专题08 整式加减应用的五类培优综合题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 聚焦整式加减应用五类培优题型，以解题通法为纲，题型归纳为目，通过典例+变式构建“方法-应用-迁移”体系，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|强调实际应用与分类讨论思想，贯穿“实际情况分析”底线原则|整式加减应用从概念到综合的逻辑起点| |题型归纳|5类（每类1典例+2-3变式）|方案选择（运算法则）、分段计费（分类讨论）、几何面积（整式运算）、整除问题（整式性质）、新定义（代数式表示）|从具体题型到通用方法，形成“特征-方法-变式”递进链条| |压轴挑战|8题|综合应用多类方法，突破思维上限|整合前五类题型方法，提升复杂问题解决能力|

专题08 整式加减应用的五类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、方案选择问题 题型二、分段计费问题 题型三、几何图形面积问题 题型四、整除问题 题型五、新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 整式加减应用是七年级上学期数学重难点，所有题型均围绕实际应用展开，其中压轴题还涉及到分类讨论思想，解题贯穿基本底线原则：根据实际情况分析求解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、方案选择问题 典例1为了加强体育运动，提高学生身体素质，学校准备购买40个足球和一些毽球．甲、乙两个商店每个足球的定价都为70元，每个毽球的定价都为10元． 甲商店优惠方案：买一个足球送一个毽球． 乙商店优惠方案：足球和毽球都按定价九折出售． 设学校准备购买毽球x个． (1)①若在甲商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． ②若在乙商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． (2)当时，解答下列问题． ①若只能在甲、乙两个商店中选择一家购买，通过计算说明在哪家商店购买更优惠 ②若可以在甲、乙两个商店中选择一家购买，也可以在甲、乙两个商店中分别购买，请写出最优惠的购买方案及其所需总费用． 题型模版 1.特征：整式加减实际应用问题. 2.方法：利用其运算法则的相关知识是解答即可． 变式1-1某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下两种： 方案一：A商品每件进价70元，售价每件100元；B商品每件进价30元，售价每件40元． 方案二：所购商品一律按进价加价销售． (1)某单位购买A商品10件，B商品20件，选用何种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的3倍多2件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 变式1-2一元一次方程解决实际问题 某球队为备战新赛季，计划从体育用品店采购训练用足球和护腿板，已知足球每个定价180元，护腿板每个定价40元，商店提供两种优惠方案： 方案一：买1个足球送1个护腿板； 方案二：足球和护腿板都按定价的付款，该球队需购买足球35个，护腿板个． (1)方案一的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简），方案二的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简）； (2)当时，哪种方案更省钱？计算说明理由； (3)当时，该球队是否存在更省钱的混合采购方案？若存在，写出方案并计算总费用． 变式1-3某野生动物园门票价格为50元/张，并推出了两种购票方案，且两种方案不能同时使用． 方案一 方案二 当团购门票数不超过30张时，无优惠；当团购门票数超过30张时，超过的部分每张优惠10元． 爱心捐款认养小动物，每捐款200元，则所购门票每张优惠1元（例如：捐款400元，则每张门票优惠2元）；且捐款额必须为200的整数倍，最多捐款5000元． 设某旅游团一次性购买门票x张（且x为正整数）， (1)如果选择方案一，求该旅游团购买门票的费用； (2)如果选择方案二，该旅游团爱心捐款m个200元（m为正整数）． ①若该旅游团需要购买35张门票且整个旅游团爱心捐款2000元，则该旅游团一共需要花费的总费用（包含捐款费和门票费）为 元； ②该旅游团一共需要花费的总费用为 元；（用含m，x的代数式表示） ③当时，无论x取什么值，都存在一个正整数m，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的费用多某个常数，求出m及这个常数分别是多少． 类型二、分段计费问题 典例2某地区自来水收费标准如下表： 收费标准（注：水费按月份结算） 每月用水量 水费（元/立方米） 不超出立方米的部分 超出立方米不超出立方米的部分 超出立方米的部分 备注：①每月居民用水缴费包括实际用水的水费和污水处理费两部分； ②以上表中的价格均不包括元/吨的污水处理费． 例如：某户居民月份用水立方米，应收水费为（元）． (1)若某用户用水量为立方米，则该用户需交水费______元；若用水量为立方米，则该用户需交水费______元． (2)某用户月份用水立方米，请用含的代数式表示下列水费： ①立方米时，所缴水费为______元， ②时，所缴水费为______元， ③立方米时，所缴水费为______元． 题型模版 1.特征：分段计费问题. 2.方法：分类讨论思想，根据问题分析即可． 变式2-1【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 变式2-2为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，如表是该市自来水收费价格的价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超过5立方米的部分 3元/立方米 超过5立方米但不超过9立方米的部分 5元/立方米 超过9立方米的部分 7元/立方米 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费 元． (2)若某户居民3月份用水a（）立方米，则该用户3月份应缴纳水费多少元（用含a的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水16立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共缴纳水费多少元．（用含x的代数式表示，并化成最简形式） 题型三、几何图面积问题 典例3 某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中经过折叠能围成无盖正方体纸盒的是_____（填字母）． (2)图2是小亮的设计图，若，，且相对两个面所表示的代数式的和都相等，求代表的代数式： (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为的小正方形； ①用含x的代数式表示这个纸盒的底面积：_____； ②当时，请求出纸盒的容积． 题型模版 1.特征：几何图形面积问题. 2.方法：题意列出整式，熟练掌握整式的混合运算法则是关键． 变式3-1如图1所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图2、3所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示． (1)如图2所示，点、、在同一直线上，点、、在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分面积的差为（用含、的代数式表示）； (2)如图3所示，点、、、在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为，． ①的长度为（用、、的代数式表示）； ②当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，那么、必须满足什么条件？ 变式3-2定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 题型四、整除问题 典例4 综合与实践 【阅读材料】为四位数，因为，显然能被3整除，因此，如果能被3整除，则能被3整除． 【问题提出】数学兴趣小组发现，通过一个数的各位数字之和判断这个数是否能被3整除比直接判断更方便．因此，他们想进一步探究能被11整除的四位数的数字规律． 【特例研究】先列出一些能被11整除的数：1023，1353，2805，3091，7194，8976，… 对上面这些数的各位数字直接相加，显然不具有规律性，那么尝试加法和减法相结合，是否具有规律呢？ 【规律探究】兴趣小组进行探究尝试，最终发现：上面所列的数都满足具有某种规律．由此提出猜想，并类比前面阅读材料中的方法尝试对猜想进行证明． (1)猜想：当，，，满足________________时，四位数能被11整除； (2)证明上述猜想． 题型模版 1.特征：整除问题. 2.方法：熟练掌握整式的加减混合运算法则和整除的性质是解题的关键． 变式4-1一个三位数，百位为，十位为，个位为，可以记作． (1)若把两位数的十位数字与个位数字对调，得到一个新的两位数，试说明一定是11的倍数； (2)若，试说明一定是11的倍数； (3)若为11的倍数，探索之间的等量关系． 变式4-2【课本回顾】设是一个四位数，如果可以被3整除，那么这个四位数可以被3整除，请你运用整式的知识说明理由． 【方法提炼】设是一个四位数，如果，那么这个四位数一定是的倍数，请你运用整式的知识加以说明． 【迁移应用】下列结论中，正确的是______（填写序号） ①在三位数中，若满足是的倍数，则是的倍数． ②在四位数中，若满足是的倍数，则是的倍数． 题型五、新定义问题 典例5 阅读理解： 材料一：对于一个两位数M，交换它的个位数字和十位数字得到的新数N叫这个两位数M的倒序数．如：23的倒序数是32，50的倒序数是05． 材料二：对于一个两位数M，若它的个位数字与十位数字的和小于等于9，则把个位数字与十位数字的和插到这个两位数中间，得到的新数叫这个两位数M的凸数．如23的凸数是253． (1)直接写出54的倒序数和凸数； (2)嘉嘉说：“如果两位数M的十位数字大于个位数字，则M与它的倒序数的差能被9整除”，判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由； (3)如果一个两位数的倒序数是它本身，且这个两位数有凸数，直接写出这个两位数的凸数； (4)如果一个两位数的十位数字是x，个位数字是y，且有凸数，直接用含x，y的代数式表示这个两位数的凸数． 题型模版 1.特征：新定义问题. 2.方法：正确理解题意并列代数式表示所求的数是关键． 变式5-1若一个四位正整数M的十位数字比个位数字大1，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数．把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数叫作千丝数M的万缕数，例如：2598，其十位数字，百位数字，所以2598是千丝数，2589就是千丝数2598的万缕数，对于千丝数M，定义：． (1)判断：4376________千丝数；7787________千丝数．（填“是”或者“不是”） (2)请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除． 变式5-2一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为半和数．例如三位正整数234中，十位数字3恰好等于百位数字2与个位数字4之和的一半，所以234是“半和数”；又如369中，十位数字6恰好等于百位数字3与个位数字9之和的一半，所以369也是“半和数”． (1)已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是______；若它的百位数字为（为不为0的偶数），个位数字为0，则十位数字为______，这个数为______（用含的代数式表示）； (2)设一个“半和数”的百位数字为，十位数字为，（，，，均为整数），个位数字为，则，，的关系式为______． (3)小颖发现任意一个“半和数”的个位数字（个位数字不为0）和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是111的倍数！请你判断这一结论是否正确，并说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为度时，收费为元） 月用电量（单位：度） 单价（元/度） 不超过度的部分      超过度不超过度的部分      超过度的部分      已知小明家上半年的用电情况如下表（以度为标准，超出度记为正、低于度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份                               根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最多的是 月份，这个月电费为 元； (2)若小明家某月用电量为度，请用含的代数式表示小明家该月的电费为 元； (3)若小明家月份的用电量为度，请求出小明家月份的电费． 2．下表是某品牌网约车的收费标准． 收费标准 起步费 不超过3公里为12元 里程费 超过3公里后超过部分2元公里 远途费 超过10公里后超过部分0.4元公里 时长费 超过10分钟后超过部分0.6元分钟 例：乘车里程为20公里，行车时间30分钟，车费为： （元） 请回答以下问题： (1)小华家到影院的路程是公里，若乘该品牌网约车约需要分钟，求所需车费多少元？ (2)小华乘该品牌网约车外出，行车里程为公里，行车时间为分钟，求所需车费多少元(用含a、b的代数式表示)？ (3)小华与小明都乘坐该品牌网约车到该市某景点游玩，行车里程分别为公里、公里，若汽车在市区内限速公里小时，小华比小明乘车时间多用了分钟，请通过计算说明谁付的车费多？ 3．某种窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长为米． (1)用含的代数式表示窗户的面积和窗框的总长． (2)当时，若在窗户上安装玻璃，玻璃每平方米元，窗框每米元，窗框的厚度不计，求制作一个这种窗户的材料费是多少元（材料费=玻璃费+窗框费）． (3)在（2）的条件下，某公司计划在甲工厂或乙工厂采购100个这种窗户，下表是甲、乙两个工厂制作这种窗户的收费价目表．通过计算说明去哪家工厂采购更省钱．（安装费=材料费+运输费+人工费） 工厂 材料费 运输费 人工费 玻璃 窗框 甲 26元/m2 20元/ 10元/个窗户 120元/ 乙 30元/ 18元/ 12元/个窗户 130元/ 4．出租车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 起步价 里程费 时长费 远途费 单价 9元（包含里程3km 包含时长9min） 2元/km 0.4元/min 0.6元/km（超过20km 后加收远途费） 注：车费由起步价、里程费、时长费、远途费四部分构成． 例如，乘坐出租车，行车里程为25km，行车时间为30min，则需付车费： （元） (1)若小琪乘坐出租车，行车里程为10km，行车时间为20min，则需付车费___________元； (2)若小亮乘坐出租车，行车里程为akm，行车时间为bmin（）．试用含a，b的式子表示小亮应付的车费（结果需化简）； (3)小琪和小亮各自乘坐出租车去市区某景点（汽车市区内限速40k/h），行车里程分别为19km与22km，受路况影响，小琪反而比小亮乘车时间多用18min．试利用整式的知识比较两人支付车费的多少． 5．某超市在中秋期间进行优惠促销活动，规定一次性购物优惠方案：根据优惠方案解决下列问题： 消费金额 少于200元 高于200元但低于400元 400元或超过400元 优惠办法 不予优惠 九折优惠 其中400元部分给予九折优惠，超过400元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物300元，她实际付款__________元； (2)王老师在该超市一次性购物元，她实际付款多少元？（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计800元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示王老师两次购物实际付款多少元？ 6．项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 7．如图1，用四种大小不同的五个正方形和一个长方形（阴影部分）无重叠地拼成长方形，其中，最小的正方形的边长为x． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)用含x的代数式表示长方形的周长，并求当时，该周长的值； (3)如图2，将正方形沿方向向右平移，得到两块阴影部分．若x为定值，则图中两块阴影部分的周长之差是否为定值，若是用含x的代数式表示该定值，若不是请说明理由． 8.【教材呈现】下面是华师版教材111页的部分内容． 设是一个四位数，如果可以被3整除，那么这个数可以被3整除．为什么？ 【特例验证】写出一个能被3整除的四位数 ①．该数四个数位上的数字之和为 ②，显然该和 ③被3整除（填“能”或“不能”）． 【探究证明】下面是小明的部分证明过程，请补充完整． 解： ＝ ， 显然能被3整除． 因此如果能被3整除，那么就能被3整除． 【迁移运用】设是一个三位数，如果能被9整除，那么这个数可以被9整除，为什么？请写出证明过程． 【拓展提升】当五位数能被9整除时，直接写出x的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 整式加减应用的五类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、方案选择问题 题型二、分段计费问题 题型三、几何图形面积问题 题型四、整除问题 题型五、新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 整式加减应用是七年级上学期数学重难点，所有题型均围绕实际应用展开，其中压轴题还涉及到分类讨论思想，解题贯穿基本底线原则：根据实际情况分析求解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、方案选择问题 典例1为了加强体育运动，提高学生身体素质，学校准备购买40个足球和一些毽球．甲、乙两个商店每个足球的定价都为70元，每个毽球的定价都为10元． 甲商店优惠方案：买一个足球送一个毽球． 乙商店优惠方案：足球和毽球都按定价九折出售． 设学校准备购买毽球x个． (1)①若在甲商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． ②若在乙商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． (2)当时，解答下列问题． ①若只能在甲、乙两个商店中选择一家购买，通过计算说明在哪家商店购买更优惠 ②若可以在甲、乙两个商店中选择一家购买，也可以在甲、乙两个商店中分别购买，请写出最优惠的购买方案及其所需总费用． 【答案】(1)①；②； (2)①在甲商店购买更优惠；②最优惠的购买方案为：在甲商店购买40个足球（获赠40个毽球），在乙商店购买剩余的40个毽球，所需总费用为3160元． 【分析】（1）根据两种优惠方案列式即可； （2）①将代入（1）所得式子分别计算比较即可；②先在甲商店购买40个足球，同时获赠40个毽球，然后再在乙商店购买剩余的40个毽球，即可求出最优惠的购买方案及其所需总费用． 【详解】（1）解：①若在甲商店购买，所需总费用为元； ②若在乙商店购买，所需总费用为元； （2）（2）①当时，（元）， （元）， ∵， ∴在甲商店购买更优惠； ②∵可以在甲、乙两个商店中分别购买， ∴先在甲商店购买40个足球，同时获赠40个毽球，然后再在乙商店购买剩余的40个毽球， ∵在甲商店购买40个足球的费用为（元），再在乙商店购买剩余的40个毽球的费用为（元）， ∴总花费为（元）， ∵， ∴最优惠的购买方案为：在甲商店购买40个足球，在乙商店购买剩余的40个毽球，所需总费用为3160元． 题型模版 1.特征：整式加减实际应用问题. 2.方法：利用其运算法则的相关知识是解答即可． 变式1-1某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下两种： 方案一：A商品每件进价70元，售价每件100元；B商品每件进价30元，售价每件40元． 方案二：所购商品一律按进价加价销售． (1)某单位购买A商品10件，B商品20件，选用何种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的3倍多2件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)选用方案二划算，能便宜240元 (2)该单位选择方案二更合算． 理由：方案一费用：元， 方案二费用： 元 ， ∵， ∵为正整数， ∴， 即， ∴该单位选择方案二更合算． 【分析】（1）分别计算两种方案的价格，两者比较并相减即可求解． （2）分别计算两种方案的价格，列出代数式，再求差即可． 【详解】（1）解：方案一费用：元， 方案二费用： 元， ∵元， ∴选用方案二划算，能便宜元． （2）略 变式1-2一元一次方程解决实际问题 某球队为备战新赛季，计划从体育用品店采购训练用足球和护腿板，已知足球每个定价180元，护腿板每个定价40元，商店提供两种优惠方案： 方案一：买1个足球送1个护腿板； 方案二：足球和护腿板都按定价的付款，该球队需购买足球35个，护腿板个． (1)方案一的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简），方案二的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简）； (2)当时，哪种方案更省钱？计算说明理由； (3)当时，该球队是否存在更省钱的混合采购方案？若存在，写出方案并计算总费用． 【答案】(1), (2)方案一更省钱 (3)存在，混合采购方案为：用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，总费用为8640元 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，整式加减的应用，解题关键是正确理解题意列出代数式． （1）分别根据方案一和方案二列式计算即可； （2）将代入（1）中代数式求解并判断，即可解题； （3）先用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，计算出结果，再与每一个方案的付款比较大小，选择最合算方案即可． 【详解】（1）解：由题知，方案一的总付款金额为：元， 方案二的总付款金额为元； 故答案为：，； （2）解：当时， 方案一的总付款金额为：（元）， 方案二的总付款金额为：（元）， ， 方案一更省钱； （3）解：存在，用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买， 混合总费用为：（元）， ， 存在更省钱的混合采购方案，方案为用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，总费用为8640元． 变式1-3某野生动物园门票价格为50元/张，并推出了两种购票方案，且两种方案不能同时使用． 方案一 方案二 当团购门票数不超过30张时，无优惠；当团购门票数超过30张时，超过的部分每张优惠10元． 爱心捐款认养小动物，每捐款200元，则所购门票每张优惠1元（例如：捐款400元，则每张门票优惠2元）；且捐款额必须为200的整数倍，最多捐款5000元． 设某旅游团一次性购买门票x张（且x为正整数）， (1)如果选择方案一，求该旅游团购买门票的费用； (2)如果选择方案二，该旅游团爱心捐款m个200元（m为正整数）． ①若该旅游团需要购买35张门票且整个旅游团爱心捐款2000元，则该旅游团一共需要花费的总费用（包含捐款费和门票费）为 元； ②该旅游团一共需要花费的总费用为 元；（用含m，x的代数式表示） ③当时，无论x取什么值，都存在一个正整数m，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的费用多某个常数，求出m及这个常数分别是多少． 【答案】(1)元 (2)①；②；③的值是10，固定值是元 【分析】本题考查了列代数式、整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式加减的应用是解题关键． （1）根据，按照方案一列出代数式即可得； （2）①爱心捐款2000元所购门票每张优惠10元，根据旅游团一共需要花费的总费用等于捐款总金额与门票总费用之和计算即可； ②根据方案二，旅游团一共需要花费的总费用等于捐款总金额与门票总费用之和，由此即可得； ③当时，利用方案二的总费用减去方案一的费用，根据含项的系数等于0可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：方案一，当时，该旅游团购买门票的费用购买门票的费用为元． 答：该旅游团购买门票的费用票的费用为元． （2）解：①由题意得：爱心捐款2000元所购门票每张优惠10元， 一共需要花费的总费用为元， ②由题意得：爱心捐款 个 200 元（即捐款额 元），则每张门票优惠 元（每张门票价格为 元）． 一共需要花费的总费用为元， 故答案为：． ②当时，方案一购买门票的费用为元， 则 ， ∵当时，无论取什么值，都存在一个正整数，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的费用多某个固定值， ∴， ∴， 此时固定值为（元）， 答：的值是，固定值是元． 类型二、分段计费问题 典例2某地区自来水收费标准如下表： 收费标准（注：水费按月份结算） 每月用水量 水费（元/立方米） 不超出立方米的部分 超出立方米不超出立方米的部分 超出立方米的部分 备注：①每月居民用水缴费包括实际用水的水费和污水处理费两部分； ②以上表中的价格均不包括元/吨的污水处理费． 例如：某户居民月份用水立方米，应收水费为（元）． (1)若某用户用水量为立方米，则该用户需交水费______元；若用水量为立方米，则该用户需交水费______元． (2)某用户月份用水立方米，请用含的代数式表示下列水费： ①立方米时，所缴水费为______元， ②时，所缴水费为______元， ③立方米时，所缴水费为______元． 【答案】(1)，； (2)，，． 【分析】本题考查了列代数式问题，整式的加减运算的应用，读懂表格数据，根据取值范围分别进行求解是本题的特点． （）直接求出用立方米的水费及污水处理费和立方米水的水费及污水处理费即可； （）分①立方米，②立方米，③立方米，三种情况，根据图表的收费标准，列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵, ∴若某用户用水量为立方米，则该用户需交水费是（元）， ∵, ∴若用水量为立方米，则该用户需交水费是（元）， 故答案为：，； （2）解：①立方米时，所缴水费为（元）， 故答案为：， ②立方米时，所缴水费为： （元）， 故答案为：， ③立方米时，所缴水费为： （元）， 故答案为：． 题型模版 1.特征：分段计费问题. 2.方法：分类讨论思想，根据问题分析即可． 变式2-1【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 【答案】(1) (2)当时，需付车费元；当时，需付车费元 (3)两人付的车费一样多 【分析】（1）根据行车里程不超过，直接计算里程费加时长费即可得到结果； （2）分行车里程不超过和超过两种情况，根据计费规则列代数式并化简； （3）设出小王的行车时间，用含未知数的代数式分别表示出两人的车费，化简后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解 ，不收远途费 总车费为 （元） （2）解 分两种情况讨论： 当时，不收远途费，需付车费为（元） 当时，超出的部分为 ，远途费为 元 总车费为： （元） 综上，当时，需付车费 元， 当时，需付车费 元. （3）解 设小王的行车时间为分钟，则小张的行车时间为 分钟 小王行车里程为 ， 小王应付车费为： （元） 小张行车里程为 ， 小张应付车费为： （元） 两人应付车费相等． 答：两人付的车费一样多． 变式2-2为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，如表是该市自来水收费价格的价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超过5立方米的部分 3元/立方米 超过5立方米但不超过9立方米的部分 5元/立方米 超过9立方米的部分 7元/立方米 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费 元． (2)若某户居民3月份用水a（）立方米，则该用户3月份应缴纳水费多少元（用含a的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水16立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共缴纳水费多少元．（用含x的代数式表示，并化成最简形式） 【答案】(1)12 (2)元 (3)4，5月份交的水费为元或元或60元． 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）直接根据收费标准进行列式计算即可； （2）直接根据收费标准进行列式计算即可； （3）分三种情况分别求出水费即可． 【详解】（1）解：元， ∴某户居民2月份用水4立方米，则应交水费12元， 故答案为：12； （2）解：元， ∴该用户3月份应交水费元； （3）解：由5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于， 当4月份用水量少于时，5月份用水量超过， 则4，5月份共交水费为（元）； 当4月份用水量不低于，但少于时，5月份用水量不少于，但不超过， 则4，5月份交的水费为（元）； 当4月份用水量超过，但少于时，5月份用水量超过， 则4，5月份交的水费为（元）． 综上所述，4，5月份交的水费为元或元或60元． 题型三、几何图面积问题 典例3 某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中经过折叠能围成无盖正方体纸盒的是_____（填字母）． (2)图2是小亮的设计图，若，，且相对两个面所表示的代数式的和都相等，求代表的代数式： (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为的小正方形； ①用含x的代数式表示这个纸盒的底面积：_____； ②当时，请求出纸盒的容积． 【答案】(1)C (2) (3)①；②当小正方形边长为时，纸盒的容积为 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，每一个面都有唯一的一个对面的展开图才能折叠成正方体．还考查了列代数式、整式的加减，解答本题的关键是读懂题意． （1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题； （2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答； （3）①根据题意，画出图形，可得到底面边长和高，进而利用正方形的面积公式求解即可； ②根据长方体在体积公式，代入，即可解答． 【详解】（1）解：A．有田字，故不能折叠成无盖正方体； B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体； C．可以折叠成无盖正方体； D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体． 故选：C． （2）解：根据题意，A与D是对面，C与E是对面， ∵，，，，且相对两个面所表示的代数式的和都相等， ∴， 则 ； （3）解：①如图， 若四角各剪去了一个边长为的小正方形，则这个盒子的高为，底面边长为， ∴底面积为， 故答案为：； ②当时，， 答：当小正方形边长为时，纸盒的容积为． 题型模版 1.特征：几何图形面积问题. 2.方法：题意列出整式，熟练掌握整式的混合运算法则是关键． 变式3-1如图1所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图2、3所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示． (1)如图2所示，点、、在同一直线上，点、、在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分面积的差为（用含、的代数式表示）； (2)如图3所示，点、、、在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为，． ①的长度为（用、、的代数式表示）； ②当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，那么、必须满足什么条件？ 【答案】(1) (2)① ； ② 【分析】本题主要考查整式的混合运算的应用，根据题意列出整式，熟练掌握整式的混合运算法则是关键． （1）先分别表示出阴影部分的长和宽，进而分别表示出阴影的面积，然后作差求解即可； （2）①根据即可求解； ②先求出，进而即可得到结论． 【详解】（1）解：记左上角阴影部分的面积为，右下角阴影部分的面积为， 左上角阴影部分长方形的长为，宽为， ， 右下角阴影部分长方形的长为，宽为， ， ， 故答案为：； （2）解：①； 故答案为：； ②：右下角与左上角的阴影部分的面积的差为， ∵当的长度变化时，按照同样的放置方式，如果的值始终保持不变， ． 变式3-2定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）观察图形，易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长，同理易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长； （2）根据观察可知，图①中大长方形的长为号正方形的边长与号正方形的边长和，宽为号正方形的边长与号正方形的边长和，又知长方形的周长，即可求出号正方形的边长； （3）要求阴影部分的周长，可根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形的周长，再利用大长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出的长，从而解得阴影部分的周长． 【详解】（1）解：号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号正方形的边长为，号正方形的边长为． （2）解：设号正方形的边长为，号正方形的边长为， ∴号正方形的边长为，号正方形的边长为， 则图①中的长方形的长为，宽为， 长方形的周长为，即， ． 号正方形的边长为， 号正方形的边长为． （3）解：如图，由平移知识可得阴影部分的周长为长方形的周长， 由（2）可知，号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号长方形的宽为号正方形的边长减去号正方形的边长的差即：， ， 周长为的长方形的长为：，宽为， ， ， 则长方形的周长为：， 即阴影部分的周长为． 题型四、整除问题 典例4 综合与实践 【阅读材料】为四位数，因为，显然能被3整除，因此，如果能被3整除，则能被3整除． 【问题提出】数学兴趣小组发现，通过一个数的各位数字之和判断这个数是否能被3整除比直接判断更方便．因此，他们想进一步探究能被11整除的四位数的数字规律． 【特例研究】先列出一些能被11整除的数：1023，1353，2805，3091，7194，8976，… 对上面这些数的各位数字直接相加，显然不具有规律性，那么尝试加法和减法相结合，是否具有规律呢？ 【规律探究】兴趣小组进行探究尝试，最终发现：上面所列的数都满足具有某种规律．由此提出猜想，并类比前面阅读材料中的方法尝试对猜想进行证明． (1)猜想：当，，，满足________________时，四位数能被11整除； (2)证明上述猜想． 【答案】(1)能被11整除 (2)证明： ， 因为和都能被11整除， 所以四位数能被11整除， 故当能被11整除时，能被11整除． 【分析】（1）根据所给数字探究即可； （2）把整理成解答． 【详解】（1）解：1023，，0能被11整除； 1353，，0能被11整除； 2805，，能被11整除； …； ∴当，，，满足能被11整除，四位数能被11整除； （2）略． 题型模版 1.特征：整除问题. 2.方法：熟练掌握整式的加减混合运算法则和整除的性质是解题的关键． 变式4-1一个三位数，百位为，十位为，个位为，可以记作． (1)若把两位数的十位数字与个位数字对调，得到一个新的两位数，试说明一定是11的倍数； (2)若，试说明一定是11的倍数； (3)若为11的倍数，探索之间的等量关系． 【答案】(1) 解：， ∵为整数， ∴是11的倍数 ∴一定是11的倍数； (2) 解： ， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴一定是11的倍数； (3)或 【分析】本题考查了整式的加减的应用，整除的性质，熟练掌握整式的加减混合运算法则和整除的性质是解题的关键． （1）对进行化简得到，即可说理； （2），再变形为，再由即可代入证明； （3）先得到，则只需满足是11的倍数即可，即可分析求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解： ， ∵是的倍数， ∴要使得是的倍数， ∴是的倍数， ∵的取值为1到9的整数，的取值为到9的整数， ∴的最小值为，最大值为， ∴或． 变式4-2【课本回顾】设是一个四位数，如果可以被3整除，那么这个四位数可以被3整除，请你运用整式的知识说明理由． 【方法提炼】设是一个四位数，如果，那么这个四位数一定是的倍数，请你运用整式的知识加以说明． 【迁移应用】下列结论中，正确的是______（填写序号） ①在三位数中，若满足是的倍数，则是的倍数． ②在四位数中，若满足是的倍数，则是的倍数． 【答案】 （课本回顾）：证明：由题意可得， 可以被3整除，可以被3整除， 可以被3整除； （方法提炼）：证明：由题意可得， ， 可以被整除， 这个四位数一定是的倍数； （迁移应用）① 【分析】本题考查了整式加减的应用及数的整除性问题，认真观察、仔细思考，善用联想是解题的关键． （课本回顾）先得，整理得，根据可以被3整除，可以被3整除，即可作答； （方法提炼）依题意，，因，则，显然可以被整除，则这个数一定是的倍数； （迁移应用）①设，则，显然可以被整除，因为要使这个数是11的倍数，则当是的倍数时，是的倍数，即可作答；②无法证明． 【详解】解：（课本回顾）：略 （方法提炼）：略 (迁移应用) ①由题意可得， 可以被整除， 若满足是的倍数，则是的倍数， 故①正确； 由题意可得， 若满足是的倍数，即可证明是的倍数， 与题中“若满足是的倍数”不符，故②错误； 故答案为：①． 题型五、新定义问题 典例5 阅读理解： 材料一：对于一个两位数M，交换它的个位数字和十位数字得到的新数N叫这个两位数M的倒序数．如：23的倒序数是32，50的倒序数是05． 材料二：对于一个两位数M，若它的个位数字与十位数字的和小于等于9，则把个位数字与十位数字的和插到这个两位数中间，得到的新数叫这个两位数M的凸数．如23的凸数是253． (1)直接写出54的倒序数和凸数； (2)嘉嘉说：“如果两位数M的十位数字大于个位数字，则M与它的倒序数的差能被9整除”，判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由； (3)如果一个两位数的倒序数是它本身，且这个两位数有凸数，直接写出这个两位数的凸数； (4)如果一个两位数的十位数字是x，个位数字是y，且有凸数，直接用含x，y的代数式表示这个两位数的凸数． 【答案】(1)45，594 (2)嘉嘉的说法正确，理由如下： 设，则M的倒序数， ， ∵是整数， ∴能被9整除， ∴嘉嘉的说法正确； (3)，，， (4) 【分析】本题考查新定义与代数式的应用，正确理解题意并列代数式表示所求的数是关键． （1）根据题干给的新定义进行计算即可； （2）设，则M的倒序数，相减判断是否能被9整除即可； （3）根据题意，这个两位的十位数字和个位数字相同，数字和又要小于等于9，写出符合条件的所有数字，并求出对应的凸数即可； （4）根据凸数的定义，先计算出其百位数字、十位数字和个位数字，用代数式表示这个数即可． 【详解】（1）解：由题意可知，54的倒序数为45，54的凸数为594； （2）略 （3）解：设这个两位数，则M的倒序数， ∵， ∴， ∴， ∵M有凸数， ∴，即， ∴，，，，对应的凸数为，，，； （4）设这个数为M，则， 根据凸数的定义，M的凸数得百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴这个数为． 题型模版 1.特征：新定义问题. 2.方法：正确理解题意并列代数式表示所求的数是关键． 变式5-1若一个四位正整数M的十位数字比个位数字大1，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数．把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数叫作千丝数M的万缕数，例如：2598，其十位数字，百位数字，所以2598是千丝数，2589就是千丝数2598的万缕数，对于千丝数M，定义：． (1)判断：4376________千丝数；7787________千丝数．（填“是”或者“不是”） (2)请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除． 【答案】(1)不是；是 (2)证明：设任意一个千丝数的个位数字是，千位数字是（不能为，且为偶数）． 根据千丝数的定义：十位数字是，百位数字是． 这个千丝数M可以表示为： 千丝数与它的个位数字的6倍之差为： ∴ 所以能被5整除． 即任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除． 【分析】（1）根据千丝数的定义，分别验证所给数的十位数字是否比个位数字大1，以及百位数字是否等于千位数字与个位数字的平均数． （2）利用用字母表示数的方法，设个位数字和千位数字分别为未知数，根据定义表示出十位和百位数字，进而表示出这个四位数的值．通过代数运算计算该数与个位数字6倍的差，最后根据能被5整除的数的特征进行判断． 【详解】（1）解：对于4376： 个位数字是，十位数字是，，符合条件：十位数字比个位数字大1； 千位数字是4，个位数字是6，千位与个位数字的平均数是； 百位数字是3，，不符合条件：百位数字是千位数字与个位数字的平均数． 所以不是千丝数． 对于7787： 个位数字是，十位数字是，，符合条件：十位数字比个位数字大1； 千位数字是，个位数字是，它们的平均数是； 百位数字是，，符合条件：百位数字是千位数字与个位数字的平均数． 所以是千丝数． （2）略 【点睛】①千丝数需要同时满足两个判定条件；②各数位数字的取值范围：千位数字是1到9的整数，个位、十位、百位数字是0到9的整数．③证明整除时，需将代数式整理为5与某个整数的乘积形式，确保变形过程的严谨性． 变式5-2一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为半和数．例如三位正整数234中，十位数字3恰好等于百位数字2与个位数字4之和的一半，所以234是“半和数”；又如369中，十位数字6恰好等于百位数字3与个位数字9之和的一半，所以369也是“半和数”． (1)已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是______；若它的百位数字为（为不为0的偶数），个位数字为0，则十位数字为______，这个数为______（用含的代数式表示）； (2)设一个“半和数”的百位数字为，十位数字为，（，，，均为整数），个位数字为，则，，的关系式为______． (3)小颖发现任意一个“半和数”的个位数字（个位数字不为0）和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是111的倍数！请你判断这一结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)结论正确，理由： 设一个“半和数”的百位数字为m，个位数字为n（m，n均为正整数，且m、n不为0）， 则这个“半和数”用含m，n的代数式表示为： ， 将这个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”， ∴新的“半和数”为：， 将新“半和数”与原“半和数”相加得： ∵m，n均为正整数，且m、n不为0， ∴为正整数， ∴是的倍数， ∴任意一个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是的倍数． 【分析】（1）根据定义计算十位数字，再表示出三位数即可； （2）直接根据定义推导得到，，的关系式； （3）分别用代数式表示原半和数、新半和数，求和化简后即可判断结果是否为111的倍数． 【详解】（1）解：∵该三位数是“半和数”，百位数字是7，个位数字是1， ∴十位数字为， ∴这个数是． 当百位数字为，个位数字为时， ∴十位数字为，这个三位数为． （2）根据“半和数”的定义，十位数字等于百位数字与个位数字之和的一半，可得 ， 整理得． （3）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为度时，收费为元） 月用电量（单位：度） 单价（元/度） 不超过度的部分      超过度不超过度的部分      超过度的部分      已知小明家上半年的用电情况如下表（以度为标准，超出度记为正、低于度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份                               根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最多的是 月份，这个月电费为 元； (2)若小明家某月用电量为度，请用含的代数式表示小明家该月的电费为 元； (3)若小明家月份的用电量为度，请求出小明家月份的电费． 【答案】(1)， (2) (3)小明家月份的电费为元 【分析】（1）根据正负数的意义可得出小明家用电量最多的月份，进而求出电费； （2）根据阶梯价格列出代数式即可求解； （3）根据“阶梯价格”，即可求解． 【详解】（1）解：观察表格数据可知，小明家用电量最多的是六月份， 这个月电费是（元）； 故答案为：六，； （2）解：当时，小明家该月的电费为：元； 故答案为：； （3）解：∵小明家七月份的用电量超过度， （元）， 答：小明家月份的电费为元． 2．下表是某品牌网约车的收费标准． 收费标准 起步费 不超过3公里为12元 里程费 超过3公里后超过部分2元公里 远途费 超过10公里后超过部分0.4元公里 时长费 超过10分钟后超过部分0.6元分钟 例：乘车里程为20公里，行车时间30分钟，车费为： （元） 请回答以下问题： (1)小华家到影院的路程是公里，若乘该品牌网约车约需要分钟，求所需车费多少元？ (2)小华乘该品牌网约车外出，行车里程为公里，行车时间为分钟，求所需车费多少元(用含a、b的代数式表示)？ (3)小华与小明都乘坐该品牌网约车到该市某景点游玩，行车里程分别为公里、公里，若汽车在市区内限速公里小时，小华比小明乘车时间多用了分钟，请通过计算说明谁付的车费多？ 【答案】(1)所需车费27元 (2)所需车费元 (3)小华付的车费多 【分析】本题考查了整式加减的应用，有理数的混合运算，读懂题意，列出正确的代数式是解题的关键． （1）根据题意列出算式，再根据有理数的运算法则计算即可； （2）根据题意列出代数式，再根据整式的加减计算即可； （3）分别计算小华与小明的车费，利用作差法比较即可． 【详解】（1）解：（元） 故所需车费27元； （2）解：， 故所需停车费元； （3）解：（小时）分钟 ∴小华、小明乘车均超过10分钟 设小华乘车时间为分钟，则小明乘车时间为分钟， 由（2）题的代数式可得： 小华的车费为：元． 小明的车费为：元． 因为， 所以． 答：小华付的车费多． 3．某种窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长为米． (1)用含的代数式表示窗户的面积和窗框的总长． (2)当时，若在窗户上安装玻璃，玻璃每平方米元，窗框每米元，窗框的厚度不计，求制作一个这种窗户的材料费是多少元（材料费=玻璃费+窗框费）． (3)在（2）的条件下，某公司计划在甲工厂或乙工厂采购100个这种窗户，下表是甲、乙两个工厂制作这种窗户的收费价目表．通过计算说明去哪家工厂采购更省钱．（安装费=材料费+运输费+人工费） 工厂 材料费 运输费 人工费 玻璃 窗框 甲 26元/m2 20元/ 10元/个窗户 120元/ 乙 30元/ 18元/ 12元/个窗户 130元/ 【答案】(1)窗户面积为平方米，窗框的总长为米 (2)元 (3)去甲工厂采购更省钱 【分析】本题考查了整式加减的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）窗户面积为：个小正方形的面积加半圆的面积；窗框的总长度为：所有小正方形的边长之和半个圆的弧长三个半圆的半径，代入数值即可． （2）制作一个这种窗户需要的材料费：玻璃钱窗框钱，即，将代入上式，化简即可． （3）分别计算甲、乙两个工厂采购个这种窗户的花销：安装费=材料费运输费人工费，代入数值可得出具体数值，再根据每个工厂采购每一个窗户的花销都相同，故对比一个窗户的花销谁省钱，即可得出采购个这种窗户的花销谁省钱。 【详解】（1）解：由题意可得窗户面积为：个小正方形的面积加半圆的面积，下部小正方形的边长和半圆的半径为米， ∴窗户面积为：（平方米）， 由题意可得窗框的总长度为：所有小正方形的边长之和半个圆的弧长三个半圆的半径， ∴窗框的总长为：（米）． 故窗户面积为平方米，窗框的总长为米 （2）解：∵玻璃每平方米元，窗框每米元，窗户面积为平方米，窗框的总长为米， ∴制作一个这种窗户需要的材料费是：（元）， 将代入上式，可得， ∴制作一个这种窗户需要的材料费是元． （3）解：由上可得一个窗户面积为：（平方米） 在甲工厂采购时，，，运输费为元/个窗户，人工费为元/ 故在甲工厂采购个这种窗户的总花销为：（元）， 在乙工厂采购时，，，运输费为元/个窗户，人工费为元/ 故在乙工厂采购个这种窗户的总花销为：（元）， ∵，在每个工厂采购每一个窗户的价格都相同， ∴在甲工厂采购个这种窗户省钱， ∴去甲工厂采购更省钱． 4．出租车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 起步价 里程费 时长费 远途费 单价 9元（包含里程3km 包含时长9min） 2元/km 0.4元/min 0.6元/km（超过20km 后加收远途费） 注：车费由起步价、里程费、时长费、远途费四部分构成． 例如，乘坐出租车，行车里程为25km，行车时间为30min，则需付车费： （元） (1)若小琪乘坐出租车，行车里程为10km，行车时间为20min，则需付车费___________元； (2)若小亮乘坐出租车，行车里程为akm，行车时间为bmin（）．试用含a，b的式子表示小亮应付的车费（结果需化简）； (3)小琪和小亮各自乘坐出租车去市区某景点（汽车市区内限速40k/h），行车里程分别为19km与22km，受路况影响，小琪反而比小亮乘车时间多用18min．试利用整式的知识比较两人支付车费的多少． 【答案】(1)27.4 (2)①当时，元 ②当时，元 (3)两人付费一样 【分析】（1）根据出租车计价规则列式计算即可； （2）①若，应付车费=起步价+超过3公里的里程费+超过9分钟的时长费；②若，应付车费=起步价+超过3公里的里程费+超过9分钟的时长费+超过20公里后的远途费； （3）根据题意分别计算两人的车费，再作比较． 【详解】（1）（元） 故答案为：27.4； （2）①当时，元． ②当时，（元）； （3）设小尧乘车时长为分钟，则小淇乘车时长为分钟． 小淇应付车费：（元）， 小尧应付车费：（元），因此，两人付费一样． 【点睛】题考查列代数式、代数式求值等知识，正确理解题意是解题关键． 5．某超市在中秋期间进行优惠促销活动，规定一次性购物优惠方案：根据优惠方案解决下列问题： 消费金额 少于200元 高于200元但低于400元 400元或超过400元 优惠办法 不予优惠 九折优惠 其中400元部分给予九折优惠，超过400元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物300元，她实际付款__________元； (2)王老师在该超市一次性购物元，她实际付款多少元？（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计800元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示王老师两次购物实际付款多少元？ 【答案】(1)270 (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，分析题意并列出代数式是解题关键． （1）300元处于中间档次，按九折计算即可； （2）处于第三档，根据对应的优惠办法列代数式计算； （3）分析出第二次购物的货款不超过400元，第一次购物的钱数高于400元，再分两段求出二次购物的钱数，再相加即可． 【详解】（1）解：由题得，， ∴她实际付款270元； 故答案为：270； （2）解：由题得，， ∴她实际付款元； （3）解：∵第一次购物的货款为元， ∴第二次购物的货款为元，，享受9折优惠， ∴王老师两次购物实际付款元． 6．项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，所有支管道的总长度为米 (3)①由题意得主管道共有米，所需成本为（元）， 支管道共有米，所需成本为（元），所需固定装置成本为（元）， ， ， ， ； ②当，，时， ， ， ， ，超出了给定总预算， 支管道间距d不可以是2； 【分析】（1）由基地宽和支管间距得出总区域数，结合边界不需要安装支管道即可得到需要的支管道总条数； （2）代入，，算出，再计算可得支管总长； （3）①分别算出主管道、支管道、固定装置成本，把这些成本加起来可得到总成本关系式；②将，，代入求得的值，将这个值与进行比较可得支管道间距d不可以是2． 【详解】（1）解：由题意得基地宽度为，每间隔米划分一个灌溉区域， 总区域数为， 边界不需要安装支管道， 需要的支管道总条数； （2）解：，，， ， 所有支管道的总长度为（米）； （3）略 7．如图1，用四种大小不同的五个正方形和一个长方形（阴影部分）无重叠地拼成长方形，其中，最小的正方形的边长为x． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)用含x的代数式表示长方形的周长，并求当时，该周长的值； (3)如图2，将正方形沿方向向右平移，得到两块阴影部分．若x为定值，则图中两块阴影部分的周长之差是否为定值，若是用含x的代数式表示该定值，若不是请说明理由． 【答案】(1)， (2)166 (3)两块阴影部分的周长之差为定值 【分析】本题考查了几何图形中的代数关系及周长计算，关键在于通过图形中正方形边长的关联，准确表示各线段长度，进而利用周长公式进行计算，并通过代数运算判断两块阴影部分周长之差是否为定值． （1）通过观察图形中正方形边长的关系，结合已知和最小正方形边长，推导和的表达式； （2）先确定长方形的长和宽，再利用周长公式计算并代入求值； （3）设定平移距离，分别表示两块阴影部分的周长，再求其差判断是否为定值． 【详解】（1）解：∵最小的正方形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴长方形的周长为：， 当时， ， ∴长方形的周长为166； （3）解：两块阴影部分的周长之差为定值，理由如下： 设正方形沿方向向右平移，则， ∴左上角阴影部分的周长为：， ∵右下角阴影部分的邻边长为和， ∴右下角阴影部分的周长为：，则， ∴图中两块阴影部分的周长之差为定值． 8.【教材呈现】下面是华师版教材111页的部分内容． 设是一个四位数，如果可以被3整除，那么这个数可以被3整除．为什么？ 【特例验证】写出一个能被3整除的四位数 ①．该数四个数位上的数字之和为 ②，显然该和 ③被3整除（填“能”或“不能”）． 【探究证明】下面是小明的部分证明过程，请补充完整． 解： ＝ ， 显然能被3整除． 因此如果能被3整除，那么就能被3整除． 【迁移运用】设是一个三位数，如果能被9整除，那么这个数可以被9整除，为什么？请写出证明过程． 【拓展提升】当五位数能被9整除时，直接写出x的值． 【答案】特例验证：1236（答案不唯一），12（答案不唯一），能；探究证明：； 迁移运用：证明： ． ∵能被9整除，能被9整除， ∴能被9整除； 拓展提升：或 【分析】此题考查整式加减的应用． 特例验证：根据一个四位数的各位数字和能被3整除，这个四位数就能被3整除的结论写出一个四位数即可； 探究证明：根据合并同类项法则解决即可； 迁移运用：把化为即可证明； 拓展提升：根据五位数能被9整除得出能被9整除，进而求出结论． 【详解】特例验证：解：只要四位数的各个数位上的数字之和能被3整除即可． 故能被3整除的四位数为：1236（答案不唯一）；该数四个数位上的数字之和为12，显然该和能被3整除． 故答案为：1236，12，能； 探究证明： 解： ， 显然能被3整除． 因此如果能被3整除，那么就能被3整除． 故答案为：； 迁移运用：略 拓展提升： 解：∵五位数能被9整除， ∴各位数字之和能被9整除，即：能被9整除． ∴x能被9整除． ∵x是的整数， ∴或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $