2026-2027学年华东师大版九年级数学上学期第一次学情自测（基础卷）

**基本信息** 覆盖二次根式与一元二次方程核心内容，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查运算能力、推理意识及模型应用，适配九年级学情自测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次根式有意义条件、一元二次方程根的判别式等|如第3题考判别式判断实根，第9题结合根与系数关系考倒数根| |填空题|5/15|二次根式化简、三角形形状判断（判别式应用）等|第12题用判别式推导钝角三角形，体现几何与代数结合| |解答题|8/75|运算纠错、多种方法解方程、销售利润问题等|16题通过纠错培养推理意识，21题销售问题强化模型意识，23题配方法求最值发展数学思维|

2026-2027学年九年级数学上学期第一次学情自测（基础卷） 【新教材华东师大版】 本卷满分120分，考试时间100分钟。 测试范围：第20章 二次根式~第21章 一元二次方程 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空5题，解答8题，满分120分，限时100分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下面计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 6．（本题3分）如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 8．（本题3分）若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 9．（本题3分）若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 10．（本题3分）如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线将它分成面积相等的两部分，则x的值是（    ） A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）已知，当，时，，则当，时，化简_______（直接写化简结果）． 12．（本题3分）已知a，b，c是的三边长，若一元二次方程没有实数根，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 13．（本题3分）若，则的值为_______． 14．（本题3分）已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 15．（本题3分）若，其中为实数且，，则____________． 三、解答题（共75分） 16．（本题8分）下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：               第一步                        第二步                      第三步 (1)任务一：第_______________步开始出现错误，错误原因是_______________； (2)任务二：请写出正确的计算过程； (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议． 17．（本题12分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（本题9分）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 又， ． 这种方法称为“构造对偶式”． 已知，解答问题： (1)求的值； (2)求的值． 19．（本题9分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为符合条件的最小整数，且该方程的一根是另一根的倍，求的值． 20．（本题9分）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的平方根； (2)对于任意的正实数和，我们定义新运算：，求的值． 21．（本题9分）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 22．（本题9分）已知平行四边形的两边的长是关于的方程的两个实数根． (1)若平行四边形是菱形，求的值； (2)若，求的值． 23．（本题10分）爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后，他发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题． 例如：；因此 有最小值是1，只有当 时，才能得到这个式子的最小值1． 同样，因此有最大值是8，只有当 时，才能得到这个式子的最大值8． （1）当x＝　 　时，代数式﹣2（x﹣3）2+5有最大值为　 　． （2）当x＝　 　时，代数式2x2+4x+3有最小值为　 　． （3）矩形自行车场地ABCD一边靠墙（墙长10m），在AB和BC边各开一个1米宽的小门（不用木板），现有能围成14m长的木板，当AD长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年九年级数学上学期第一次学情自测（基础卷）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A C D A D A D 1．C 【分析】需同时满足二次根式被开方数非负、分母不为零的条件，列不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴且， ∴， 解得：． 2．C 【分析】先利用二次根式运算结果的非负性排除错误选项，再验证剩余选项的开方运算是否正确． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B错误； C：由，可得，故C正确； D：，错误． 3．B 【分析】计算各一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断方程是否有实数根． 【详解】解：A选项：方程，，无实数根； B选项：方程，，有实数根； C选项：方程，，无实数根； D选项：方程，，无实数根． 4．A 【分析】根据点在数轴上的位置，判断出对应的数的正负，以及式子的符号，根据二次根式的性质和绝对值的意义，进行化简即可. 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴ . 5．C 【分析】所求代数式的二次项、一次项系数与方程对应系数成比例，可通过整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 6．D 【分析】用大长方形的面积减去正方形A，B，C的面积求解即可. 【详解】解：图中阴影部分的面积为 . 7．A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 8．D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 9．A 【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k的可能值，再利用判别式验证方程存在实根，舍去不符合的解得到结果． 【详解】解：设方程的两根为． ∵ 方程两根互为倒数， ∴ ． 又∵由根与系数的关系得． ∴ ，解得或． ∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵ ，不符合要求舍去， ∴ ． 10．D 【分析】将图形补全为大矩形，根据题意得到，然后列方程求解即可． 【详解】解：如图，将图形补全为大矩形， ∴， ∵直线将原图形分成面积相等的两部分， ∴， ∴， 解得或6． 11． 【分析】利用化去根号内的分母的方法，结合二次根式性质化简即可． 【详解】解：∵，， ∴． 12．钝角 【分析】根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴，且， ∴，， ∴， 解得， ∴是钝角三角形． 13． 【分析】根据完全平方公式即可解答． 【详解】， ． 14．，/， 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 15． 【分析】先对第二个方程变形，整理得到关于的一元二次方程，该方程与已知关于的方程形式相同，结合条件可知和是该一元二次方程的两个不同根，计算可得两者的和． 【详解】解：已知，，且，． 由可得，若，等式左边为，不成立． 将两边同时除以， 得：， 移项整理得：， 因此和都是一元二次方程的根． 对因式分解， 得， 解得方程的两个根为，． ∵，因此和为方程两个不同的根． ． 16．(1)一，去括号没有变号 (2)解： ； (3)二次根式运算时要化到最简形式（答案不唯一） 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则的解答过程，即可判断出错的地方以及出错原因； （2）根据二次根式的性质和运算法则即可求出正确答案； （3）根据二次根式的性质合理建议即可． 【详解】（1）解：小明同学在计算去括号的时候忽略了括号前是负号， 去括号时应该变号， 第一步出错，出错的原因是去括号没有变号． （2）略 （3）解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，因此建议二次根式运算的结果要化成最简二次根式． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的多种解法（因式分解法、公式法），解题的关键是观察方程结构，优先选用简便的因式分解法，无法因式分解时利用求根公式求解． （1）移项后利用平方差公式因式分解求解； （2）十字相乘法因式分解求解； （3）化为标准式后套用求根公式求解； （4）先展开、移项、合并同类项整理成一元二次方程标准形式，再因式分解求解． 【详解】（1）解： 或 解得 （2）解： 或 解得 （3）∵， 方程有两个不相等的实数根， 即 （4）解： 或 解得 18．(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式，结合已知条件即可求出； （2）对和进行求和，通过化简平方即可求出． 【详解】（1）解：已知， ， ． （2）解：据（1）可知，， 则， 可得，即， 解得． 19．(1)； (2)或． 【分析】根据方程的根的判别式，然后解不等式即可； 由，则最小整数的值为，此时关于的一元二次方程为，然后解得，，再根据该方程的一根是另一根的倍列方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴的取值范围为； （2）解：∵， ∴最小整数的值为， 此时关于的一元二次方程为， ， ， 解得，， ∵该方程的一根是另一根的倍， ∴或， 解得或， ∴的值为或． 20．(1) (2) 【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴的平方根为； （2）解：∵，， ∴ 21．(1)1600； (2)每个A商品的售价为37元 (3)解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品的售价为x元，根据每个A商品的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【详解】（1）解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降5元，每月能售出（个）A商品， 若售价下降x元()，每月能售出个A商品； （2）解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 ， 解得， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意）， 答：每个A商品的售价为37元； （3）略 22．(1)1 (2)2 【分析】（1）由菱形的性质可得，从而得到方程有两个相等的实数根，令，计算即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，将展开得到，代入得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：平行四边形是菱形， ， 的长是关于的方程的两个实数根， 方程有两个相等的实数根， ， 解得：； （2）解：的长是关于的方程的两个实数根， ，， ， ，即， ， 整理得：， 解得：或， 、为平行四边形的两边， ，， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，菱形的四条边都相等；一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 23．(1)3,5;(2)-1,1;(3)32. 【分析】（1）类比例子得出答案即可； （2）根据题意利用配方法配成（1）中的类型，进一步确定最值即可； （3）根据题意利用长方形的面积列出式子，利用（1）（2）的方法解决问题． 【详解】解：（1）在代数式-2（x-3）2+5中，当x=3时，有最大值5， 故答案为3、5； （2）∵2x2+4x+3=2（x2+2x+1-1）+3=2（x+1）2+1， ∴当x=-1时，代数式2x2+4x+3有最小值为1， 故答案为-1、1； （3）设AD=x，则AB=14-（x+x-1）+1=16-2x， ∵S=x（16-2x）=-2（x-4）2+32， ∴当AD=4m时，面积最大值为32m2． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用和配方法的运用，理解题意，类比给出的方法得出答案即可，渗透二次函数的最值． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $