难点2 规律探索(学用版)-2025-2026学年新教材七年级数学上册练难点技巧（人教版2024）

7 数上 练难点 2 规律探索 类型 1 递推型规律探索 1.一只小球落在数轴上的某点𝑃0 = 𝑎处，第一次从𝑃0处向右跳 1个单位到𝑃1处，第二次从𝑃1处 向左跳 2个单位到𝑃2处，第三次从𝑃2处向右跳 3个单位到𝑃3处，第四次从𝑃3处向左跳 4个单位 到𝑃4处，⋯.若小球按以上规律跳了(2𝑛 + 3)次， 则它落在数轴上的点𝑃2𝑛+3处所表示的数是( ) A.𝑎 + 𝑛 B.𝑎 + 𝑛 + 2 C.𝑎 + 𝑛 − 1 D.𝑎 + 𝑛 + 3 2.有一组正整数：𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎2024,𝑎2025，从𝑎3开始，满足𝑎3 = |𝑎1 − 2𝑎2|，𝑎4 = |𝑎2 − 2𝑎3|， 𝑎5 = |𝑎3 − 2𝑎4|，⋯，𝑎2025 = |𝑎2023 − 2𝑎2024|，当𝑎1 = 𝑚，𝑎2 = 1(𝑚 ≥ 3，𝑚为整数)时， 𝑎2025 =________________. 3.观察下列单项式：−𝑥，3𝑥2，−5𝑥3，7𝑥4，⋯，−37𝑥19，39𝑥20，⋯，写出第𝑛个单项式，为 了解这个问题，特提供下面的解题思路. （1）这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？ （2）这组单项式的次数的规律是什么？ （3）根据上面的归纳，你可以猜想出第𝑛个单项式是什么吗？ （4）请你根据猜想，写出第 2024个和第 2025个单项式. 7/29 7 数上 练难点 类型 2 累加型规律探索 4. 观察下列图形，第 1个图形中有 7个空心点，第 2个图形中有 11个空心点，第 3个图形中 有 15个空心点，⋯，按此规律排列下去，第𝑛个图形中有______个空心点（用含𝑛的式子表示）. 5. 将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷（如图（1））作如下划分：第 1 次划分：分别连接正方形𝐴𝐵𝐶𝐷对边的中点 （如图（2）），得线段𝐻𝐹和𝐸𝐺，它们交于点𝑀，此时图（2）中 共有 5个正方形；第 2次划分：将图（2）左上角正方形𝐴𝐸𝑀𝐻再划分，得图（3），则图（3） 中共有 9个正方形. （1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第 100 次划分后，图中共有_____个正方形. （2）继续划分下去，第𝑛次划分后图中共有_________个正方形. （3）能否将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷划分成有 2020个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分；如 果不能，需说明理由． 8/29 7 数上 练难点 2 规律探索 类型 1 递推型规律探索 1.一只小球落在数轴上的某点𝑃0 = 𝑎处，第一次从𝑃0处向右跳 1个单位到𝑃1处，第二次从𝑃1处 向左跳 2个单位到𝑃2处，第三次从𝑃2处向右跳 3个单位到𝑃3处，第四次从𝑃3处向左跳 4个单位 到𝑃4处，⋯.若小球按以上规律跳了(2𝑛 + 3)次， 则它落在数轴上的点𝑃2𝑛+3处所表示的数是( ) A.𝑎 + 𝑛 B.𝑎 + 𝑛 + 2 C.𝑎 + 𝑛 − 1 D.𝑎 + 𝑛 + 3 解析：因为点𝑃0所表示的数是𝑎，所以点𝑃1所表示的数是𝑎 + 1，点𝑃2所表示的数是𝑎 + 1 − 2 = 𝑎 − 1，点𝑃3所表示的数是𝑎 − 1 + 3 = 𝑎 + 2，点𝑃4所表示的数是𝑎 + 2 − 4 = 𝑎 − 2，点𝑃5所 表示的数是𝑎 − 2 + 5 = 𝑎 + 3，点𝑃6所表示的数是𝑎 + 3 − 6 = 𝑎 − 3，⋯，由上可得，当𝑛为奇 数时，点𝑃𝑛表示的数为𝑎 + 𝑛+1 2 ;当𝑛为偶数时，点𝑃𝑛表示的数为𝑎 − 𝑛 2 (𝑛 ≥ 1).因为2𝑛 + 3是奇 数，所以𝑃2𝑛+3表示的数为𝑎 + 2𝑛+4 2 = 𝑎 + 𝑛 + 2.故选 B. 2.有一组正整数：𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎2024,𝑎2025，从𝑎3开始，满足𝑎3 = |𝑎1 − 2𝑎2|，𝑎4 = |𝑎2 − 2𝑎3|， 𝑎5 = |𝑎3 − 2𝑎4|，⋯，𝑎2025 = |𝑎2023 − 2𝑎2024|，当𝑎1 = 𝑚，𝑎2 = 1(𝑚 ≥ 3，𝑚为整数)时， 𝑎2025 =________________. 解析：当𝑎1 = 𝑚，𝑎2 = 1(𝑚 ≥ 3，𝑚为整数)时，𝑎3 = 𝑚 − 2，𝑎4 = 2𝑚 − 5，𝑎5 = 3𝑚 − 8， 𝑎6 = 4𝑚 − 11，⋯，𝑎𝑛 = (𝑛 − 2)𝑚 − 3𝑛 + 7，所以𝑎2025 = (2025 − 2)𝑚 − 3 × 2025 + 7 = 2023𝑚 − 6068，故答案为2023𝑚 − 6068. 3.观察下列单项式：−𝑥，3𝑥2，−5𝑥3，7𝑥4，⋯，−37𝑥19，39𝑥20，⋯，写出第𝑛个单项式，为 了解这个问题，特提供下面的解题思路. （1）这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？ 解：这组单项式的系数依次为−1，3，−5，7，⋯，−37，39，⋯， 系数的绝对值的规律是从 1开始的连续的奇数. （2）这组单项式的次数的规律是什么？ 解：这组单项式的次数依次为 1，2，3，4，⋯，19，20，⋯， 所以这组单项式的次数的规律是从 1开始的连续的整数. （3）根据上面的归纳，你可以猜想出第𝑛个单项式是什么吗？ 解：根据上面的归纳，猜想出第𝑛个单项式是(−1)𝑛 ⋅ (2𝑛 − 1)𝑥𝑛. 6/38 7 数上 练难点 （4）请你根据猜想，写出第 2024个和第 2025个单项式. 解：当𝑛 = 2024时，这个单项式是(−1)2024 ⋅ (2 × 2024 − 1)𝑥2024 = 4047𝑥2024； 当𝑛 = 2025时，这个单项式是(−1)2025 ⋅ (2 × 2025 − 1)𝑥2025 = −4049𝑥2025. 类型 2 累加型规律探索 4. 观察下列图形，第 1个图形中有 7个空心点，第 2个图形中有 11个空心点，第 3个图形中 有 15个空心点，⋯，按此规律排列下去，第𝑛个图形中有______个空心点（用含𝑛的式子表示）. 解析：因为第 1个图形中空心点的个数为7 = 3 + 4 = 3 + 4 × 1，第 2个图形中空 心点的个数为11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 × 2，第 3个图形中空心点的个数为 15 = 3 + 4 + 4 + 4 = 3 + 4 × 3，⋯,所以第𝑛个图形中空心点的个数为4𝑛 + 3. 5. 将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷（如图（1））作如下划分：第 1 次划分：分别连接正方形𝐴𝐵𝐶𝐷对边的中点 （如图（2）），得线段𝐻𝐹和𝐸𝐺，它们交于点𝑀，此时图（2）中 共有 5个正方形；第 2次划分：将图（2）左上角正方形𝐴𝐸𝑀𝐻再划分，得图（3），则图（3） 中共有 9个正方形. （1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第 100 次划分后，图中共有_____个正方形. 解：因为第 1次划分可得 5个正方形，第 2次划分可得 9个正方形，第 3 次划分可得 13个正 方形，⋯，所以第𝑛次划分可得(4𝑛 + 1)个正方形，所以第 100次划分后，图中共有4 × 100 + 1 = 401（个）正方形.故答案为 401. 7/38 7 数上 练难点 （2）继续划分下去，第𝑛次划分后图中共有_________个正方形. 解析：由（1）得第𝑛次划分后，图中共有(4𝑛 + 1)个正方形.故答案为(4𝑛 + 1). （3）能否将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷划分成有 2020个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分；如 果不能，需说明理由． 解：不能.理由：令4𝑛 + 1 = 2020，所以𝑛 = 504.75.因为𝑛不是整数，所以不能将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷 划分成有 2020个正方形的图形. 8/38