河南驻马店市遂平县第一高级中学2026-2027学年高二开学素养能力提升数学试题

高二年级开学数学素养能力提升答案 1.【答案】B 【解标】~所求直线过点(1,2.(6，.∴所球直线方程是号= 2.【答案】C 【解析】当横截距a=0时，纵截距b=a=0,此时直线方程过点P(3,2)和原点(0,0)， 直线方程为士=子，整理，得2-3沙=0 当横截距a≠0时，纵截距b=4,此时直线方程为上+上=1，把P(3,2)代入得x+y-5=0. a ∴.过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是x+y-5=0或2x-3y=0. 3.【答案】C 【解析】己知两个焦点的坐标分别是F(0,一8)，F(0,8), 可知椭圆的焦点在y轴上，且c=8,由椭圆的定义可得：2a=20,即a=10, 由a,么c的关系解得6=vF-心=6，所以辅圆方程是品+=1，放选C 4.【答案】B 【解析】易知直线PQ的斜率k0=二g=-1.由题意，可知直线PQ与直线I垂直，所以直线I的斜率为1， a-b+1 故直线1的倾斜角为45°. 5.【答案】D 【详解】已知AO=AB+(1-)AC,将其变形可得AO-AC=(AB-AC⊙)，即CO=CB 根据向量共线定理，可知CO与CB共线，所以O,B,C三点共线. 因为点O为△ABC的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，且O,B,C三点共线， 所以BC为△ABC外接圆的直径，那么∠BAC=90,即△ABC是直角三角形 根据投影向量的定义求cosB的值，BlcosC=1BC, BC 4 可得Bi1easa=}B8G,即cosB=专Bd BAl 又因为cosB= BA BC 所以cosB=子因为0<B<受，所以cosB=宁放选：D. 6.【答案】D 【解析】圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,∴.圆心坐标为(3,0)， .c=3.又b=4,.a=Vb2+c2=5 ,椭圆的焦点在x轴上，.椭圆的左顶点为(-5,0). 7.【答案】A 【解析】设PF=m,PF=3m,则|EF=√m2+9m2-2×3m×m×cos60°=√7m, 所以C的离心率e=g=2=F=7m=7 a 2a PF-PF 21m 2 .第1页（共4页）· 8.【答案】C 【解析】易知抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1.连接PF,延长PQ交准线于点 M,如图所示.根据抛物线的定义，知PF=PM=PQ+1. 0 所以|PA+PQ=PA+PM|-1=|PA+|PF|-1≥|AF|-1=√82+(7-12-1=9，当y=-1 0 且仅当A,P,F三点共线时，等号成立，所以|PA+PQ的最小值为9 9.【答案】AC 【解析】若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2=2x(p>0),又因为抛物线经过点P(4,-2),所以 (一2驴=2p×4,解得D=子，所以抛物线的方程为2=x 若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),又因为抛物线经过点P(4,一2)，所以 42=-2p×(-2),解得p=4,所以抛物线的方程为x2=-8y 10.【答案】ABC 【解析】若直线1,2的斜率相等，则1，∥12或重合，A错误； 若直线的斜率kk2=一1，则l1⊥12，B错误： 若直线1,2的斜率都不存在，则1∥2或重合，C错误： 若直线11,2的斜率不相等，则1与12一定不平行，D正确。 11.【答案】BCD 【解析】对于A,直线BD与BD,是正方体对角面BDDB,的两条对角线，故共面，A错误； 对于B,在正方体ABCD-AB1C1D1中，，CB1∥DA1,DA1C平面A1CD,CB1寸平面A1CD, ∴.CB1∥平面A1CD, 连接AB1,AC,由正方体的性质可得AC∥A1C1, D 因为AC寸平面A1CD,AC1C平面AC1D, 所以AC∥平面A1CD. 因为AC∩CB1=C,AC,CB1C平面AB1C, 所以平面AB1C∥平面ACD. 因为APC平面ABC,所以AP∥平面A1CD,故B正确. B 对于C,如图： 在正方体ABCD-AB,CD,中，易知△MCB为等边三角形，则∠ABC=号≤min(LAPC,LAPB}≤受 3 :DA1∥CB1,.∠APC或其补角为异面直线DA1与AP所成角， 则异面直线DA,与AP所成角的取值范围[号受]故C正确： 对于D,连接B1D1,记A1C,∩B1D1=E,在正方体ABCD-AB,C1D,中，BB1⊥平面A1B,CD1, A1C1C平面A1BCD1,.BB1⊥A1C1, 在正方形A1BCD1中，A1C1⊥B1D1,:BB1∩BD1=B1,B,D1,BB1C平面BB1D1, .AC1⊥平面BBD1,BD1C平面BBD1,A1C1⊥BD1, 第2页（共4页）· 同理可得：DC1⊥BD, AC∩DC1=C,AC,DC1C平面ACD,.BD1⊥平面A1CD, 又平面ABC∥平面ACD. 所以BD1⊥平面ABC,设交点为O,所以直线AP与直线BD,相交时，交点为O, 又⅓m=后，设正方体楼长为2，得号×B0×分×2w2×2W2×sin60=号×2×分×2×2， 得B0=25,又BD,=V4+4+4=2W3=3B0, 3 所以当直线AP与直线BD相交时，交点在靠近B的三等分点处，D正确. 12.【答类】x=-6 【解析】由x=4得)户=子，故准线方程为x=名 16 a【答案】号+里=1 4 【解析】设椭圆方程为￡+卫=1m>0,n>0,m≠m, m n 因为该椭圆过点P(-3,0),Q(0,-2), (9二1， 所以 m 4=1, 解得/m=9, n=4, 因此所求椭圆方程为￡+ 9+4=1 14【答案】-背=16-) 【解析】如图所示，设动圆M与圆C,及圆C,分别外切于点A和B,根据两圆外切的条件，得 MC AC+MAl, MC2 =BC2+MB. y .MA=MB, M ..MC2-MC=BC2-AC=3-1=2. B 这表明动点M与两定点C2,C的距离的差是常数2，且2<|CC2. 根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支，则2a=2,a=1,c=3, .b2=c2-a2=8, 因此所求动点M的轨迹方程为-。=1c≤-1)。 15.【解析】(1)直线1与直线l:2x+y-2=0垂直， 斜率太=-2，直线1的斜率为k=-a,由k=-1,解得a=- .…6分 (2)因为1在两坐标轴上的截距相等，显然a≠0，当x=0时，y=a一2，当y=0时，x=a-2 a 则a-2=a二2，解得a=1或a=2, a 故直线I的方程为x+y+1=0或2x+y=0. … …13分 16【解析】()证明：法：直线1的方程可化为)-}=a(x-写）厂 第3页（共4页）· :1的斜率为a,且过定点A(兮，子)厂 …6分 而点A(行，子)在第一象限，故1过第一象限。 …8分 法二：直线1的方程可化为(5x-1)a-(5y-3)=0. :上式对任意的a总成立.必有5-=0， 即 5 即1过定点A(行， 3 5y-3=0, ，…6分 y= 而点A，)在第一象限，故1过第一象限。…8分 2)由法一知直线过定点A〔兮) 所以直线OA的斜率为k= -0 =3 -0 要使1不经过第二象限，需它在y轴上的截距不大于零，即令x=0时，y=-a二3≤0，解得a≥3. 5 即a的取值范围是[3，+oo). …15f 17.【解析】设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0), …2分 设Axw:w,由题意知M0,-号)月 因为4F川=3，所以%+号=3，产 …6分 因为Mw=,所以6+(+号=17， …10分 所以6=8，代入方程6=2p,得，8=2p3-）)解得p=2或p=4.…13分 所以所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.… …15分 18.【解析】(1)椭圆的焦点坐标为(4,0)，（-4,0)，所以c=4.… …3分 设双线方程为若-长-1≥0，B>0. …5分 因为e=仁=2，所以a=2.。 …8分 所以b2=C2-a2=12.… …11分 所以双曲线C的标准方程为子-之=1.……品 …13分 （Q由0，知双线的流证线方程为号-后-0，即y=士vx …17分 19.【解析】(1)若∠EAB=90°，则△AOF为等腰直角三角形， 所以有OA=OF,即b=C.… …3分 所以a=√2c,e=c=2 2…………6分 a 2 (2)由题意知A(0,b),E(1,0), 2,y=、 设B(x,y),由A正=2F8,解得x= 2’ …10分 9 b2 代入+若=，得+会=即品+ 4 =1,解得d2=3, …14分 又c2=1,所以b2=2,… …16分 ，y2 圆的方程为专十)三 第4页（共4页）·高二年级开学素养能力提升 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无 效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.过(1,2)，(5,3)的直线方程是 A. y-2 B. y-2 =-1 5-1 3-1 3-2 5-1 C. y-1 .x-3 D. x-2 y-3 5-1-2-3 5-2 =1-3 2.过点(3,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 A.x+y-5=0 B.2x-3y=0 C.x+y-5=0或2x-3y=0 D.x+y+5=0或3x-2y=0 3.椭圆的两个焦点坐标分别为F(0,一8)，F(0,8),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则 此椭圆的标准方程为 100+36=】R. A.2 y 336=1C. 400+, D. +=1 4.若点P(a,b)与点Q(b-1,a+1)关于直线1对称，则直线l的倾斜角为 A.135° B.45 C.30 D.60° 5.已知点O为△ABC的外心，且向量AO=AB+(1-2)AC,1∈R,若向量BA在向量BC上的投 影向量为子BC,则cosB的值为 () A.3 2 B.⑤ C.25 D.1 5 2 6已知肠总+ 存=1a>b>0)的一个焦点是圆2+y2-6x+8=0的圆心，且短轴长为8，则 椭圆的左顶点为 A.(-3,0) B.(-4,0) C.(-10,0) D.（-5,0) 第1页（共4页）· 7.已知F,F是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠FPF=60°，|PF=3PF,则C的离 心率为 () A.⑦ 2 B.V13 C.√7 D.√13 2 8.已知点P是抛物线x2=4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q,点A的坐标是(8,7)，则|PA +PQ的最小值为 () A.7 B.8 C.9 D.10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的 得0分. 9.经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程可以为 () A.2=x B.x2=8y C.x2=-8y D.y2=-8x 10.下列结论错误的是 A.若直线1,12的斜率相等，则1∥12 B.若直线的斜率kk2=1,则1⊥2 C.若直线11,12的斜率都不存在，则1∥12D.若直线1,2的斜率不相等，则1与2不平行 11.如图，在正方体ABCD一A1BCD,中，点P在线段BC上运动（包括端点），则下列结论正确的是 () D B A B A.直线BD与BD1是异面直线 B.直线AP∥平面DAC C.异面直线AP与A,D所成角的取值范围是[子，乃】] D.当直线AP与直线BD,相交时，交点在靠近B的三等分点处 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.抛物线x=4y2的准线方程是 第2页（共4页）· 13.经过点P(一3,0)，Q(0,-2)的椭圆的标准方程是 14.己知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C,及圆C2相外切，则 动圆圆心M的轨迹方程为一· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)设直线1的方程为ax+y+2-a=0(a∈R). (1)若直线1与直线l1:2x+y-2=0垂直时，求a的值： (2)若1在两坐标轴上的截距相等，求1的方程. 16.(15分)已知直线1：5ax-5y-a+3=0. (1)求证：不论a为何值，直线1总经过第一象限； (2)对上述直线，为使直线不经过第二象限，求α的取值范围. 17.(15分)若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上 一点，且AM=√I7,AF=3,求此抛物线的标准方程. 第3页（共4页）· 18(17分)已知双面线C与猫因秀5+号=1的焦点相同。几离心率为2 (1)求双曲线C的标准方程； (2)求双曲线的渐近线方程. 1以17分)刻图，已知椭圆是+茶=1a>6>0.人，乃分别为脆圆的左、右袋点，A为循圆 的上顶点，直线AF交椭圆于另一点B. A F/O (1)若∠FAB=90°，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为2，且A,=2FB,求椭圆的标准方程. 第4页（共4页）·