于点O,PA=PB, 下列结论正确的是 （) D 3.如图所示，在△ABC中，AB的垂直平分线与 BC的垂直平分线的交点M恰好在AC上，且 0 AC=16cm,则BM的长为 A.AO=BO B.POLAB C.PO是AB的垂直平分线 第3题图 第4题图 D.点P在线段AB的垂直平分线上 4.如图，在△ABC中，AD L BC,垂足为D,EF垂8.下列说法中，正确的有 () 直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,BD= (1)点P到线段两个端点的距离相等，且点P DE,若△ABC的周长为26cm,AF=5cm,则 在直线1上，则直线1是该线段的垂直平 DC的长为 5.如图，在长方形纸片ABCD中，E为BC上 分线； 点，将纸片沿AE对折，点B落在AC上的F (2)两个成轴对称的图形的对称点一定在对 处，若点F恰好为AC中点，求∠ACB的度数 称轴的两侧； (3)到角的两边距离相等的点一定在这个角 的角平分线上； (4)两角及其夹边分别相等的两个三角形 全等 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 27 能力突破 ! 素养达标 9.如图，在锐角三角形ABC中，直线L为线段BC14.推理能力已知：△ABC 的垂直平分线，射线m平分∠ABC,l与m相 (1)如图1，P为△ABC内部一点，且点P在 交于点P.若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP BC的中垂线L1上，PA=PB. 等于 ①求证：点P在AC的中垂线上； ②如图2，AC的中垂线为2，若∠1=39°，求 ∠APB的度数， (2)如图3，L1和L2分别是BC和AC的中垂线， Z1和L2在△ABC外部交于点P,其所夹的锐角 A.24° B.30° C.32° D.42° 为a,直接写出∠APB与a的关系， 10.如图，在△ABC中，AD是BC的垂直平分线， 若BC=6,AD=8,则图中阴影部分的面积是 () A.48 B.24C.12 D.6 11.如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分 图3 线DE交BC的延长线于点E,交AC于点F, 交AB于点D,连接BF.若BC=6cm,BD= 5cm,则△BCF的周长为 A.16 cm B.15 cm C.20 cm D.无法计算 第11题图 第12题图 12.如图，在△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平 分线DE交AC于点D,交BC于点E,且 ∠EAB:∠CAE=3:1,则∠C=（) A.28°B.25°C.22.5°D.20° 13.如图，DP所在直线是BC的垂直平分线，垂 足是P,DP与∠BAC的平分线AD相交于点 D,若∠BAC=86°，则∠BDC= 28 第2课时作轴对称图形的对称轴 基础通送 四作对称轴 经过直线外一点作已知直线的垂线 4.下图有几条对称轴？作出对称轴： 1.如图，已知：直线AB和AB外一点C,用尺规 作AB的垂线，使它经过点C.步骤如下：①任 意取一点K;②以点C为圆心，CK长为半径作 弧，交AB于点D,E;③分别以点D和点E为 圆心，以a长为半径作弧，两弧相交于点F; 5.用尺规作出下图的对称轴.（保留作图痕迹） ④作直线CF,直线CF就是所求作的垂线.下 列说法正确的是 1 2 A.对点K,a长无要求 R点天与点C在AB同侧，a≥Dn 能力突破 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，根据尺规作图 C点K与点C在B异侧.a>号DE 的痕迹，判断以下结论错误的是 D.点K与点C在AB同侧，a<2DE 四尺规作线段的垂直平分线 2.如图，在△ABC中，∠B=65°，∠C=30°，分别 A.DE=DC B.AE=AC 以点A和点C为圆心，大于)AC的长为半径 C.AD=BD D.∠BDE=∠BAC 7.尺规作图：在∠ABC内找一点P,使它到 画弧，两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC ∠ABC的两边的距离相等，并且到点A,C的 于点D,连接AD,则∠BAD的度数为（ 距离也相等.（不写作法，保留作图痕迹) A.45° B.55 C.60° D.65 M D 第2题图 第3题图 3.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆 心，大于之AC的长为半径画弧，两弧相交于点 M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E.若 △ABC的周长为23cm,△ABD的周长为 13cm,则AE的长为 cm. 29 8.如图，△ABC和△A'B'C关于直线MN对称， 素养达标 △A'B'C'和△A"B"C关于直线EF对称. 10.应用意识·创新意识把一个图形先沿着一 (1)画出直线EF; 条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线 (2)直线MN与EF相交于点O,试探究 平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫 ∠BOB"与直线MN,EF所夹锐角a的数量 做滑动对称变换.在自然界和日常生活中， 关系 存在大量的这种图形变换（如图1）.结合轴 对称变换和平移变换的有关性质，你认为在 滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如 图2)的对应点所具有的性质是什么？请类 比轴对称的性质（如果两个图形关于某条直 线对称，那么这条直线垂直平分任何一对对 应点所连线段)说出你的结论，并说明理由. 图1 图2 9.如图，在△ABC中，∠C=90° (1)用直尺和圆规作BC的垂直平分线l,交斜 边AB于点O; (2)猜想：点O是AB的什么特殊点？证明你 的猜想； (3)点O在AC的垂直平分线上吗？说明 理由； (4)结合(2)(3)，你有何发现？ 30(2)解：由△FGC≌△EBC知， 又F为AC中点， 1 ∴.EF是AC的垂直平分线. S四边形ECGF=S助形FEBc=S四边形ABD=2S长方形BCD= .AE =EC. 24B.40=分×8x4=16 ∴.∠FAE=∠FCE. ∴.在直角三角形ABC中，∠BAE=∠FAE= 所以四边形ECGF(阴影部分)的面积为16. 12.解：如图，把正方形沿对称轴1对折，重合数字 ∠F0E=90×号=30 之和均为10，故所有数字之和为10×10+5× 即∠ACB=30°. 5=125. 6.A7.D8.A 12345 9.C【解析】.BP平分∠ABC, 23456 ∴.∠ABP=∠CBP. 34367 45678 ,直线I是线段BC的垂直平分线， 56789 .BP=CP. 15.1.2 线段的垂直平分线的性质 ∴.∠CBP=∠BCP ∴.∠ABP=∠CBP=∠BCP. 第①课时线段垂直平分线的性质和判定 .∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°， 1.A ∠ACP=24°， 2.BD=DC线段垂直平分线上的点到这条线段 .3∠ABP+24°+60°=180°.獬得∠ABP=32°. 两端点的距离相等（答案不唯一）》 10.C11.A12.A 3.8cm【解析】在△ABC中，AB的垂直平分线 13.94【解析】如图，过点D作DE⊥AB,交AB 与BC的垂直平分线的交点M恰好在AC上， 的延长线于点E,DF⊥AC于点F. .AM-GM-BM-7AC. 又.AC=16cm, ∴.BM=8cm. 4.8cm【解析】小.EF是AC的垂直平分线，AF= 5 cm, .'AC =2AF=10 cm,AE EC. :AD是∠BAC的平分线，∴.DE=DF 又.△ABC的周长为26cm, .DP是BC的垂直平分线，∴.BD=CD ∴.AB+BC=16cm. 在Ri△DEB和R△DFC中，DE=DF, [DB=DC, 又.AD⊥BC,垂足为D,BD=DE, .AD是BE的垂直平分线. ∴.Rt△DEB≌Rt△DFC(HL) .AB=AE.∴.AB=EC ∴.∠BDE=∠CDF.∴.∠BDC=∠EDF .∠DEB=∠DFA=90°， DC-=EC+DE=AB+BD-x16=8(cm). ∴.∠EAF+∠EDF=180°. 5.解：：长方形纸片ABCD中，E为BC上一点，将 ,∠BAC=86°，∴.∠BDC=∠EDF=94°. 纸片沿AE对折， 14.（1)①证明：如图1，连接PC. ,∠B=∠AFE=90°，∠BAE=∠FAE. .点P在BC的中垂线L1上，.PB=PC <14>》 PA =PB,..PA PC. 等，得D正确 ∴.点P在AC的中垂线上 7. 解：如图所示，则点P即为所求 P G 8.解：(1)如图，连接B'B”,作B'B"的垂直平分线 图1 图2 EF,即为所求. ②解：由题意，易证∠1=∠C,∠CAP+∠CBP= ∠C.如图2，延长BP交AC于点Q,则可得 ∠APB=∠AQB+∠CAP=∠C+∠CBP+ A ∠CAP,即∠APB=2∠C=2∠1=78. (2)∠APB=2. 第②课时作轴对称图形的对称轴 (2)如图，连接B0,B'0,B"O. 1.C2.B .△ABC和△A'B'C'关于直线MW对称， 3.5【解析】由题意，可得直线MN是线段AC的 ∴.∠BOM=∠B'OM. 又，△A'B'C和△A"B"C"关于直线EF对称， 垂直平分线，则AB=EC=2AC,AD=DC .∠B'OE=∠B"OE. △ABC的周长为23cm,△ABD的周长为13cm, .∠BOB"=∠BOM+∠B'OM+∠B'OE+ .AB+BC +AC=23,AB+BD +AD=AB +BD+ ∠B"OE=2(∠B'OM+∠B'OE)=2a. DC=AB BC=13 9.解：(1)作图如图所示 AC=23-13=10(cm）.Ab=24C=5cm 4.解：有6条对称轴，如图. (2)0是AB的中点. 证明：OE是BC的垂直平分线， .OC=OB 5.解：如图所示. ∴.∠OCB=∠B. (1) 2 .∠OCB+∠OCA=90°，∠B+∠A=90°， ∴.∠OCA=∠A. ∴.OA=0C.又.OC=OB, .OA =OB. 6.C【解析】根据作图痕迹知，AD平分∠CAE, ∴.点O是AB的中点 DE⊥AB.由角平分线的性质知A,B正确； (3)解：点O在AC的垂直平分线上.理由如下： 在Rt△ABC和Rt△DBE中，由∠B的余角相： 0A=0C, <15> .点O在AC的垂直平分线上 (4)解：结合(2)(3)可知，直角三角形三边的 垂直平分线相交于斜边的中点. 10.解：两个对应三角形的对应点所具有的性质 是对应点的连线被对称轴平分， 理由略。 堂方法点拨 连接AA'交对称轴于点O,分别过，点A, 9.D A'作对称轴的垂线，垂足分别为M,N.证明 10.(1)解：如图1所示，点P即为所求.（答案不 △AM0O≌△A'N0即可得出结论. 唯一，点P在AC或BD上且不与顶点及中点 重合) 15.2画轴对称图形 第①课时 画轴对称图形 1.A 2.B【解析】当以点B为原点时，A(-1,-1), 图 图2 图3 C(1,-1),则点A和点C关于y轴对称，符合 (2)解：如图2所示，点P即为所求， 条件 (3)证明：如图3，连接P1A,P1D,P1B,P2C, 3.B P2D,P2B. 4.(1)垂线M,P,N 由题意，得∠APD=∠AP1B,∠DP1C= (2)G,I,H DM GM FN IN EP HP ∠BP1C.∠AP1D+∠APB+∠DPC+ (3)GI IH GH△GHⅢ ∠BP1C=360°，∴.∠AP1B+∠BP1C=180°， 5.书【解析】补全字母，如图所示. ∠APD+∠DPC=180°.∴.点P1在AC上， BOOK 同理，点P2也在AC上.易证△DPP2≌ △BP1P2, ∴.DP1=BP1,DP2=BP2 6.解：(1)如图所示，四边形A'B'CD'即为所求 .点B,D关于AC对称 设P为P1P2上任一点，连接PD,PB. 由对称性知∠DPA=∠BPA,∠DPC=∠BPC, ∴.点P为四边形ABCD的半等角点，即线段 PP2上任一点也是它的半等角点. 第②课时用坐标表示轴对称 (2)Sm+5nc 1.D2.B 4×3=8. 3.B【解析】点A(x,3)和B(4,y)关于y轴 7.D 对称， 8.解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角 ∴.x=-4,y=3. 形共5个，如图所示. .(x+y)2023=(-1)203=-1. <16>》