精品解析：福建省莆田市哲理中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学

2025-2026学年上学期哲理中学八年级第一次月考 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 中国的博览会是指规模庞大、内容广泛、展出者和参观者众多的展览会．下面各博览会徽标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某晾衣架的示意图如图所示，若，则晾衣架底部横杆的长可能为（ ） A. 50 B. 56 C. 60 D. 66 3. 如图，飞机要从地飞往地，因受大风影响，一开始就偏离航线（）（即），飞到了地，经地的导航站测得．此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达地．则这一方向与方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，是的平分线，，垂足为E．若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是设计师为公园设计的一座斜拉桥的剖面图，是桥面，是桥柱，设计大桥时要保证桥柱和桥面是垂直的，且两根钢绳，与桥面的夹角相等，则下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. 为的中点 D. 6. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若，则添加如下的一个条件仍不能证明的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数是（ ）度 A. 50 B. 55 C. 80 D. 65 9. 如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 10. 如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分．其中正确的结论有（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每题4分） 11. 太空舱是飞船进入轨道后航天员工作和生活的场所．如图是一个太空舱的简易图，它的对称轴有______条． 12. 李爷爷是远近闻名的木匠，他善于运用榫卯结构制作各种家具，如图是李爷爷用榫卯结构制作的板凳，为了使板凳更加稳固，李爷爷在板凳的两条支腿中间固定上一根木条，这样做其中蕴含的数学原理是______． 13. 如图，与是一副叠放在一起的三角板，则______． 14. 如图，，和，和是对应边，四个点A、F、E、C在同一条直线上，若，，则______． 15. 如图，中，，点D为的中点，则的取值范围_______． 16. 已知，，，是的三条边长，记，其中为整数．若，，，则t的取值范围为_______． 三、解答题 17. 如图，在中，是的角平分线，是边上的高，且，，求的度数． 18. 如图，，且，，求证：． 19. 我们知道，将一个三角形的其中一个角撕下来，拼到另一个角的旁边，可以得到三角形三个内角的和为．小明认为，不用撕角，利用尺规作平行线也可以说明这个结论．如图，，，是的三个内角． （1）利用尺规作过点的直线，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）试说明． 20. 如图所示，海岛上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角与从观测点B看海岛C、D的视角相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？ 21. 如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且，求证：平分． 22. 教材60页给出了如下问题：“如图，，分别是的对应边上的中线．与有什么关系？证明你的结论．” 通过对这道题的证明，我们可以得到一个真命题“全等三角形对应边上的中线相等”． 由此，我们猜想以下两个命题也是真命题． 命题1：全等三角形对应边上的高相等； 命题2：全等三角形对应角的平分线相等． 请你从中任选一个命题，画出图形，写出已知和求证，并进行证明． 23. 和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． （2）如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 24. 综合与实践 【项目主题】池塘不可达距离的测量方案设计 【项目背景】 在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A、B两点间的距离（无法直接测量）．如1图．现提供皮尺（量程）、测角仪等工具，要求设计几何测量方案． 【实践操作】 方案一（帽檐观测法） 1、如题2图，在点附近选取观测点，使、、三点共线； 2、调整帽子帽檐D，使视线通过帽檐上沿恰好对准点；（忽略眼睛与帽檐距离） 3、保持头部姿势不变，原地旋转，此时视线通过帽檐上沿落在点处； 4、用皮尺测得． 【问题解决】 （1）根据方案一，求、两点间的距离； （2）设计一个与方案一不同的测量方案，在3图中绘制几何图形，标明需测量的数据（如角度，线段长度等），并推导的表达式． 25. 在平面直角坐标系中， B、C 在坐标轴上， 其中、，满足，，，其中点B在x轴正半轴上， 点C在y轴正半轴上， 交y轴负半轴于点D． （1）如图1，若，直接写出点B的坐标为______，点C的坐标为______． （2）如图2， 交x轴负半轴于点E， 连接，，交于点F．求证： ； （3）在（2）的条件下，求证：点是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期哲理中学八年级第一次月考 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 中国的博览会是指规模庞大、内容广泛、展出者和参观者众多的展览会．下面各博览会徽标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故B 选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D．是轴对称图形，故D选项符合题意； 故选：D． 2. 某晾衣架的示意图如图所示，若，则晾衣架底部横杆的长可能为（ ） A. 50 B. 56 C. 60 D. 66 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形存在的条件，解答即可． 本题考查了三角形的三边长关系，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴50符合题意． 故选：A． 3. 如图，飞机要从地飞往地，因受大风影响，一开始就偏离航线（）（即），飞到了地，经地的导航站测得．此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达地．则这一方向与方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，据此可得结论． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∴这一方向与方向的夹角的度数为． 故选：B． 4. 如图，中，是的平分线，，垂足为E．若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，结合角平分线的定义，得，因为，故，则即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵，垂足为E． ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 则， 故选：B 5. 如图是设计师为公园设计的一座斜拉桥的剖面图，是桥面，是桥柱，设计大桥时要保证桥柱和桥面是垂直的，且两根钢绳，与桥面的夹角相等，则下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. 为的中点 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 先利用证明，再根据全等三角形的性质逐一判断即可得出答案． 【详解】解：由题意，得，， 在和中， ， ，故选项A不符合题意； ，即为的中点，故选项C不符合题意； ，故选项D不符合题意； 不能得出与的数量关系，故B选项符合题意； 故选：B． 6. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：作如下标识， 根据作法可知，，， ∴， ∴， 则画出的依据是， 7. 沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若，则添加如下的一个条件仍不能证明的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，根据全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、添加，可利用证明，故此选项不符合题意； B、添加可得，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加，它们不是对应边的夹角相等，不能证明，故此选项符合题意； D、添加，由可得，故此选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数是（ ）度 A. 50 B. 55 C. 80 D. 65 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线定义得出，，根据三角形内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，求出，则，即可求解． 【详解】解：平分，平分， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据三角形中线求三角形面积，解决本题的关键是利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解． 【详解】解：∵F是的中点， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分．其中正确的结论有（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则①正确；设交于点，根据对顶角相等可得，再根据三角形的内角和定理可得，则②正确；过点作于点，作于点，先根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，然后根据角平分线的判定定理即可得③正确． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，则结论①正确； 如图，设交于点， 由对顶角相等得：， ∴ ，则结论②正确； 如图，过点作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵，，点在的内部， ∴平分，则结论③正确； 综上，正确的结论有①②③， 故选：D． 二、填空题（每题4分） 11. 太空舱是飞船进入轨道后航天员工作和生活的场所．如图是一个太空舱的简易图，它的对称轴有______条． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知对称轴是对应点连接线段的垂直平分线是解决问题的关键．观察图形，结合格点的特征，根据轴对称的性质找出对称轴，画出即可． 【详解】解：如图，共有2条对称轴， 故答案为：． 12. 李爷爷是远近闻名的木匠，他善于运用榫卯结构制作各种家具，如图是李爷爷用榫卯结构制作的板凳，为了使板凳更加稳固，李爷爷在板凳的两条支腿中间固定上一根木条，这样做其中蕴含的数学原理是______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性；解题的关键是熟练掌握三角形稳定性的性质，从而完成求解． 【详解】解：为了使板凳更加稳固，李爷爷在板凳的两条支腿中间固定上一根木条，这样做其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 13. 如图，与是一副叠放在一起的三角板，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查与三角板有关的角度计算，三角形外角性质，正确计算是解题的关键． 由外角性质求出，即可再根据外角性质得到． 【详解】解：由题意可得，， ， 故答案为：． 14. 如图，，和，和是对应边，四个点A、F、E、C在同一条直线上，若，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质， 线段的和差关系， 由全等三角形的性质得性质可得出， 根据线段的和差关系可得出，，代入，，即可得出答案． 【详解】解：∵，和，和是对应边， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：1． 15. 如图，中，，点D为的中点，则的取值范围_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．延长至点E，使，连接，证明，可得，然后在中，利用三角形的三边关系解答，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点E，使，连接， ∵点D为的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 16. 已知，，，是的三条边长，记，其中为整数．若，，，则t的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据和化简，得到与的关系式，再利用三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：，， ， ， ， 根据三角形三边关系，任意两边之差小于第三边，可得，代入已知条件得，整理得， 拆分为不等式组：， 解第一个不等式得，解第二个不等式得， 验证： ， ，恒成立， 因此， 代入， 可得． 三、解答题 17. 如图，在中，是的角平分线，是边上的高，且，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的定义求得，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， 又∵是边上的高， ∴． 18. 如图，，且，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】首先得到，，然后证明，即可得到． 【详解】略 19. 我们知道，将一个三角形的其中一个角撕下来，拼到另一个角的旁边，可以得到三角形三个内角的和为．小明认为，不用撕角，利用尺规作平行线也可以说明这个结论．如图，，，是的三个内角． （1）利用尺规作过点的直线，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）试说明． 【答案】（1） 如图所示，； （2）解：由作图，， 根据“内错角相等，两直线平行”， 所以, 根据“两直线平行，内错角相等”， 所以 因为是平角， 根据“平角的定义”， 所以， 所以． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—平行线，平行线的判定和性质，三角形的内角和等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）作，利用内错角相等两直线平行即可； （2）利用平行线的性质即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图所示，海岛上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角与从观测点B看海岛C、D的视角相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？ 【答案】相等， 证明：如图所示，记，交于点 ，， ， 又点在点的正东方，海岛在观测点的正北方，海岛在观测点的正北方， ， 在和中， ， ， ， ∴海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理的应用，方向角等知识；熟练掌握方向角的含义，证明三角形全等是解题的关键． 先证明，再证明，可得，得即可． 【详解】略 21. 如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且，求证：平分． 【答案】 证明： D是的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等，证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，即可证明结论． 【详解】略 22. 教材60页给出了如下问题：“如图，，分别是的对应边上的中线．与有什么关系？证明你的结论．” 通过对这道题的证明，我们可以得到一个真命题“全等三角形对应边上的中线相等”． 由此，我们猜想以下两个命题也是真命题． 命题1：全等三角形对应边上的高相等； 命题2：全等三角形对应角的平分线相等． 请你从中任选一个命题，画出图形，写出已知和求证，并进行证明． 【答案】 解：选择命题1．已知：如图，分别是，的对应边上的高．求证：． 证明：． ． 分别是的对应边上的高， ， ， ． 选择命题2．已知：如图，分别是和的角平分线．求证：． 证明：． ，． ∵分别是和的角平分线， ∴， ∴， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 先根据全等三角形的性质，结合高或角平分线准备条件，再证明相关的三角形全等即可． 【详解】略 23. 和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． （2）如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】（1），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2），，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，然后求解即可； （2）延长，分别交、于F、G，证明，得到，，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 综合与实践 【项目主题】池塘不可达距离的测量方案设计 【项目背景】 在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A、B两点间的距离（无法直接测量）．如1图．现提供皮尺（量程）、测角仪等工具，要求设计几何测量方案． 【实践操作】 方案一（帽檐观测法） 1、如题2图，在点附近选取观测点，使、、三点共线； 2、调整帽子帽檐D，使视线通过帽檐上沿恰好对准点；（忽略眼睛与帽檐距离） 3、保持头部姿势不变，原地旋转，此时视线通过帽檐上沿落在点处； 4、用皮尺测得． 【问题解决】 （1）根据方案一，求、两点间的距离； （2）设计一个与方案一不同的测量方案，在3图中绘制几何图形，标明需测量的数据（如角度，线段长度等），并推导的表达式． 【答案】（1） （2） （方法不唯一）方案： 1、如图，取一个可以直接到达A点和B点的点C； 2、连接并延长到，使；连接并延长到，使； 3、连接并测量出它的长度的长度就是间的距离． 证明：，，（对顶角相等）， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的应用的应用； （1）如图，连接．证明，即可求解． （2）（方法不唯一）方案二：1、如图，取一个可以直接到达A点和B点的点C；2、连接并延长到，使；连接并延长到，使；3、连接并测量出它的长度的长度就是间的距离．证明，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，连接． 由原地旋转可得， 又， ， ； （已知）； ； 故：A、B两点间的距离为． 【小问2详解】 略 25. 在平面直角坐标系中， B、C 在坐标轴上， 其中、，满足，，，其中点B在x轴正半轴上， 点C在y轴正半轴上， 交y轴负半轴于点D． （1）如图1，若，直接写出点B的坐标为______，点C的坐标为______． （2）如图2， 交x轴负半轴于点E， 连接，，交于点F．求证： ； （3）在（2）的条件下，求证：点是的中点． 【答案】（1）， （2）证明：如图， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）证明：如图3，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由非负数的性质可求得c、b的值，进而可得点B、C的坐标； （2）证明即可； （3）过点作于，过点作于，先证，得，再同理可证明，得，则有，进而再证明，则得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， 解得：，， ∴，； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 证明：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $