专题02 整式的加减及应用12类热考题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

**基本信息** 以“去括号、合并同类项、化简求值”为核心，通过十二类题型系统构建整式加减解题方法体系，强化运算能力与推理意识，实现从概念到综合应用的逻辑迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1|提炼三大核心解法及两条底线原则|构建“概念-法则-应用”基础逻辑链| |十二类题型|每类含典例+3-5变式|针对每类题型总结特征、步骤及易错点|从基础运算到无关/定值/图形综合等应用，形成递进式知识网络|

专题02 整式的加减及应用十二类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、合并同类项 1 类型二、去括号 2 类型三、整式加减的运算 5 类型四、整式加减中的化简求值问题 8 类型五、整式加减中的无关型问题 11 类型六、整式加减中的整除问题 14 类型七、整式加减中的错解问题 20 类型八、整式加减中的定值问题 23 类型九、整式加减中的污染问题 26 类型十、整式加减中的比较大小问题 29 类型十一、整式加减中的不含型问题 32 类型十二、整式加减与图形综合问题 34 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 整式的加减及应用是初中代数运算的基础核心，所有题型均围绕去括号、合并同类项、化简求值三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是去括号时括号前为负号则各项全变号、数字因数需乘遍每一项，二是合并同类项时系数相加减而字母及指数均不变；所有参数结果最终均需回归最简形式检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、合并同类项 典例精讲1（25-26七年级下·北京房山·期中）若，，则________． 【答案】/ 【详解】解： ． 题型归纳 1.特征：给出多项式，要求直接化简或合并同类项。 2.方法：识别同类项（字母相同且相同字母指数也相同）→系数相加减→字母及指数保持不变。 3.易错提醒：同类项与系数大小、字母排列顺序无关；移动项时必须连同前面的符号一起移动。 变式训练1（25-26七年级上·四川凉山·期末）已知多项式，，那么的化简结果为______． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加减运算，进行合并同类项是解题的关键． 将多项式和代入后进行合并同类项即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 变式训练2（25-26七年级上·四川南充·阶段检测）规定一种新的运算，那_____． 【答案】 【分析】本题考查新运算的定义，解题关键在于理解新运算的规则，将行列式中的元素代入公式 进行计算即可求解. 【详解】解：由运算定义，， 故答案为：. 变式训练3（25-26七年级上·广东河源·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据整式运算中的合并同类项法则与去括号法则，逐一计算各选项即可判断正确结果． 【详解】解：选项A：∵合并同类项时，系数相加，字母及指数不变， ∴，A错误． 选项B：∵合并同类项时，系数相加，字母及指数不变， ∴，B错误． 选项C：∵去括号时，括号外的因数要乘括号内每一项， ∴，C错误． 选项D：∵，符合去括号法则， ∴D正确． 类型二、去括号 典例精讲2（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号规则：括号前是正号，去括号后括号内各项不变号，括号前是负号，去括号后括号内各项都变号，括号前有系数时，需将系数乘以括号内每一项，据此逐一判断选项即可求解． 【详解】解：∵ 对选项A，，∴A错误． ∵ 对选项B，，∴B正确． ∵ 对选项C，，∴C错误． ∵ 对选项D，，∴D错误． 题型归纳 1.特征：式子中含有括号（含多层括号或括号前带数字因数），要求去括号后化简。 2.方法：括号前是 "＋"，各项不变号；括号前是 "－"，各项全变号；数字因数乘遍括号内每一项；多层括号由内向外逐层去掉。 3.易错提醒：括号前为负号时容易只变第一项符号；数字因数容易漏乘括号内后面的项。 变式训练1（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查去括号法则的应用，需根据“括号前是‘+’时，去掉括号与‘+’，括号内各项符号不变；括号前是‘-’时，去掉括号与‘-’，括号内各项符号均改变”的法则逐一判断选项． 【详解】解： ∵括号前是“+”时，去括号后括号内各项符号不变 ∴对于选项A，，A错误． 对于选项D，，D错误． ∵括号前是“-”时，去括号后括号内各项符号改变 ∴对于选项B，，B正确． 对于选项C，，C错误． 故选：B． 变式训练2（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，涉及去括号和合并同类项．先处理括号内的表达式，注意符号变化，然后使用分配律，最后合并同类项． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式训练3（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）若，，则______． 【答案】13 【分析】本题考查了去括号法则与整式的加减运算，解题的关键是熟练运用去括号法则将式子化简，易错点是去括号时符号的变化；先利用去括号法则去掉式子中的括号，再通过交换律和结合律将式子变形为含有与的形式，最后代入已知条件求值． 【详解】 故答案为13． 类型三、整式加减的运算 典例精讲3（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）一个多项式与的和是，则这个多项式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得 ， ∴这个多项式为． 题型归纳 1.特征：给出两个或多个整式，求它们的和或差。 2.方法：根据题意列式→去括号→合并同类项→按某一字母降幂（或升幂）排列整理结果。 3.易错提醒：求差时需给减式整体加括号再去括号；结果中不得保留未合并的同类项。 变式训练1（25-26七年级上·四川宜宾·期中）有理数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由数轴可得，，，，根据负数的绝对值等于它的相反数去绝对值符号，合并同类项即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴ ． 变式训练2（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，，且，则C的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，先通过等式变形得到，再代入、的表达式，利用去括号、合并同类项法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故选：D． 变式训练3（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 变式训练4（26-27七年级上·全国·课后作业）已知． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴ 变式训练5（26-27七年级上·全国·课后作业）先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去括号，再合并同类项； （2）先根据乘法分配律计算，再合并同类项； （3）（4）仿照（2）解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 类型四、整式加减中的化简求值问题 典例精讲4（26-27七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)，4 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 题型归纳 1.特征：给出含字母的整式及字母取值，要求先化简再代入求值（含整体代入情形）。 2.方法：先将整式化到最简形式→再代入数值计算；若已知条件与所求式存在整体关联，采用整体代入法。 3.易错提醒：不可直接代入未化简的式子；代入负数或分数时注意加括号，避免符号错误。 变式训练1（25-26七年级上·四川成都·期末）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先去括号，再合并同类项，利用非负性求出x，y的值，然后代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式． 变式训练2（25-26七年级上·河南信阳·期末）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．先去括号，合并同类项，再观察，把的值整体代入求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 变式训练3（25-26七年级上·山西大同·期末）阅读材料 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．比如．由此，若我们把看成一个整体，当成字母“”，则． 迁移应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是__________； (2)已知，则的结果是__________； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了合并同类项，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键. ()仿照材料，把看成一个整体，即可合并； ()将整体代入计算即可； ()先去括号，再添括号，根据已知，然后整体代入求值即可. 【详解】（1）解：原式 故答案为：； （2）由，得 因此 故答案为：； （3）解：， 又∵，即， ∴原式. 类型五、整式加减中的无关型问题 典例精讲5（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）已知的取值与x无关，求的值__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了整式的加减中无关型问题，代数式求值，根据题意得出，，进而求出，，然后代入求解即可． 【详解】解： ∵的取值与x无关， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：化简结果与某个字母的取值无关，求参数的值。 2.方法：化简整式→令该字母的系数为 0→列方程求解参数。 3.易错提醒：必须化简到最简形式后再判断系数；注意 "与 x 无关" 是指 x 的系数为 0，而非 x 取 0。 变式训练1（25-26七年级上·河北邯郸·期末）若代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值是___________． 【答案】 0 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是熟知整式的加减实质上就是合并同类项．先去括号，再合并同类项，根据代数式的值与x无关，则含x项的系数为零，由此求出a和b的值，再化简所求代数式，a和b的值代入计算． 【详解】解：原式化简为， 由题意得和， 解得，． 则． 故答案为：0． 变式训练2（25-26七年级上·四川成都·期中）已知，．若的取值与无关，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算、代数式的值与字母无关的条件、非负数的性质．方法：整式合并同类项法、系数归零法、利用非负数求最值．关键：将整理为含a的项与不含a的项，令a的系数为0确定参数，再利用求最小值．易错点：合并同类项时符号或系数计算错误；“与a无关”是指a的系数为0． 先计算的表达式，根据与a无关的条件，令含a的项的系数为零，确定x的值，再求其最小值． 【详解】， ， 则． ． 由于的值与a无关，故含a的项的系数为零，即， 解得． 此时． 因， 故， 当时取最小值． 故答案为：． 变式训练3（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）魔术师说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加8，然后除以4，再减去你原来所想的那个数的一半，我可以知道你计算的结果是2．” (1)如果设魔术师任意想的那个数为x，请你帮助魔术师说明上述结论的正确性； (2)在（1）中，得到的代数式化简后结果为2，它不含有x，我们称之为“与x无关”．试解决下列“无关”类问题： ①多项式的值（    ）； A．仅与x的大小无关                    B．仅与y的大小无关 C．与x、y的大小都无关                D．与x、y的大小都有关 ②三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c．设图1中阴影部分周长为m，图2阴影部分周长之和为n，试判断的值是否与正方形A、B、C的边长有关，若有关，请说明理由；若无关，求出的值． 【答案】(1) 解：根据题意得：， 上述的结论正确； (2)①C；②无关， 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减，熟练掌握整式的加减步骤是解题的关键． （1）按照魔术师的步骤进行运算，即可得出结论； （2）①去括号，合并同类项后，即可得出结论； ②利用长方形的周长公式，可用含，，的代数式表示出，，二者作差后，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：① ， 多项式的值与、的大小都无关． 故选：C； ②无关，， 根据题意得：长方形的长为，宽为， ，， ， 的值与正方形、、的边长无关，的值为0． 类型六、整式加减中的整除问题 典例精讲6（25-26七年级上·吉林长春·期末）【教材呈现】下面是华师版教材111页的部分内容． 设是一个四位数，如果可以被3整除，那么这个数可以被3整除．为什么？ 【特例验证】写出一个能被3整除的四位数 ①．该数四个数位上的数字之和为 ②，显然该和 ③被3整除（填“能”或“不能”）． 【探究证明】下面是小明的部分证明过程，请补充完整． 解： ＝ ， 显然能被3整除． 因此如果能被3整除，那么就能被3整除． 【迁移运用】设是一个三位数，如果能被9整除，那么这个数可以被9整除，为什么？请写出证明过程． 【拓展提升】当五位数能被9整除时，直接写出x的值． 【答案】特例验证：1236（答案不唯一），12（答案不唯一），能；探究证明：； 迁移运用：证明： ． ∵能被9整除，能被9整除， ∴能被9整除； 拓展提升：或 【分析】此题考查整式加减的应用． 特例验证：根据一个四位数的各位数字和能被3整除，这个四位数就能被3整除的结论写出一个四位数即可； 探究证明：根据合并同类项法则解决即可； 迁移运用：把化为即可证明； 拓展提升：根据五位数能被9整除得出能被9整除，进而求出结论． 【详解】特例验证：解：只要四位数的各个数位上的数字之和能被3整除即可． 故能被3整除的四位数为：1236（答案不唯一）；该数四个数位上的数字之和为12，显然该和能被3整除． 故答案为：1236，12，能； 探究证明： 解： ， 显然能被3整除． 因此如果能被3整除，那么就能被3整除． 故答案为：； 迁移运用：略 拓展提升： 解：∵五位数能被9整除， ∴各位数字之和能被9整除，即：能被9整除． ∴x能被9整除． ∵x是的整数， ∴或． 题型归纳 1.特征：整式化简后能被某数或某式整除，或结果恒为某整数倍，求参数或验证整除性。 2.方法：化简整式→分析系数特征或因式分解→根据整除条件列方程或验证。 3.易错提醒：整除要求对字母任意取值均成立，不能仅代入特殊值验证即下结论。 变式训练1（25-26七年级上·广东深圳·期末）小龙上小学时得知“如果一个数的各个数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除”．于是他选取了一个三位数825，它的各个数字之和为，因为，所以825应该能被3整除．爱思考的小龙想到用两种方法进行说明． 方法1：计算验证 方法2：分析说明 因为为整数，5为整数， 所以能被3整除，能被3整除，所以825能被3整除． (1)有一个三位数，它的百位数字是7，十位数字是4，请你选择一个合适的个位数字，使得这个三位数能被3整除，并用方法2说明理由； (2)设是一个四位数，a，b，c，d分别为对应数位上的数字，请说明若能被3整除，则这个数也可以被3整除． 【答案】(1) 个位数字选1， 理由：个位数字选1，则这个三位数是741．（个位数字除了1，还可以选4或7） 因为为整数，4为整数， 所以能被3整除，能被3整除， 所以741能被3整除． (2) 证明： ， 因为能被3整除，且可以被3整除， 所以它们的和可以被3整除， 所以这个四位数可以被3整除． 【分析】此题考查了整式加减的应用，有理数混合运算的应用，正确掌握因式分解的方法及例题中的解题方法是解题的关键． （1）仿照例题得到3与某数相乘即可得到结论； （2）仿照例题得到3与某数相乘即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 变式训练2（25-26七年级上·福建福州·期末）初中数学中，数与代数领域的推理无处不在．探究整除数规律，就是一个典型的代数推理过程．在课堂上探究并证明了“自然数被3整除的规律”后，小明尝试探索“自然数被11整除的规律”． 【探究一：两位数】 （1）以下为小明的推理和证明思路． 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a和b，通常记为，则这个两位数可表示为．小明列举了几个能被11整除的两位数：11，22，33，…，他观察到这些数共同的特征是①____（填a，b的数量关系）． 证明如下：因为，且满足①， 所以②_____=③______． 因为③能被11整除， 所以能被11整除． 请你帮助他补充完整①②③所缺的内容 【探究二：三位数】 （2）如果用表示一个三位数．当a、b、c应满足以下什么条件时，能被11整除． 现有三个a、b、c的关系：①能被11整除；②能被11整除；③能被11整除．请选出所有能够使得能被11整除的条件，并写出证明过程； 【答案】（1）①，②，③； （2）解：条件②和③能够使得能被11整除． 证明：因为， 将100和10分解为11的倍数与余数之和：，， 代入得：， 因为是11的倍数， 所以当是11的倍数时，能被11整除， 即满足条件②能被11整除时，能被11整除； 计算条件②与条件③的和为：，且能被11整除， 所以当条件②能被11整除时，条件③能被11整除， 所以满足条件③能被11整除时，也能被11整除； 对于条件①能被11整除取反例：当，，时， 满足能被11整除，但146不能被11整除， 故满足条件①时不成立； 综上，条件②和③能够使得能被11整除． 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减； （1）根据所列举的数可知，然后进一步计算即可； （2）将改写为，可知当是11的倍数时，能被11整除，然后证明条件②与条件③等价，再举反例证明条件①不成立即可． 【详解】解：（1）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a和b，通常记为，则这个两位数可表示为．小明列举了几个能被11整除的两位数：11，22，33，…，他观察到这些数共同的特征是（填a，b的数量关系）． 证明如下：因为，且满足①， 所以， 因为③能被11整除， 所以能被11整除． 故答案为：①，②，③； （2）略 变式训练3（25-26七年级上·河北沧州·期末）阅读材料并解答下列问题： 在小学，我们知道像这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说明其中的道理吗？先看两位数的情形，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为，于是．显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． (1)请你用类似的方法表示任意一个三位数； (2)猜想一个三位数满足什么条件时能被9整除？并说明理由； (3)已知一个三位数的十位数上的数字比百位数上的数字的2倍大3，个位上的数字是百位上数字的3倍，这个数能被3整除吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：当一个三位数满足可以被9整除，则该三位数就能被9整除．理由如下： ， 因为和都能被9整除，所以能被9整除； 因此，如果可以被9整除，那么就能被9整除 (3) 解：这个三位数能被3整除，理由如下， 设这个百位数字为，为小于的正整数，则十位数字为，个位数字为， 这个三位数为， 为正整数， 这个三位数能被3整除． 【分析】本题主要考查了整式的加减和数的整除，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得出三位数为百位数字十位数字个位数字，进而得解； （2）仿照题干材料分解整式即可； （3）将三位数表示出来，再分成一个整式即可得证． 【详解】（1）解：由题意可知三位数为百位数字十位数字个位数字， 设这个三位数百位数字为，十位数字为，个位数字为， 则； （2）略 （3）略 类型七、整式加减中的错解问题 典例精讲7（21-22七年级上·江苏无锡·期中）马虎的李明在计算多项式M加上时，因错看成加上，尽管计算过程没有错误，也只能得到一个错误的答案为． （1）求多项式M； （2）求出本题的正确答案． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据错误的结果减去，去括号合并表示出多项式即可； （2）由表示出的加上，去括号合并即可得到正确的答案． 【详解】解：（1）根据题意列得： ， 即； （2）正确答案为： ， 即正确答案为． 【点睛】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键． 题型归纳 1.特征：因看错符号、运算或抄错整式导致错误结果，要求还原正确答案。 2.方法：逆向思维 —— 由错误结果和错误运算反推原整式→再按正确运算重新计算。 3.易错提醒：反推时运算须取逆（加变减、减变加）；注意符号的正确还原，避免二次出错。 变式训练1（24-25六年级上·山东烟台·期末）有这样一道计算题∶“计算的值，其中．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【答案】 解： ； ∵化简结果中不含x项， ∴小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确； 又∵化简结果中是“”，“1”、“”的平方是一样的， ∴小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的． 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先把原式去括号，合并同类项得，根据结果进行说明即可． 【详解】略 变式训练2（25-26七年级上·山西临汾·阶段检测）在整式的加减练习课中，小嘉将“”错看成“”，得到的结果是，已知． (1)求整式； (2)求的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号、合并同类项的法则是解题的关键． （1）根据错误的运算式，结合的表达式，反向计算求出； （2）将和求出的代入，进行整式的加减运算； 【详解】（1）解：∵小嘉将“”错看成“”，得到的结果是， ∴ ； （2）解： ． 变式训练3（24-25七年级上·广东广州·期中）学习了整式的加减法之后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个关于的多项式、，其中，求． 小强同学把“”错看成“”，求出的结果为． (1)填空：多项式的次数为 ，常数项为 ； (2)请帮小强同学求出的正确答案； (3)若当取任意数值时，的值都是一个常数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的项和次数，整式的加减运算以及无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，故多项式的次数为，常数项为，即可作答． （2）因为，且，故，再把，，分别代入，进行计算化简，即可作答． （3）先得出，结合当取任意数值时，的值都是一个常数，故，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 多项式的次数为，常数项为； 故答案为： （2）解：∵，且， ， ； （3）解： ． 当取任意数值时，的值都是一个常数， ， ． 类型八、整式加减中的定值问题 典例精讲8（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，当取任意数值时，的值一定是定值，请求出这个定值. 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，代数式求值，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题； 本题先求出的代数式，然后根据取任意数值时，的值一定是定值，求得和的值，进而求解定值； 【详解】解： ， ∵当取任意数值时，的值一定是定值， ∴，， ∴，， 即当，时，取任意数值时，的值一定是定值，定值. 题型归纳 1.特征：无论字母取何值，整式的值恒为某一定值，求该定值或相关参数。 2.方法：化简整式→含字母的项全部抵消（系数为 0）→剩余常数即为定值。 3.易错提醒：定值问题的本质是所有含变量项的系数均为 0，需逐项检查，不可遗漏任何一项。 变式训练1（25-26七年级上·广东汕头·期中）已知，． (1)当，时，计算的值； (2)若无论x代入何值，的值始终为一个定值，请求出这个定值和k的值． 【答案】(1)6 (2)定值为2， 【分析】此题考查的是整式的加减混合运算，整式无关项问题，整式化简求值． （1）先将和代入并化简，再代入，求解即可． （2）根据（1）可知，再根据代数式的值恒不变，得到的值． 【详解】（1）解：∵， ， 当，时，． （2）解：根据（1）可知， ∵无论代入何值，的值始终为一个定值， ， 解得：， 此时． 变式训练2（25-26七年级上·广东湛江·期末）已知无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值12，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键． 先把原多项式化简，再由无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值12，即可求解． 【详解】解： ∵多项式的值都等于定值12， 解得：， ． 变式训练3（25-26七年级上·四川成都·期末）已知： (1)化简． (2)若无论取何数值，（1）中代数式的值均为一个定值，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）代入数据，对去括号，合并同类项化简即可； （2）由（1）知根据题意使即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：由（1）知， ∵当取任何数值，的值是一个定值， ∴， 解得． 类型九、整式加减中的污染问题 典例精讲9（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）已知两个整式，，其中系数■被污染，当时，B的值为． (1)求■所表示的数字； (2)先化简，并求值，其中． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握整式加减的运算法则． （1）设■所表示的数字为a，根据当时，B值为，列出方程，解方程即可； （2）先根据整式加减运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】（1）解：设■所表示的数字为a，根据题意得： ， 解得：， 即■所表示的数字为； （2）解：∵■所表示的数字为， ∴， ∴ ， 当时，原式． 题型归纳 1.特征：题目中部分系数被遮挡（污染），需根据给定条件还原被遮挡的系数。 2.方法：设被污染系数为参数→根据题意化简并利用条件列方程→求解参数还原原式。 3.易错提醒：设参数时要明确被污染的是哪一项的系数；代入条件时注意项与系数的对应关系。 变式训练1（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）（1）问题解决：当x取不同数值时，代数式和对应的值如下表，表中部分信息被墨水污染， x 1 2 2 ● ● 3 根据表中信息求：当时，代数式的值； （2）迁移拓展：，，求的值． 【答案】（1）15（2） 【分析】本题考查了已知整式的值，求另一个代数式的值，涉及到了整体代入的思想方法． （1）先利用表格得出，再将所求代数式变形，整体代入数值计算即可求解； （2）将所求代数式变形，并将已知整式的值代入即可求解． 【详解】（1）解：由表格数据可知，， 当时，； （2）解：， ∵，， ∴． 变式训练2（25-26七年级上·河北唐山·期末）学习了整式的加减后，李明准备解答题目“已知M，N是两个整式，，，求的值”时，发现整式M中含的项的系数（题中的“●”处）被墨水污染了，模糊不清． (1)若被墨水污染的数字为5，请求出的值； (2)李明向同学了解到被墨水污染的数字后，求得的值为常数，请直接写出被墨水污染的数字． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，整式加减的无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据整式加减法的运算法则计算即可； （2）根据整式加减法的运算法则得，又因为的值为常数，得被墨水污染的数字为3，进而计算即可． 【详解】（1）解：依题意，，， 则 ； （2）解：依题意， ， ∵的值为常数， ∴， ∴． 变式训练3（22-23七年级上·江西宜春·期末）已知一道整式化简题：■，其中“■”处的系数被墨水污染了．请根据如图所示的对话解答下列问题． (1)请你根据冰墩墩猜的数字化简该式； (2)请你根据雪容融的对话，求出■所表示的数字是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接将10代入“■”化简即可； （2）先去括号合并同类项，然后令不含项的系数等于0求解即可． 【详解】（1）根据题意，原式＝ ＝ ＝ ＝ （2）设■所表示的数字是a，则 原式＝ ＝ ＝ 因为化简结果为常数，所以， 所以■所表示的数字是 【点睛】本题考查了整式的加减－－－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解． 类型十、整式加减中的比较大小问题 典例精讲10（26-27七年级上·全国·课堂例题）已知，比较M与N的大小关系：M________N．（在横线上填写“>”“<”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】本题主要考查了整式的加减及作差法比较大小，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．利用作差法比较大小即可得解． 【详解】 即， 故答案为：< 题型归纳 1.特征：给出两个整式，要求比较它们的大小关系。 2.方法：作差法 —— 求两整式之差→化简差式→根据条件判断差的正负→确定大小关系。 3.易错提醒：作差后必须彻底化简再判断符号；差为 0 时两式相等，不可遗漏等号情形。 变式训练1（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）若，，则A与B的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算，运用作差法得出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴, ∴， 故选：C 变式训练2（25-26七年级上·甘肃定西·阶段检测）作差法是比较两个数大小的常用方法．例如：比较和的大小，因为，所以．我们在学习整式的加减时，常常类比数的有关运算和运算律，数式具有通性，那么比较整式的大小时，同样也可以类比有理数大小比较的方法．根据以上材料，用作差法解答下列问题： (1)比较和的大小； (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算，判断差的符号解答即可； （2）计算，判断差的符号解答即可． 本题考查了整式的大小比较，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键． 【详解】（1）解：， 因为，所以． （2）解： ， 因为，所以， 所以． 变式训练3（25-26七年级上·山东聊城·期末）某数学学习小组在比较有理数大小时发现两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，为了让同学们也发现这个规律，他们设计了如下的探究活动： (1)完成表格： a b 比较与0的大小 比较a与b的大小 5 3 5 ① ② (2)发现规律： 若， 则a b； 若， 则a b； 若，则． (3)利用数式通性，借助上面的规律比较与的大小关系． 【答案】(1)①② (2)； (3) 【分析】本题考查有理数大小比较，解题的关键是掌握不等式的性质． （1）根据表格填空即可； （2）观察表格规律可得答案； （3）求出，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：由得； 由得； 故答案为：，； （2）解：若，则，若，则； 故答案为：，； （3）解：； 任意实数a， ． 类型十一、整式加减中的不含型问题 典例精讲11（25-26七年级上·四川达州·期末）已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、多项式的项与次数的概念，熟练掌握不含某一项即该项系数为0的解题方法是解题的关键． 先求出两个多项式的差，再根据差不含二次项这一条件，令二次项的系数为0，解出和的值，最后代入计算结果． 【详解】解： ， 差不含二次项，解得， ， 故答案为：． 题型归纳 1.特征：化简结果中不含某一项（如不含 x² 项、不含常数项），求参数的值。 2.方法：化简整式→令指定项的系数为 0→列方程求解参数。 3.易错提醒："不含 x² 项" 是令 x² 项的系数为 0，而非令 x=0；须合并同类项后再判断系数。 变式训练1（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）若关于x，y的多项式不含项，则_________ 【答案】 【分析】多项式不含项，说明项的系数为，先化简原多项式，再令项系数为求出，最后代入计算即可． 【详解】解： ∵多项式不含项， ∴项的系数为， 即， 解得， ∴． 变式训练3（25-26七年级上·全国·阶段检测）若多项式不含三次项和一次项，请你确定m，n的值，并求出的值． 【答案】， ， 【分析】本题考查了整式的加减－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解． 根据不含三次项及一次项可得，，可求出m、n的值，代入所求代数式即可得答案． 【详解】解： =， ∵多项式不含三次项及一次项， ∴，， 解得：，， ∴． 变式训练4（25-26七年级上·上海金山·期中）已知整式，整式，且的结果中不含x的一次项，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，利用整式的加减计算法则求出的结果，再根据的结果中不含x的一次项，即含x的一次项的系数为0列式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵的结果中不含x的一次项， ∴， ∴． 类型十二、整式加减与图形综合问题 典例精讲12（25-26七年级下·广东茂名·期末）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，所有支管道的总长度为米 (3)①由题意得主管道共有米，所需成本为（元）， 支管道共有米，所需成本为（元），所需固定装置成本为（元）， ， ， ， ； ②当，，时， ， ， ， ，超出了给定总预算， 支管道间距d不可以是2； 【分析】（1）由基地宽和支管间距得出总区域数，结合边界不需要安装支管道即可得到需要的支管道总条数； （2）代入，，算出，再计算可得支管总长； （3）①分别算出主管道、支管道、固定装置成本，把这些成本加起来可得到总成本关系式；②将，，代入求得的值，将这个值与进行比较可得支管道间距d不可以是2． 【详解】（1）解：由题意得基地宽度为，每间隔米划分一个灌溉区域， 总区域数为， 边界不需要安装支管道， 需要的支管道总条数； （2）解：，，， ， 所有支管道的总长度为（米）； （3）略 题型归纳 1.特征：结合几何图形，用整式表示周长、面积、体积等，或根据图形条件求参数。 2.方法：用字母表示图形各边长→根据几何公式列式→利用整式加减化简→结合图形性质求解。 3.易错提醒：注意图形边长的实际意义（非负性）；周长、面积公式须与图形类型准确对应。 变式训练1（2026·浙江绍兴·二模）【主题】研究幻方 【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．        【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． 小嵊给出了数学证明： 如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，， 因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为， 则第二行：①， 第二列：②， 对角线分别：③，④， 将①＋②＋③＋④，得： 所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． (1)请完成“”中小嵊未显示的推理过程． (2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）将、、整体代入化简即可解答； （2）设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，据此补全幻方，并根据其定义解答即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，   ∴． （2）解：设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，则有： ∴，即． 变式训练（25-26六年级上·山东烟台·期末）根据以下综合与实践材料，完成问题解决． 实践主题 拼图中的周长探究 实践材料 若干小长方形（如图1）、两个形状及大小完全相同的大长方形（如图2）． 实践操作 小亮操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图3： 小明操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图4． 实践数据 图3中阴影部分周长与图4中阴影部分周长的差为m． 问题解决 （1）求小长方形（如图1）的宽（用含m的代数式表示）； （2）求大长方形（如图2）的周长（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）小长方形的宽为（2）大长方形的周长为 【分析】本题考查了整式的加减运算和几何图形周长的计算，解题的关键是通过观察图形，建立小长方形长与宽的关系，并用代数式表示出阴影部分的周长． 设小长方形的长为，宽为，由图可知，大长方形的长为，宽为；分别计算图3和图4中阴影部分的周长，再根据两者的差为列出方程求解． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为． 由图可知：， 大长方形的长为，宽为． 图3中阴影部分的周长： 图4中阴影部分的周长： 由题意：，，． 故小长方形的宽为． （2）解：大长方形的长为，宽为，大长方形周长， 将代入：． 故大长方形的周长为． 变式训练3（25-26七年级上·湖北·期末）如图1所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图2、3所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示． (1)如图2所示，点、、在同一直线上，点、、在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分面积的差为（用含、的代数式表示）； (2)如图3所示，点、、、在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为，． ①的长度为（用、、的代数式表示）； ②当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，那么、必须满足什么条件？ 【答案】(1) (2)① ； ② 【分析】本题主要考查整式的混合运算的应用，根据题意列出整式，熟练掌握整式的混合运算法则是关键． （1）先分别表示出阴影部分的长和宽，进而分别表示出阴影的面积，然后作差求解即可； （2）①根据即可求解； ②先求出，进而即可得到结论． 【详解】（1）解：记左上角阴影部分的面积为，右下角阴影部分的面积为， 左上角阴影部分长方形的长为，宽为， ， 右下角阴影部分长方形的长为，宽为， ， ， 故答案为：； （2）解：①； 故答案为：； ②：右下角与左上角的阴影部分的面积的差为， ∵当的长度变化时，按照同样的放置方式，如果的值始终保持不变， ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级下·云南昆明·期末）下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：∵与所含字母不同，不是同类项，不能合并，∴A错误． B选项：∵与中相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，∴B错误． C选项：∵与是同类项，合并同类项时系数相减，字母及指数不变， ∴，∴C错误． D选项：∵与是同类项，合并同类项得，计算正确，∴D正确． 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】利用整体代入法求解，先将原式整理为含的形式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ∴ ． 3．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）代数式的值（　　） A．仅与的大小有关 B．仅与的大小有关 C．与、的大小都有关 D．与、的大小都无关 【答案】D 【分析】对原代数式去括号，合并同类项得到最终结果，根据结果判断代数式的值与，的关系． 【详解】解：对原代数式化简如下： 原式 ∵化简后的结果为常数，不含变量和， ∴该代数式的值与，的大小都无关，故选D． 4．（25-26七年级上·福建漳州·期末）当时，整式的值等于，那么当时，整式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将代入已知等式，求出的值；然后将代入目标代数式，变形后代入的值计算最终结果． 【详解】解：∵当时，， ，即， 移项得． 当时，， ∴． 5．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 【答案】D 【详解】解：原式 ， ∴ 不论取何值，原式都等于． 6．（25-26八年级上·广东阳江·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪裁并拼接成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的面积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意得出长方形的长和宽，进而即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，拼成的长方形的长为，宽为， ∴拼成的长方形的面积是， 故选：． 7．（25-26七年级上·山东济宁·期末）已知一个三位数的自然数，所有数位上的数字之和能被3整除，关于这个三位数的说法正确的是（   ） A．一定能被2整除 B．一定能被3整除 C．一定能被4整除 D．一定能被5整除 【答案】B 【分析】本题考查能被3整除的数的判定，整式加减的应用，通过将三位数转化为代数式，结合已知条件推导其整除性即可． 【详解】解：∵三位数， ∴， ∵、均为3的倍数，且能被3整除， ∴能被3整除， A选项需个位为偶数，题中无此条件，错误．C选项需后两位能被4整除，题中无此条件，错误．D选项需个位为0或5，题中无此条件，错误． 故选：B． 8．（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）代数式的值与的取值无关，则常数与的和为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减，首先去括号、合并同类项，因为代数式的值与无关，所以含的项系数均为零. 【详解】解： ， 代数式的值与无关， ，， 解得：，， . 故选：B． 9．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）的结果是________． 【答案】 【分析】先去括号，再合并即可； 【详解】解： ． 10．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）若的展开式中不含项，则______． 【答案】 【分析】原式利用单项式乘多项式法则计算，合并同类项后，根据展开式不含项得到项的系数为0，即可求出的值． 【详解】解： ∵展开式中不含项， ∴ 解得． 11．（25-26七年级下·四川成都·期中）有理数、、在数轴上的位置如图，则的化简结果为___________． 【答案】 【分析】由数轴可知，，进而可得，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，，， ∴ ． 12．（2026·江苏无锡·一模）已知代数式，，则_____．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对差配方后，根据偶次方的非负性判断差的符号，即可得到结果． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26七年级上·江苏南京·期末）若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 【答案】 7 【分析】先合并同类项，再根据已知条件列出方程式，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵无论x取何值代数式的值不变， ∴，， ∴，． 14．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，将六个长为a，宽为的小长方形不重叠地放置在一个大长方形中，未被覆盖的部分（阴影部分）是两个长方形①②，其周长分别为和，面积分别为和，且与的数值相等．边的长为______，的值为______． 【答案】 4 16 【分析】本题考查整式的加减运算的应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键．设，根据图形，用a、b、x表示出两个长方形①②的长和宽，进而表示出和， 和，利用与的数值相等求出x值即可解答． 【详解】解：设， 根据题意，长方形①的长为，宽为，长方形②的长为，宽为， 则，； ，, ∴， ， ∵与的数值相等， ∴，即， ∵，即， ∴，即； ∴， 故答案为：4，16． 15．（26-27七年级上·全国·课后作业）一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b．若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数. (1)计算新数与原数的和，这个和能被11整除吗？为什么？ (2)计算新数与原数的差，这个差会被什么数整除？ 【答案】(1)能，理由：根据题意得原数为，调换后的新数为． 因为新数与原数的和为， 所以新数与原数的和能被11整除． (2)这个差会被9整除，理由：新数与原数的差为， 所以这个差会被9整除． 【分析】（1）根据题意表示出新数与原数，求出之和，即可作出判断； （2）求出新数与原数的差，即可作出判断． 【详解】（1）略 （2）略 16．（26-27七年级上·全国·课后作业）合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 17．（26-27七年级上·全国·课后作业）求下列多项式的值： (1)，其中； (2)，其中； (3)，其中． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先合并同类项化简多项式，再代入给定的值计算结果即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解： ， 当，时，原式； （3）解： ， 当时， 原式 ． 18．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用合并同类项法则计算即可； （2）把代数式变形后整体代入即可； （3）把代数式去括号并利用加法交换律和结合律变形，再把已知条件整体代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴ （3）∵，，， ∴ 19．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ： ． (1)用代数式表示的结果为 ； (2)若，则 （填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查定义新运算中数字变化的规律问题，整式的加减与代数式求值； （1）由已知可知； （2）写出和的算式，可得结果； （3）写出，计算的值，再求即可． 【详解】（1）解：由； ； ； ； 可知：； （2）解：由题意得：，， 若，则， 即：； （3）解：∵ ， ∵的值与x无关，即的值与x无关， ∴， 解得． 当时， ． 20．（25-26七年级上·福建福州·期末）小东同学用若干张长为，宽为的长方形纸片（如图1）拼图，图2是由4张该长方形纸片拼成的一个长方形，图3是在长方形中摆放9张长方形纸片．请你仔细观察所拼图形，解答下列问题． (1)观察图2，直接写出与之间满足的关系式（用的代数式表示）； (2)观察图3，请你用的代数式表示长方形的周长； (3)观察图3，若已知，求图3中5个阴影图形的周长和． 【答案】(1) (2)周长为 (3)5个阴影图形的周长和 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，代数式求值，理解题意，数形结合是解题的关键． （1）根据图2中长方形的边长，得出答案即可； （2）分别表示出，，再求出长方形的周长即可； （3）分别求出各个部分的周长，然后相加，最后代入数据求值即可． 【详解】（1）解：根据图2可知：与之间满足的关系式为； （2）解：根据图3可知：，， 长方形的周长为； （3）解：图3中5个阴影图形的周长和为： ， 把代入得：（） 答：5个阴影图形的周长和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的加减及应用十二类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、合并同类项 1 类型二、去括号 1 类型三、整式加减的运算 2 类型四、整式加减中的化简求值问题 3 类型五、整式加减中的无关型问题 4 类型六、整式加减中的整除问题 5 类型七、整式加减中的错解问题 7 类型八、整式加减中的定值问题 8 类型九、整式加减中的污染问题 9 类型十、整式加减中的比较大小问题 10 类型十一、整式加减中的不含型问题 11 类型十二、整式加减与图形综合问题 12 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 整式的加减及应用是初中代数运算的基础核心，所有题型均围绕去括号、合并同类项、化简求值三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是去括号时括号前为负号则各项全变号、数字因数需乘遍每一项，二是合并同类项时系数相加减而字母及指数均不变；所有参数结果最终均需回归最简形式检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、合并同类项 典例精讲1（25-26七年级下·北京房山·期中）若，，则________． 题型归纳 1.特征：给出多项式，要求直接化简或合并同类项。 2.方法：识别同类项（字母相同且相同字母指数也相同）→系数相加减→字母及指数保持不变。 3.易错提醒：同类项与系数大小、字母排列顺序无关；移动项时必须连同前面的符号一起移动。 变式训练1（25-26七年级上·四川凉山·期末）已知多项式，，那么的化简结果为______． 变式训练2（25-26七年级上·四川南充·阶段检测）规定一种新的运算，那_____． 变式训练3（25-26七年级上·广东河源·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 类型二、去括号 典例精讲2（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：式子中含有括号（含多层括号或括号前带数字因数），要求去括号后化简。 2.方法：括号前是 "＋"，各项不变号；括号前是 "－"，各项全变号；数字因数乘遍括号内每一项；多层括号由内向外逐层去掉。 3.易错提醒：括号前为负号时容易只变第一项符号；数字因数容易漏乘括号内后面的项。 变式训练1（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 变式训练2（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）计算：___________． 变式训练3（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）若，，则______． 类型三、整式加减的运算 典例精讲3（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）一个多项式与的和是，则这个多项式为（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：给出两个或多个整式，求它们的和或差。 2.方法：根据题意列式→去括号→合并同类项→按某一字母降幂（或升幂）排列整理结果。 3.易错提醒：求差时需给减式整体加括号再去括号；结果中不得保留未合并的同类项。 变式训练1（25-26七年级上·四川宜宾·期中）有理数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 变式训练2（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，，且，则C的表达式是（    ） A． B． C． D． 变式训练3（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式训练4（26-27七年级上·全国·课后作业）已知． (1)求； (2)求． 变式训练5（26-27七年级上·全国·课后作业）先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型四、整式加减中的化简求值问题 典例精讲4（26-27七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 题型归纳 1.特征：给出含字母的整式及字母取值，要求先化简再代入求值（含整体代入情形）。 2.方法：先将整式化到最简形式→再代入数值计算；若已知条件与所求式存在整体关联，采用整体代入法。 3.易错提醒：不可直接代入未化简的式子；代入负数或分数时注意加括号，避免符号错误。 变式训练1（25-26七年级上·四川成都·期末）先化简再求值：，其中． 变式训练2（25-26七年级上·河南信阳·期末）已知，求代数式的值． 变式训练3（25-26七年级上·山西大同·期末）阅读材料 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．比如．由此，若我们把看成一个整体，当成字母“”，则． 迁移应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是__________； (2)已知，则的结果是__________； (3)已知，求的值． 类型五、整式加减中的无关型问题 典例精讲5（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）已知的取值与x无关，求的值__________． 题型归纳 1.特征：化简结果与某个字母的取值无关，求参数的值。 2.方法：化简整式→令该字母的系数为 0→列方程求解参数。 3.易错提醒：必须化简到最简形式后再判断系数；注意 "与 x 无关" 是指 x 的系数为 0，而非 x 取 0。 变式训练1（25-26七年级上·河北邯郸·期末）若代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值是___________． 变式训练2（25-26七年级上·四川成都·期中）已知，．若的取值与无关，则的最小值为_____． 变式训练3（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）魔术师说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加8，然后除以4，再减去你原来所想的那个数的一半，我可以知道你计算的结果是2．” (1)如果设魔术师任意想的那个数为x，请你帮助魔术师说明上述结论的正确性； (2)在（1）中，得到的代数式化简后结果为2，它不含有x，我们称之为“与x无关”．试解决下列“无关”类问题： ①多项式的值（    ）； A．仅与x的大小无关                    B．仅与y的大小无关 C．与x、y的大小都无关                D．与x、y的大小都有关 ②三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c．设图1中阴影部分周长为m，图2阴影部分周长之和为n，试判断的值是否与正方形A、B、C的边长有关，若有关，请说明理由；若无关，求出的值． 类型六、整式加减中的整除问题 典例精讲6（25-26七年级上·吉林长春·期末）【教材呈现】下面是华师版教材111页的部分内容． 设是一个四位数，如果可以被3整除，那么这个数可以被3整除．为什么？ 【特例验证】写出一个能被3整除的四位数 ①．该数四个数位上的数字之和为 ②，显然该和 ③被3整除（填“能”或“不能”）． 【探究证明】下面是小明的部分证明过程，请补充完整． 解： ＝ ， 显然能被3整除． 因此如果能被3整除，那么就能被3整除． 【迁移运用】设是一个三位数，如果能被9整除，那么这个数可以被9整除，为什么？请写出证明过程． 【拓展提升】当五位数能被9整除时，直接写出x的值． 题型归纳 1.特征：整式化简后能被某数或某式整除，或结果恒为某整数倍，求参数或验证整除性。 2.方法：化简整式→分析系数特征或因式分解→根据整除条件列方程或验证。 3.易错提醒：整除要求对字母任意取值均成立，不能仅代入特殊值验证即下结论。 变式训练1（25-26七年级上·广东深圳·期末）小龙上小学时得知“如果一个数的各个数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除”．于是他选取了一个三位数825，它的各个数字之和为，因为，所以825应该能被3整除．爱思考的小龙想到用两种方法进行说明． 方法1：计算验证 方法2：分析说明 因为为整数，5为整数， 所以能被3整除，能被3整除，所以825能被3整除． (1)有一个三位数，它的百位数字是7，十位数字是4，请你选择一个合适的个位数字，使得这个三位数能被3整除，并用方法2说明理由； (2)设是一个四位数，a，b，c，d分别为对应数位上的数字，请说明若能被3整除，则这个数也可以被3整除． 变式训练2（25-26七年级上·福建福州·期末）初中数学中，数与代数领域的推理无处不在．探究整除数规律，就是一个典型的代数推理过程．在课堂上探究并证明了“自然数被3整除的规律”后，小明尝试探索“自然数被11整除的规律”． 【探究一：两位数】 （1）以下为小明的推理和证明思路． 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a和b，通常记为，则这个两位数可表示为．小明列举了几个能被11整除的两位数：11，22，33，…，他观察到这些数共同的特征是①____（填a，b的数量关系）． 证明如下：因为，且满足①， 所以②_____=③______． 因为③能被11整除， 所以能被11整除． 请你帮助他补充完整①②③所缺的内容 【探究二：三位数】 （2）如果用表示一个三位数．当a、b、c应满足以下什么条件时，能被11整除． 现有三个a、b、c的关系：①能被11整除；②能被11整除；③能被11整除．请选出所有能够使得能被11整除的条件，并写出证明过程； 变式训练3（25-26七年级上·河北沧州·期末）阅读材料并解答下列问题： 在小学，我们知道像这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说明其中的道理吗？先看两位数的情形，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为，于是．显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． (1)请你用类似的方法表示任意一个三位数； (2)猜想一个三位数满足什么条件时能被9整除？并说明理由； (3)已知一个三位数的十位数上的数字比百位数上的数字的2倍大3，个位上的数字是百位上数字的3倍，这个数能被3整除吗？请说明理由． 类型七、整式加减中的错解问题 典例精讲7（21-22七年级上·江苏无锡·期中）马虎的李明在计算多项式M加上时，因错看成加上，尽管计算过程没有错误，也只能得到一个错误的答案为． （1）求多项式M； （2）求出本题的正确答案． 题型归纳 1.特征：因看错符号、运算或抄错整式导致错误结果，要求还原正确答案。 2.方法：逆向思维 —— 由错误结果和错误运算反推原整式→再按正确运算重新计算。 3.易错提醒：反推时运算须取逆（加变减、减变加）；注意符号的正确还原，避免二次出错。 变式训练1（24-25六年级上·山东烟台·期末）有这样一道计算题∶“计算的值，其中．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 变式训练2（25-26七年级上·山西临汾·阶段检测）在整式的加减练习课中，小嘉将“”错看成“”，得到的结果是，已知． (1)求整式； (2)求的正确结果． 变式训练3（24-25七年级上·广东广州·期中）学习了整式的加减法之后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个关于的多项式、，其中，求． 小强同学把“”错看成“”，求出的结果为． (1)填空：多项式的次数为 ，常数项为 ； (2)请帮小强同学求出的正确答案； (3)若当取任意数值时，的值都是一个常数，求的值． 类型八、整式加减中的定值问题 典例精讲8（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，当取任意数值时，的值一定是定值，请求出这个定值. 题型归纳 1.特征：无论字母取何值，整式的值恒为某一定值，求该定值或相关参数。 2.方法：化简整式→含字母的项全部抵消（系数为 0）→剩余常数即为定值。 3.易错提醒：定值问题的本质是所有含变量项的系数均为 0，需逐项检查，不可遗漏任何一项。 变式训练1（25-26七年级上·广东汕头·期中）已知，． (1)当，时，计算的值； (2)若无论x代入何值，的值始终为一个定值，请求出这个定值和k的值． 变式训练2（25-26七年级上·广东湛江·期末）已知无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值12，求的值． 变式训练3（25-26七年级上·四川成都·期末）已知： (1)化简． (2)若无论取何数值，（1）中代数式的值均为一个定值，求的值． 类型九、整式加减中的污染问题 典例精讲9（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）已知两个整式，，其中系数■被污染，当时，B的值为． (1)求■所表示的数字； (2)先化简，并求值，其中． 题型归纳 1.特征：题目中部分系数被遮挡（污染），需根据给定条件还原被遮挡的系数。 2.方法：设被污染系数为参数→根据题意化简并利用条件列方程→求解参数还原原式。 3.易错提醒：设参数时要明确被污染的是哪一项的系数；代入条件时注意项与系数的对应关系。 变式训练1（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）（1）问题解决：当x取不同数值时，代数式和对应的值如下表，表中部分信息被墨水污染， x 1 2 2 ● ● 3 根据表中信息求：当时，代数式的值； （2）迁移拓展：，，求的值． 变式训练2（25-26七年级上·河北唐山·期末）学习了整式的加减后，李明准备解答题目“已知M，N是两个整式，，，求的值”时，发现整式M中含的项的系数（题中的“●”处）被墨水污染了，模糊不清． (1)若被墨水污染的数字为5，请求出的值； (2)李明向同学了解到被墨水污染的数字后，求得的值为常数，请直接写出被墨水污染的数字． 变式训练3（22-23七年级上·江西宜春·期末）已知一道整式化简题：■，其中“■”处的系数被墨水污染了．请根据如图所示的对话解答下列问题． (1)请你根据冰墩墩猜的数字化简该式； (2)请你根据雪容融的对话，求出■所表示的数字是多少？ 类型十、整式加减中的比较大小问题 典例精讲10（26-27七年级上·全国·课堂例题）已知，比较M与N的大小关系：M________N．（在横线上填写“>”“<”或“＝”） 题型归纳 1.特征：给出两个整式，要求比较它们的大小关系。 2.方法：作差法 —— 求两整式之差→化简差式→根据条件判断差的正负→确定大小关系。 3.易错提醒：作差后必须彻底化简再判断符号；差为 0 时两式相等，不可遗漏等号情形。 变式训练1（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）若，，则A与B的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 变式训练2（25-26七年级上·甘肃定西·阶段检测）作差法是比较两个数大小的常用方法．例如：比较和的大小，因为，所以．我们在学习整式的加减时，常常类比数的有关运算和运算律，数式具有通性，那么比较整式的大小时，同样也可以类比有理数大小比较的方法．根据以上材料，用作差法解答下列问题： (1)比较和的大小； (2)比较和的大小． 变式训练3（25-26七年级上·山东聊城·期末）某数学学习小组在比较有理数大小时发现两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，为了让同学们也发现这个规律，他们设计了如下的探究活动： (1)完成表格： a b 比较与0的大小 比较a与b的大小 5 3 5 ① ② (2)发现规律： 若， 则a b； 若， 则a b； 若，则． (3)利用数式通性，借助上面的规律比较与的大小关系． 类型十一、整式加减中的不含型问题 典例精讲11（25-26七年级上·四川达州·期末）已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则________． 题型归纳 1.特征：化简结果中不含某一项（如不含 x² 项、不含常数项），求参数的值。 2.方法：化简整式→令指定项的系数为 0→列方程求解参数。 3.易错提醒："不含 x² 项" 是令 x² 项的系数为 0，而非令 x=0；须合并同类项后再判断系数。 变式训练1（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）若关于x，y的多项式不含项，则_________ 变式训练3（25-26七年级上·全国·阶段检测）若多项式不含三次项和一次项，请你确定m，n的值，并求出的值． 变式训练4（25-26七年级上·上海金山·期中）已知整式，整式，且的结果中不含x的一次项，求k的值． 类型十二、整式加减与图形综合问题 典例精讲12（25-26七年级下·广东茂名·期末）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 题型归纳 1.特征：结合几何图形，用整式表示周长、面积、体积等，或根据图形条件求参数。 2.方法：用字母表示图形各边长→根据几何公式列式→利用整式加减化简→结合图形性质求解。 3.易错提醒：注意图形边长的实际意义（非负性）；周长、面积公式须与图形类型准确对应。 变式训练1（2026·浙江绍兴·二模）【主题】研究幻方 【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．        【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． 小嵊给出了数学证明： 如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，， 因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为， 则第二行：①， 第二列：②， 对角线分别：③，④， 将①＋②＋③＋④，得： 所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． (1)请完成“”中小嵊未显示的推理过程． (2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系． 变式训练（25-26六年级上·山东烟台·期末）根据以下综合与实践材料，完成问题解决． 实践主题 拼图中的周长探究 实践材料 若干小长方形（如图1）、两个形状及大小完全相同的大长方形（如图2）． 实践操作 小亮操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图3： 小明操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图4． 实践数据 图3中阴影部分周长与图4中阴影部分周长的差为m． 问题解决 （1）求小长方形（如图1）的宽（用含m的代数式表示）； （2）求大长方形（如图2）的周长（用含m的代数式表示）． 变式训练3（25-26七年级上·湖北·期末）如图1所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图2、3所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示． (1)如图2所示，点、、在同一直线上，点、、在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分面积的差为（用含、的代数式表示）； (2)如图3所示，点、、、在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为，． ①的长度为（用、、的代数式表示）； ②当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，那么、必须满足什么条件？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级下·云南昆明·期末）下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 3．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）代数式的值（　　） A．仅与的大小有关 B．仅与的大小有关 C．与、的大小都有关 D．与、的大小都无关 4．（25-26七年级上·福建漳州·期末）当时，整式的值等于，那么当时，整式的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 6．（25-26八年级上·广东阳江·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪裁并拼接成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的面积是（   ）    A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·山东济宁·期末）已知一个三位数的自然数，所有数位上的数字之和能被3整除，关于这个三位数的说法正确的是（   ） A．一定能被2整除 B．一定能被3整除 C．一定能被4整除 D．一定能被5整除 8．（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）代数式的值与的取值无关，则常数与的和为（       ） A． B． C． D． 9．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）的结果是________． 10．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）若的展开式中不含项，则______． 11．（25-26七年级下·四川成都·期中）有理数、、在数轴上的位置如图，则的化简结果为___________． 12．（2026·江苏无锡·一模）已知代数式，，则_____．（填“>”“<”或“=”） 13．（25-26七年级上·江苏南京·期末）若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 14．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，将六个长为a，宽为的小长方形不重叠地放置在一个大长方形中，未被覆盖的部分（阴影部分）是两个长方形①②，其周长分别为和，面积分别为和，且与的数值相等．边的长为______，的值为______． 15．（26-27七年级上·全国·课后作业）一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b．若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数. (1)计算新数与原数的和，这个和能被11整除吗？为什么？ (2)计算新数与原数的差，这个差会被什么数整除？ 16．（26-27七年级上·全国·课后作业）合并同类项： (1)； (2)； (3)． 17．（26-27七年级上·全国·课后作业）求下列多项式的值： (1)，其中； (2)，其中； (3)，其中． 18．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 19．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ： ． (1)用代数式表示的结果为 ； (2)若，则 （填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 20．（25-26七年级上·福建福州·期末）小东同学用若干张长为，宽为的长方形纸片（如图1）拼图，图2是由4张该长方形纸片拼成的一个长方形，图3是在长方形中摆放9张长方形纸片．请你仔细观察所拼图形，解答下列问题． (1)观察图2，直接写出与之间满足的关系式（用的代数式表示）； (2)观察图3，请你用的代数式表示长方形的周长； (3)观察图3，若已知，求图3中5个阴影图形的周长和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $