学易金卷：八年级数学9月学情自测卷（福建专用，新教材人教版八上第13～14章：三角形+全等三角形）

**基本信息** 2026-2027学年八年级数学9月学情卷聚焦三角形核心内容，以基础巩固为基、能力提升为脉、创新应用为峰，通过生活情境（如窗钩固定、池塘测量）与几何模型（如“K字模型”）融合，考查几何直观与推理能力，适配月考学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|三角形三边关系、稳定性、全等判定|结合生活实例（窗钩固定考稳定性），基础概念辨析| |填空题|6/24|尺规作图、全等性质、中线周长|尺规作图痕迹分析，考查动手操作与空间观念| |解答题|8/86|全等证明、模型应用、综合探究|含“K字模型”应用（第24题）、四边形角平分线综合（第25题），体现逻辑推理与创新意识|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D C C A C D B B A 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11． 12．（答案不唯一） 13．21 14．/度 15．5 16． 三、解答题：本题共8小题，第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，第25题13分． 17． 【详解】；对顶角相等；······（2分） 等量代换；······（3分） ；······（4分） ；······（5分） ；······（6分） ；······（7分） 内错角相等，两直线平行······（8分） 18． 【详解】解：∵，，······（3分） ∴······（5分） ∴， 答：池塘的宽为．······（8分） 19． 【详解】(1)证明：如图，延长交于点H，······（1分） 因为（已知），（对顶角相等），······（2分） 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补，两直线平行），······（3分） 所以（两直线平行，内错角相等）， 又因为（已知），······（4分） 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）；······（5分） (2解：因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）．······（6分） 因为， 所以．······（8分） 20． 【详解】(1)证明：∵， ∴，······（1分） 在和中， ，······（3分） ∴．······（4分） (2)解：由（1）已证：， ∴，，······（6分） ∵，， ∴，， ∴．······（8分） 21． 【详解】解：点在的平分线上，理由如下： 如图，过点作于点，连接，······（1分） ∵和的平分线交于点，且，，，······（3分） ∴，， ∴，······（5分） 又∵点在的内部， ∴点在的平分线上．······（8分） 22． 【详解】（1）解：依题意 ∴；······（3分） （2）证明：， ．  ······（5分） ······（6分） （3）解：如图①，直线与相交所成的锐角的度数为 如图②，直线与相交所成的锐角的度数为······（10分） 23． 【详解】(1)解：∵与的平分线相交于点， ∴······（1分） ， ∵， ∴， 故答案为：；······（4分） (2)，理由如下， ∵外角，的角平分线交于点， ······（5分） ， ······（8分） ，······（10分） 24． 【详解】（1）解：∵， ∴，；······（2分） （2）解：过点E作于点P，过点B作于点G，过点D作于点H， ∵， ∴，······（3分） ∴， ∵， ∴， ∴，······（4分） ∴， ∵， ∴， ∴，······（5分） 又∵， ∴， ∴，，······（6分） 同理，， ∴，， ∴，······（7分） ∴， ， ， ， ， ∴，······（8分） 答：图中实线所围成的图形的面积为； （3）(3)证明：过点D作于点M，过点E作于点N， 由（1）可知，当，，，时， ， ∴，······（9分） 同理，， ∴， ∴，······（10分） ∵，， ∴， 又∵，······（11分） ∴， ∴， 即点G是的中点． ······（13分） 25． 【详解】（1）解：延长到点，使．再连接，如图，······（1分） ∵， ∴，······（2分） ∵， ∴，······（3分） ∴， ∵，， ∴， ∴；······（4分） （2）仍然成立，理由如下： 延长到点，使得，如图所示：······（5分） ∵，， ∴，······（6分） ∵， ∴， ∴，······（7分） ∵，， ∴， ∴；······（8分） （3）解：在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴，······（9分） ∵， ∴， ∴，，······（10分） ∵，， ∴， ∴，······（11分） ∵， ∴， ∴，即， ∴，······（12分） ∵，，， ∴， ∴．······（13分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．以下列线段为边能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 3．如图，两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，已知，要使，只需要添加一个条件是（     ） A． B． C． D． 6．中，各角的度数有下列关系：，则一定是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 7．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，是的外角．求证：． 甲、乙的证明过程如下所示，下列判断正确的是（     ） 甲的证法：， ， ， 乙的证法：如图，过点作， ， ， A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都不正确 D．甲、乙的都正确 8．如图，在中，，点在边上，过点作，过点作，交的延长线于点，．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于边上的点处，于点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在等腰和等腰中，大于，顶角与顶角均为，，交于点M，连接．有下列结论：①；②；③；④点O在的平分线上． 其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分． 11．如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出________°． 12．如图，点D，E在的边上，，其中B ，C为对应顶点，D，E为对应顶点，写出一个正确的结论为______． 13．如图，是的中线，的周长为，比长．则的周长为________． 14．如图，，，则的度数________． 15．如图，射线平分，点D，Q分别在射线，上，若，的面积为10，过点D作于点P，则的长为______． 16．如图，直角三角形中，，点为边上一点，且，连接交延长线于，且为线段的中点，若，，则面积为______． 3、 解答题：本题共8小题，第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题13分，第25题13分． 17．完成下面的证明． 已知，如图，是直线，，．求证：． 证明：∵（已知） （ ） ∴（ ） ∵（已知） 在中， 同理，在中， ； ∴ （等量代换） ∵（已知） ∴ （两直线平行，同位角相等） ∴ （等量代换） ∴（ ） 18．小红在公园游玩时发现一池塘，她想知道池塘的宽，由于不能直接测量，她设计了如下方案： 主题 测量池塘的宽 测量方案及示意图 ①在池塘旁的开阔地上确定一点，使点能够直接到达池塘两端，，测得的度数； ②在的另一侧作射线，使，沿着射线走与长相同的距离到点处； ③测量出． 根据以上信息，求池塘的宽． 19．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 20．如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 21．如图，的外角和的平分线交于点P，于点M，于点N，判断点P是否在的平分线上，并说明理由． 22．在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺和，探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．其中，． (1)如图①，点在边上，点在边的延长线上，则的大小为_____度． (2)如图②，固定图①中的，将绕着点逆时针旋转，使点在的内部，求证：． (3)固定图①中的，将绕着点逆时针旋转度（），其他条件不变．若和的直角边在同一条直线上，则直线与相交所成的锐角的度数为_____． 23．在中，与的平分线相交于点． (1)如图①，若，则______________；（用的代数式表示，请直接写出结论） (2)如图②，作外角、的角平分线交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 24．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 25．综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2007年秋季八年级数学9月学情自测卷 答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分． 11．_________ 12．_________ 13．_________ 14．_________ 15．_________ 16．_________ 三、解答题（共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）证明：∵（已知） （ ） ∴（ ） ∵（已知） 在中， 同理，在中， ； ∴ （等量代换） ∵（已知） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ∴ （两直线平行，同位角相等） ∴ （等量代换） ∴（ ） 18． （8分） 19． （8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．以下列线段为边能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 3．如图，两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，已知，要使，只需要添加一个条件是（     ） A． B． C． D． 6．中，各角的度数有下列关系：，则一定是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 7．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，是的外角．求证：． 甲、乙的证明过程如下所示，下列判断正确的是（     ） 甲的证法：， ， ， 乙的证法：如图，过点作， ， ， A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都不正确 D．甲、乙的都正确 8．如图，在中，，点在边上，过点作，过点作，交的延长线于点，．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于边上的点处，于点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在等腰和等腰中，大于，顶角与顶角均为，，交于点M，连接．有下列结论：①；②；③；④点O在的平分线上． 其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分． 11．如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出________°． 12．如图，点D，E在的边上，，其中B ，C为对应顶点，D，E为对应顶点，写出一个正确的结论为______． 13．如图，是的中线，的周长为，比长．则的周长为________． 14．如图，，，则的度数________． 15．如图，射线平分，点D，Q分别在射线，上，若，的面积为10，过点D作于点P，则的长为______． 16．如图，直角三角形中，，点为边上一点，且，连接交延长线于，且为线段的中点，若，，则面积为______． 3、 解答题：本题共8小题，第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题13分，第25题13分． 17．完成下面的证明． 已知，如图，是直线，，．求证：． 证明：∵（已知） （ ） ∴（ ） ∵（已知） 在中， 同理，在中， ； ∴ （等量代换） ∵（已知） ∴ （两直线平行，同位角相等） ∴ （等量代换） ∴（ ） 18．小红在公园游玩时发现一池塘，她想知道池塘的宽，由于不能直接测量，她设计了如下方案： 主题 测量池塘的宽 测量方案及示意图 ①在池塘旁的开阔地上确定一点，使点能够直接到达池塘两端，，测得的度数； ②在的另一侧作射线，使，沿着射线走与长相同的距离到点处； ③测量出． 根据以上信息，求池塘的宽． 19．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 20．如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 21．如图，的外角和的平分线交于点P，于点M，于点N，判断点P是否在的平分线上，并说明理由． 22．在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺和，探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．其中，． (1)如图①，点在边上，点在边的延长线上，则的大小为_____度． (2)如图②，固定图①中的，将绕着点逆时针旋转，使点在的内部，求证：． (3)固定图①中的，将绕着点逆时针旋转度（），其他条件不变．若和的直角边在同一条直线上，则直线与相交所成的锐角的度数为_____． 23．在中，与的平分线相交于点． (1)如图①，若，则______________；（用的代数式表示，请直接写出结论） (2)如图②，作外角、的角平分线交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 24．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 25．综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 3.测试范围：新教材人教版八年级上册第1314章。 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上 1.以下列线段为边能组成三角形的是() A.2cm,2cm,5cm B.3cm,4cm,7cm C.4cm,6cm,lcm D.6cn,7cn,5cm 2.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这种做法的依据是() A B A.两点之间线段最短 B.矩形的对称性 C.矩形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性 3.如图，两个三角形全等，则∠的度数是() 509 人58 72°入 b A.72° B.58 C.50° D.40° 1/10 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 4.把一块直尺与一块三角板如图放置，若A=40°，则∠2的度数为() A.120° B.125° C.130° D.135° 5.如图，已知∠A=∠D,要使△ABC≌△DBC,只需要添加一个条件是（) A.∠ABC=∠DBCB.AB=DB C.AC=DC D.∠ACD=∠ABC 6.△ABC中，各角的度数有下列关系：∠A=2∠B=3∠C,则△ABC一定是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 7.定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知：如图，∠ACD是△ABC的外角.求证：∠ACD=∠A+∠B. C D 甲、乙的证明过程如下所示，下列判断正确的是() 乙的证法：如图，过点C作CE‖AB, .∠A=1,∠B=∠2 :∠ACD=A+∠2， 甲的证法：：∠A+∠B+∠ACB=180°， .∠ACD=∠A+∠B ∠ACD+∠ACB=180P, A ∴.∠ACD+∠ACB=∠A+∠B+∠ACB, E ∴.∠ACD=∠A+∠B 2 B C D A.只有甲的正确B.只有乙的正确 C.甲、乙的都不正确D.甲、乙的都正确 2/10 画学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 8.如图，在△ABC中，∠ACB=9O°，点D在BC边上，过点D作DE⊥BC,过点E作EF⊥AB,交BC的 延长线于点F,AB=EF.若DE=4,BF=8,则CF的长是() A.3 B.4 C.5 D.6 9.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠ADC的平分线DE与∠DAB的平分线AE交于BC边上的 点E处，EF⊥AD于点F.若BC=12,则EF的长为() B A.5 B.6 C.7 D.8 10.如图，在等腰△AOB和等腰△COD中，OA大于OC,顶角∠AOB与顶角∠COD均为40°，AC,BD 交于点M,连接MO.有下列结论：①AC=BD:②△AOC≌△BOD;③∠CMD=∠COD:④点O在∠BMC 的平分线上. 其中正确的结论有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分 11.如图，根据尺规作图所留痕迹，已知∠BAC=40°，可以求出∠DAC= D 3/10 画学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 12.如图，点D,E在△ABC的边BC上，△ABD2△ACE,其中B,C为对应顶点，D,E为对应顶点，写出 一个正确的结论为 B 13.如图，AD是△ABC的中线，△ABD的周长为24Cm,AB比AC长3cIm.则△ACD的周长为 cm. D 14.如图，∠B=∠E-5°，∠C=115°，则∠D的度数 D B 15.如图，射线OC平分∠AOB,点D,Q分别在射线OC,OB上，若O2=4,△ODQ的面积为10，过点D 作DP⊥OA于点P,则DP的长为. B 16.如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为BC边上一点，AD L DE且AD=DE,连接EB交 AC延长线于F,且B为线段EF的中点，若BD=2,AF=14,则△ABC面积为一 D 4/10 学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 三、解答题：本题共8小题，第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题13分，第25题13分. 17.完成下面的证明 己知，如图，BCE、AFE是直线，AB‖CD,∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD∥BE. 6 证明：.∠3=∠4（已知) ∠4= ( .∠3=∠5( .∠1=∠2（已知) 在△ABC中，∠B=180°-(A+∠3) 同理，在△ADF中， 、 ∴∠B= (等量代换) .AB‖CD（已知) .∠B= (两直线平行，同位角相等) (等量代换) .AD∥BE( ) 18.小红在公园游玩时发现一池塘，她想知道池塘的宽AB,由于不能直接测量，她设计了如下方案： 主题 测量池塘的宽AB ①在池塘旁的开阔地上确定一点C,使点C能够直 B 接到达池塘两端A,B,测得∠ACB的度数： 测量方案及示 ②在AC的另一侧作射线CD,使∠ACD=∠ACB,沿 意图 着射线CD走与BC长相同的距离到点D处； ③测量出AD=12m. 根据以上信息，求池塘的宽AB, 5/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.如图，已知，1+∠2=180°，∠3=B. D (I)求证：DE∥BC; (2)若∠AED=55°，∠B=45°，求∠A的度数. 20.如图，点A在线段CD上，已知BC∥DE,BC=CD,∠BAC=∠E. D E B∠ (I)求证：△ABC≌△ECD (2)若DE=5,BC=13,求AD的长， 6/10 画学科网·学易金卷 www .zxxk .com 做好卷，就用学易金卷 21.如图，△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线交于点P,PM⊥AD于点M,PN⊥CE于点N,判断点P 是否在∠ABC的平分线上，并说明理由. D M 22.在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺△ABC和△CDE,探索与研究共直角项点C的两个直 角三角形中的位置关系与数量关系.其中∠A=30°，∠D=45°. 图① 图② (I)如图①，点E在边AC上，点D在边BC的延长线上，则∠AED的大小为度. (2)如图②，固定图①中的△ABC,将△CDE绕着点C逆时针旋转，使点E在∠ACB的内部，求证： ∠BCE=∠ACD. (3)固定图①中的△ABC,将△CDE绕着点C逆时针旋转a度(0°<a≤180°)，其他条件不变.若△ABC 和△CDE的直角边在同一条直线上，则直线AB与DE相交所成的锐角的度数为 7/10 学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23.在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P. A A B 9 图① 图② (1)如图①，若∠BPC=,则∠A= :（用的代数式表示，请直接写出结论) (2)如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q,试探究∠BOC与∠BPC之间的数量关系， 并说明理由， 8/10 画学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24.通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： D B B A G E F D B 6 A D 图1 图2 图3 (I)【模型呈现】如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.由 A+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D.又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE.进而得到 AC= :,BC=,我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中 实线所围成的图形的面积. (3)[深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F, DE与直线AF交于点G.求证：点G是DE的中点. 9/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 25.综合探究 【初步探索】 G D 图1 图2 图3 (I)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90,E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+FD,探究图1中∠BAE，,∠FAD,∠EAF之间的数量关系.小颖同学探究此问题的方法是：延 长FD到点G,使DG=BE,再连接AG,先说明△ABE≌△ADG,再说明△AEF≌AAGF,可得出结论，他 的结论应是 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立？请说明理由 【拓展延伸】 (3)己知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD的延 长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,若∠C=62°，求∠EAF的度数. 10/102026-2007年秋季八年级数学9月学情自测卷 答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码. 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 斯 意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 23 .23 23 效；在草稿纸、试题卷上答题无效 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 45 45 破. 6 5 正确填涂■ 789 6789 23456789 23456789 456789 23456789 123456789 123456789 123456789 123456789 缺考标记 选择题（每小题4分， 共40分) 1[A][B][CI[D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][CI[D] 6[A1[B1[C1[D1 10[A][B][C][D] 設 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][CI[D] 二、 填空题：本题共6小题， 每题4分，共24分 12 13 14 15 16. 三、解答题（共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(8分)证明：·.∠3=∠4（已知） 阳 ∠4= .∠3=∠5 .1=∠2（已知） 在△ABC中，∠B=180°-(A+∠3) 同理，在△ADF中。 希 .∠B (等量代换) ABII CD (已知)》 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ∠B= (两直线平行，同位角相等) (等量代换) '.AD∥BE 18.(8分) B 19. (8分) D 3> E 1 B C 20.(8分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) D M D A B E 22.(10分) E 图① 图② 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) B 图① 图② 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(13分) b2/ 图3 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(13分) 图1 图2 图3 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）: 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 O (考试时间：120分钟，分值：150分) : : 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 : 写在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材人教版八年级上册第1314章。 .: 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上 : 1.以下列线段为边能组成三角形的是() A.2cm,2cm,5cm B.3cm,4cm,7cm C.4cn,6cm,lcm D.6cn,7cn,5cn : : 2.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这种做法的依据是() O 常 O A.两点之间线段最短 B.矩形的对称性 : : C.矩形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性 3.如图，两个三角形全等，则∠的度数是() : 509 : 那 : 人58 72 ·: A.72° B.580 : C.50° D.40° 4.把一块直尺与一块三角板如图放置，若☑1=40°，则∠2的度数为() 试题第1页（共8页） : : ·: 可学科网·学易金卷做规品：限彩是” A.120° B.125° C.130° D.135° 5.如图，已知∠A=∠D,要使△ABC≌△DBC,只需要添加一个条件是() A.∠ABC=DBCB.AB=DB C.AC=DC D.∠ACD=∠ABC 6.△ABC中，各角的度数有下列关系：∠A=2∠B=3∠C,则△ABC一定是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 7.定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知：如图，∠ACD是△ABC的外角.求证：∠ACD=∠A+∠B. A 甲、乙的证明过程如下所示，下列判断正确的是() 乙的证法：如图，过点C作CE‖AB, .∠A=∠1，∠B=∠2 甲的证法：，∠A+∠B+∠ACB=180°， ∠ACD=∠1+∠2， ∠ACD+∠ACB=180°， .∠ACD=∠A+∠B .∠ACD+∠ACB=∠A+∠B+∠ACB, A E ..∠ACD=∠A+∠B D A.只有甲的正确 B.只有乙的正确 C.甲、乙的都不正确 D.甲、乙的都正确 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，过点D作DB⊥BC,过点E作EF⊥AB,交BC的 试题第2页（共8页） 列学科网·学易金卷做好微：就限是音普 延长线于点F,AB=EF,若DE=4,BF=8,则CF的长是() B D A.3 B.4 C.5 D.6 9.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠ADC的平分线DE与∠DAB的平分线AE交于BC边上 的点E处，EF⊥AD于点F.若BC=12,则EF的长为() E A.5 B.6 C.7 D.8 10.如图，在等腰△AOB和等腰△COD中，OA大于OC,顶角∠AOB与顶角∠COD均为40°，AC,BD 交于点M,连接MO.有下列结论：①AC=BD:②△AOC≌△BOD:③∠CMD=∠COD;④点O在∠BMC 的平分线上， D 其中正确的结论有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 第IⅡ卷 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分. 11.如图，根据尺规作图所留痕迹，己知∠BAC=40°，可以求出∠DAC=° 试题第3页（共8页） D B 12.如图，点D,E在△ABC的边BC上，△ABD2△ACE,其中B,C为对应顶点，D,E为对应顶点， 写出一个正确的结论为 兵 张 D 13.如图，AD是△ABC的中线，△ABD的周长为24Cm,AB比AC长3Cm.则△ACD的周长为 cm 河 游 D C 14.如图，∠B=∠E-5°，∠C=115°，则∠D的度数 A E B 15.如图，射线OC平分∠AOB,点D,Q分别在射线OC,OB上，若O2=4,△ODQ的面积为10，过 点D作DP⊥OA于点P,则DP的长为 斑 世 B 16.如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为BC边上一点，AD⊥DE且AD=DE,连接EB交AC 延长线于F,且B为线段EF的中点，若BD=2,AF=14,则△ABC面积为一 ● O 试题第4页（共8页） 三、解答题：本题共8小题，第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题13分，第25题13 分 O 17.完成下面的证明. 已知，如图，BCE、AFE是直线，AB‖CD,∠I=∠2，∠3=∠4.求证：AD∥BE. : D 16 C 证明：，∠3=∠4（已知） ∠4= .∠3=∠50 .: : ,∠1=∠2（已知） 尽 在△ABC中，∠B=180°-(A+∠3) .… 同理，在△ADF中， .: .∠B= (等量代换) O O ,ABICD(已知) ∠B= (两直线平行，同位角相等) ∴_（等量代换） ∴.AD//BE ( 18. 小红在公园游玩时发现一池塘，她想知道池塘的宽AB,由于不能直接测量，她设计了如下方案： .: 主题 测量池塘的宽AB : O ①在池塘旁的开阔地上确定一点C,使点C能够直接到 达池塘两端A,B,测得∠ACB的度数； : 测量方案及示 ②在AC的另一侧作射线CD,使∠ACD=∠ACB,沿 意图 着射线CD走与BC长相同的距离到点D处； : 分 ③测量出AD=12m. 根据以上信息，求池塘的宽AB. .: .. 试题第5页（共8页） 可学科网·学易金卷做好赞：就限彩是鲁普 19.如图，已知，1+∠2=180°，∠3=∠B. E (1)求证：DE∥BC: (2)若∠AED=55°，∠B=45°，求∠A的度数. 20.如图，点A在线段CD上，己知BC∥DE,BC=CD,∠BAC=∠E. D B (1)求证：△ABC≌△ECD (2)若DE=5,BC=13,求AD的长. 21.如图，△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线交于点P,PM⊥AD于点M,PN⊥CE于点N,判断 点P是否在∠ABC的平分线上，并说明理由. 0 E 试题第6页（共8页） @学科网·学易金卷做好烧：限彩是 22.在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺△ABC和△CDE,探索与研究共直角顶点C的两个直 角三角形中的位置关系与数量关系.其中∠A=30°，∠D=45°. 图① 图② (1)如图①，点E在边AC上，点D在边BC的延长线上，则∠AED的大小为度 (2)如图②，固定图①中的△ABC,将△CDE绕着点C逆时针旋转，使点E在∠ACB的内部，求证： ∠BCE=∠ACD (3)固定图①中的△ABC,将△CDE绕着点C逆时针旋转a度(0°<a≤180°)，其他条件不变.若△ABC和 △CDE的直角边在同一条直线上，则直线AB与DE相交所成的锐角的度数为一 23.在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P. B 9 图① 图② (1)如图①，若∠BPC=,则∠A= (用a的代数式表示，请直接写出结论) (2)如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q,试探究∠BQC与∠BPC之间的数量关系， 并说明理由， 24.通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： D B A E B D 6 14 图1 图2 图3 试题第7页（共8页） (1)【模型呈现】如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.由 O A+∠2=∠2+∠D=90°，得∠I=∠D.又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到 AC=,BC=·我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角"模型； (2[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中 实线所围成的图形的面积 (3[深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F, 兵 DE与直线AF交于点G.求证：点G是DE的中点. 25.综合探究 张 【初步探索】 G 江 游 图1 图2 图3 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+FD, 探究图1中∠BAE,∠FAD,∠EAF之间的数量关系.小颖同学探究此问题的方法是：延长FD到点G, .: 使DG=BE.再连接AG,先说明△ABE≌△ADG，,再说明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是 S 时 必 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+FD, 世 上述结论是否仍然成立？请说明理由， .: 【拓展延伸】 .. (3)已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD的延 长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,若∠C=62°，求∠EAF的度数， 试题第8页（共8页） 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．以下列线段为边能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系逐项判断即可． 【详解】解：A. ，不能组成三角形； B. ，不能组成三角形； C. ，不能组成三角形； D. ，能组成三角形． 2．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 3．如图，两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质，求解即可； 【详解】解：根据题意，得对的角是，对的角是，对的角是， 根据两个三角形全等，得对的角是， 故的度数是； 4．把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， ， ， ， ， ， ． 5．如图，已知，要使，只需要添加一个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、根据，和能推出，故本选项符合题意； B、根据，，不能推出，故本选项不符合题意； C、根据，和不能推出，故本选项不符合题意； D、根据，和不能推出，故本选项不符合题意． 6．中，各角的度数有下列关系：，则一定是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】设，利用三角形内角和定理求出三个内角的度数，即可判断三角形类型． 【详解】解：设， ， ，， ， 解得：， ，最大角为钝角， 是钝角三角形． 7．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，是的外角．求证：． 甲、乙的证明过程如下所示，下列判断正确的是（     ） 甲的证法：， ， ， 乙的证法：如图，过点作， ， ， A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都不正确 D．甲、乙的都正确 【答案】D 【分析】甲的证法：根据三角形内角和定理可得，根据平角的定义可得，等量代换即可得证；乙的证法：根据平行线的性质可得， 根据，等量代换，即可得证． 【详解】解：根据分析可得甲、乙的都正确． 故选：D． 8．如图，在中，，点在边上，过点作，过点作，交的延长线于点，．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】证明，得到，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于边上的点处，于点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知条件及，可推导出且，进而得出，代入数据求解即可． 【详解】解：， ， 平分，， ， 同理，， ， 平分，， ， ， ， ， ． 10．如图，在等腰和等腰中，大于，顶角与顶角均为，，交于点M，连接．有下列结论：①；②；③；④点O在的平分线上． 其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】先根据等腰三角形定义与，可证明，得，可判定①正确；②正确；设与交于点G，结合，运用三角形外角性质推出，可判定③正确；过点O作于点E，于点F，由，，得，得，得平分．可判定④正确． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵是等腰三角形，是等腰三角形， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 设与交于点G， ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 过点O作于点E，于点F，如图所示， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴平分．点O在的平分线上． 故④正确，符合题意， ∴正确的结论有4个； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形．熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的判定定理，是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分． 11．如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出________°． 【答案】 【分析】根据作图痕迹得到平分，利用角平分线的定义求得的度数即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，平分， ∵， ∴． 12．如图，点D，E在的边上，，其中B ，C为对应顶点，D，E为对应顶点，写出一个正确的结论为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据得，则，故． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即． 13．如图，是的中线，的周长为，比长．则的周长为________． 【答案】21 【分析】先由三角形的中线得到，再得到和周长的差，进而由已知求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴和周长的差， ∵的周长为，比长， ∴周长为：． 14．如图，，，则的度数________． 【答案】/度 【分析】根据三角形内角和定理及对顶角相等，可得，将已知条件代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴ 解得． 15．如图，射线平分，点D，Q分别在射线，上，若，的面积为10，过点D作于点P，则的长为______． 【答案】5 【分析】过点D作于点M，利用角的平分线的性质，三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过点D作于点M，如图 ∵射线平分，，，    ∴； ∵，的面积为10， ∴； ∴； 解得， ∴． 16．如图，直角三角形中，，点为边上一点，且，连接交延长线于，且为线段的中点，若，，则面积为______． 【答案】 【分析】过点作的延长线于点，可证，得，，再证，得，，即得，设，则，进而利用列出方程求出的值即可求解． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴． 3、 解答题：本题共8小题，第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题13分，第25题13分． 17．完成下面的证明． 已知，如图，是直线，，．求证：． 证明：∵（已知） （ ） ∴（            ） ∵（已知） 在中， 同理，在中， ； ∴ （等量代换） ∵（已知） ∴ （两直线平行，同位角相等） ∴ （等量代换） ∴（ ） 【答案】；对顶角相等；等量代换；；；；；内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的性质与判定定理，三角形内角和定理和已给证明过程求解即可． 【详解】略 18．小红在公园游玩时发现一池塘，她想知道池塘的宽，由于不能直接测量，她设计了如下方案： 主题 测量池塘的宽 测量方案及示意图 ①在池塘旁的开阔地上确定一点，使点能够直接到达池塘两端，，测得的度数； ②在的另一侧作射线，使，沿着射线走与长相同的距离到点处； ③测量出． 根据以上信息，求池塘的宽． 【答案】 【分析】根据证明，再由全等三角形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 答：池塘的宽为． 19．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：如图，延长交于点H， 因为（已知），（对顶角相等）， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）； (2) 【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行证明，再证明，即可证明； （2）利用平行线的性质求得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为， 所以． 20．如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)8 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）得出，，即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）已证：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 21．如图，的外角和的平分线交于点P，于点M，于点N，判断点P是否在的平分线上，并说明理由． 【答案】解：点在的平分线上，理由如下： 如图，过点作于点，连接， ∵和的平分线交于点，且，，， ∴，， ∴， 又∵点在的内部， ∴点在的平分线上． 【分析】过点作于点，连接，先根据角平分线的性质定理可得，，则可得，再根据角平分线的判定定理即可得． 【详解】解：略． 22．在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺和，探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．其中，． (1)如图①，点在边上，点在边的延长线上，则的大小为_____度． (2)如图②，固定图①中的，将绕着点逆时针旋转，使点在的内部，求证：． (3)固定图①中的，将绕着点逆时针旋转度（），其他条件不变．若和的直角边在同一条直线上，则直线与相交所成的锐角的度数为_____． 【答案】(1) (2)见详解 (3)或 【分析】（1）根据邻补角的定义，即可求解． （2）根据，即可得出； （3）根据三角形的外角的性质，即可求解； 【详解】（1）解：依题意 ∴； （2）证明：， ．   （3）解：如图①，直线与相交所成的锐角的度数为 如图②，直线与相交所成的锐角的度数为 23．在中，与的平分线相交于点． (1)如图①，若，则______________；（用的代数式表示，请直接写出结论） (2)如图②，作外角、的角平分线交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下， ∵外角，的角平分线交于点， ， ， 由（1）可知，， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可得出答案． （2）根据角平分线的定义，平角的定义，结合三角形内角和定理即可得出，继而得到，继而结合（1）中结论得到． 【详解】（1）解：∵与的平分线相交于点， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略． 24．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【答案】(1)， (2) (3)证明：过点D作于点M，过点E作于点N， 由（1）可知，当，，，时， ， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即点G是的中点． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到对应边相等； （2）根据全等三角形的判定得到、，从而得到对应边相等，进而根据三角形面积公式和梯形面积公式得到、、、、，最后根据面积之间的和差关系求出图中实线所围成的图形的面积； （3）过点D作于点M，过点E作于点N，由（1）得到、，根据全等三角形的性质得到，再根据全等三角形的判定得到，最后利用全等三角形的性质得到，从而得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，； （2）解：过点E作于点P，过点B作于点G，过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理，， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， 答：图中实线所围成的图形的面积为； （3）略 25．综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由如下： 延长到点，使得，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）延长到点，使得，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）在的延长线上取一点，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：延长到点，使．再连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $