专题04 整式中的数字和图形规律问题（专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 聚焦整式中数字与图形规律，通过6类题型分层突破，构建从数字排列到图形数量的递进式规律探究体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数字类规律|4题型/12题|含排列（数列规律）、末尾数字（周期变化）、新运算（定义法则）、等式问题（归纳通项）|从具体数字排列到抽象运算定义，逐步提升符号意识与逻辑推理| |图形类规律|2题型/6题|涉及图形中数字关系（方格数字）、数量变化（小棒/地砖计数）|以图形直观为载体，建立数形联系，发展几何直观与模型观念|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04整式中的数字和图形规律问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1数字类规律之排列问题（重） 题型2数字类规律之末尾数字问题（重） 题型3数字类规律之新运算问题（高频） 题型4数字类规律之等式问题（难） 题型5图形类规律之数字问题（难） 题型6图形类规律之数量问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1数字类规律之排列问题 1 1.256 81 2.70 3. 【答案】(1)第①行数按(-3)”(n为正整数)规律排列 (2)见解析 (3)1 【详解】(1)解：-3,9，-27,81，-243,729.： 第①行数是：(-3)，(3，(3)°，(-3)°，(（-3)， 即第①行数按(-3)(n为正整数)规律排列： 1 (2)解：第②行数是第①行数相应位置的数乘一 ,即3×(3)： 第③行数比第①行数相应位置的数大1，即(-3)”+1： 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：“=-3题，=写3,30+1 =-32025-32025+2×32025+1 =-32025×2+2×32025+1 =0+1 =1. ◆题型2数字类规律之末尾数字问题 4.4 5.9 6.7 ◆题型3数字类规律之新运算问题 房 9. 1 【答案】(1)2：(2)(-2：(3)4 【详解1解：(1)29=2÷2÷2=2 1 故答案为：2· a°（ （x(-2x(-2x(-2x(-2x(-2） =(（-2). 原式=24-（ 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =4j =-1-3 =-4， ◆题型4数字类规律之等式问题 10.101×101+4×101+3=102×104 11. 【答案】()第5个等式：4×6=52-1，第n个等式：(n-l)(n+1)=n-1 (2)159999 【详解】(1)解：由规律得，第5个等式为：4×6=52-1，第n个等式为：(n-l)(n+1)=n-1. (2)解：399×401 =(400-1)×(400+1) =4002-1 =160000-1 =159999 12. 【案1m中） 50 675 (2)0101:②- 2026 【珠深】解3引 1 2×(2+2) 2x4 侣 1 4×(4+2） 6-080 1 1-1 nn+2)2nn+2月 111 (2)解：①13+3x5+5×7+…+9x101 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 99101 =0) 1.100 =2×101 50 101 01 1 ②-1×44×7 +…+ -2023×2026 2023×2026 1,11 11 20232026 12025 =3×2026 675 2026 ◆题型5图形类规律之数字问题 13.44 14.361 15 【答案】 31 3 271 128 +=1-3,t+=1-,t+。t=1--5 【详解】解：①：2+4=1-4-4,2+48188’248161616 1,1,1,1,1 2+48+16321-s -3232； 11 ②由①可知：24 +… 211 2n1 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =0+1+2+3+4+5+6+(+4+8+i6+326428 1,3,7,15,31,63,127 =21+0-2+0-+0-令+0-6+0-3动2+0-a2+0-123》 =21+7x1-6++.+t+t】 248163264128 -21+7-0-128 1 =21+6+ 128 -271 '128 ◆题型6图形类规律之数量问题 16. +3 【答案】(1)10：(2)49：(3)2 【详解】解：(1)由题意知，第2个图形比第1个图形多6根小棒，6=2×2+2， 第3个图形比第2个图形多8根小棒，8=2×3+2， 以此类推，第4个图形比第3个图形多：4×2+2=10根小棒， 故答案为：10： (2)由(1)知第n个图形需要的小棒根数比第(n-)个图形多2n+2根小棒， 令2n+2=100, 解得n=49； 2+(n+1) (3)由题意得，第n个图形竖放小棒根数为2 2.n 2+(n+l) kn= …n 2 解得k-n+3 2· 17. 【答案】(1)10,4 (2)(2n+2）,n 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)没有，理由如下： .当n=30时，2n+2=2×30+2=62≠100 ,不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形. 【详解】(1)解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个： (2)解：由图可知： 第一个图案有三角形2×2=4（个），六边形1个， 第二个图案有三角形2x3=6(个)，六边形2个， 第三个图案有三角形2×4=8（个），六边形3个， 那么第n个图案中有三角形(2n+2)个，六边形有n个： (3)解：略 18. 【答案】(1)92-82=9+8 (②(n+1)2-n2=n+1+n (3)2053351 【详解】(1)解：图1空白部分小正方形的个数是2-12=2+1， 图2空白部分小正方形的个数是32-2=3+2， 图3空白部分小正方形的个数是42-32=4+3： 以此类推可知，图n空白部分小正方形的个数是(n+1)-n2=(n+1)+n, ∴第8幅图对应的算式为92-82=9+8： (2)解：由(1)可得第n幅图对应的算式为(n+-m2=n+1+n: (3)解：20262-20252+20242-20232+20222-20212+…+22-12 =(2026+2025)+(2024+2023)+(2022+2021)+…+(2+1) =2026+2025+2024+2023+2022+2021+…+2+1 2026×(2026+1) 2 =2053351 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.D 2.B 3.B 4.A 5.D 二、填空题 6.2” 7r2 n2+1 8.2500 9.b+2c=2 1 225 10.(9n-8)(9n+1) 2026 三、解答题 11. 【答案】(1)52-42=9 (2)(n+1)-n2=2n+1 (3)10091 【详解】(1)解：由题意，可得：第④个式子为52-4=9： 故答案为：52-42=9： (2)解：①第1个式子：22-1P=(1+1)}-1P=2×1+1=3: 第2个式子：32-22=(2+1}-22=2×2+1=5： 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3个式子：4-32=(3+1-32=2×3+1=7： ∴第n个式子：(n+1)-m=2×n+1=2n+1; 故答案为：(n+1)-n2=2n+1: (3)解：2017=2×1008+1 .原式=1+22-12+32-22+42-32+…+10092-10082 =10092 12. 【答案】(1)52；7 (2)99:101 【详解】(1)解：由所给图形及算式可得(a-l)(a+1)+1=a2, 因此4×6+1=25=52，6×8+1=49=72： (2)解：由(1)中发现规律可得：（100-1)×(100+1)+1=100 即99×101+1=1002 13. 【答案】(1)1，-3 (2)x的值每增加1,2x-7的值都增加2 (3)-5x-4 【详解】(1)解：由题意得：a=-2×2+5=1,b=2×2-7=-3: (2)解：观察表格中第三行可以看出，x的值每增加1,2x-7的值都增加2， (3)解：由表格可得，x的值每增加1，代数式的值就都减小5，则x的系数为-5. ,当x=0时，代数式的值为4， ∴.代数式的常数项为-4， ,这个含x的代数式是：-5x-4. 14, 【答案】(1)0,0 (2)x+14,x+16 =(x+2+x+14)-(x+x+16), =x+2+x+14-x-x-16, 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =0, 0 (3)a=8 【详解】(1)解：(8+20)-(6+22)=28-28=0， 当a=9,b=11,c=23,d=25 则(b+c)-(a+d)=(11+23)-(9+25)=0. (2)解：设a=x,则b=x+2,c=x+14,d=x+16. (b+c)-(a+d): =(x+2+x+14)-(x+x+16). =x+2+x+14-x-x-16, =0； 所以，(b+c)-(a+d)的值为0. (3)解：设a=x,则b=x+2,c=x+14,d=x+16, .a+b+c+d=64. .x+(x+2)+(x+14)+(x+16)=64. 解得x=8, .a=8 15. 11 【答案】()16：32 、31 032 3) 解：如图所示， (答案不唯一) 6/ 32 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 111 111 【详解】(1)解：图1中，正方形①的面积是8×216：矩形②的面积是6×232： 1+1+1+1+1 (2)解：2+481632 店4动g66司 =1-1+1-1+111_111 224488161632 31 32: (3)略 ④解：+ g） -) -” 10/10 专题04 整式中的数字和图形规律问题 常考题型·精准突破 题型1 数字类规律之排列问题（重） 题型2 数字类规律之末尾数字问题（重） 题型3 数字类规律之新运算问题（高频） 题型4 数字类规律之等式问题（难） 题型5 图形类规律之数字问题（难） 题型6 图形类规律之数量问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1数字类规律之排列问题 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）找规律：，，，，…，第8个数是_____． 【答案】 【分析】观察已知数的特征，分子均为1，分析分母可得规律，第个数的分母为，据此计算第8个数即可． 【详解】解：观察已知数列： 第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， ... 由此可得，第个数为， 当时， ． 2．（2026·江西上饶·三模）有一列数按如下规律排列：请你根据规律写出第6个数：______． 【答案】 【分析】分别拆分分子和分母，寻找各自的变化规律，得到第个数的表达式，再代入计算得到结果． 【详解】解：有一列数按如下规律排列：， 观察分子部分：，，，，可得第个数的分子为； 观察分母部分：， ， ， ， 可得第个数的分母为， 当时， 分子：， 分母：， 因此第个数是． 3．（25-26七年级上·全国·期中）观察下面三行数： ，9，，81，…；………………………第①行 1，，9，，…；………………………第②行 ，10，，82，…．……………………第③行 (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2025个数，求的值． 【答案】(1)第①行数按（n为正整数）规律排列 (2)见解析 (3)1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式． （1）观察可看出第一行的数分别是的1次方，二次方，三次方，四次方…且偶数项是正数，奇数项是负数，用式子表示规律为：； （2）观察②，③两行的数与第①行的联系，即可得出答案； （3）分别表示出第①②③行的2025个数，再将x，y，z代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：∵，9，，81，，729…； ∴第①行数是：，，，，…， 即第①行数按（n为正整数）规律排列； （2）解：第②行数是第①行数相应位置的数乘，即； 第③行数比第①行数相应位置的数大1，即； （3）解：∵，，， ∴ ． ◆题型2 数字类规律之末尾数字问题 4．（2026七年级下·云南保山·竞赛）观察下列运算：，，，，，，则的个位数字是____． 【答案】 【分析】先探究的正整数次幂的个位数字的循环规律，确定循环周期，再计算除以循环周期的余数，根据余数得到的个位数字． 【详解】解：根据题意，得，个位数字为 ，个位数字为 ，个位数字为 ，个位数字为 ，个位数字为 ，个位数字为 观察可得，的正整数次幂的个位数字以为一个循环周期重复出现，周期为 的个位数字与循环周期中第个数的个位数字相同，即为. 5．（2026·河南·模拟预测）计算3的正整数次幂，，，，，，，，…观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是_______． 【答案】9 【分析】根据已知数据得到的个位数字以四个一组循环，通过计算指数除以周期的余数，即可得到的个位数字． 【详解】解：由题意，可知的个位数字以四个一组循环， ， 的个位数字是循环组中的第2个数字，即为． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）观察下列等式：，个位数字为7；，个位数字为9；，个位数字是3；，个位数字是1；，个位数字是7……，根据其中规律可得的结果的个位数字是______ 【答案】7 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据已知等式正确发现个位数字的变化规律是解题关键．先根据已知等式发现个位数字是7，9，3，1为一个循环，再根据即可得出答案． 【详解】解：∵，，，，，……， ∴个位数字是以7，9，3，1为一个循环，且， ∴一个循环中的四个数的个位数字和为0， ∵，且的个位数字是7， ∴的结果的个位数字是7． 故答案为：7． ◆题型3 数字类规律之新运算问题 7.已知有一个新算符“”，使下列算式，，，那么 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意可得，，，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ，，， ∴． 故答案为：． 8．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）是不为1的有理数，我们把称为的“差倒数”，如2的“差倒数”是，－1的“差倒数”是，已知是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，，依次类推，则______． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类规律问题，根据差倒数的定义计算出前几项，找出循环周期，再通过计算除以周期的余数，即可确定的值． 【详解】解：由题意得， ， ， ，……， 可得这列数每个数为一个周期循环， ， ． 9．（25-26七年级上·广西钦州·期末）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如，，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把n个相除记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：____； 【深入思考】我们会发现，有理数的除方运算可以转化为乘方运算，并化成幂的形式． 例如： （2）类比上面的计算过程，请将运算转化为幂的形式，要求写出转化过程； （3）利用上述规律计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，除方的运算法则，解题的关键在于正确理解除方的运算法则． （1）根据除方的运算法则，以及有理数的乘除运算法则计算求解，即可解题； （2）根据除方的运算法则，以及有理数乘方整理求解，即可解题； （3）根据除方的运算法则，以及含乘方的有理数的混合运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2） ． （3）原式 ． ◆题型4数字类规律之等式问题 10．（26-27七年级·全国·小升初衔接）观察下列等式． …… 依次写下去，请写出第100个等式：______． 【答案】 【分析】先观察给出的等式，分析等式两边数字和等式序号之间的规律，得出结论：第n个等式是，即可解答． 【详解】解：第1个（）：， 第2个（）：， 第3个（）：， …… 第n个：， 所以第100个等式是：． 11．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）观察下列等式，找出其中的规律，并完成下列问题． ， ， ， ， …… (1)请你根据以上规律，直接写出第5个等式：__________，第个等式：__________； (2)利用以上规律计算． 【答案】(1)第5个等式：，第个等式： (2) 【分析】（1）先观察已知等式，总结各部分和序号的变化规律，推导得到第个等式的通用形式； （2）利用（1）中推导得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：由规律得，第5个等式为：，第个等式为：． （2）解： ． 12．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据，，，得出一般规律即可得出； （2）①可根据（1）的结论进行解答； ②可类比（1）的裂项方法，将其通项分解后再进行计算． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴； （2）解：① ； ② ． ◆题型5 图形类规律之数字问题 13．（2026·江西上饶·模拟预测）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是____________． 【答案】44 【分析】根据前三个图的数字变化，得出数字规律即可求出，的值． 【详解】解：∵第1个图中，，， 第2个图中，，， 第3个图中，，， ∴第4个图中，，． 14．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，观察下列图形中的数字排列规律，在第个图中，的值为______． 【答案】 【分析】观察各图形可发现的规律及它们之间的关系即可解答． 【详解】解：由题意得，所在的位置的数字规律为：，，，，， ∴第个为，即； 由题意得，所在的位置的数字规律为，，，， ∴第个为，即， 由题意得，， ∴当时， ． 15．（2026·湖北恩施·二模）数形结合思想在数学中有着广泛的应用，常常借助简单几何图形解决较为复杂的代数问题，比如： 计算 借助图①，设大正方形的面积为1，则阴影部分的面积为： ，同理借助图②可得： ，借助图③可得： ，观察规律，完成填空： ①________ ②________． 【答案】 【分析】根据题干图形规律总结出算式 ，利用该规律分别计算两小题，第二小题需将带分数拆分为整数部分与分数部分分别求和. 【详解】解：①∵，，， ∴； ②由①可知：， . ◆题型6 图形类规律之数量问题 16．（25-26七年级上·四川成都·期末）用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要18根小棒． 【特例感知】（1）第4个图形比第3个图形多_____根小棒； 【探索规律】（2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多100根，求的值； 【拓展运用】（3）若第个图形竖放小棒根数是其序号的倍，请用含的代数式表示． 【答案】（1）10；（2）49；（3） 【分析】本题考查图形类规律探索，找出图形变化规律是解题的关键． （1）根据前3组数据找出变化规律，利用规律求解； （2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒，由此列方程求解； （3）第n个图形有n层，每层竖放小棒数为 【详解】解：（1）由题意知，第2个图形比第1个图形多6根小棒，， 第3个图形比第2个图形多8根小棒，， 以此类推，第4个图形比第3个图形多：根小棒， 故答案为：10； （2）由（1）知第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒， 令， 解得； （3）由题意得，第n个图形竖放小棒根数为， 解得． 17．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10，4 (2)， (3)没有，理由如下： ∵当时，， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； （2）解：由图可知： 第一个图案有三角形（个），六边形1个， 第二个图案有三角形（个），六边形2个， 第三个图案有三角形（个），六边形3个， 那么第n个图案中有三角形个，六边形有个； （3）解：略 18．（25-26七年级下·山东青岛·期中）【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； (1)像这样继续排列下去，请写出第8幅图对应的算式：________． (2)请再写出第幅图对应的算式：________（用含有字母的算式表示，其中为正整数）． (3)【问题解决】________． 【答案】(1) (2) (3)2053351 【分析】（1）观察可得空白部分小正方形的个数等于最大的正方形的面积减去阴影部分的正方形的面积，据此规律求解即可； （2）根据（1）可得答案； （3）把所求式子按照（2）结论将原式分组，转化为连续整数的和，再进行计算． 【详解】（1）解：图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； ……， 以此类推可知，图n空白部分小正方形的个数是， ∴第8幅图对应的算式为； （2）解：由（1）可得第幅图对应的算式为； （3）解： ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】所有代数式都含字母，找出系数的变化规律，即可推出第个代数式． 【详解】解：∵第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， ……， ∴以此类推，第个代数式的系数为，即第个代数式是． 2．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）下图给出的各组数字中，空白处应该填写的数字依次是（     ） A．7，8，12，18 B．7，13，12，17 C．13，8，12，15 D．7，13，14，17 【答案】B 【分析】由第一个图得，上面一行数字是下面所对应数字的3倍；再由第二个图得，上一行数字分别比下一行数字大7；由第三个图得，上面一行数字是下面所对应数字的2倍；由第四个图得，下面一行数字比上面所对应数字分别大3、6、9；最后选出答案． 【详解】解：由第一个图得，上面一行数字是下面所对应数字的3倍， ∴第一个图空白处的数字为； 由第二个图得，上一行数字分别比下一行数字大7， ∴第二个图空白处的数字为； 由第三个图得，上面一行数字是下面所对应数字的2倍， ∴第三个图空白处的数字为； 由第四个图得，下面一行数字比上面所对应数字分别大3、6、9， ∴第四个图空白处的数字为； ∴空白处应该填写的数字依次是7，13，12，17． 3．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，数学活动课上，老师带领学生们叠放纸杯，研究纸杯的高度与纸杯个数的关系，经过测量，绘制表格如下： 纸杯个数 个 个 个 个 个 … 纸杯高度 … 当叠放个纸杯时，纸杯的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目中的图表，可知每增加一个杯子，高度增加，从而可以得到10个杯子叠在一起的高度． 【详解】解：由图表可得，每增加一个杯子，高度增加（）， 经验证符合题意，则10个杯子叠加时高度（）． 4．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，不符合这一规律的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的部分“三角形数”和“正方形数”找出“三角形数”可看成从1开始几个连续自然数的和以及“正方形数”可看成某个自然数的平方，依此规律逐一分析四个选项中的三个数是否符合该规律，由此即可得出结论． 【详解】解：A、9和16不是三角形数，该选项符合题意； B、， 该选项不符合题意； C、， 该选项不符合题意； D、； 该选项不符合题意． 5．（25-26七年级下·河北张家口·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘加；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．如果对于正整数，经过步变换，第一次到达，就称为步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过个步骤变成，得，则下列结论错误的是（     ） A．当时， B．随着的增大，不一定也增大 C．若，则只能是 D．若，则只能是 【答案】D 【分析】对已知m的选项顺推计算步数，对已知n的选项逆推求m的可能值，结合“第一次到达1”的条件判断正误即可． 【详解】解：A、当时，变换过程为，共9步，即，故该选项正确，不符合题意； B、∵当时，变换过程为，共2步，即， 又∵当时，， ∴随着的增大，不一定也增大，故该选项正确，不符合题意； C、∵当时，即经过2步第一次到达1， ∴倒数第1步只能是（无正整数解）， ∴初始数只能是（无正整数解），故该选项正确，不符合题意； D、∵当时， ∴变换过程可以为，共5步；或，共5步， ∴不只能是，故该选项错误，符合题意． 二、填空题 6．（25-26七年级下·西藏林芝·期中）数列，，，，，，第个数是______． 【答案】 【分析】观察数列中各项的数值与对应项数的关系，通过归纳总结得出第个数的表达式． 【详解】解：由题干可得，第个数为，第个数为，第个数为，第个数为， 依此类推，归纳可得第个数为． 7．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）观察下列一组数：，…它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n个数是_________ 【答案】 【分析】分别从符号、分子、分母三个方向寻找排列规律，先改写为分数形式，再归纳得到第个数的表达式． 【详解】解：按序号整理给出的数： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ 可归纳出规律： 符号规律：第个数的符号为，奇数项为负，偶数项为正； 分子规律：分子为连续奇数，等于； 分母规律：分母为序号的平方加，等于； ∴ 这组数的第个数是． 8．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）已知，，，，那么________________________． 【答案】 【分析】观察式子可以得出规律：从开始连续个奇数相加的和等于，先确定算式里一共有多少个奇数，再套用规律计算． 【详解】解：观察已知式子： （个奇数）， （个奇数）， （个奇数）， （个奇数）， 总结规律：从开始，连续个奇数相加，结果等于． 最后一个奇数是，奇数的个数：， ． 9．（2026·宁夏银川·三模）观察下列图形中的数字排列规律，b，c满足的关系式为______________________． 【答案】 【分析】根据所给个数，发现三个位置数的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为，，，，， 所以； 因为，，，，， 所以， 则， 所以， 即，的关系为． 10．（25-26七年级下·安徽宣城·期末），， （1）_________， （2）_________． 【答案】 【分析】（1）观察题中规律，即可得到答案； （2）观察题中规律，将规律逆运用可以把式子化简计算，即可求解． 【详解】（1）观察题中式子可知，； （2）观察题中式子可知， ． 三、解答题 11．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）已知下列等式：①；②；③，… (1)请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子： ； (2)请你找出规律，写出第n个式子 ． (3)利用（2）中发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据前三个式子的特点，写出第④个式子即可； （2）根据前三个式子的特点，找出规律，进行作答即可； （3）用规律表示出相应的数字，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，可得：第④个式子为； 故答案为：； （2）解：①第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； ∴第n个式子：； 故答案为：； （3）解：∵ ∴原式 ． 12．（26-27七年级上·辽宁沈阳·开学考试）数学中，我们经常用平移、旋转等方式将不规则图形转化成规则图形．观察下表中每组图形与算式的变化，你有什么发现？ 图形 算式 根据发现的规律填空： (1) ， ． (2) × ． 【答案】(1)； (2)99；101 【分析】（1）观察所给图形及算式可得； （2）利用发现的规律即可求解． 【详解】（1）解：由所给图形及算式可得， 因此，； （2）解：由（1）中发现规律可得： 即． 13．（25-26七年级上·河南郑州·期末）观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x 0 1 2 9 7 5 3 a b (1)【初步感知】根据表中信息可知： ； ； (2)【归纳规律】表中的值的变化规律是：x的值每增加 1，的值就都减少 2．类似地，的值的变化规律是 ； (3)【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就都减小5，且当时，代数式的值为，则该代数式为 ． 【答案】(1)1， (2)x的值每增加1，的值都增加2 (3) 【分析】（1）分别将代入两个代数式．计算可得结论； （2）结合所给例子并观察表格数字的变化情况即可得出结论； （3）按要求使x的系数为，常数项为即可． 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：观察表格中第三行可以看出，x的值每增加1，的值都增加2， （3）解：由表格可得，x的值每增加1，代数式的值就都减小5，则x的系数为． ∵当时，代数式的值为， ∴代数式的常数项为． ∴这个含x的代数式是：． 14．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 【答案】(1)， (2)， ， ， ， (3) 【分析】（1）根据有理数的运算规则运算即可；平移的方框，任选与图1位置不同的位置将值代入运算即可； （2）根据图像将表示出来，再代入进行运算即可； （3）根据（2）将用表示出来，再代入求解即可． 【详解】（1）解：； 当， 则． （2）解：设，则，，． ， ， ， ； 所以，的值为． （3）解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 15．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 解：如图所示， （答案不唯一） (4) 【分析】（1）①的面积为的一半，②的面积是①的一半； （2）可以看成，可以看成把所得的数相加即可； （3）由（2）得到的规律计算即可． （4）由（2）得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：图1中，正方形①的面积是；矩形②的面积是； （2）解： ； （3）略 （4）解： ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式中的数字和图形规律问题 常考题型·精准突破 题型1 数字类规律之排列问题（重） 题型2 数字类规律之末尾数字问题（重） 题型3 数字类规律之新运算问题（高频） 题型4 数字类规律之等式问题（难） 题型5 图形类规律之数字问题（难） 题型6 图形类规律之数量问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1数字类规律之排列问题 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）找规律：，，，，…，第8个数是_____． 2．（2026·江西上饶·三模）有一列数按如下规律排列：请你根据规律写出第6个数：______． 3．（25-26七年级上·全国·期中）观察下面三行数： ，9，，81，…；………………………第①行 1，，9，，…；………………………第②行 ，10，，82，…．……………………第③行 (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2025个数，求的值． ◆题型2 数字类规律之末尾数字问题 4．（2026七年级下·云南保山·竞赛）观察下列运算：，，，，，，则的个位数字是____． 5．（2026·河南·模拟预测）计算3的正整数次幂，，，，，，，，…观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是_______． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）观察下列等式：，个位数字为7；，个位数字为9；，个位数字是3；，个位数字是1；，个位数字是7……，根据其中规律可得的结果的个位数字是______ ◆题型3 数字类规律之新运算问题 7.已知有一个新算符“”，使下列算式，，，那么 ． 8．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）是不为1的有理数，我们把称为的“差倒数”，如2的“差倒数”是，－1的“差倒数”是，已知是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，，依次类推，则______． 9．（25-26七年级上·广西钦州·期末）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如，，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把n个相除记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：____； 【深入思考】我们会发现，有理数的除方运算可以转化为乘方运算，并化成幂的形式． 例如： （2）类比上面的计算过程，请将运算转化为幂的形式，要求写出转化过程； （3）利用上述规律计算：． ◆题型4数字类规律之等式问题 10．（26-27七年级·全国·小升初衔接）观察下列等式． …… 依次写下去，请写出第100个等式：______． 11．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）观察下列等式，找出其中的规律，并完成下列问题． ， ， ， ， …… (1)请你根据以上规律，直接写出第5个等式：__________，第个等式：__________； (2)利用以上规律计算． 12．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② ◆题型5 图形类规律之数字问题 13．（2026·江西上饶·模拟预测）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是____________． 14．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，观察下列图形中的数字排列规律，在第个图中，的值为______． 15．（2026·湖北恩施·二模）数形结合思想在数学中有着广泛的应用，常常借助简单几何图形解决较为复杂的代数问题，比如： 计算 借助图①，设大正方形的面积为1，则阴影部分的面积为： ，同理借助图②可得： ，借助图③可得： ，观察规律，完成填空： ①________ ②________． ◆题型6 图形类规律之数量问题 16．（25-26七年级上·四川成都·期末）用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要18根小棒． 【特例感知】（1）第4个图形比第3个图形多_____根小棒； 【探索规律】（2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多100根，求的值； 【拓展运用】（3）若第个图形竖放小棒根数是其序号的倍，请用含的代数式表示． 17．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 18．（25-26七年级下·山东青岛·期中）【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； (1)像这样继续排列下去，请写出第8幅图对应的算式：________． (2)请再写出第幅图对应的算式：________（用含有字母的算式表示，其中为正整数）． (3)【问题解决】________． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）下图给出的各组数字中，空白处应该填写的数字依次是（     ） A．7，8，12，18 B．7，13，12，17 C．13，8，12，15 D．7，13，14，17 3．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，数学活动课上，老师带领学生们叠放纸杯，研究纸杯的高度与纸杯个数的关系，经过测量，绘制表格如下： 纸杯个数 个 个 个 个 个 … 纸杯高度 … 当叠放个纸杯时，纸杯的高度为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，不符合这一规律的是（     ）． A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河北张家口·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘加；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．如果对于正整数，经过步变换，第一次到达，就称为步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过个步骤变成，得，则下列结论错误的是（     ） A．当时， B．随着的增大，不一定也增大 C．若，则只能是 D．若，则只能是 二、填空题 6．（25-26七年级下·西藏林芝·期中）数列，，，，，，第个数是______． 7．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）观察下列一组数：，…它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n个数是_________ 8．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）已知，，，，那么________________________． 9．（2026·宁夏银川·三模）观察下列图形中的数字排列规律，b，c满足的关系式为______________________． 10．（25-26七年级下·安徽宣城·期末），， （1）_________， （2）_________． 三、解答题 11．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）已知下列等式：①；②；③，… (1)请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子： ； (2)请你找出规律，写出第n个式子 ． (3)利用（2）中发现的规律计算：． 12．（26-27七年级上·辽宁沈阳·开学考试）数学中，我们经常用平移、旋转等方式将不规则图形转化成规则图形．观察下表中每组图形与算式的变化，你有什么发现？ 图形 算式 根据发现的规律填空： (1) ， ． (2) × ． 13．（25-26七年级上·河南郑州·期末）观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x 0 1 2 9 7 5 3 a b (1)【初步感知】根据表中信息可知： ； ； (2)【归纳规律】表中的值的变化规律是：x的值每增加 1，的值就都减少 2．类似地，的值的变化规律是 ； (3)【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就都减小5，且当时，代数式的值为，则该代数式为 ． 14．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 15．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $