专题03 整式的加减（专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 聚焦整式加减9类核心题型，以题载知，构建从概念辨析到综合应用的递进式训练体系，渗透抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|9类题型，含期末/中考真题|覆盖同类项判断、去括号、化简求值等基础与高频考点，区分重/高频/难层级|从同类项概念（基础）→去括号法则（工具）→整式加减运算（核心）→无关型/应用/新定义问题（深化），形成完整逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|选择/填空/解答题，含跨知识综合题|结合数轴、绝对值、新运算等，考查推理与应用意识|整合代数运算与几何直观，强化知识迁移与问题解决能力，对接中考命题趋势|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03整式的加减 内容概览 目常考题型精准突破 题型1同类项的判断（重） 题型2已知同类项求指数中字母或代数式的值（高频） 题型3去括号、添括号（高频） 题型4整式的加减运算（高频） 题型5整式的加减中化筒求值（高频） 题型6整式的加减中的无关型问题（难） 题型7整式的加减的应用（高频） 题型8带有字母的绝对值化筒问题（难） 题型9整式的加减中的新定义型问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1同类项的判断 1.c 2.B 3.A ◆题型2已知同类项求指数中字母或代数式的值 4.5 5.-3 6.27 1/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3去括号、添括号 7.4x2-5x-1 8. 【答案】 -3x2y+3xy2-y3 x2-2xy+y2 9. 【答案】 2y2-2y2 2x3-y2 a3-2a2+a(答案不唯一) -1(答案不唯一) ◆题型4整式的加减运算 10. 【答案】(1)-13x2-2x-1 (2)-y (3)-6xy-3y2 (④)4x2-8x-5 【详解】(1)解：3x+2x2-2-15x2+1-5x =(2x2-15x2)+(3x-5x)+(-2+1) =-13x2-2x-1: (2)解：3x2+2.y-4y2-3y+4y2-3x2 =(3x2-3x2）+(2xy-3xy)+(4y2+4y2） =一y； (3)解：-7x2+(6x2-5)-(3y2+y-x2) =-7x2+6x2-5y-3y2-y+x2 =(-7x2+6x2+x2）+(-5xy-y)-3y2 =-6xy-3y2: (4)解：(2xr2-5x-(3x+5-2x2) =2x2-5x-3x-5+2x2 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(2x2+2x2)+(-5x-3x)-5 =4x2-8x-5. 11 【答案】(1) -x-2 (2) -x-4 (3) -5b (④) x2-3y+2y2 【详解】(1)解：原式=x-1-2x-1=-x-2 (2)解：原式=3x-6+2-4x=-x-4: (3)解：原式=4b-6a+6a-9b=-5b (4)解：原式=3x2-y-2y2-2x2-2xy+4y2=x2-3xy+2y2 12. 【答案】(1) 0 (2) 11x2+x-8 (3) a+b+c (4) -12x2+5x+8 【r解6：-（分小+(2x) =2x2-2x2 =0: (2)解：(9r2-3+2x)+(-x-5+2x2) =9x2-3+2x-x-5+2x2 =(9x2+2x2)+(2x-x)+(-3-5) 3/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =11x2+x-8; (3)解：(a+b-c)+(b+c-a)+(c+a-b) =a+b-c+b+c-a+c+a-b =(a-a+a)+(b+b-b)+(-c+c+c) =a+b+c; (4)解：2(x-3x2+1)-3(2x2-x-2 =2x-6.x2+2-6x2+3x+6 =(-6x2-6x2)+(2x+3x)+(2+6) =-12x2+5x+8」 ◆题型5整式的加减中化简求值 13. 【答案】-2x2+3y,-11. 【详解】解：(x2-3xy)3(x2-2y) =x2-3xy-3x2+6xy =-2x2+3xy 当x=-2,y=2时， 原式=2x(2+3x(-2列*月 =-2×4-3 =-8-3 =-11 14. 【答案】5a2-3ab,-4 【详解】解：原式=3a2+3ab+3-6ab+2a2-3 =(3a2+2a2)+(3ab-6ab)+(3-3) =5a2-3ab 当a=1,b=3,原式=5×12-3×1×3=5-9=-4. 15. 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】2y-3,-7 【详解】解：4x2y-[6w-2(4y-2-2xy)]+1 =4x2y-(6xy-8xy+4+4x2y)+1 =4x2y-6xy+8xy-4-4x2y+1 =2xy-3 (x+2)'+y-1=0,(x+2)2≥0，y-1≥0 ∴.x+2=0,y-1=0 ∴.x=-2,y=1 原式=2×(-2)×1-3=-7. ◆题型6整式的加减中的无关型问题 16. 【答案】(1)a=1,b=-2 (2)a=1,b=0,c=-5 【详解】(1)解：M+N=ar2+bx-2+(x+2x+c)=(a-1)x2+(b+2)x-2+c, ,M+N的结果中不含x项和x项， .a-1=0,b+2=0, 解得a=1,b=-2； (2)解：2M-N =2(ar2+bx-2）-(-x2+2x+c) =(2a+1)x2+(2b-2)x-4-c, ,对于任意x,2M-N的值始终为3x2-2x+1, .2a+1=3,2b-2=-2,-4-c=1, 解得a=1,b=0,c=-5. 17. 【答案】(1)3y+3y-1 (2)x=-1 【详解】(1)解：：A=22+y+3y-1,B=x2-y, 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .A-2B=2x2+xy+3y-1-2(x2-xy) =2x2+y+3y-1-2x2+2y =3xy+3y-1 (2)解：由(1)知，A-2B=3y+3y-1=y(3x+3)-1, ,A-2B与y的值无关 .3x+3=0, 解得x=-1. 18. 【答案】(1)二次三项式 (2)9x2-y-11 3)-8 【详解】(1)解：，多项式A=4x2+my-12,且m≠0， ∴该多项式的最高次是2，包含3个单项式， ,多项式A是二次三项式 (2)解：当m=1,n=5时 A=4x2+y-12,B=5x2-2y+1 A+B=4x2+y-12+5x2-2y+1=9x2-y-11 (3)解：A-2B=4x2+my-12-2nx2-2y+1 =4x2+my-12-2x2+4y-2 =(4-2n)x2+(m+4)y-14 ,A与2B的差中不含x2项和y项， .4-2n=0,m+4=0. 解得n=2,m=-4, .mn=(-4)×2=-8」 ◆题型7整式的加减的应用 19. 【答案】(1)0y-12) (2)正确，有关，无关 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)，大长方形的长=小长方形较长边+3个小长方形较短边， “小长方形的较长边为y-3×4=y-12(cm): (2)阴影A的较短边（竖直边）：大长方形宽为x,左侧两个空白小长方形的竖直高度各为4cm, ∴.A的较短边为x-2×4=x-8, 阴影B的较短边（竖直边）：大长方形宽为x, .B的较短边为x-(y-12)=x-y+12, ·两者和为：(x-8)+(x-y+12)=2x-y+4,因此题目说法正确； 阴影A:长为y-12,宽为x-8, 周长为2[0y-12)+(x-8]=2x+2y-40: 阴影B:长为3×4=12，宽为x-y+12, .周长为2[12+(x-y+12]=2x-2y+48. 周长和为：(2x+2y-40)+(2x-2y+48)=4x+8: 结果中仅含x,不含y, .周长之和与x有关，与y无关 20」 【答案】(1)b-a:2a-b (2)8 3)124 【详解】(1)解：3号正方形的边长为a,4号正方形的边长为b, ∴.1号正方形的边长为b-a,2号正方形的边长为a-(b-a)=2a-b, (2)解：设3号正方形的边长为x,4号正方形的边长为'， ∴1号正方形的边长为y-x,2号正方形的边长为x-(y-x)=2x-y, 则图①中的长方形的长为x+y,宽为x+(2x-)=3x-y, 长方形的周长为64，即2[x+y)+(3x-y)]=8x=64, .x=8 :3号正方形的边长为x, 3号正方形的边长为8. (3)解：如图，由平移知识可得阴影部分的周长为长方形ABCD的周长， 7/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 5 四 O 0 由(2)可知，3号正方形的边长为8,4号正方形的边长为'， 5号长方形的宽为2号正方形的边长减去1号正方形的边长的差即： 2x-y-（y-x)=3x-2y=3×8-2y=24-2y, .AD=8+y+(24-2y)=32-y, 周长为140的长方形的长为：AB+8,宽为32-y, .2[(AB+8)+(32-y)]=140, .AB=30+y, 则长方形ABCD的周长为：2×[(30+y)+(32-y)]=2×62=124, 即阴影部分的周长为124. 21. 【答案】(1)13.5 (2)当a≤10时，需付车费(1.8a+0.45b)元；当a>10时，需付车费(2.2a+0.45b-4)元 (3)两人付的车费一样多 【详解】(1)解：5<10，不收远途费 总车费为1.8×5+0.45×10=9+4.5=13.5元) (2)解分两种情况讨论： 当a≤10时，不收远途费，需付车费为1.8a+0.45b(元) 当a>10时，超出10km的部分为(a-10)km,远途费为0.4(a-10）元 总车费为：1.8a+0.45b+0.4(a-10)=(2.2a+0.45b-4)（元) 综上，当a≤10时，需付车费(1.8a+0.45b)元， 当a>10时，需付车费(2.2a+0.45b-4)元 (3)解设小王的行车时间为m分钟，则小张的行车时间为(m-24)分钟 小王行车里程为9.5km,9.5<10 8/16 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小王应付车费为：1.8×9.5+0.45m=(0.45m+17.)(元) 小张行车里程为14.5km,14.5>10 小张应付车费为：2.2×14.5+0.45(m-24)-4=31.9+0.45m-10.8-4=(0.45m+17.,)(元) 0.45m+17.1=0.45m+17.1 两人应付车费相等. 答：两人付的车费一样多. ◆题型8带有字母的绝对值化简问题 22. 【答案】(1)-b<a<-a<b (2)>:>:>: (3)a-c-1 【详解】1)解：由图可得，-l<a<0,1<b<c, ∴.0<-a<1,-c<-b<-1, .-b<-1<a<0<-a<1<b<c, ∴.-b<a<-a<b (2)解：1<b<c, ·.b-1>0 -b<-1<a<0<-a<1<b<c, .-b<a,a<c, .a+b>0,c-a>0」 (3)解：-b<-1<a<0<-a<1<b<c, .a<b, ∴.a-b<0 原式=(b-)-(b-a)-(c-a）+(-a)=b-l-b+a-c+a-a=a-c-1. 23. 【答案】(1)2a+b-3c (2)-400 【详解】(1)解：由数轴可得：c<b<a, .a-b>0,c-b<0,a-c>0, 9116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .a-b+2c-b+a-c =a-b-2(c-b)+a-c =a-b-2c+2b+a-c =2a+b-3c: (2)解：，x与y互为相反数，z是绝对值最小的整数，m,n互为倒数 x+y=0,z=0,mn=1, a=+y=0,b=-2=0'c=-4m=4> 4 .98a+99b+100c =98×0+99×0+100×(-4) =0+0-400 =-400 24」 【答案】(1)-3或1 (2)1 【详解】(1)解：由题意得，4，b,c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数. ①若a,b,c都是负数，即a<0,b<0,c<0时， a,-0+中+e=(←1)+(-)+()=-3： a b c a b c ②若a,b,c中有一个为负数，另两个为正数时， 不妨设a<0,b>0,c>0, 则4+A+日-++=e1+1=1, a b c a b c 统上所迷，任-总的室为3政1： (2)解：a,b,c为三个不为0的有理数，且 4+4-1. a b c a,b,c有2个负数，1个正数， .abc>0. abcabc .abe abc 1 10/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型9整式的加减中的新定义型问题 25. 【答案】(1)-1，x-5 (2)a与b是关于2的平衡数，理由见解析 【详解】(1)解：设3的关于2的平衡数为a, 则3+a=2, 解得a=-1, ∴.3与-1是关于2的平衡数： 设7-x的关于2的平衡数为b, 则7-x+b=2, 解得b=x-5, .7-x与x-5是关于2的平衡数， 故答案为：-1，x-5: (2)a与b是关于2的平衡数，理由如下： a=x-4x-1,b=x2-2(x2-2x-1)+1, ∴.a+b=(x2-4x-1）+x2-2(x2-2x-1)+1 =x2-4x-1+x2-2x2+4x+2+1 =2, .a与b是关于2的平衡数. 26. 【答案】(1)8 (2)m>n,理由见解析 【详解】(1)解：由题意得，3△4=-3+2×4=5， ∴.2△(3△4) =2A5 =-2+2×5 =8: (2)解：m>n,理由如下： :m=aa(a2+3a）,n=(a2+a)A(3a-l), 11/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :m=-a+2(a2+3a）=-a+2a2+6a=2a2+5a,n=-(a2+a）+2(3a-l)=-a2-a+6a-2=-a2+5a-2, .m-n=2a2+5a-（-a2+5a-2）=2a2+5a+a2-5a+2=3a2+2. .a220, .m-n=3a2+2>0. .m>n. 27. 【答案】(1)-18 (2)23 (337 【详解】(1)解：（-4)☆2=2×(-4)5×2=-18， 故答案为：-18： (2)解：2☆(-3)=2×2-5×(-3)=4+15=19， 19☆3=2×19-5×3=23， 故2☆(-3)☆3=23 3)解：M=（30-3(-a2+2a-) =22a-3-5-a*2a-) =a-6+5a2-10a+5 =5a2-9a-1, 当a=-2时， 原式=5×(-2)-9×(-2)-1 =20+18-1 =37. 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.B 12/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.C 3.C 4.c 5.B 6.D 二、填空题 7.9 8.-2025 9.2 10.= 11.9876 3186 12.3或1或-1或-3 三、解答题 13 【答案】(1)3x+7 (2)2a2b-3ab2 【详解】(1)解：原式=4x-3x+3+2x+4 =3x+7 (2)解：原式=5a2b-15ab2-2a2b+14ab2-a2b-2ab2 =2a2b-3ab2 14. 【答案】(1)11x2-12y2 (2)-x-y,-1 【详解】(1)解：原式=3x2-6y2+8x2-6y2-11x2-12y2 (2)解：原式=2x+40y-3x-y-4y=-x-y, 当x=-1,y=2时，原式=-(1)-2=1-2=-1 15. 【答案】(1)m=3,n=1 (2)21 13/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 【详解】(1)解：xy与3x"y是同类项， .m=3且2n=2 ∴.m=3且n=1; (2)解：原式=3mn-2m-3n-6mn+9m+12n, =-3mn+7m+9n 将m=3,n=1代入得， 原式=-3×3×1+7×3+9×1=-9+21+9=21. 16. 【答案】(1) 能 (2) 证明：abcd=1000a+100b+10c+d =(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d =999a+99b+9c+(a+b+c+d) =3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d) 3(333a+33b+3c)能被3整除， 已知a+b+c+d可以被3整除， :.3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)能被3整除，即abcd可以被3整除. 【详解】(1)解：，a=1,b=6,c=3,d=2, .abcd=1632, .1632÷3=544 ∴.该四位数能被3整除. (2)略 17. 2 【答案】(0)13：-3 (2)f(x)=2x-2 3)24 【详解】(1)解：①3※(-2)=3×3-2×(-2)=13： 14/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②(-列4-2x(-5)号×(-4)=-10+-2 339 (2)解：x<3, x-2<1<3, .x-2<3, .f(x)=(x-2)※3+4 =2-2号×3+4 =2x-2: (3)解：A=-x3-2x2+7,B=-x3-3x2+1, .A-B=x2+6>0, .A>B, A※B=11, .3(-x3-2xr2+7）-2(-x2-3x2+1=11, 解得x=2, ∴.2x3+4x=2×23+4×2=24. 18. 【答案】(1)-2(a-b) (2)36 (3)m+4050 (4)20 【分析】(1)按照“整体思想”进行计算即可； (2)把3x2+6y+21用x2+2y表示，然后整体代入即可； (3)由题意得20252a+1=m+2025,再把x=-2025代入，最后整体代入 20252a+1=m+2025即可求解： (4)由题意可得③号正方形的边长，进而表示出④号正方形的边长，则可表示⑤号长方形的长与宽，根 据⑤号长方形的周长为20，可求得x+y的值，从而求解. 【详解】(1)解：3(a-b-7(a-b)}'+2(a-b)=(3-7+2)(a-b=-2(a-b2: (2)解：3x2+6y+21=3(x2+2y)+21=3×5+21=36, (3)解：当x=2025时，代数式ax2-x+1的值是m, 15/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即20252a-2025+1=m, .20252a+1=m+2025: 当x=-2025时，ar2-x+1=a×(-2025)}+2025+1=(20252a+1)+2025=m+2025+2025=m+4050: (4)解：①号正方形的边长为x,②号正方形的边长为少， ③号正方形的边长为x+y, ∴.④号正方形的边长为(x+y)+x=2x+y, ∴⑤号长方形的长为2x+y+x=3x+y,宽为y-x, 由题意得2(3x+y+y-x)=20 .x+y=5 则③号正方形的周长为4×5=20， 16/16 专题03 整式的加减 常考题型·精准突破 题型1 同类项的判断（重） 题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值（高频） 题型3 去括号、添括号（高频） 题型4 整式的加减运算（高频） 题型5 整式的加减中化简求值（高频） 题型6 整式的加减中的无关型问题（难） 题型7 整式的加减的应用（高频） 题型8 带有字母的绝对值化简问题（难） 题型9 整式的加减中的新定义型问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1同类项的判断 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：与所含字母不同，A错误； 与中相同字母的指数不相同，B错误； 与所含字母均为、，且相同字母指数均为1，C正确； 与中的指数不同，D错误． 2．（2026·上海·中考真题）下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意； B、符合同类项的定义，故选项符合题意； C、与中字母的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意； D、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意． 3．（2026·四川攀枝花·中考真题）下列各选项中的两项是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，单独的两个数字也叫做同类项，据此逐一判断即可． 【详解】A、与都是常数，是同类项，故此选项符合题意； B、 是常数，不含字母，含字母，不是同类项，故此选项不符合题意； C、不是单项式，与不是同类项，故此选项不符合题意； D、中的指数为 ，的指数为 ，中的指数为 ，的指数为 ，相同字母指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意． ◆题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值 4．（25-26七年级上·四川广元·期末）已知单项式与的和为单项式，则________． 【答案】 【分析】两个单项式的和为单项式，说明二者是同类项，根据同类项定义得到相同字母的指数相等，列方程求解和，再计算即可. 【详解】解：∵单项式与的和为单项式， ∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， ∴，解得：， ∴. 5．（25-26七年级下·广东茂名·期末）若代数式与是同类项，则________． 【答案】 【分析】所含字母相同，相同的字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此列出方程求解即可． 【详解】解：∵代数式与是同类项， ∴， ∴ ． 6．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）若关于a，b的单项式与是同类项，则的值为______． 【答案】 【分析】首先根据同类项的定义得到，，然后代入求解． 【详解】解：∵关于a，b的单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴． ◆题型3 去括号、添括号 7．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）的结果是________． 【答案】 【分析】先去括号，再合并即可； 【详解】解： ． 8．（26-27七年级上·全国·课后作业）在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )； （2）( )． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）． 9．（26-27七年级上·全国·课后作业）在下列各式的括号内填入适当的项： （1）( )； （2）( )； （3）( )( )． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】 根据添括号法则，括号前为负号时，添括号后括号内各项改变符号，依次计算各空即可． 【详解】解：（1）对等式变形得， 因此括号内填； （2）对等式变形得， 因此括号内填； （3）对等式变形得， 因此两个括号依次填（答案不唯一）和（答案不唯一）． ◆题型4整式的加减运算 10．（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去括号，再合并同类项； （2）先根据乘法分配律计算，再合并同类项； （3）（4）仿照（2）解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 12．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ◆题型5 整式的加减中化简求值 13．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，. 【详解】解： 当，时， 原式 14．（25-26七年级下·北京顺义·期中）先化简，再求值：，其中 ． 【答案】 【详解】解：原式 当，，原式 ． 15．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）先化简，再求值： ，其中x，y满足． 【答案】， 【详解】解： ∵ ∴ ∴      ∴原式． ◆题型6 整式的加减中的无关型问题 16．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）把与代入中，去括号合并后，根据结果不含项和x项，可求出a、b的值； （2）把与代入中，去括号合并后，根据的值始终为，可分别得关于a、b、c的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ∵的结果中不含项和x项， ∴，， 解得，； （2）解： ， ∵对于任意x，的值始终为， ∴，，， 解得，，． 17．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）已知，． (1)化简． (2)若与y的值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算及某一字母的取值无关的问题． （1）先代入A和B的表达式，去括号后合并同类项得出的值； （2）将的结果变形为含y的项与常数项的和，令y的系数为0，解方程求出x的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：由（1）知，， ∵与y的值无关， ∴， 解得． 18．（25-26七年级上·广东梅州·期中）已知关于x、y的多项式与多项式． (1)当时，多项式A是几次几项式：______． (2)当，时，计算； (3)如果A与的差中不含和y，求的值． 【答案】(1)二次三项式 (2) (3) 【分析】（1）依据多项式的次数与项数的定义进行判断，多项式的次数为最高次项的次数，项数为多项式中单项式的个数． （2）代入给定的与的值得到多项式和，再通过合并同类项完成整式的加法运算． （3）先求出与的差，根据差中不含某一项则该项系数为的性质，求出和的值，进而计算的值． 【详解】（1）解：∵多项式，且， ∴该多项式的最高次是2，包含3个单项式， ∴多项式A是二次三项式 （2）解：当，时 ， （3）解： ∵与的差中不含项和项， ∴，， 解得，， ∴． ◆题型7 整式的加减的应用 19．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，长为（），宽为（）的大长方形被分割为7小块，除阴影，外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为________________（用代数式表示）； (2)阴影的一条较短边和阴影的一条较短边之和为，是_____________的（填正确/错误）；阴影和阴影的周长值之和与_____________（填有关/无关），与_____________（填有关/无关）： 【答案】(1) (2)正确，有关，无关 【分析】（1）分析图形，已知小长方形较短边为，大长方形总长为，大长方形的长 小长方形较长边 3个小长方形较短边，计算即可； （2）分别根据图形计算阴影的一条较短边和阴影的一条较短边，再计算两者之和，最后再计算阴影和阴影的周长值之和即可． 【详解】（1）∵大长方形的长 小长方形较长边 3个小长方形较短边， ∴小长方形的较长边为； （2）阴影的较短边（竖直边）：大长方形宽为，左侧两个空白小长方形的竖直高度各为， ∴的较短边为 ， 阴影的较短边（竖直边）：大长方形宽为， ∴的较短边为 ； ∴两者和为：，因此题目说法正确； 阴影：长为，宽为， ∴周长为； 阴影：长为，宽为， ∴周长为； 周长和为：； ∵ 结果中仅含，不含， ∴周长之和与有关，与无关． 20．（25-26七年级上·四川广元·期末）定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）观察图形，易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长，同理易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长； （2）根据观察可知，图①中大长方形的长为号正方形的边长与号正方形的边长和，宽为号正方形的边长与号正方形的边长和，又知长方形的周长，即可求出号正方形的边长； （3）要求阴影部分的周长，可根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形的周长，再利用大长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出的长，从而解得阴影部分的周长． 【详解】（1）解：号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号正方形的边长为，号正方形的边长为． （2）解：设号正方形的边长为，号正方形的边长为， ∴号正方形的边长为，号正方形的边长为， 则图①中的长方形的长为，宽为， 长方形的周长为，即， ． 号正方形的边长为， 号正方形的边长为． （3）解：如图，由平移知识可得阴影部分的周长为长方形的周长， 由（2）可知，号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号长方形的宽为号正方形的边长减去号正方形的边长的差即：， ， 周长为的长方形的长为：，宽为， ， ， 则长方形的周长为：， 即阴影部分的周长为． 21．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 【答案】(1) (2)当时，需付车费元；当时，需付车费元 (3)两人付的车费一样多 【分析】（1）根据行车里程不超过，直接计算里程费加时长费即可得到结果； （2）分行车里程不超过和超过两种情况，根据计费规则列代数式并化简； （3）设出小王的行车时间，用含未知数的代数式分别表示出两人的车费，化简后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解 ，不收远途费 总车费为 （元） （2）解 分两种情况讨论： 当时，不收远途费，需付车费为（元） 当时，超出的部分为 ，远途费为 元 总车费为： （元） 综上，当时，需付车费 元， 当时，需付车费 元. （3）解 设小王的行车时间为分钟，则小张的行车时间为 分钟 小王行车里程为 ， 小王应付车费为： （元） 小张行车里程为 ， 小张应付车费为： （元） 两人应付车费相等． 答：两人付的车费一样多． ◆题型8 带有字母的绝对值化简问题 22．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)比较，，，的大小，并用连接起来． ____________________________________________________________； (2)用“”或“”填空． ____________；____________；____________； (3)化简：． 【答案】(1) (2)；；； (3) 【详解】（1）解：由图可得，，， ，， ， ． （2）解：， ． ， ，， ，． （3）解：， ， ． 原式． 23．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，已知数轴上的点，，分别表示实数，，． (1)化简：； (2)若，，，且满足与互为相反数，是绝对值最小的整数，，互为倒数，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数轴可得，从而得出，，，再根据绝对值的意义化简即可得出结果； （2）由题意可得，，，代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由数轴可得：， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵与互为相反数，是绝对值最小的整数，，互为倒数 ∴，，， ∴，，， ∴ ． 24．（26-27七年级·全国·暑假作业）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)或1 (2) 【分析】（1）根据有理数乘法运算法则判断a，b，c的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论； （2）由题意得，a，b，c中有2个负数，1个正数，则，利用绝对值的意义可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． ①若a，b，c都是负数，即，，时， ； ②若a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时， 不妨设，，， 则， 综上所述，的值为或1； （2）解：∵a，b，c为三个不为0的有理数，且， ∴a，b，c有2个负数，1个正数， ∴， ∴． ◆题型9整式的加减中的新定义型问题 25．定义：若，则称a与b是关于2的平衡数． (1)3与______是关于2的平衡数，与______是关于2的平衡数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是不是关于2的平衡数，并说明理由． 【答案】(1)， (2)a与b是关于2的平衡数，理由见解析 【分析】本题考查了利用整式加减解决新定义问题的能力，关键是能根据题目定义准确列式、计算． （1）根据题目定义进行整式运算即可； （2）通过计算的值与2进行比较即可． 【详解】（1）解：设3的关于2的平衡数为a， 则， 解得， 3与是关于2的平衡数； 设的关于2的平衡数为b， 则， 解得， 与是关于2的平衡数， 故答案为：，； （2）a与b是关于2的平衡数，理由如下： ，， ， ， a与b是关于2的平衡数． 26．已知，为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解答下列问题： (1)求的值； (2)若，，试判断、的大小，并说明理由． 【答案】(1)8 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，整式的加减计算，熟知新定义是解题的关键： （1）根据所给新定义先计算出，再计算出的结果即可； （2）根据新定义结合整式的加减计算法则求出的结果，再利用作差法求出的结果即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴ ； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．对于任意代数式，，定义，例如． (1)的值为______； (2)求的值； (3)若多项式，化简多项式，并求当时，的值． 【答案】(1) (2)23 (3)37 【分析】本题考查了新定义运算问题，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则， （1）直接根据定义进行运算即可； （2）先计算出，再计算即可； （3）先利用定义进行化简，再代值求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， 故． （3）解： ， 当时， 原式 ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·江苏无锡·二模）下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式为同类项． 【详解】解：A、与所含字母相同，但相同字母x的指数不相等， ∴不是同类项，不符合题意； B、与所含字母都是，且相同字母的指数都相等，符合同类项定义， ∴是同类项，符合题意； C、只含字母，含字母和，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意； D、含字母，含字母，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意． 2．（25-26九年级下·河南新乡·期中）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故原计算错误； B、，故原计算错误； C、，故原计算正确； D、与不是同类项，不能合并，故原计算错误． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期末）解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用乘法分配律计算，括号前是负号时，去括号后括号内各项要改变符号，据此即可判断正确结果． 【详解】解：∵ 对原方程去括号，需将乘括号内的每一项， ∴ 乘得，乘得， 因此去括号后结果为． 4．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）一个多项式与的和是，则这个多项式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得 ， ∴这个多项式为． 5．（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴判断 a，b，c 的正负性及绝对值内代数式的符号，去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴，得 ∴， ∴ ． 6．（25-26七年级上·贵州安顺·期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（    ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④若时，则阴影A的周长比阴影B的周长少8． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】①首先明确长方形的较长边为大长方形长个小长方形的较短边； ②表示出阴影的较短边，阴影的较短边，再求它们的和； ③根据长方形周长公式，再根据用表示的边长，列式计算； ④根据长方形周长公式，再根据用表示的边长，列式计算． 【详解】解：①小长方形的较短边为，大长方形长为， 小长方形的较长边为； ①符合题意； ②阴影的较长边，较短边， 阴影的较长边，较短边， 阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ②不符合题意； ③阴影和阴影的周长和为， 若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ③符合题意； ④阴影的周长比阴影的周长少， 若时，原式， 阴影的周长比阴影的周长少； ④符合题意． 故正确的有①③④． 二、填空题 7．（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）如果单项式与 是同类项，那么___． 【答案】 【分析】根据同类项的定义，得到相同字母的指数相等，列方程求出和的值，再计算． 【详解】解：单项式与是同类项， 可得：， 解得：， ． 8．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）若，则_________ 【答案】 【分析】先从已知等式整理得到的值，将所求代数式变形后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 把代入上式得： 原式． 9．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）已知，，若的值与x无关，则的值为________． 【答案】 【分析】根据题意计算，合并同类项后根据的值与x无关，得出，，求得，，代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵的值与x无关， ∴，， 解得：，， ∴． 10．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）把两张大小相同的正方形卡片A，B放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的周长为；将卡片B平移至如图2所示的位置时，阴影部分的周长为，则________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】设大正方形的边长为，正方形卡片、的边长为，然后表示出阴影部分的周长，最后进行比较即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，正方形卡片、的边长为， 对于图1，阴影部分的周长包括大正方形的边长和卡片、的部分边长， 水平方向的线段长度之和为：， 竖直方向的线段长度之和为：， 所以； 对于图2，阴影部分的周长包括大正方形的边长和卡片、的部分边长， 水平方向的线段长度之和为：， 竖直方向的线段长度之和为：， 所以， 因为，所以． 11．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数为“和美数”．最大的“和美数”为___________；将“和美数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的四位数．若能被整除，且为整数，则满足条件的的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据“和美数”的定义，求最大“和美数”时，从高位到低位依次取最大合法数字即可；对于满足条件的最小，先根据数位表示写出和，再结合整除性质推导得到约束条件，最后按最小的要求枚举得到结果． 【详解】解：①求最大的“和美数”，要使四位正整数最大，需从高位到低位数字尽量大，千位取最大非零数字，百位取剩余最大非零数字，设该数为， 根据“和美数”定义得，即，要使数最大则尽量大，取剩余最大数字，得，，四个数字互不相等且均不为，因此最大的“和美数”为． ②设， 根据题意对调后得新数， 由“和美数”定义得， ∴， ∵能被整除，又能被整除， ∴能被整除， ∵，且四个数互不相等， ∴， ∴． ∴ ， 将，代入得：， ∴，， ∵，与互质， ∴能被整除， 又， ∴， ∴， ∴． 要使最小，需尽量小，依次枚举：当时，，不符合要求； 当时，，不符合“均不为”的要求； 当时，，，，四个数字互不相等且均不为，符合要求，此时； 故满足条件的的最小值为3186． 12．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）对于三个非零有理数a，b，c，那么____________． 【答案】 或或或 【分析】根据的正负性分类讨论，利用绝对值的性质计算即可 【详解】解：对任意非零有理数，当时，，当时，，按中负数的个数分类讨论： 当负数个数为，即三个数都为正数，原式； 当负数个数为，即两个正数一个负数，原式； 当负数个数为，即一个正数两个负数，原式； 当负数个数为，即三个数都为负数，原式； 综上，原式的结果为或或或． 三、解答题 13．（25-26七年级上·四川眉山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先去括号，然后合并同类项，即可求解； 【详解】（1）解：原式     （2）解：原式 ． 14．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）化简求值： (1)； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可求解； （2）先去括号，然后合并同类项，化简后将，代入计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式， 当，时，原式． 15．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）已知单项式与是同类项． (1)求m，n的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)21 【详解】（1）解与是同类项， 且 且； （2）解：原式， 将，代入得， 原式． 16．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）一个千位数字是，百位数字是，十位数字是，个位数字是的四位数可以表示为． (1)当，，，时，则该四位数______被3整除；（填“能”或“不能”） (2)已知：可以被3整除．求证：可以被3整除． 【答案】(1) 能 (2) 证明： ∵能被整除， 已知可以被整除， ∴能被整除， 即可以被整除． 【分析】（1）根据能被3整除的数的特征，计算四个数字的和，判断和能否被3整除即可得到结论； （2）先将四位数展开为代数式，对代数式变形提取公因式3，结合已知条件即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∵ ∴该四位数能被3整除． （2）略 17．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）对于有理数，定义了一种新运算“※”为：※， 如： ， (1)计算：① ；② ． (2)若 ，且，求的表达式． (3)若 ， ，且 ，求 的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据新定义的运算方法进行计算即可； （2）根据得，进而根据新定义的运算方法进行计算即可； （3）利用作差法比较的大小关系，根据新定义的运算方法进行计算求解即可. 【详解】（1）解：① ； ②； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ； （3）解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得， ∴ . 18．（25-26七年级上·广东东莞·期中）【阅读理解】我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛． 【方法运用】 (1)把看成一个整体，则__________； (2)已知，求代数式的值； (3)当时，代数式的值是，则当时，求的值（结果用含的代数式表示）． 【拓展应用】 (4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长． 【答案】(1) (2)36 (3) (4)20 【分析】（1）按照“整体思想”进行计算即可； （2）把用表示，然后整体代入即可； （3）由题意得，再把代入，最后整体代入 即可求解； （4）由题意可得③号正方形的边长，进而表示出④号正方形的边长，则可表示⑤号长方形的长与宽，根据⑤号长方形的周长为20，可求得的值，从而求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：当时，代数式的值是， 即， ∴； 当时，； （4）解：∵①号正方形的边长为，②号正方形的边长为， ∴③号正方形的边长为， ∴④号正方形的边长为， ∴⑤号长方形的长为，宽为， 由题意得， ∴， 则③号正方形的周长为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式的加减 常考题型·精准突破 题型1 同类项的判断（重） 题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值（高频） 题型3 去括号、添括号（高频） 题型4 整式的加减运算（高频） 题型5 整式的加减中化简求值（高频） 题型6 整式的加减中的无关型问题（难） 题型7 整式的加减的应用（高频） 题型8 带有字母的绝对值化简问题（难） 题型9 整式的加减中的新定义型问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1同类项的判断 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 2．（2026·上海·中考真题）下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川攀枝花·中考真题）下列各选项中的两项是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 ◆题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值 4．（25-26七年级上·四川广元·期末）已知单项式与的和为单项式，则________． 5．（25-26七年级下·广东茂名·期末）若代数式与是同类项，则________． 6．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）若关于a，b的单项式与是同类项，则的值为______． ◆题型3 去括号、添括号 7．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）的结果是________． 8．（26-27七年级上·全国·课后作业）在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )； （2）( )． 9．（26-27七年级上·全国·课后作业）在下列各式的括号内填入适当的项： （1）( )； （2）( )； （3）( )( )． ◆题型4整式的加减运算 10．（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ◆题型5 整式的加减中化简求值 13．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）先化简，再求值：，其中，． 14．（25-26七年级下·北京顺义·期中）先化简，再求值：，其中 ． 15．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）先化简，再求值： ，其中x，y满足． ◆题型6 整式的加减中的无关型问题 16．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 17．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）已知，． (1)化简． (2)若与y的值无关，求x的值． 18．（25-26七年级上·广东梅州·期中）已知关于x、y的多项式与多项式． (1)当时，多项式A是几次几项式：______． (2)当，时，计算； (3)如果A与的差中不含和y，求的值． ◆题型7 整式的加减的应用 19．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，长为（），宽为（）的大长方形被分割为7小块，除阴影，外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为________________（用代数式表示）； (2)阴影的一条较短边和阴影的一条较短边之和为，是_____________的（填正确/错误）；阴影和阴影的周长值之和与_____________（填有关/无关），与_____________（填有关/无关）： 20．（25-26七年级上·四川广元·期末）定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 21．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ ◆题型8 带有字母的绝对值化简问题 22．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)比较，，，的大小，并用连接起来． ____________________________________________________________； (2)用“”或“”填空． ____________；____________；____________； (3)化简：． 23．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，已知数轴上的点，，分别表示实数，，． (1)化简：； (2)若，，，且满足与互为相反数，是绝对值最小的整数，，互为倒数，试求的值． 24．（26-27七年级·全国·暑假作业）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． ◆题型9整式的加减中的新定义型问题 25．定义：若，则称a与b是关于2的平衡数． (1)3与______是关于2的平衡数，与______是关于2的平衡数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是不是关于2的平衡数，并说明理由． 26．已知，为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解答下列问题： (1)求的值； (2)若，，试判断、的大小，并说明理由． 27．对于任意代数式，，定义，例如． (1)的值为______； (2)求的值； (3)若多项式，化简多项式，并求当时，的值． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·江苏无锡·二模）下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（25-26九年级下·河南新乡·期中）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期末）解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）一个多项式与的和是，则这个多项式为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·贵州安顺·期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（    ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④若时，则阴影A的周长比阴影B的周长少8． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 二、填空题 7．（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）如果单项式与 是同类项，那么___． 8．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）若，则_________ 9．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）已知，，若的值与x无关，则的值为________． 10．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）把两张大小相同的正方形卡片A，B放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的周长为；将卡片B平移至如图2所示的位置时，阴影部分的周长为，则________（填“>”“<”或“=”）． 11．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数为“和美数”．最大的“和美数”为___________；将“和美数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的四位数．若能被整除，且为整数，则满足条件的的最小值为___________． 12．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）对于三个非零有理数a，b，c，那么____________． 三、解答题 13．（25-26七年级上·四川眉山·期中）计算： (1)； (2)． 14．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）化简求值： (1)； (2)先化简，再求值：，其中，． 15．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）已知单项式与是同类项． (1)求m，n的值； (2)求的值． 16．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）一个千位数字是，百位数字是，十位数字是，个位数字是的四位数可以表示为． (1)当，，，时，则该四位数______被3整除；（填“能”或“不能”） (2)已知：可以被3整除．求证：可以被3整除． 17．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）对于有理数，定义了一种新运算“※”为：※， 如： ， (1)计算：① ；② ． (2)若 ，且，求的表达式． (3)若 ， ，且 ，求 的值． 18．（25-26七年级上·广东东莞·期中）【阅读理解】我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛． 【方法运用】 (1)把看成一个整体，则__________； (2)已知，求代数式的值； (3)当时，代数式的值是，则当时，求的值（结果用含的代数式表示）． 【拓展应用】 (4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $